§D1.2一意存在の扱い

最終更新

一意存在∃!\exists!とは、「条件を満たすものがちょうど1つ存在する」という主張です。存在と一意性の2つを合わせたもので、大学数学のいたるところ（解の一意性、標準形の一意性、極限の一意性）で現れます。

1 定義：存在 ＋ 一意性

定義 1.1 (一意存在). 一意存在 (unique existence) を表す∃! x P(x)\exists!\, x\, P(x)とは、次の2つの主張の連言をいう。

∃x P(x)⏟存在∧∀x ∀y (P(x)∧P(y)⇒x=y)⏟一意性\underbrace{\exists x\, P(x)}_{\text{存在}} \quad \land \quad \underbrace{\forall x\,\forall y\,\bigl(P(x) \land P(y) \Rightarrow x = y\bigr)}_{\text{一意性}}

したがって、一意存在を示すには、「1つ存在する（構成するか、存在定理を使う）」と「2つあれば一致する（P(x),P(y)P(x), P(y)を仮定してx=yx = yを導く）」の2つの主張を別々に証明します。量化子で書けば、一意性は「PPを満たすどの2つも等しい」という全称命題です。

注意 1.2. 一意性だけでは存在を含意しない。たとえば「x2=−1x^2 = -1を満たす実数」は、一意性のパート（2つあれば等しい）が空虚に真（満たすものが1つもないので前提が常に偽）であるが、存在は偽である。「あるとしても1つ」と「ちょうど1つ」は別の主張——存在の証明を一意性の議論で代用することはできない。

2 証明の型

  • 存在：条件を満たすxxを具体的に構成するか、存在定理（中間値の定理、不動点定理など）を使います。
  • 一意性：P(x)P(x)とP(y)P(y)を仮定し、その仮定からx=yx = yを導きます。一意性の証明の多くは、「差が00」「両者を比較して矛盾」など、定義展開（論理/発展）で進みます。

∃!\exists!を含む主張の証明では、存在と一意性を別々に示します。一方だけを示しても、証明は完了しません。存在と一意性を別々に示す証明の実例を1つ、完全に書きます。

定理 2.1. 任意の関数f:R→Rf : \R \to \Rは、偶関数ggと奇関数hhの和f=g+hf = g + hとしてただ一通りに表せる。

証明. 関数g,h:R→Rg,h:\R\to\Rを

g(x)=f(x)+f(−x)2,h(x)=f(x)−f(−x)2g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}, \qquad h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}

で定める。直接計算によりg(−x)=g(x)g(-x) = g(x)、h(−x)=−h(x)h(-x) = -h(x)、g+h=fg + h = fが成り立つので、偶関数と奇関数による分解が存在する。

f=g1+h1=g2+h2f = g_1 + h_1 = g_2 + h_2を満たす偶関数g1,g2g_1,g_2と奇関数h1,h2h_1,h_2をとる。等式を移項するとg1−g2=h2−h1g_1 - g_2 = h_2 - h_1となる。左辺は偶関数であり、右辺は奇関数である。両辺が表す関数をuuとおくと、uuは偶かつ奇である。するとu(x)=u(−x)=−u(x)u(x) = u(-x) = -u(x)よりu(x)=0u(x) = 0（すべてのxx）。ゆえにg1=g2g_1 = g_2,h1=h2h_1 = h_2。▨

上の定理の証明では、存在を示す部分で候補g,hg,hを書き下して構成しました。一意性を示す部分では、2つの分解を取って比較し、その差が00になることを示しました。定義 1.1の存在と一意性の2つの主張が、そのまま証明の2つの段階に対応しています。この単元で扱う極限の一意性や、ジョルダン標準形の一意性（線形代数）の証明も、規模は異なりますが、同じ形をとります。

例 2.2.

  1. 空でなく上に有界な集合S⊆RS\subseteq\Rに対して、実数の完備性から最小上界を得ることは存在の責任である。一方、上限の定義を満たす任意の二つの対象が一致することを示すのは一意性の責任である。
  2. ある具体的な数列(an)(a_n)と候補LLに対して、ε\varepsilon-NN条件を検証することはLLが極限であることを示す責任である。一方、同じ数列の任意の二つの極限候補が一致することを示すのは一意性の責任である。
  3. 写像f:X→Yf:X\to Yに対して、全射性により各y∈Yy\in Yについてf(x)=yf(x)=yを満たすx∈Xx\in Xの存在が与えられ、単射性によりそのxxの一意性が与えられる。逆写像の連続性は、存在と一意性とは異なる後の責任である。

3 例題

レベル3 — 一意存在（∃!）

次の主張について、(1)∃\exists! を∃\existsと∀\forallだけを使った形に展開し、(2) その否定を書き、(3) 一意性をどう示すかを述べよ。

解法の型∃\exists! x P(x)≡\equiv∃x\exists x(P(x)∧\land∀y\forall y(P(y)⇒\Rightarrowy==x))。存在は構成する、一意性は「2つあれば等しい」を示す。否定は「1つも存在しない、または相異なる2つが存在する」

次の一意存在の主張を∃\existsと∀\forallだけの形に展開し、その否定を書き、一意性の示し方を述べよ。

例 3.1.

