§D1.1ε-δ 型の文の読み方、否定、反例の構成

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連続性の定義には、全称量化子と存在量化子が入れ子に現れます。本記事では、量化子の順序から各変数の依存関係を読み、定義を否定した論理式に従って反例を構成します。

1 連続性の定義と量化子の順序

定義 1.1 (連続性).X⊆RX\subseteq\R、f ⁣:X→Rf\colon X\to\R、a∈Xa\in Xとする。ffが点aaで連続 (continuous) であるとは、

∀ε>0, ∃δ>0, ∀x∈X, (∣x−a∣<δ⇒∣f(x)−f(a)∣<ε)\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x\in X,\ \bigl(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon\bigr)

が成り立つことをいう。

注意 1.2. 量化子を左から読むと、ε>0\varepsilon>0は任意に与えられ、δ>0\delta>0は与えられたε\varepsilonに応じて選ばれ、その後にx∈Xx\in Xが任意に与えられる。したがって、δ\deltaはε\varepsilonに依存してよいが、選んだδ\deltaはすべてのx∈Xx\in Xに対して同時に条件を満たさなければならない。

2 連続性の否定形とその例

命題 2.1.X⊆RX\subseteq\R、f ⁣:X→Rf\colon X\to\R、a∈Xa\in Xとする。次の二条件を考える。

  1. ffはaaで連続でない。
  2. 次の論理式が成り立つ。 ∃ε>0, ∀δ>0, ∃x∈X, (∣x−a∣<δ ∧ ∣f(x)−f(a)∣≥ε)\exists \varepsilon>0,\ \forall \delta>0,\ \exists x\in X,\ \bigl(|x-a|<\delta\ \land\ |f(x)-f(a)|\geq\varepsilon\bigr)

(1)⇔\Leftrightarrow(2)が成り立つ。

証明.(1)⇔\Leftrightarrow(2)を示す。A(x,δ)A(x,\delta)を∣x−a∣<δ|x-a|<\delta、B(x,ε)B(x,\varepsilon)を∣f(x)−f(a)∣<ε|f(x)-f(a)|<\varepsilonとおく。量化域を保ったまま¬∀=∃¬\lnot\forall=\exists\lnot、¬∃=∀¬\lnot\exists=\forall\lnot、¬(A⇒B)=A∧¬B\lnot(A\Rightarrow B)=A\land\lnot Bを順に適用すると、

¬(∀ε>0, ∃δ>0, ∀x∈X, (A(x,δ)⇒B(x,ε)))=∃ε>0, ¬(∃δ>0, ∀x∈X, (A(x,δ)⇒B(x,ε)))=∃ε>0, ∀δ>0, ¬(∀x∈X, (A(x,δ)⇒B(x,ε)))=∃ε>0, ∀δ>0, ∃x∈X, (A(x,δ)∧¬B(x,ε)).\begin{aligned} &\lnot\Bigl(\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x\in X,\ \bigl(A(x,\delta)\Rightarrow B(x,\varepsilon)\bigr)\Bigr)\\ &=\exists\varepsilon>0,\ \lnot\Bigl(\exists\delta>0,\ \forall x\in X,\ \bigl(A(x,\delta)\Rightarrow B(x,\varepsilon)\bigr)\Bigr)\\ &=\exists\varepsilon>0,\ \forall\delta>0,\ \lnot\Bigl(\forall x\in X,\ \bigl(A(x,\delta)\Rightarrow B(x,\varepsilon)\bigr)\Bigr)\\ &=\exists\varepsilon>0,\ \forall\delta>0,\ \exists x\in X,\ \bigl(A(x,\delta)\land\lnot B(x,\varepsilon)\bigr). \end{aligned}

実数の大小関係について¬(∣f(x)−f(a)∣<ε)\lnot\bigl(|f(x)-f(a)|<\varepsilon\bigr)は∣f(x)−f(a)∣≥ε|f(x)-f(a)|\geq\varepsilonと同値である。したがって、最後の論理式は(2)と一致する。▨

