§E10.22L^p 空間

証明. 空集合を例外集合にとると$f\sim_\mu f$であり、等号の対称性により$f\sim_\mu g$ならば$g\sim_\mu f$である。$f=g$が可測零集合$Z$の外で、$g=h$が可測零集合$W$の外で成り立つならば、$f=h$は可測零集合$Z\cup W$の外で成り立つ。したがって推移律も成り立つ。▨

証明.$V=\mathcal M_{\mathbb K}(X)$とおく。§E10.7 命題 4.1により、実数値可測関数は加法とスカラー倍について閉じている。複素数値の場合も、§E10.7 定理 8.1と実部および虚部の公式により、$V$は点ごとの加法とスカラー倍について閉じている。ベクトル空間の各恒等式は各点で$\mathbb K$の恒等式であるから、$V$はベクトル空間である。

は部分空間である。実際、$f,g\in N$に対して、可測零集合$Z,W$を$X\setminus Z$上で$f=0$、$X\setminus W$上で$g=0$となるようにとる。任意の$\alpha,\beta\in\mathbb K$に対して、$X\setminus(Z\cup W)$上で$\alpha f+\beta g=0$である。$f\sim_\mu g$は$f-g\in N$と同値なので、同値類$[f]$は剰余類$f+N$に等しい。§E3.6 命題 1.3により$V/N$上の表示された演算は代表元に依存せず、商をベクトル空間にする。▨

証明.$A<\infty$とする。下限の定義と$\mathcal U_f$の上方への閉性から、すべての$n\geq1$について$A+1/n\in\mathcal U_f$である。したがって可測集合$Z_n=\{|f|>A+1/n\}$は零集合であり、

も零集合である。これで$|f|\leq A$がほとんど至る所で成り立つ。$|f|\leq M$がほとんど至る所で成り立つならば$M\in\mathcal U_f$なので、$A=\inf\mathcal U_f\leq M$である。▨

証明.$f\sim_\mu g$とする。$1\leq p<\infty$の場合には、$|f|^p=|g|^p$がほとんど至る所で成り立つ。絶対値写像と$t\mapsto t^p$は連続であるため、可測写像の合成§E10.7 命題 1.2と連続写像の可測性§E10.7 命題 1.3により、$|f|^p$と$|g|^p$は非負可測関数である。ほとんど至る所で等しい非負可測関数の積分値の不変性§E10.10 定理 3.2により、

である。したがって、積分の有限性とその$p$乗根は代表元に依存しない。

$p=\infty$とし、$M\in\mathcal{U}_f$とする。ある可測零集合$W$の外で$|f|\leq M$が成り立つ。また、ある可測零集合$Z$の外で$f=g$が成り立つ。$W\cup Z$は可測零集合であり、その外で$|g|=|f|\leq M$が成り立つため、$M\in\mathcal{U}_g$である。$f$と$g$を入れ替えた同じ議論により$\mathcal{U}_f=\mathcal{U}_g$である。したがって、本質的上限の有限性と値は代表元に依存しない。▨

証明. 非負拡張実数値可測関数$u$に§E10.10 命題 3.4を適用する。▨

証明. 三角不等式により

である。$p\geq1$であるから両辺を$p$乗することができ、

を得る。▨

証明. 零関数はすべての$1\leq p\leq\infty$に対して$L^p$に属する。

$1\leq p<\infty$とする。$[f],[g]\in L^p$ならば、補題 3.2を点ごとに適用し、積分の単調性と非負線形性§E10.10 定理 1.6を用いることにより、

を得る。したがって、$[f+g]\in L^p$である。また、

であるため、$[\alpha f]\in L^p$である。

$p=\infty$とする。$A=\|[f]\|_\infty$および$B=\|[g]\|_\infty$とおく。補題 2.2により、$|f|\leq A$と$|g|\leq B$がそれぞれほとんど至る所で成り立つ。二つの例外集合の和集合も可測零集合であるため、

がほとんど至る所で成り立つ。補題 2.2により、$[f+g]\in L^\infty$かつ$\|[f+g]\|_\infty\leq A+B$である。さらに、$|\alpha f|\leq|\alpha|A$がほとんど至る所で成り立つため、補題 2.2により、$[\alpha f]\in L^\infty$かつ$\|[\alpha f]\|_\infty\leq|\alpha|A$である。