空でなく上に有界な実数の集合 S の上限はただ1つ存在する\text{空でなく上に有界な実数の集合 } S \ \text{の上限はただ1つ存在する}

答

展開∃x ((∀x∈S (x≤x) ∧ ∀b (∀x∈S (x≤b)⇒x≤b)) ∧ ∀y ((∀x∈S (x≤y) ∧ ∀b (∀x∈S (x≤b)⇒y≤b))⇒y=x))否定∀x ¬(∀x∈S (x≤x) ∧ ∀b (∀x∈S (x≤b)⇒x≤b))∨∃x ∃y ((∀x∈S (x≤x) ∧ ∀b (∀x∈S (x≤b)⇒x≤b)) ∧ (∀x∈S (x≤y) ∧ ∀b (∀x∈S (x≤b)⇒y≤b)) ∧ x≠y)一意性の示し方M,M′ がともに最小の上界なら、M は上界で M′ が最小だから M′≤M 、同様に M≤M′ 。よって M=M′ 。\begin{array}{ll} \text{展開} & \exists x \ \Bigl( \bigl(\forall x \in S \ (x \le x) \ \land \ \forall b \ (\forall x \in S \ (x \le b) \Rightarrow x \le b)\bigr) \ \land \ \forall y \ \bigl( \bigl(\forall x \in S \ (x \le y) \ \land \ \forall b \ (\forall x \in S \ (x \le b) \Rightarrow y \le b)\bigr) \Rightarrow y = x \bigr) \Bigr) \\ \text{否定} & \forall x \ \lnot \bigl(\forall x \in S \ (x \le x) \ \land \ \forall b \ (\forall x \in S \ (x \le b) \Rightarrow x \le b)\bigr) \quad \lor \quad \exists x \ \exists y \ \Bigl( \bigl(\forall x \in S \ (x \le x) \ \land \ \forall b \ (\forall x \in S \ (x \le b) \Rightarrow x \le b)\bigr) \ \land \ \bigl(\forall x \in S \ (x \le y) \ \land \ \forall b \ (\forall x \in S \ (x \le b) \Rightarrow y \le b)\bigr) \ \land \ x \ne y \Bigr) \\ \text{一意性の示し方} & M, M' \ \text{がともに最小の上界なら、} M \ \text{は上界で } M' \ \text{が最小だから } M' \le M \ \text{、同様に } M \le M' \ \text{。よって } M = M' \ \text{。} \end{array}

注意 存在は実数の連続性公理（上限の存在）が保証する非構成的な部分。一意性は「互いに≤\leを示して等号」という順序集合での定番の議論。存在は公理や定理から、一意性は比較から、と役割が分かれている。 展開は∃\exists! x P(x)≡∃x\equiv \exists x(P(x)∧∀y\land \forall y(P(y)⇒\Rightarrowy==x))。否定は「P を満たすものが1つもない」または「P を満たす相異なる2つがある」の選言になる（存在が壊れる型と一意性が壊れる型の2通り）。存在と一意性は必ず別々に示すこと。

例 3.2.

各実数 c に対し、x3=c を満たす実数はただ1つ存在する\text{各実数 } c \ \text{に対し、} x^3 = c \ \text{を満たす実数はただ1つ存在する}

答

展開∃x ((x3=c) ∧ ∀y ((y3=c)⇒y=x))否定∀x ¬(x3=c)∨∃x ∃y ((x3=c) ∧ (y3=c) ∧ x≠y)一意性の示し方x<y ならば x3<y3 （狭義単調増加）なので、x≠y なら x3≠y3 。\begin{array}{ll} \text{展開} & \exists x \ \Bigl( (x^3 = c) \ \land \ \forall y \ \bigl( (y^3 = c) \Rightarrow y = x \bigr) \Bigr) \\ \text{否定} & \forall x \ \lnot (x^3 = c) \quad \lor \quad \exists x \ \exists y \ \Bigl( (x^3 = c) \ \land \ (y^3 = c) \ \land \ x \ne y \Bigr) \\ \text{一意性の示し方} & x < y \ \text{ならば } x^3 < y^3 \ \text{（狭義単調増加）なので、} x \ne y \ \text{なら } x^3 \ne y^3 \ \text{。} \end{array}

注意 存在は中間値の定理（x³ は連続で、正負両方の値を取る）。一意性は狭義単調性。「存在は解析、一意性は単調性」という分業がはっきり見える例。 展開は∃\exists! x P(x)≡∃x\equiv \exists x(P(x)∧∀y\land \forall y(P(y)⇒\Rightarrowy==x))。否定は「P を満たすものが1つもない」または「P を満たす相異なる2つがある」の選言になる（存在が壊れる型と一意性が壊れる型の2通り）。存在と一意性は必ず別々に示すこと。

例 3.3.

群 G の元 g の逆元はただ1つ存在する\text{群 } G \ \text{の元 } g \ \text{の逆元はただ1つ存在する}

答

展開∃x ((gx=xg=e) ∧ ∀y ((gy=yg=e)⇒y=x))否定∀x ¬(gx=xg=e)∨∃x ∃y ((gx=xg=e) ∧ (gy=yg=e) ∧ x≠y)一意性の示し方h,h′ がともに g の逆元なら h=he=h(gh′)=(hg)h′=eh′=h′ 。\begin{array}{ll} \text{展開} & \exists x \ \Bigl( \bigl(g x = x g = e\bigr) \ \land \ \forall y \ \bigl( \bigl(g y = y g = e\bigr) \Rightarrow y = x \bigr) \Bigr) \\ \text{否定} & \forall x \ \lnot \bigl(g x = x g = e\bigr) \quad \lor \quad \exists x \ \exists y \ \Bigl( \bigl(g x = x g = e\bigr) \ \land \ \bigl(g y = y g = e\bigr) \ \land \ x \ne y \Bigr) \\ \text{一意性の示し方} & h, h' \ \text{がともに } g \ \text{の逆元なら } h = h e = h (g h') = (h g) h' = e h' = h' \ \text{。} \end{array}

注意 一意性の証明は結合法則を使って両側から挟むだけ。存在は群の公理、一意性は計算——2段構えがはっきり分かれる例。「あるとしても1つ」だけでは存在は言えないので、両方を必ず示す。 展開は∃\exists! x P(x)≡∃x\equiv \exists x(P(x)∧∀y\land \forall y(P(y)⇒\Rightarrowy==x))。否定は「P を満たすものが1つもない」または「P を満たす相異なる2つがある」の選言になる（存在が壊れる型と一意性が壊れる型の2通り）。存在と一意性は必ず別々に示すこと。

例 3.4.