例 2.2. 関数f ⁣:R→Rf\colon\R\to\Rを

f(x)={1(x≥0),−1(x<0)f(x)= \begin{cases} 1 &(x\geq0),\\ -1 &(x<0) \end{cases}

で定める。この関数は00で連続でない。

証明.ε=1\varepsilon=1とおく。δ>0\delta>0を任意にとり、x=−δ/2∈Rx=-\delta/2\in\Rとおく。このとき、

∣x−0∣=δ2<δ,∣f(x)−f(0)∣=∣−1−1∣=2≥1=ε|x-0|=\frac{\delta}{2}<\delta, \qquad |f(x)-f(0)|=|-1-1|=2\geq1=\varepsilon

が成り立つ。したがって命題 2.1 (2)が成り立つため、命題 2.1によりffは00で連続でない。▨

3 連続だが一様連続でない関数の例

例 3.1. 関数f ⁣:(0,1)→Rf\colon(0,1)\to\Rをf(x)=1/xf(x)=1/xで定める。この関数は各点で連続であるが、一様連続でない。

証明.a∈(0,1)a\in(0,1)とε>0\varepsilon>0を任意にとり、

δ=min⁡{a2,εa22}>0\delta=\min\left\{\frac a2,\frac{\varepsilon a^2}{2}\right\}>0

とおく。x∈(0,1)x\in(0,1)が∣x−a∣<δ|x-a|<\deltaを満たすとする。δ≤a/2\delta\leq a/2からx>a/2x>a/2であり、

∣1x−1a∣=∣x−a∣ax<δa(a/2)=2δa2≤ε\left|\frac1x-\frac1a\right| =\frac{|x-a|}{ax} <\frac{\delta}{a(a/2)} =\frac{2\delta}{a^2} \leq\varepsilon

が成り立つ。したがってffは任意のa∈(0,1)a\in(0,1)で連続である。

一様連続性は

∀ε>0, ∃δ>0, ∀x,y∈(0,1), (∣x−y∣<δ⇒∣f(x)−f(y)∣<ε)\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x,y\in(0,1),\ \bigl(|x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon\bigr)

である。上で用いた三つの否定規則をこの論理式に適用すると、その否定は

∃ε>0, ∀δ>0, ∃x,y∈(0,1), (∣x−y∣<δ ∧ ∣f(x)−f(y)∣≥ε)\exists\varepsilon>0,\ \forall\delta>0,\ \exists x,y\in(0,1),\ \bigl(|x-y|<\delta\ \land\ |f(x)-f(y)|\geq\varepsilon\bigr)

となる。ε=1\varepsilon=1とおき、δ>0\delta>0を任意にとる。t=min⁡{δ/2,1/2}t=\min\{\delta/2,1/2\}、x=t/2x=t/2、y=ty=tとおく。0<x<y≤1/2<10<x<y\leq1/2<1であるからx,y∈(0,1)x,y\in(0,1)である。また、

∣x−y∣=t2≤δ4<δ,∣f(x)−f(y)∣=∣2t−1t∣=1t≥2≥1=ε|x-y|=\frac t2\leq\frac\delta4<\delta, \qquad |f(x)-f(y)|=\left|\frac2t-\frac1t\right|=\frac1t\geq2\geq1=\varepsilon

が成り立つ。したがって一様連続性の否定形が成り立つため、ffは(0,1)(0,1)上で一様連続でない。▨

4 例題

レベル1 — 否定の機械的構成

次の命題の否定を、量化子を先頭に集めた形（否定記号¬\negを残さない形）で書け。

解法の型∀↔∃\forall\leftrightarrow\existsを反転、A⇒BA\Rightarrow Bの否定はA∧¬BA\land\neg B、不等号は等号を付け替え

次の命題の否定を、量化子を先頭に集めた形で書け。

例 4.1.