零ベクトルを含み、加法とスカラー倍について閉じているため、各$L^p$は商ベクトル空間の部分ベクトル空間である。▨

証明. 非負性は積分と本質的上限の定義から従う。$p<\infty$ならば系 3.1により

である。$p=\infty$についても、補題 2.2により$\|[f]\|_\infty=0$と$f=0$a.e. は同値である。

有限指数では、非負積分の斉次性から$\|[\alpha f]\|_p^p=|\alpha|^p\|[f]\|_p^p$であり、$p$乗根をとればよい。$p=\infty$,$\alpha\neq0$ならば

であるから、下限をとって斉次性を得る。$\alpha=0$の場合は両辺が 0 である。▨

証明.$b\geq0$を固定し、$\Phi(t)=t^p/p-bt$（$t\geq0$）とおく。$\Phi'(t)=t^{p-1}-b$の符号から、$\Phi$は$c=b^{1/(p-1)}$で一意な最小値をとる。$b=0$の場合には$c=0$であり、$t>0$で$\Phi'(t)>0$である。$c^p=bc=b^q$なので、$\Phi(c)=-b^q/q$である。したがって、$\Phi(a)\geq\Phi(c)$より$ab\leq a^p/p+b^q/q$が成り立つ。等号条件は$a=c$、すなわち$a^{p-1}=b$である。▨

証明. 積写像は連続であるから、§E10.7 命題 3.1と§E10.7 定理 8.1により$fg$は可測である。代表元を変えても共通の可測零集合の外で積は変わらない。

$1<p<\infty$とする。どちらかのノルムが零ならば$fg=0$a.e. であり、系 3.1により結論を得る。両ノルムが正ならば、$F=|f|/\|[f]\|_p$,$G=|g|/\|[g]\|_q$とおく。補題 4.1と積分の単調性から

両辺に$\|[f]\|_p\|[g]\|_q$を掛けると、積の可積分性と不等式が従う。

$p=1$,$q=\infty$ならば、補題 2.2により$|fg|\leq\|[g]\|_\infty|f|$a.e. である。§E10.10 補題 3.3を適用すると

を得る。$p=\infty$,$q=1$の場合は二つの因子を交換する。▨

証明. 演習とする（問題 9.1 (3)）。▨

証明.定理 4.2と§E10.10 補題 2.5により、各最大値の候補は$\|[f]\|_p$以下である。$\|[f]\|_p=0$ならば$g=0$で等号を得る。$A=\|[f]\|_p>0$とし、可測関数

をとる。$p=1$では$g=\overline\theta$とおけば、$\|[g]\|_\infty\leq1$かつ$fg=|f|$である。$1<p<\infty$では

とおく。$(p-1)q=p$により$\int|g|^q\,d\mu=A^{-p}\int|f|^p\,d\mu=1$であり、

である。したがって、第一の最大値は$A$である。複素共役$g\mapsto\overline g$は$L^q$の閉単位球をそれ自身へ全単射に移すので、第二の最大値も同じである。▨

証明.$1\leq p<\infty$とし、$1/p+1/q=1$を満たす共役指数$q$をとる。$p=1$の場合は$q=\infty$である。命題 3.3により$[f+g]\in L^p$である。$\|[u]\|_q\leq1$を満たす任意の$[u]\in L^q$に対して、定理 4.2により$fu,gu,(f+g)u$は可積分である。積分の線形性と命題 5.1により

である。$[u]$に関する最大値をとり、同じノルム表示を$[f+g]$に適用すると、

を得る。

$p=\infty$の場合は命題 3.3により成り立つ。

▨

証明.$n\geq1$に対して

とおく。各切断$\min(g_k,n)$は、$t<n$ならば$\{\min(g_k,n)>t\}=\{g_k>t\}$、$t\geq n$ならば$\{\min(g_k,n)>t\}=\emptyset$であることと§E10.7 命題 2.3により有限実数値可測関数である。§E10.7 命題 4.1により$s_n$も有限実数値可測関数であり、$s_n\uparrow G$である。実際、各点で$s_n\leq G$であり、任意の$m\geq1$と$n\geq m$に対して$s_n\geq\sum_{k=1}^m\min(g_k,n)$である。$n\to\infty$、次いで$m\to\infty$とすると、$\sup_ns_n\geq G$を得る。§E10.7 定理 5.1により$G$は可測である。

右辺を$A$とおく。$A=\infty$の場合には不等式が成り立つので、$A<\infty$とする。各$k,n\geq1$に対して、積分の単調性により

であるから、$[\min(g_k,n)]\in L^p(\mu;\R)$である。定理 6.1を有限和へ反復適用すると、

を得る。非負可測関数列$s_n^p$は$G^p$へ増加するので、§E10.11 定理 1.1により

である。$p$乗根をとると所要の不等式を得る。また、§E10.10 命題 3.5を$G^p$へ適用すると$G^p<\infty$がほとんど至る所で成り立ち、したがって$G<\infty$がほとんど至る所で成り立つ。▨