任意の関数 f:R→R に対し、f=g+h (g 偶関数, h 奇関数) となる g はただ1つ存在する\text{任意の関数 } f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \ \text{に対し、} f = g + h \ (g \ \text{偶関数}, \ h \ \text{奇関数}) \ \text{となる } g \ \text{はただ1つ存在する}

答

展開∃x ((x は偶関数で f−x は奇関数) ∧ ∀y ((y は偶関数で f−y は奇関数)⇒y=x))否定∀x ¬(x は偶関数で f−x は奇関数)∨∃x ∃y ((x は偶関数で f−x は奇関数) ∧ (y は偶関数で f−y は奇関数) ∧ x≠y)一意性の示し方g1,g2 が条件を満たすなら u=g1−g2 は偶かつ奇。よって u(x)=u(−x)=−u(x) から u≡0 。\begin{array}{ll} \text{展開} & \exists x \ \Bigl( \bigl(x \ \text{は偶関数で } f - x \ \text{は奇関数}\bigr) \ \land \ \forall y \ \bigl( \bigl(y \ \text{は偶関数で } f - y \ \text{は奇関数}\bigr) \Rightarrow y = x \bigr) \Bigr) \\ \text{否定} & \forall x \ \lnot \bigl(x \ \text{は偶関数で } f - x \ \text{は奇関数}\bigr) \quad \lor \quad \exists x \ \exists y \ \Bigl( \bigl(x \ \text{は偶関数で } f - x \ \text{は奇関数}\bigr) \ \land \ \bigl(y \ \text{は偶関数で } f - y \ \text{は奇関数}\bigr) \ \land \ x \ne y \Bigr) \\ \text{一意性の示し方} & g_1, g_2 \ \text{が条件を満たすなら } u = g_1 - g_2 \ \text{は偶かつ奇。よって } u(x) = u(-x) = -u(x) \ \text{から } u \equiv 0 \ \text{。} \end{array}

注意 存在は g(x)==(f(x) + f(−x))/2 と具体的に構成する（h は f − g）。一意性は差を取って「偶かつ奇なら 0」に持ち込む。存在は構成、一意性は比較、の教科書的な見本。 展開は∃\exists! x P(x)≡∃x\equiv \exists x(P(x)∧∀y\land \forall y(P(y)⇒\Rightarrowy==x))。否定は「P を満たすものが1つもない」または「P を満たす相異なる2つがある」の選言になる（存在が壊れる型と一意性が壊れる型の2通り）。存在と一意性は必ず別々に示すこと。

例 3.5.

a≠0 のとき、方程式 ax=b の実数解はただ1つ存在するa \ne 0 \ \text{のとき、方程式 } ax = b \ \text{の実数解はただ1つ存在する}

答

展開∃x ((ax=b) ∧ ∀y ((ay=b)⇒y=x))否定∀x ¬(ax=b)∨∃x ∃y ((ax=b) ∧ (ay=b) ∧ x≠y)一意性の示し方ax1=ax2=b とすると a(x1−x2)=0 。a≠0 より x1=x2 。\begin{array}{ll} \text{展開} & \exists x \ \Bigl( (a x = b) \ \land \ \forall y \ \bigl( (a y = b) \Rightarrow y = x \bigr) \Bigr) \\ \text{否定} & \forall x \ \lnot (a x = b) \quad \lor \quad \exists x \ \exists y \ \Bigl( (a x = b) \ \land \ (a y = b) \ \land \ x \ne y \Bigr) \\ \text{一意性の示し方} & a x_1 = a x_2 = b \ \text{とすると } a(x_1 - x_2) = 0 \ \text{。} a \ne 0 \ \text{より } x_1 = x_2 \ \text{。} \end{array}

注意 存在は x==b/a を構成すれば終わり（a≠\ne0 が効く）。一意性は「2つあれば等しい」を差を取って示す。a==0 のときは、b≠\ne0 なら解なし、b==0 なら解が無限個——存在と一意性がそれぞれ壊れる様子も確認するとよい。 展開は∃\exists! x P(x)≡∃x\equiv \exists x(P(x)∧∀y\land \forall y(P(y)⇒\Rightarrowy==x))。否定は「P を満たすものが1つもない」または「P を満たす相異なる2つがある」の選言になる（存在が壊れる型と一意性が壊れる型の2通り）。存在と一意性は必ず別々に示すこと。

例 3.6.

gcd⁡(a,n)=1 のとき、合同式 ax≡b(modn) の解は 0≤x<n の範囲にただ1つ存在する\gcd(a, n) = 1 \ \text{のとき、合同式 } ax \equiv b \pmod{n} \ \text{の解は } 0 \le x < n \ \text{の範囲にただ1つ存在する}

答

展開∃x ((0≤x<n ∧ ax≡b(modn)) ∧ ∀y ((0≤y<n ∧ ay≡b(modn))⇒y=x))否定∀x ¬(0≤x<n ∧ ax≡b(modn))∨∃x ∃y ((0≤x<n ∧ ax≡b(modn)) ∧ (0≤y<n ∧ ay≡b(modn)) ∧ x≠y)一意性の示し方ax≡ay(modn) なら n∣a(x−y) 。gcd⁡(a,n)=1 より n∣(x−y) で、0≤x,y<n だから x=y 。\begin{array}{ll} \text{展開} & \exists x \ \Bigl( \bigl(0 \le x < n \ \land \ a x \equiv b \pmod{n}\bigr) \ \land \ \forall y \ \bigl( \bigl(0 \le y < n \ \land \ a y \equiv b \pmod{n}\bigr) \Rightarrow y = x \bigr) \Bigr) \\ \text{否定} & \forall x \ \lnot \bigl(0 \le x < n \ \land \ a x \equiv b \pmod{n}\bigr) \quad \lor \quad \exists x \ \exists y \ \Bigl( \bigl(0 \le x < n \ \land \ a x \equiv b \pmod{n}\bigr) \ \land \ \bigl(0 \le y < n \ \land \ a y \equiv b \pmod{n}\bigr) \ \land \ x \ne y \Bigr) \\ \text{一意性の示し方} & ax \equiv ay \pmod{n} \ \text{なら } n \mid a(x - y) \ \text{。} \gcd(a, n) = 1 \ \text{より } n \mid (x - y) \ \text{で、} 0 \le x, y < n \ \text{だから } x = y \ \text{。} \end{array}

注意 存在は a の逆元（拡張ユークリッドの互除法で構成できる）を掛ければよい。一意性は gcd(a, n)==1 が本質的に効く。gcd が 1 でないと、解が 0 個か複数個になり∃\exists! が崩れる。 展開は∃\exists! x P(x)≡∃x\equiv \exists x(P(x)∧∀y\land \forall y(P(y)⇒\Rightarrowy==x))。否定は「P を満たすものが1つもない」または「P を満たす相異なる2つがある」の選言になる（存在が壊れる型と一意性が壊れる型の2通り）。存在と一意性は必ず別々に示すこと。

例 3.7.