∀ε>0, ∃δ>0, ∀x, (∣x−3∣<δ⇒∣f(x)+3∣<ε)\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x,\ \bigl(|x - 3| < \delta \Rightarrow |f(x) + 3| < \varepsilon\bigr)

答∃ε>0, ∀δ>0, ∃x, (∣x−3∣<δ ∧ ∣f(x)+3∣≥ε)\exists \varepsilon > 0,\ \forall \delta > 0,\ \exists x,\ \bigl(|x - 3| < \delta \ \land\ |f(x) + 3| \ge \varepsilon\bigr)

例 4.2.

∀ε>0, ∃N, ∀n≥N, ∣an−1∣<ε\forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall n \ge N,\ |a_n - 1| < \varepsilon

答∃ε>0, ∀N, ∃n≥N, ∣an−1∣≥ε\exists \varepsilon > 0,\ \forall N,\ \exists n \ge N,\ |a_n - 1| \ge \varepsilon

例 4.3.

∃M>0, ∀n, ∣an∣≤M\exists M > 0,\ \forall n,\ |a_n| \le M

答∀M>0, ∃n, ∣an∣>M\forall M > 0,\ \exists n,\ |a_n| > M

例 4.4.

∀x, ∀y, (x<y⇒f(x)<f(y))\forall x,\ \forall y,\ \bigl(x < y \Rightarrow f(x) < f(y)\bigr)

答∃x, ∃y, (x<y ∧ f(x)≥f(y))\exists x,\ \exists y,\ \bigl(x < y \ \land\ f(x) \ge f(y)\bigr)

例 4.5.

∀ε>0, ∃N, ∀n≥N, ∣an−5∣<ε\forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall n \ge N,\ |a_n - 5| < \varepsilon

答∃ε>0, ∀N, ∃n≥N, ∣an−5∣≥ε\exists \varepsilon > 0,\ \forall N,\ \exists n \ge N,\ |a_n - 5| \ge \varepsilon

レベル3 — 反例の構成

次の命題はいずれも偽である。命題の否定を書き、それを仕様として読んで反例を1つ構成せよ。

解法の型手順は3段: (1) 否定を機械的に構成する、(2) 否定文の存在部分を「探すべきものの仕様」として読む、(3) 仕様を満たす具体例を作る（境界・極端・符号違いを狙う）

次の命題は偽である。その否定を書き、反例を1つ構成せよ。

例 4.6.

関数 f が連続ならば f は微分可能である\text{関数 } f \ \text{が連続ならば} \ f \ \text{は微分可能である}

答

否定ある連続関数 f が存在して、微分可能でない点をもつ反例f(x)=∣x∣(x=0 で連続だが微分可能でない)\begin{array}{ll} \text{否定} & \text{ある連続関数 } f \text{ が存在して、微分可能でない点をもつ} \\ \text{反例} & f(x) = |x| \quad (x = 0 \ \text{で連続だが微分可能でない}) \end{array}

注意 手順1: 否定は「連続だが微分可能でない関数が存在する」。手順2: 仕様は「つながっているが、どこかで尖っている（左右の微分係数が食い違う）関数」。手順3: f(x)==|x| は x==0 で連続だが、左からの傾きが -1、右からの傾きが 1 で一致しないので微分不可能。

例 4.7.

数列 (an) が有界ならば (an) は収束する\text{数列 } (a_n) \ \text{が有界ならば} \ (a_n) \ \text{は収束する}

答

否定ある有界数列 (an) が存在して、収束しない反例an=(−1)n(∣an∣≤1 で有界だが、1,−1 を振動して収束しない)\begin{array}{ll} \text{否定} & \text{ある有界数列 } (a_n) \text{ が存在して、収束しない} \\ \text{反例} & a_n = (-1)^n \quad (|a_n| \le 1 \ \text{で有界だが、} 1, -1 \ \text{を振動して収束しない}) \end{array}

注意 手順1: 否定は「有界だが収束しない数列が存在する」。手順2: 仕様は「値の範囲は限られているのに、1つの値に近づかない数列」。手順3: aₙ==(-1)ⁿ は -1 と 1 を交互に取るので有界（|aₙ|≤\le1）だが極限を持たない。有界性から言えるのは「収束する部分列がある」までで、収束そのものではない。

例 4.8.

