可積分条件 | ε-論法と基礎解析

区間上の関数の値を、小区間ごとに上と下から押さえて長方形の面積を積み重ねると、上積分と下積分という二つの値が得られます。

しかし、有界関数であれば二つの値が必ず一致するわけではありません。たとえば、有理数では $1$ 、無理数では $0$ をとる関数の上積分と下積分は、どれほど区間を細かく分けても一致しません。

上積分と下積分が一致する関数をリーマン可積分な関数といいます。関数がリーマン可積分であるための十分条件を知ることで、定積分を定義することができる関数と、リーマン積分では扱うことができない関数とを区別できます。

連続性と単調性は、リーマン可積分性が保証される最も基本的な条件です。

本記事では、振幅と点における振動による連続性の特徴づけ、およびリーマン可積分性の十分条件と反例を解説します。

1 振幅と点における振動

定義 1.1 (振幅). $X$ を集合、 $f\colon X\to\R$ を有界関数とし、 $A\subseteq X$ を空でない集合とする。非負の実数

\operatorname{osc}(f;A)=\sup_{y\in A}f(y)-\inf_{y\in A}f(y)

を $A$ 上の $f$ の振幅 (oscillation) という。

定義 1.2 (点における振動). $a<b$ 、 $I=[a,b]$ とし、 $f\colon I\to\R$ を有界関数とする。点 $x\in I$ における $f$ の振動 (pointwise oscillation) を

\omega_f(x) =\lim_{r\downarrow0}\operatorname{osc}\bigl(f;I\cap(x-r,x+r)\bigr) =\inf_{r>0}\operatorname{osc}\bigl(f;I\cap(x-r,x+r)\bigr)

によって定める。

証明. $x\in I$ を固定し、 $r>0$ に対して $V_r=I\cap(x-r,x+r)$ とおく。 $x\in V_r$ であるから、 $V_r$ は空でない。 $0<s<r$ ならば $V_s\subseteq V_r$ であり、上限と下限の性質から

0\leq\operatorname{osc}(f;V_s)\leq\operatorname{osc}(f;V_r)\leq\operatorname{osc}(f;I)<\infty

である。 $c=\inf_{r>0}\operatorname{osc}(f;V_r)$ とおく。任意の $\eta>0$ に対して、 $\operatorname{osc}(f;V_{r_0})<c+\eta$ となる $r_0>0$ が存在する。 $0<r<r_0$ ならば

c\leq\operatorname{osc}(f;V_r)\leq\operatorname{osc}(f;V_{r_0})<c+\eta

であるから、 $r\downarrow0$ のときの極限は $c$ に等しい。▨

命題 1.3. $a<b$ 、 $I=[a,b]$ とし、 $f\colon I\to\R$ を有界関数とする。このとき、次の性質が成り立つ。

任意の $x\in I$ に対して、 $\omega_f(x)=0$ であることは、 $f$ が $x$ で $I$ に相対的に連続であるための必要十分条件である。
任意の $\varepsilon>0$ に対して、集合 $\{x\in I\mid\omega_f(x)\geq\varepsilon\}$ は $I$ の相対閉集合である。

証明.主張 (1)を示す。 $x\in I$ とし、 $f$ が $x$ で $I$ に相対的に連続であると仮定する。任意の $\eta>0$ に対して、ある $r>0$ が存在し、すべての $y\in I\cap(x-r,x+r)$ について

f(x)-\frac{\eta}{2}<f(y)<f(x)+\frac{\eta}{2}

が成り立つ。したがって、

0\leq\omega_f(x)\leq\operatorname{osc}\bigl(f;I\cap(x-r,x+r)\bigr)\leq\eta

である。 $\eta>0$ は任意であるから、 $\omega_f(x)=0$ である。

逆に、 $\omega_f(x)=0$ と仮定し、任意の $\eta>0$ をとる。下限の定義から、 $\operatorname{osc}\bigl(f;I\cap(x-r,x+r)\bigr)<\eta$ となる $r>0$ が存在する。 $y\in I$ かつ $|y-x|<r$ ならば、 $x$ と $y$ はともに $I\cap(x-r,x+r)$ に属するので、

|f(y)-f(x)|\leq\operatorname{osc}\bigl(f;I\cap(x-r,x+r)\bigr)<\eta

である。したがって、 $f$ は $x$ で $I$ に相対的に連続である。

主張 (2)を示す。 $\varepsilon>0$ を固定し、 $F=\{x\in I\mid\omega_f(x)\geq\varepsilon\}$ とおく。 $x\in I\setminus F$ に対して、 $\omega_f(x)<\varepsilon$ であるから、ある $r>0$ が存在して