ベクトル空間 V の基底 v1,…,vn と w∈V に対し、w=x1v1+⋯+xnvn となる係数の組はただ1つ存在する\text{ベクトル空間 } V \ \text{の基底 } v_1, \ldots, v_n \ \text{と } w \in V \ \text{に対し、} w = x_1 v_1 + \cdots + x_n v_n \ \text{となる係数の組はただ1つ存在する}

答

展開∃x ((w=x1v1+⋯+xnvn) ∧ ∀y ((w=y1v1+⋯+ynvn)⇒y=x))否定∀x ¬(w=x1v1+⋯+xnvn)∨∃x ∃y ((w=x1v1+⋯+xnvn) ∧ (w=y1v1+⋯+ynvn) ∧ x≠y)一意性の示し方2 通りの表示の差を取ると (x1−y1)v1+⋯+(xn−yn)vn=0 。一次独立性より各係数が 0 、すなわち xi=yi 。\begin{array}{ll} \text{展開} & \exists x \ \Bigl( \bigl(w = x_1 v_1 + \cdots + x_n v_n\bigr) \ \land \ \forall y \ \bigl( \bigl(w = y_1 v_1 + \cdots + y_n v_n\bigr) \Rightarrow y = x \bigr) \Bigr) \\ \text{否定} & \forall x \ \lnot \bigl(w = x_1 v_1 + \cdots + x_n v_n\bigr) \quad \lor \quad \exists x \ \exists y \ \Bigl( \bigl(w = x_1 v_1 + \cdots + x_n v_n\bigr) \ \land \ \bigl(w = y_1 v_1 + \cdots + y_n v_n\bigr) \ \land \ x \ne y \Bigr) \\ \text{一意性の示し方} & 2 \ \text{通りの表示の差を取ると } (x_1 - y_1) v_1 + \cdots + (x_n - y_n) v_n = 0 \ \text{。一次独立性より各係数が } 0 \ \text{、すなわち } x_i = y_i \ \text{。} \end{array}

注意 存在は基底が V を生成すること、一意性は基底が一次独立であること——基底の2つの条件が、そのまま存在と一意性に対応している。座標が well-defined であることの根拠でもある。 展開は∃\exists! x P(x)≡∃x\equiv \exists x(P(x)∧∀y\land \forall y(P(y)⇒\Rightarrowy==x))。否定は「P を満たすものが1つもない」または「P を満たす相異なる2つがある」の選言になる（存在が壊れる型と一意性が壊れる型の2通り）。存在と一意性は必ず別々に示すこと。

例 3.8.

群 G の単位元はただ1つ存在する\text{群 } G \ \text{の単位元はただ1つ存在する}

答

展開∃x ((∀g∈G (xg=gx=g)) ∧ ∀y ((∀g∈G (yg=gy=g))⇒y=x))否定∀x ¬(∀g∈G (xg=gx=g))∨∃x ∃y ((∀g∈G (xg=gx=g)) ∧ (∀g∈G (yg=gy=g)) ∧ x≠y)一意性の示し方e,e′ がともに単位元なら e=ee′=e′ （左は e′ が単位元、右は e が単位元であることを使う）。\begin{array}{ll} \text{展開} & \exists x \ \Bigl( \bigl(\forall g \in G \ (x g = g x = g)\bigr) \ \land \ \forall y \ \bigl( \bigl(\forall g \in G \ (y g = g y = g)\bigr) \Rightarrow y = x \bigr) \Bigr) \\ \text{否定} & \forall x \ \lnot \bigl(\forall g \in G \ (x g = g x = g)\bigr) \quad \lor \quad \exists x \ \exists y \ \Bigl( \bigl(\forall g \in G \ (x g = g x = g)\bigr) \ \land \ \bigl(\forall g \in G \ (y g = g y = g)\bigr) \ \land \ x \ne y \Bigr) \\ \text{一意性の示し方} & e, e' \ \text{がともに単位元なら } e = e e' = e' \ \text{（左は } e' \ \text{が単位元、右は } e \ \text{が単位元であることを使う）。} \end{array}

注意 存在は群の公理が保証する。一意性は「単位元を2つ取って等しいことを示す」——e e' を2通りに読むだけで終わる、一意性証明の最短例。存在と一意性は別の議論であることを意識すること。∃\exists! の否定は「1つも存在しない、または相異なる2つが存在する」。 展開は∃\exists! x P(x)≡∃x\equiv \exists x(P(x)∧∀y\land \forall y(P(y)⇒\Rightarrowy==x))。否定は「P を満たすものが1つもない」または「P を満たす相異なる2つがある」の選言になる（存在が壊れる型と一意性が壊れる型の2通り）。存在と一意性は必ず別々に示すこと。

例 3.9.