実数 a,b について、ab が有理数ならば a,b はともに有理数である\text{実数 } a, b \text{ について、} ab \ \text{が有理数ならば} \ a, b \ \text{はともに有理数である}

答

否定ある実数 a,b が存在して ab は有理数だが、少なくとも一方は無理数反例a=2, b=2(ab=2 は有理数だが a,b は無理数)\begin{array}{ll} \text{否定} & \text{ある実数 } a, b \text{ が存在して } ab \ \text{は有理数だが、少なくとも一方は無理数} \\ \text{反例} & a = \sqrt{2},\ b = \sqrt{2} \quad (ab = 2 \ \text{は有理数だが } a, b \ \text{は無理数}) \end{array}

注意 手順1: 含意の否定は「ab は有理数、かつ a, b がともに有理数ではない」。ド・モルガン則により結論の否定は「a または b が無理数」。手順2: 仕様は「無理数を含むのに、積が有理数になる組」。手順3: a==b==√2 とすれば ab==2。

例 4.9.

すべての自然数 n について n2+n+41 は素数である\text{すべての自然数 } n \text{ について } n^2 + n + 41 \ \text{は素数である}

答

否定ある自然数 n が存在して n2+n+41 は素数でない反例n=41(412+41+41=1763=41×43)\begin{array}{ll} \text{否定} & \text{ある自然数 } n \text{ が存在して } n^2 + n + 41 \ \text{は素数でない} \\ \text{反例} & n = 41 \quad (41^2 + 41 + 41 = 1763 = 41 \times 43) \end{array}

注意 手順1:∀\forallを∃\existsに反転し、「素数である」を否定して「素数でない（合成数）」。手順2: 仕様は「n² + n + 41 が合成数になる n」。手順3: n==41 とすると各項が 41 で割れて 41(41 + 1 + 1)==41 × 43==1763。n==1 から 39 まではすべて素数になるので、少し調べただけでは反例が見つからない（オイラーの多項式）。なお最小の反例は n==40 で、40² + 40 + 41==1681==41²。ここでは「各項が 41 で割り切れる」という理由が見やすい n==41 を挙げた。

例 4.10.

a,b が無理数ならば a+b は無理数であるa, b \ \text{が無理数ならば} \ a + b \ \text{は無理数である}

答

否定ある無理数 a,b が存在して a+b が有理数反例a=2, b=−2(a+b=0 は有理数)\begin{array}{ll} \text{否定} & \text{ある無理数 } a, b \text{ が存在して } a + b \ \text{が有理数} \\ \text{反例} & a = \sqrt{2},\ b = -\sqrt{2} \quad (a + b = 0 \ \text{は有理数}) \end{array}

注意 手順1: 含意の否定は「仮定を満たすが結論を満たさない例がある」。すなわち「a, b はともに無理数だが a + b は有理数」。手順2: 仕様は「無理数どうしで、足すと打ち消し合う組」。手順3: a==√2, b==-√2 とすれば和は 0 で有理数。無理数の和は無理数とは限らない。

5 演習

レベル1 — 否定の機械的構成

次の命題の否定を、量化子を先頭に集めた形（否定記号¬\negを残さない形）で書け。

解法の型∀↔∃\forall\leftrightarrow\existsを反転、A⇒BA\Rightarrow Bの否定はA∧¬BA\land\neg B、不等号は等号を付け替え

次の命題の否定を、量化子を先頭に集めた形で書け。

問題 5.1.

∀N, ∃n≥N, an>2\forall N,\ \exists n \ge N,\ a_n > 2
解答.