証明.定理 4.2と定理 6.1をそれぞれ適用する。▨

証明.命題 3.3により$L^p$は命題 1.3の商ベクトル空間の部分ベクトル空間である。命題 2.4により$\|\cdot\|_p$は$L^p$上の写像として定まる。命題 3.4により、非負性、零ベクトルの判定、および斉次性が成り立つ。定理 6.1により三角不等式が成り立つ。したがって、$\|\cdot\|_p$は$L^p$上のノルムである。▨

証明. 演習とする（問題 9.1 (2)）。▨

証明.$f:Y\to\mathbb K$を同値類$[f]$の可測代表元とし、

とおく。積可測関数の切片は§E10.19 補題 2.1により可測であり、§E10.19 定理 2.3により$A,B,H_f$はそれぞれの空間上で非負可測である。

$C_1=0$または$C_2=0$ならば、Tonelli の定理により$\int_{X\times Y}|K|\,d(\mu\otimes\nu)=0$である。系 3.1により$K=0$が積測度に関してほとんど至る所で成り立つ。$f$は有限値であるから$|K(x,y)||f(y)|=0$も積測度に関してほとんど至る所で成り立つ。再び Tonelli の定理と零積分の判定を用いると、$H_f=0$が$\mu$-ほとんど至る所で成り立つ。したがって$T_Kf=0$がほとんど至る所で成り立つ。

$C_1,C_2>0$とし、$1<p<\infty$とする。

とおく。Tonelli の定理と列の上界から

である。したがって$D_f<\infty$がほとんど至る所で成り立つ。$A(x)\leq C_1$かつ$D_f(x)<\infty$を満たす$x$をとる。定理 4.2を$y\mapsto|K(x,y)|^{1/p'}$と$y\mapsto|K(x,y)|^{1/p}|f(y)|$に適用すると、

となる。絶対積分による評価§E10.10 補題 2.5により$|T_Kf(x)|\leq H_f(x)$であり、$p$乗して積分すると

を得る。

$p=1$では、Tonelli の定理から直接

となるので、$H_f$はほとんど至る所で有限であり、$\|[T_Kf]\|_1\leq C_2\|[f]\|_1$である。$p=\infty$では補題 2.2により$|f|\leq\|[f]\|_\infty$が$\nu$-ほとんど至る所で成り立つ。各$x$でこの零集合を除いて積分すると

であり、絶対収束と本質的上限の評価を得る。

いずれの指数でも$G_f=\{x:H_f(x)<\infty\}$は可測であり、その補集合は零集合である。$K(x,y)f(y)$の実部の正負部分をそれぞれ$y$について積分すると、Tonelli の定理により非負可測関数を得る。$G_f$上では両積分が有限なので、その差は可測である。複素数値の場合には虚部についても同じ操作を行う。したがって、$G_f$上で積分値をとり、その外で零とした$T_Kf$は可測である。

$f=g$が$\nu$-ほとんど至る所で成り立つならば、各$x$について$|K(x,y)||f(y)-g(y)|$は$\nu$-ほとんど至る所で零である。 Tonelli の定理から、この関数の$y$に関する積分は$\mu$-ほとんど至る所で零である。$T_Kf$と$T_Kg$の両積分が絶対収束する共通の全測度集合上で$T_Kf=T_Kg$となるので、出力の同値類は代表元に依存しない。積分の線形性により、任意の$[f],[g]\in L^p$と$\alpha,\beta\in\mathbb K$に対して$[T_K(\alpha f+\beta g)]=\alpha[T_Kf]+\beta[T_Kg]$である。以上のノルム評価と合わせて、有界線形性を得る。▨

証明.$k,f$が Borel 可測である場合を考え、$\lambda_d^B$を Borel 集合族上の Lebesgue 測度とする。差写像$(x,y)\mapsto x-y$は連続なので、§E10.16 命題 2.2により$K(x,y)=k(x-y)$は Borel 積可測である。§E10.16 定理 7.1と§E10.12 定理 1.2 (1)から、各$y$について

である。一方、$A(x)=\int_{\R^d}|k(x-y)|\,d\lambda_d^B(y)$とおくと、$y=z+x$の平行移動によって$A(x)=A(0)$である。単位箱$Q=[0,1]^d$上で Tonelli の定理を適用すると