収束する数列 (an) の極限はただ1つである\text{収束する数列 } (a_n) \ \text{の極限はただ1つである}

答

展開∃x ((∀ε>0 ∃N ∀n≥N (∣an−x∣<ε)) ∧ ∀y ((∀ε>0 ∃N ∀n≥N (∣an−y∣<ε))⇒y=x))否定∀x ¬(∀ε>0 ∃N ∀n≥N (∣an−x∣<ε))∨∃x ∃y ((∀ε>0 ∃N ∀n≥N (∣an−x∣<ε)) ∧ (∀ε>0 ∃N ∀n≥N (∣an−y∣<ε)) ∧ x≠y)一意性の示し方L≠L′ と仮定し ε=∣L−L′∣2>0 を取ると、十分大きい n で ∣L−L′∣≤∣L−an∣+∣an−L′∣<∣L−L′∣ となり矛盾。\begin{array}{ll} \text{展開} & \exists x \ \Bigl( \bigl(\forall \varepsilon > 0 \ \exists N \ \forall n \ge N \ (|a_n - x| < \varepsilon)\bigr) \ \land \ \forall y \ \bigl( \bigl(\forall \varepsilon > 0 \ \exists N \ \forall n \ge N \ (|a_n - y| < \varepsilon)\bigr) \Rightarrow y = x \bigr) \Bigr) \\ \text{否定} & \forall x \ \lnot \bigl(\forall \varepsilon > 0 \ \exists N \ \forall n \ge N \ (|a_n - x| < \varepsilon)\bigr) \quad \lor \quad \exists x \ \exists y \ \Bigl( \bigl(\forall \varepsilon > 0 \ \exists N \ \forall n \ge N \ (|a_n - x| < \varepsilon)\bigr) \ \land \ \bigl(\forall \varepsilon > 0 \ \exists N \ \forall n \ge N \ (|a_n - y| < \varepsilon)\bigr) \ \land \ x \ne y \Bigr) \\ \text{一意性の示し方} & L \ne L' \ \text{と仮定し } \varepsilon = \dfrac{|L - L'|}{2} > 0 \ \text{を取ると、十分大きい } n \ \text{で } |L - L'| \le |L - a_n| + |a_n - L'| < |L - L'| \ \text{となり矛盾。} \end{array}

注意 存在は「収束する」という仮定が与えている。一意性は2つの極限を取って三角不等式で潰す。極限の一意性はこの2段構えの典型で、ジョルダン標準形の一意性なども骨格は同じ。 展開は∃\exists! x P(x)≡∃x\equiv \exists x(P(x)∧∀y\land \forall y(P(y)⇒\Rightarrowy==x))。否定は「P を満たすものが1つもない」または「P を満たす相異なる2つがある」の選言になる（存在が壊れる型と一意性が壊れる型の2通り）。存在と一意性は必ず別々に示すこと。

例 3.10.

連続かつ狭義単調増加な f が f(0)<0<f(1) を満たすとき、f(x)=0 の解は [0,1] にただ1つ存在する\text{連続かつ狭義単調増加な } f \ \text{が } f(0) < 0 < f(1) \ \text{を満たすとき、} f(x) = 0 \ \text{の解は } [0, 1] \ \text{にただ1つ存在する}

答

展開∃x ((0≤x≤1 ∧ f(x)=0) ∧ ∀y ((0≤y≤1 ∧ f(y)=0)⇒y=x))否定∀x ¬(0≤x≤1 ∧ f(x)=0)∨∃x ∃y ((0≤x≤1 ∧ f(x)=0) ∧ (0≤y≤1 ∧ f(y)=0) ∧ x≠y)一意性の示し方x<y なら f(x)<f(y) なので、f(x)=f(y)=0 となる x≠y は存在しない。\begin{array}{ll} \text{展開} & \exists x \ \Bigl( \bigl(0 \le x \le 1 \ \land \ f(x) = 0\bigr) \ \land \ \forall y \ \bigl( \bigl(0 \le y \le 1 \ \land \ f(y) = 0\bigr) \Rightarrow y = x \bigr) \Bigr) \\ \text{否定} & \forall x \ \lnot \bigl(0 \le x \le 1 \ \land \ f(x) = 0\bigr) \quad \lor \quad \exists x \ \exists y \ \Bigl( \bigl(0 \le x \le 1 \ \land \ f(x) = 0\bigr) \ \land \ \bigl(0 \le y \le 1 \ \land \ f(y) = 0\bigr) \ \land \ x \ne y \Bigr) \\ \text{一意性の示し方} & x < y \ \text{なら } f(x) < f(y) \ \text{なので、} f(x) = f(y) = 0 \ \text{となる } x \ne y \ \text{は存在しない。} \end{array}

注意 存在は中間値の定理（連続性が効く）。一意性は狭義単調性（単調性が効く）。仮定のどれがどちらのパートで使われているかを追うのが、一意存在の証明を読むコツ。 展開は∃\exists! x P(x)≡∃x\equiv \exists x(P(x)∧∀y\land \forall y(P(y)⇒\Rightarrowy==x))。否定は「P を満たすものが1つもない」または「P を満たす相異なる2つがある」の選言になる（存在が壊れる型と一意性が壊れる型の2通り）。存在と一意性は必ず別々に示すこと。

4 演習

レベル3 — 一意存在（∃!）

次の主張について、(1)∃\exists! を∃\existsと∀\forallだけを使った形に展開し、(2) その否定を書き、(3) 一意性をどう示すかを述べよ。

解法の型∃\exists! x P(x)≡\equiv∃x\exists x(P(x)∧\land∀y\forall y(P(y)⇒\Rightarrowy==x))。存在は構成する、一意性は「2つあれば等しい」を示す。否定は「1つも存在しない、または相異なる2つが存在する」

次の一意存在の主張を∃\existsと∀\forallだけの形に展開し、その否定を書き、一意性の示し方を述べよ。

問題 4.1.

gcd⁡(a,n)=1 のとき、合同式 ax≡b(modn) の解は 0≤x<n の範囲にただ1つ存在する\gcd(a, n) = 1 \ \text{のとき、合同式 } ax \equiv b \pmod{n} \ \text{の解は } 0 \le x < n \ \text{の範囲にただ1つ存在する}
解答.

答

展開∃x ((0≤x<n ∧ ax≡b(modn)) ∧ ∀y ((0≤y<n ∧ ay≡b(modn))⇒y=x))否定∀x ¬(0≤x<n ∧ ax≡b(modn))∨∃x ∃y ((0≤x<n ∧ ax≡b(modn)) ∧ (0≤y<n ∧ ay≡b(modn)) ∧ x≠y)一意性の示し方ax≡ay(modn) なら n∣a(x−y) 。gcd⁡(a,n)=1 より n∣(x−y) で、0≤x,y<n だから x=y 。\begin{array}{ll} \text{展開} & \exists x \ \Bigl( \bigl(0 \le x < n \ \land \ a x \equiv b \pmod{n}\bigr) \ \land \ \forall y \ \bigl( \bigl(0 \le y < n \ \land \ a y \equiv b \pmod{n}\bigr) \Rightarrow y = x \bigr) \Bigr) \\ \text{否定} & \forall x \ \lnot \bigl(0 \le x < n \ \land \ a x \equiv b \pmod{n}\bigr) \quad \lor \quad \exists x \ \exists y \ \Bigl( \bigl(0 \le x < n \ \land \ a x \equiv b \pmod{n}\bigr) \ \land \ \bigl(0 \le y < n \ \land \ a y \equiv b \pmod{n}\bigr) \ \land \ x \ne y \Bigr) \\ \text{一意性の示し方} & ax \equiv ay \pmod{n} \ \text{なら } n \mid a(x - y) \ \text{。} \gcd(a, n) = 1 \ \text{より } n \mid (x - y) \ \text{で、} 0 \le x, y < n \ \text{だから } x = y \ \text{。} \end{array}

