§E11.15大数の法則

$\Omega=\Z_{\geq1}$、$\mathcal F=\mathcal P(\Omega)$とし、$P(\{k\})=2^{-k}$と定める。$\sum_{k\geq1}2^{-k}=1$であるから$P$は確率測度である。$X(k)=2^k$とおく。$E[|X|]=\sum_{k\geq1}2^k2^{-k}=\infty$であるから、$X$は可積分でない。正の整数$n$に対して、$2^{j-1}\leq n<2^j$を満たす正の整数$j$をとる。$k\leq j-1$ならば$2^k\leq2^{j-1}\leq n$であり、$k\geq j$ならば$2^k\geq2^j>n$であるから、$\{|X|>n\}=\{k\mid k\geq j\}$である。したがって

がすべての$n$について成り立ち、$nP(|X|>n)$は$0$へ収束しない。補題 1.1の証明の評価$nP(|X|>n)\leq E[|X|\mathbf 1_{\{|X|>n\}}]$は成り立つが、この例では$|X|$が可積分でないので右辺はすべての$n$で$\infty$であり、優収束定理の可積分な優関数が存在しない。

$R_n=\sum_{k=1}^{n}Z_k$、$s_m=\sum_{k>m}\operatorname{Var}(Z_k)$とおく。$s_m\to0$である。$\varepsilon>0$と$m$を固定し、$n>m$について定理 3.1を$Z_{m+1},\dots,Z_n$に適用すると

である。左辺の事象は$n$について増加し、その和集合は$\sup_{k>m}|R_k-R_m|>\varepsilon$を満たす標本点をすべて含むので、§E10.8 定理 4.1の下からの連続性により$P(\sup_{k>m}|R_k-R_m|>\varepsilon)\leq s_m/\varepsilon^2$である。

$E_\varepsilon$を、すべての$m$について$\sup_{j,k>m}|R_j-R_k|>2\varepsilon$となる標本点の集合とする。$|R_j-R_k|\leq|R_j-R_m|+|R_k-R_m|$から$\sup_{j,k>m}|R_j-R_k|\leq2\sup_{k>m}|R_k-R_m|$であるので、各$m$について$E_\varepsilon\subseteq\{\sup_{k>m}|R_k-R_m|>\varepsilon\}$であり、$P(E_\varepsilon)\leq s_m/\varepsilon^2$である。$m\to\infty$として$P(E_\varepsilon)=0$を得る。$E=\bigcup_{r\geq1}E_{1/r}$は零事象である。$\omega\notin E$ならば、各$r$についてある$m$が存在して$\sup_{j,k>m}|R_j(\omega)-R_k(\omega)|\leq2/r$であるから、$(R_n(\omega))$は Cauchy 列であり収束する。したがって$\sum_kZ_k$はほとんど確実に収束する。

$Z_k=\varepsilon_k/k$とおくと、$(Z_k)$は独立であり、$E[Z_k]=0$、$\operatorname{Var}(Z_k)=E[\varepsilon_k^2]/k^2=1/k^2$である。$\sum_k1/k^2<\infty$であるから、前段により$\sum_k\varepsilon_k/k$はほとんど確実に収束する。この級数は絶対収束しない（$\sum_k|\varepsilon_k|/k=\sum_k1/k=\infty$）。

$Y_i=f(U_i)$とおく。有限個の添字$i_1<\dots<i_r$と Borel 集合$B_1,\dots,B_r$について$\{Y_{i_j}\in B_j\}=\{U_{i_j}\in f^{-1}(B_j)\}$であるから、§E11.7 命題 1.2により$Y_{i_1},\dots,Y_{i_r}$は相互独立であり、§E11.7 定義 1.1により$(Y_i)$は独立な列である。各$Y_i$の分布は$f$による$U[0,1]$の像測度であるから、$(Y_i)$は同分布である。§E11.4 定理 1.3と、$U[0,1]$の密度$\mathbf 1_{[0,1]}$に関する§E10.12 命題 3.2により、$E[Y_1^2]=\int_{[0,1]}f^2\,d\lambda<\infty$である。$Y_1\in L^2(P)\subset L^1(P)$であり、同じ二つの結果を$f^\pm$に適用すると$E[Y_1]=I$である。定理 4.1により$\frac1n\sum_{i\leq n}Y_i\to I$がほとんど確実に成り立つ。

$\operatorname{Var}(Y_1)=E[Y_1^2]-E[Y_1]^2=\int_{[0,1]}f^2\,d\lambda-I^2$である。§E11.7 系 3.2により$i\neq j$のとき$\operatorname{Cov}(Y_i,Y_j)=0$であるから、共分散の双線形性により$\operatorname{Var}(\sum_{i\leq n}Y_i)=\sum_{i,j\leq n}\operatorname{Cov}(Y_i,Y_j)=\sum_{i\leq n}\operatorname{Var}(Y_i)=n\operatorname{Var}(Y_1)$であり、平均$\frac1n\sum_{i\leq n}Y_i$の期待値は$I$、分散は$\operatorname{Var}(Y_1)/n$である。§E11.4 系 3.2を$t=\varepsilon$として適用すると、求める不等式を得る。

$E[X_1^2]<\infty$であるから、定理 4.1により$S_n/n\to\mu$がほとんど確実に成り立つ。§E11.12 定理 2.1 (2)により$S_n/n\xrightarrow{P}\mu$であり、§E11.12 定義 1.2によって任意の$\varepsilon>0$に対して$P(|S_n/n-\mu|>\varepsilon)\to0$である。この極限は定理 2.1の結論である。$E[X_1^2]<\infty$ならば$E[|X_1|]\leq E[X_1^2]^{1/2}<\infty$であるから、この議論は弱大数の法則の仮定を満たす列のうち二次可積分なものについて、同じ結論を別の経路で与える。