\operatorname{osc}\bigl(f;I\cap(x-r,x+r)\bigr)<\varepsilon

を満たす。 $y\in I\cap(x-r/2,x+r/2)$ ならば、

I\cap(y-r/2,y+r/2)\subseteq I\cap(x-r,x+r)

である。上限と下限の性質から、

\omega_f(y) \leq\operatorname{osc}\bigl(f;I\cap(y-r/2,y+r/2)\bigr) \leq\operatorname{osc}\bigl(f;I\cap(x-r,x+r)\bigr) <\varepsilon

となるので、 $I\cap(x-r/2,x+r/2)\subseteq I\setminus F$ である。したがって、 $I\setminus F$ は $I$ の相対開集合であり、 $F$ は $I$ の相対閉集合である。▨

2 連続関数は可積分

有界閉区間上の連続関数がリーマン可積分であることは、前項の§D1.17 定理 2.5で証明しています。

3 単調関数も可積分

定理 3.1. $a<b$ とする。 $[a,b]$ 上の単調増加関数または単調減少関数 $f$ は、リーマン可積分である。

証明. 単調性により、 $f$ の値は端点の値 $f(a)$ と $f(b)$ の間にあるので、 $f$ は有界である。任意の $\varepsilon>0$ をとる。§D1.4 系 2.2により、

\frac{(b-a)|f(b)-f(a)|}{n}<\varepsilon

となる正の整数 $n$ をとることができる。 $[a,b]$ を $n$ 等分する分割を $P:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$ とし、 $\Delta=(b-a)/n$ とおく。

$f$ が単調増加する場合、各小区間 $[x_{i-1},x_i]$ において $M_i=f(x_i)$ 、 $m_i=f(x_{i-1})$ である。したがって、望遠鏡和により

U(f,P)-L(f,P) =\Delta\sum_{i=1}^n\bigl(f(x_i)-f(x_{i-1})\bigr) =\Delta\bigl(f(b)-f(a)\bigr) =\frac{(b-a)|f(b)-f(a)|}{n}<\varepsilon

となる。

$f$ が単調減少する場合には、各小区間における端点の役割が反対になり、 $M_i=f(x_{i-1})$ 、 $m_i=f(x_i)$ である。この場合も

U(f,P)-L(f,P) =\Delta\sum_{i=1}^n\bigl(f(x_{i-1})-f(x_i)\bigr) =\Delta\bigl(f(a)-f(b)\bigr) =\frac{(b-a)|f(b)-f(a)|}{n}<\varepsilon

となる。いずれの場合も§D1.17 定理 2.4の条件を満たすので、 $f$ はリーマン可積分である。▨

注意 3.2. 単調関数は連続であるとは限らない。たとえば、 $[-1,1]$ 上で $g(x)=0$ （ $x<0$ ）、 $g(x)=1$ （ $x\geq 0$ ）と定めると、 $g$ は単調増加するが $0$ で不連続である。

4 ディリクレ関数の可積分性

例 4.1. ディリクレ関数 $D:[0,1]\to\R$ を

D(x)= \begin{cases} 1 & (x\in\Q),\\ 0 & (x\notin\Q) \end{cases}

によって定める。この関数は $[0,1]$ でリーマン可積分ではない。

証明. 任意の分割 $P:0=x_0<x_1<\cdots<x_n=1$ をとる。各小区間 $[x_{i-1},x_i]$ は空でない開区間 $(x_{i-1},x_i)$ を含む。有理数の稠密性（§D1.4 系 2.2）と無理数の稠密性（§D1.4 補題 2.3）により、 $(x_{i-1},x_i)$ には有理数と無理数が少なくとも一つずつ存在する。したがって、各小区間における $D$ の上限は $M_i=1$ 、下限は $m_i=0$ である。よって

U(D,P)=\sum_{i=1}^n1\cdot(x_i-x_{i-1})=1, \qquad L(D,P)=\sum_{i=1}^n0\cdot(x_i-x_{i-1})=0

となる。この等式はすべての分割 $P$ について成り立つので、上積分は $1$ 、下積分は $0$ である。両者は一致しないため、§D1.17 定義 2.1により $D$ はリーマン可積分ではない。▨

§D1.18可積分条件

1 振幅と点における振動

2 連続関数は可積分

3 単調関数も可積分

4 ディリクレ関数の可積分性

参考文献

前提記事