注意 存在は a の逆元（拡張ユークリッドの互除法で構成できる）を掛ければよい。一意性は gcd(a, n)==1 が本質的に効く。gcd が 1 でないと、解が 0 個か複数個になり∃\exists! が崩れる。 展開は∃\exists! x P(x)≡∃x\equiv \exists x(P(x)∧∀y\land \forall y(P(y)⇒\Rightarrowy==x))。否定は「P を満たすものが1つもない」または「P を満たす相異なる2つがある」の選言になる（存在が壊れる型と一意性が壊れる型の2通り）。存在と一意性は必ず別々に示すこと。▨

問題 4.2.

a≠0 のとき、方程式 ax=b の実数解はただ1つ存在するa \ne 0 \ \text{のとき、方程式 } ax = b \ \text{の実数解はただ1つ存在する}
解答.

答

展開∃x ((ax=b) ∧ ∀y ((ay=b)⇒y=x))否定∀x ¬(ax=b)∨∃x ∃y ((ax=b) ∧ (ay=b) ∧ x≠y)一意性の示し方ax1=ax2=b とすると a(x1−x2)=0 。a≠0 より x1=x2 。\begin{array}{ll} \text{展開} & \exists x \ \Bigl( (a x = b) \ \land \ \forall y \ \bigl( (a y = b) \Rightarrow y = x \bigr) \Bigr) \\ \text{否定} & \forall x \ \lnot (a x = b) \quad \lor \quad \exists x \ \exists y \ \Bigl( (a x = b) \ \land \ (a y = b) \ \land \ x \ne y \Bigr) \\ \text{一意性の示し方} & a x_1 = a x_2 = b \ \text{とすると } a(x_1 - x_2) = 0 \ \text{。} a \ne 0 \ \text{より } x_1 = x_2 \ \text{。} \end{array}

注意 存在は x==b/a を構成すれば終わり（a≠\ne0 が効く）。一意性は「2つあれば等しい」を差を取って示す。a==0 のときは、b≠\ne0 なら解なし、b==0 なら解が無限個——存在と一意性がそれぞれ壊れる様子も確認するとよい。 展開は∃\exists! x P(x)≡∃x\equiv \exists x(P(x)∧∀y\land \forall y(P(y)⇒\Rightarrowy==x))。否定は「P を満たすものが1つもない」または「P を満たす相異なる2つがある」の選言になる（存在が壊れる型と一意性が壊れる型の2通り）。存在と一意性は必ず別々に示すこと。▨

問題 4.3.

群 G の単位元はただ1つ存在する\text{群 } G \ \text{の単位元はただ1つ存在する}
解答.

答

展開∃x ((∀g∈G (xg=gx=g)) ∧ ∀y ((∀g∈G (yg=gy=g))⇒y=x))否定∀x ¬(∀g∈G (xg=gx=g))∨∃x ∃y ((∀g∈G (xg=gx=g)) ∧ (∀g∈G (yg=gy=g)) ∧ x≠y)一意性の示し方e,e′ がともに単位元なら e=ee′=e′ （左は e′ が単位元、右は e が単位元であることを使う）。\begin{array}{ll} \text{展開} & \exists x \ \Bigl( \bigl(\forall g \in G \ (x g = g x = g)\bigr) \ \land \ \forall y \ \bigl( \bigl(\forall g \in G \ (y g = g y = g)\bigr) \Rightarrow y = x \bigr) \Bigr) \\ \text{否定} & \forall x \ \lnot \bigl(\forall g \in G \ (x g = g x = g)\bigr) \quad \lor \quad \exists x \ \exists y \ \Bigl( \bigl(\forall g \in G \ (x g = g x = g)\bigr) \ \land \ \bigl(\forall g \in G \ (y g = g y = g)\bigr) \ \land \ x \ne y \Bigr) \\ \text{一意性の示し方} & e, e' \ \text{がともに単位元なら } e = e e' = e' \ \text{（左は } e' \ \text{が単位元、右は } e \ \text{が単位元であることを使う）。} \end{array}

注意 存在は群の公理が保証する。一意性は「単位元を2つ取って等しいことを示す」——e e' を2通りに読むだけで終わる、一意性証明の最短例。存在と一意性は別の議論であることを意識すること。∃\exists! の否定は「1つも存在しない、または相異なる2つが存在する」。 展開は∃\exists! x P(x)≡∃x\equiv \exists x(P(x)∧∀y\land \forall y(P(y)⇒\Rightarrowy==x))。否定は「P を満たすものが1つもない」または「P を満たす相異なる2つがある」の選言になる（存在が壊れる型と一意性が壊れる型の2通り）。存在と一意性は必ず別々に示すこと。▨

問題 4.4.

各実数 c に対し、x3=c を満たす実数はただ1つ存在する\text{各実数 } c \ \text{に対し、} x^3 = c \ \text{を満たす実数はただ1つ存在する}
解答.