答∃N, ∀n≥N, an≤2\exists N,\ \forall n \ge N,\ a_n \le 2▨

問題 5.2.

∀ε>0, ∃N, ∀n≥N, ∣an+1∣<ε\forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall n \ge N,\ |a_n + 1| < \varepsilon
解答.

答∃ε>0, ∀N, ∃n≥N, ∣an+1∣≥ε\exists \varepsilon > 0,\ \forall N,\ \exists n \ge N,\ |a_n + 1| \ge \varepsilon▨

問題 5.3.

∀x, ∀y, (x<y⇒f(x)<f(y))\forall x,\ \forall y,\ \bigl(x < y \Rightarrow f(x) < f(y)\bigr)
解答.

答∃x, ∃y, (x<y ∧ f(x)≥f(y))\exists x,\ \exists y,\ \bigl(x < y \ \land\ f(x) \ge f(y)\bigr)▨

問題 5.4.

∃M>0, ∀n, ∣an∣≤M\exists M > 0,\ \forall n,\ |a_n| \le M
解答.

答∀M>0, ∃n, ∣an∣>M\forall M > 0,\ \exists n,\ |a_n| > M▨

問題 5.5.

∀ε>0, ∃δ>0, ∀x, (∣x−1∣<δ⇒∣f(x)−1∣<ε)\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x,\ \bigl(|x - 1| < \delta \Rightarrow |f(x) - 1| < \varepsilon\bigr)
解答.

答∃ε>0, ∀δ>0, ∃x, (∣x−1∣<δ ∧ ∣f(x)−1∣≥ε)\exists \varepsilon > 0,\ \forall \delta > 0,\ \exists x,\ \bigl(|x - 1| < \delta \ \land\ |f(x) - 1| \ge \varepsilon\bigr)▨

問題 5.6.

∀ε>0, ∃δ>0, ∀x, (∣x−1∣<δ⇒∣f(x)−2∣<ε)\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x,\ \bigl(|x - 1| < \delta \Rightarrow |f(x) - 2| < \varepsilon\bigr)
解答.

答∃ε>0, ∀δ>0, ∃x, (∣x−1∣<δ ∧ ∣f(x)−2∣≥ε)\exists \varepsilon > 0,\ \forall \delta > 0,\ \exists x,\ \bigl(|x - 1| < \delta \ \land\ |f(x) - 2| \ge \varepsilon\bigr)▨

問題 5.7.

∀ε>0, ∃δ>0, ∀x, (∣x+3∣<δ⇒∣f(x)+2∣<ε)\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x,\ \bigl(|x + 3| < \delta \Rightarrow |f(x) + 2| < \varepsilon\bigr)
解答.

答∃ε>0, ∀δ>0, ∃x, (∣x+3∣<δ ∧ ∣f(x)+2∣≥ε)\exists \varepsilon > 0,\ \forall \delta > 0,\ \exists x,\ \bigl(|x + 3| < \delta \ \land\ |f(x) + 2| \ge \varepsilon\bigr)▨

問題 5.8.

∀ε>0, ∃δ>0, ∀x, (∣x+1∣<δ⇒∣f(x)−1∣<ε)\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x,\ \bigl(|x + 1| < \delta \Rightarrow |f(x) - 1| < \varepsilon\bigr)
解答.

答∃ε>0, ∀δ>0, ∃x, (∣x+1∣<δ ∧ ∣f(x)−1∣≥ε)\exists \varepsilon > 0,\ \forall \delta > 0,\ \exists x,\ \bigl(|x + 1| < \delta \ \land\ |f(x) - 1| \ge \varepsilon\bigr)▨

レベル3 — 反例の構成

次の命題はいずれも偽である。命題の否定を書き、それを仕様として読んで反例を1つ構成せよ。

解法の型手順は3段: (1) 否定を機械的に構成する、(2) 否定文の存在部分を「探すべきものの仕様」として読む、(3) 仕様を満たす具体例を作る（境界・極端・符号違いを狙う）

次の命題は偽である。その否定を書き、反例を1つ構成せよ。

問題 5.9.