答

展開∃x ((x3=c) ∧ ∀y ((y3=c)⇒y=x))否定∀x ¬(x3=c)∨∃x ∃y ((x3=c) ∧ (y3=c) ∧ x≠y)一意性の示し方x<y ならば x3<y3 （狭義単調増加）なので、x≠y なら x3≠y3 。\begin{array}{ll} \text{展開} & \exists x \ \Bigl( (x^3 = c) \ \land \ \forall y \ \bigl( (y^3 = c) \Rightarrow y = x \bigr) \Bigr) \\ \text{否定} & \forall x \ \lnot (x^3 = c) \quad \lor \quad \exists x \ \exists y \ \Bigl( (x^3 = c) \ \land \ (y^3 = c) \ \land \ x \ne y \Bigr) \\ \text{一意性の示し方} & x < y \ \text{ならば } x^3 < y^3 \ \text{（狭義単調増加）なので、} x \ne y \ \text{なら } x^3 \ne y^3 \ \text{。} \end{array}

注意 存在は中間値の定理（x³ は連続で、正負両方の値を取る）。一意性は狭義単調性。「存在は解析、一意性は単調性」という分業がはっきり見える例。 展開は∃\exists! x P(x)≡∃x\equiv \exists x(P(x)∧∀y\land \forall y(P(y)⇒\Rightarrowy==x))。否定は「P を満たすものが1つもない」または「P を満たす相異なる2つがある」の選言になる（存在が壊れる型と一意性が壊れる型の2通り）。存在と一意性は必ず別々に示すこと。▨

問題 4.5.

空でなく上に有界な実数の集合 S の上限はただ1つ存在する\text{空でなく上に有界な実数の集合 } S \ \text{の上限はただ1つ存在する}
解答.

答

展開∃x ((∀x∈S (x≤x) ∧ ∀b (∀x∈S (x≤b)⇒x≤b)) ∧ ∀y ((∀x∈S (x≤y) ∧ ∀b (∀x∈S (x≤b)⇒y≤b))⇒y=x))否定∀x ¬(∀x∈S (x≤x) ∧ ∀b (∀x∈S (x≤b)⇒x≤b))∨∃x ∃y ((∀x∈S (x≤x) ∧ ∀b (∀x∈S (x≤b)⇒x≤b)) ∧ (∀x∈S (x≤y) ∧ ∀b (∀x∈S (x≤b)⇒y≤b)) ∧ x≠y)一意性の示し方M,M′ がともに最小の上界なら、M は上界で M′ が最小だから M′≤M 、同様に M≤M′ 。よって M=M′ 。\begin{array}{ll} \text{展開} & \exists x \ \Bigl( \bigl(\forall x \in S \ (x \le x) \ \land \ \forall b \ (\forall x \in S \ (x \le b) \Rightarrow x \le b)\bigr) \ \land \ \forall y \ \bigl( \bigl(\forall x \in S \ (x \le y) \ \land \ \forall b \ (\forall x \in S \ (x \le b) \Rightarrow y \le b)\bigr) \Rightarrow y = x \bigr) \Bigr) \\ \text{否定} & \forall x \ \lnot \bigl(\forall x \in S \ (x \le x) \ \land \ \forall b \ (\forall x \in S \ (x \le b) \Rightarrow x \le b)\bigr) \quad \lor \quad \exists x \ \exists y \ \Bigl( \bigl(\forall x \in S \ (x \le x) \ \land \ \forall b \ (\forall x \in S \ (x \le b) \Rightarrow x \le b)\bigr) \ \land \ \bigl(\forall x \in S \ (x \le y) \ \land \ \forall b \ (\forall x \in S \ (x \le b) \Rightarrow y \le b)\bigr) \ \land \ x \ne y \Bigr) \\ \text{一意性の示し方} & M, M' \ \text{がともに最小の上界なら、} M \ \text{は上界で } M' \ \text{が最小だから } M' \le M \ \text{、同様に } M \le M' \ \text{。よって } M = M' \ \text{。} \end{array}

注意 存在は実数の連続性公理（上限の存在）が保証する非構成的な部分。一意性は「互いに≤\leを示して等号」という順序集合での定番の議論。存在は公理や定理から、一意性は比較から、と役割が分かれている。 展開は∃\exists! x P(x)≡∃x\equiv \exists x(P(x)∧∀y\land \forall y(P(y)⇒\Rightarrowy==x))。否定は「P を満たすものが1つもない」または「P を満たす相異なる2つがある」の選言になる（存在が壊れる型と一意性が壊れる型の2通り）。存在と一意性は必ず別々に示すこと。▨

問題 4.6.

A が正則行列のとき、方程式 Ax=b の解はただ1つ存在するA \ \text{が正則行列のとき、方程式 } A\mathbf{x} = \mathbf{b} \ \text{の解はただ1つ存在する}
解答.

答

展開∃x ((Ax=b) ∧ ∀y ((Ay=b)⇒y=x))否定∀x ¬(Ax=b)∨∃x ∃y ((Ax=b) ∧ (Ay=b) ∧ x≠y)一意性の示し方Ax=Ay=b なら A(x−y)=0 。A が正則なので x−y=0 。\begin{array}{ll} \text{展開} & \exists x \ \Bigl( (A \mathbf{x} = \mathbf{b}) \ \land \ \forall y \ \bigl( (A \mathbf{y} = \mathbf{b}) \Rightarrow y = x \bigr) \Bigr) \\ \text{否定} & \forall x \ \lnot (A \mathbf{x} = \mathbf{b}) \quad \lor \quad \exists x \ \exists y \ \Bigl( (A \mathbf{x} = \mathbf{b}) \ \land \ (A \mathbf{y} = \mathbf{b}) \ \land \ x \ne y \Bigr) \\ \text{一意性の示し方} & A\mathbf{x} = A\mathbf{y} = \mathbf{b} \ \text{なら } A(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = \mathbf{0} \ \text{。} A \ \text{が正則なので } \mathbf{x} - \mathbf{y} = \mathbf{0} \ \text{。} \end{array}

注意 存在は x=A−= A^{-}¹b を構成。一意性は「核が 0 のみ」という正則性の言い換えから従う。正則でないときは、解なし（存在が壊れる）か解が無限個（一意性が壊れる）のどちらかになる。 展開は∃\exists! x P(x)≡∃x\equiv \exists x(P(x)∧∀y\land \forall y(P(y)⇒\Rightarrowy==x))。否定は「P を満たすものが1つもない」または「P を満たす相異なる2つがある」の選言になる（存在が壊れる型と一意性が壊れる型の2通り）。存在と一意性は必ず別々に示すこと。▨

問題 4.7.