実数 a,b について、ab が有理数ならば a,b はともに有理数である\text{実数 } a, b \text{ について、} ab \ \text{が有理数ならば} \ a, b \ \text{はともに有理数である}
解答.

答

否定ある実数 a,b が存在して ab は有理数だが、少なくとも一方は無理数反例a=2, b=2(ab=2 は有理数だが a,b は無理数)\begin{array}{ll} \text{否定} & \text{ある実数 } a, b \text{ が存在して } ab \ \text{は有理数だが、少なくとも一方は無理数} \\ \text{反例} & a = \sqrt{2},\ b = \sqrt{2} \quad (ab = 2 \ \text{は有理数だが } a, b \ \text{は無理数}) \end{array}

注意 手順1: 含意の否定は「ab は有理数、かつ a, b がともに有理数ではない」。ド・モルガン則により結論の否定は「a または b が無理数」。手順2: 仕様は「無理数を含むのに、積が有理数になる組」。手順3: a==b==√2 とすれば ab==2。▨

問題 5.10.

実数 x,y について、x>y ならば x2>y2\text{実数 } x, y \text{ について、} x > y \ \text{ならば} \ x^2 > y^2
解答.

答

否定ある実数 x,y が存在して x>y かつ x2≤y2反例x=1, y=−2(1>−2 だが 12=1≤4=(−2)2)\begin{array}{ll} \text{否定} & \text{ある実数 } x, y \text{ が存在して } x > y \ \text{かつ} \ x^2 \le y^2 \\ \text{反例} & x = 1,\ y = -2 \quad (1 > -2 \ \text{だが} \ 1^2 = 1 \le 4 = (-2)^2) \end{array}

注意 手順1: 含意の否定は「x > y かつ x² > y² でない」、すなわち x > y かつ x²≤\ley²。手順2: 仕様は「大小関係は x が上なのに、2乗では逆転する組」。手順3: 負の数は絶対値が大きいほど小さいので、y を絶対値の大きい負の数にすればよい。x==1, y==-2 で 1 > -2 だが 1≤\le4。2乗が単調なのは両辺が 0 以上のときだけ。▨

問題 5.11.

a,b が無理数ならば a+b は無理数であるa, b \ \text{が無理数ならば} \ a + b \ \text{は無理数である}
解答.

答

否定ある無理数 a,b が存在して a+b が有理数反例a=2, b=−2(a+b=0 は有理数)\begin{array}{ll} \text{否定} & \text{ある無理数 } a, b \text{ が存在して } a + b \ \text{が有理数} \\ \text{反例} & a = \sqrt{2},\ b = -\sqrt{2} \quad (a + b = 0 \ \text{は有理数}) \end{array}

注意 手順1: 含意の否定は「仮定を満たすが結論を満たさない例がある」。すなわち「a, b はともに無理数だが a + b は有理数」。手順2: 仕様は「無理数どうしで、足すと打ち消し合う組」。手順3: a==√2, b==-√2 とすれば和は 0 で有理数。無理数の和は無理数とは限らない。▨

問題 5.12.

すべての実数 x について x2≥x\text{すべての実数 } x \text{ について } x^2 \ge x
解答.

答

否定ある実数 x が存在して x2<x反例x=1/2((1/2)2=1/4<1/2)\begin{array}{ll} \text{否定} & \text{ある実数 } x \text{ が存在して } x^2 < x \\ \text{反例} & x = 1/2 \quad ((1/2)^2 = 1/4 < 1/2) \end{array}

注意 手順1:∀\forallを∃\existsに反転し、x²≥\gex を否定して x² < x。手順2: 仕様は「2乗すると自分より小さくなる数」。手順3: 0 < x < 1 の範囲では2乗すると小さくなるので、x==1/2 が反例。1/4 < 1/2。整数だけで考えていると見落とす典型例。▨

問題 5.13.

すべての実数 x について、x2>x ならば x>1\text{すべての実数 } x \text{ について、} x^2 > x \ \text{ならば} \ x > 1
解答.

答

否定ある実数 x が存在して、x2>x かつ x≤1反例x=−1((−1)2=1>−1 かつ −1≤1)\begin{array}{ll} \text{否定} & \text{ある実数 } x \text{ が存在して、} x^2 > x \ \text{かつ} \ x \le 1 \\ \text{反例} & x = -1 \quad ((-1)^2 = 1 > -1 \ \text{かつ} \ -1 \le 1) \end{array}

注意 手順1: 否定を作る。∀\forallを∃\existsに反転し、含意 A⇒\RightarrowB の否定は A かつ B でない、なので「x² > x かつ x≤\le1」。手順2: 仕様は「2乗すると自分より大きくなるが、1 以下である数」。手順3: 負の数は2乗すると正になるので条件を満たす。x==-1 で 1 > -1 かつ -1≤\le1。▨

問題 5.14.

数列 (an) が有界ならば (an) は収束する\text{数列 } (a_n) \ \text{が有界ならば} \ (a_n) \ \text{は収束する}
解答.

答

否定ある有界数列 (an) が存在して、収束しない反例an=(−1)n(∣an∣≤1 で有界だが、1,−1 を振動して収束しない)\begin{array}{ll} \text{否定} & \text{ある有界数列 } (a_n) \text{ が存在して、収束しない} \\ \text{反例} & a_n = (-1)^n \quad (|a_n| \le 1 \ \text{で有界だが、} 1, -1 \ \text{を振動して収束しない}) \end{array}

注意 手順1: 否定は「有界だが収束しない数列が存在する」。手順2: 仕様は「値の範囲は限られているのに、1つの値に近づかない数列」。手順3: aₙ==(-1)ⁿ は -1 と 1 を交互に取るので有界（|aₙ|≤\le1）だが極限を持たない。有界性から言えるのは「収束する部分列がある」までで、収束そのものではない。▨

問題 5.15.

すべての自然数 n について n2+n+41 は素数である\text{すべての自然数 } n \text{ について } n^2 + n + 41 \ \text{は素数である}
解答.

答

否定ある自然数 n が存在して n2+n+41 は素数でない反例n=41(412+41+41=1763=41×43)\begin{array}{ll} \text{否定} & \text{ある自然数 } n \text{ が存在して } n^2 + n + 41 \ \text{は素数でない} \\ \text{反例} & n = 41 \quad (41^2 + 41 + 41 = 1763 = 41 \times 43) \end{array}

注意 手順1:∀\forallを∃\existsに反転し、「素数である」を否定して「素数でない（合成数）」。手順2: 仕様は「n² + n + 41 が合成数になる n」。手順3: n==41 とすると各項が 41 で割れて 41(41 + 1 + 1)==41 × 43==1763。n==1 から 39 まではすべて素数になるので、少し調べただけでは反例が見つからない（オイラーの多項式）。なお最小の反例は n==40 で、40² + 40 + 41==1681==41²。ここでは「各項が 41 で割り切れる」という理由が見やすい n==41 を挙げた。▨

問題 5.16.

すべての素数は奇数である\text{すべての素数は奇数である}
解答.

答

否定ある素数が存在して、それは奇数でない反例p=2(2 は素数だが偶数)\begin{array}{ll} \text{否定} & \text{ある素数が存在して、それは奇数でない} \\ \text{反例} & p = 2 \quad (2 \ \text{は素数だが偶数}) \end{array}

注意 手順1: 否定を作る。「すべての素数は奇数」の否定は∀\forallを∃\existsに反転して「ある素数が存在して奇数でない」。手順2: この存在文を仕様として読む。探すべきものは「素数であり、かつ偶数である数」。手順3: 仕様を満たす例を構成する。2 は素数で偶数なので反例。▨

前提記事