連続かつ狭義単調増加な f が f(0)<0<f(1) を満たすとき、f(x)=0 の解は [0,1] にただ1つ存在する\text{連続かつ狭義単調増加な } f \ \text{が } f(0) < 0 < f(1) \ \text{を満たすとき、} f(x) = 0 \ \text{の解は } [0, 1] \ \text{にただ1つ存在する}
解答.

答

展開∃x ((0≤x≤1 ∧ f(x)=0) ∧ ∀y ((0≤y≤1 ∧ f(y)=0)⇒y=x))否定∀x ¬(0≤x≤1 ∧ f(x)=0)∨∃x ∃y ((0≤x≤1 ∧ f(x)=0) ∧ (0≤y≤1 ∧ f(y)=0) ∧ x≠y)一意性の示し方x<y なら f(x)<f(y) なので、f(x)=f(y)=0 となる x≠y は存在しない。\begin{array}{ll} \text{展開} & \exists x \ \Bigl( \bigl(0 \le x \le 1 \ \land \ f(x) = 0\bigr) \ \land \ \forall y \ \bigl( \bigl(0 \le y \le 1 \ \land \ f(y) = 0\bigr) \Rightarrow y = x \bigr) \Bigr) \\ \text{否定} & \forall x \ \lnot \bigl(0 \le x \le 1 \ \land \ f(x) = 0\bigr) \quad \lor \quad \exists x \ \exists y \ \Bigl( \bigl(0 \le x \le 1 \ \land \ f(x) = 0\bigr) \ \land \ \bigl(0 \le y \le 1 \ \land \ f(y) = 0\bigr) \ \land \ x \ne y \Bigr) \\ \text{一意性の示し方} & x < y \ \text{なら } f(x) < f(y) \ \text{なので、} f(x) = f(y) = 0 \ \text{となる } x \ne y \ \text{は存在しない。} \end{array}

注意 存在は中間値の定理（連続性が効く）。一意性は狭義単調性（単調性が効く）。仮定のどれがどちらのパートで使われているかを追うのが、一意存在の証明を読むコツ。 展開は∃\exists! x P(x)≡∃x\equiv \exists x(P(x)∧∀y\land \forall y(P(y)⇒\Rightarrowy==x))。否定は「P を満たすものが1つもない」または「P を満たす相異なる2つがある」の選言になる（存在が壊れる型と一意性が壊れる型の2通り）。存在と一意性は必ず別々に示すこと。▨

問題 4.8.

任意の関数 f:R→R に対し、f=g+h (g 偶関数, h 奇関数) となる g はただ1つ存在する\text{任意の関数 } f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \ \text{に対し、} f = g + h \ (g \ \text{偶関数}, \ h \ \text{奇関数}) \ \text{となる } g \ \text{はただ1つ存在する}
解答.

答

展開∃x ((x は偶関数で f−x は奇関数) ∧ ∀y ((y は偶関数で f−y は奇関数)⇒y=x))否定∀x ¬(x は偶関数で f−x は奇関数)∨∃x ∃y ((x は偶関数で f−x は奇関数) ∧ (y は偶関数で f−y は奇関数) ∧ x≠y)一意性の示し方g1,g2 が条件を満たすなら u=g1−g2 は偶かつ奇。よって u(x)=u(−x)=−u(x) から u≡0 。\begin{array}{ll} \text{展開} & \exists x \ \Bigl( \bigl(x \ \text{は偶関数で } f - x \ \text{は奇関数}\bigr) \ \land \ \forall y \ \bigl( \bigl(y \ \text{は偶関数で } f - y \ \text{は奇関数}\bigr) \Rightarrow y = x \bigr) \Bigr) \\ \text{否定} & \forall x \ \lnot \bigl(x \ \text{は偶関数で } f - x \ \text{は奇関数}\bigr) \quad \lor \quad \exists x \ \exists y \ \Bigl( \bigl(x \ \text{は偶関数で } f - x \ \text{は奇関数}\bigr) \ \land \ \bigl(y \ \text{は偶関数で } f - y \ \text{は奇関数}\bigr) \ \land \ x \ne y \Bigr) \\ \text{一意性の示し方} & g_1, g_2 \ \text{が条件を満たすなら } u = g_1 - g_2 \ \text{は偶かつ奇。よって } u(x) = u(-x) = -u(x) \ \text{から } u \equiv 0 \ \text{。} \end{array}

注意 存在は g(x)==(f(x) + f(−x))/2 と具体的に構成する（h は f − g）。一意性は差を取って「偶かつ奇なら 0」に持ち込む。存在は構成、一意性は比較、の教科書的な見本。 展開は∃\exists! x P(x)≡∃x\equiv \exists x(P(x)∧∀y\land \forall y(P(y)⇒\Rightarrowy==x))。否定は「P を満たすものが1つもない」または「P を満たす相異なる2つがある」の選言になる（存在が壊れる型と一意性が壊れる型の2通り）。存在と一意性は必ず別々に示すこと。▨

問題 4.9.

収束する数列 (an) の極限はただ1つである\text{収束する数列 } (a_n) \ \text{の極限はただ1つである}
解答.

答

展開∃x ((∀ε>0 ∃N ∀n≥N (∣an−x∣<ε)) ∧ ∀y ((∀ε>0 ∃N ∀n≥N (∣an−y∣<ε))⇒y=x))否定∀x ¬(∀ε>0 ∃N ∀n≥N (∣an−x∣<ε))∨∃x ∃y ((∀ε>0 ∃N ∀n≥N (∣an−x∣<ε)) ∧ (∀ε>0 ∃N ∀n≥N (∣an−y∣<ε)) ∧ x≠y)一意性の示し方L≠L′ と仮定し ε=∣L−L′∣2>0 を取ると、十分大きい n で ∣L−L′∣≤∣L−an∣+∣an−L′∣<∣L−L′∣ となり矛盾。\begin{array}{ll} \text{展開} & \exists x \ \Bigl( \bigl(\forall \varepsilon > 0 \ \exists N \ \forall n \ge N \ (|a_n - x| < \varepsilon)\bigr) \ \land \ \forall y \ \bigl( \bigl(\forall \varepsilon > 0 \ \exists N \ \forall n \ge N \ (|a_n - y| < \varepsilon)\bigr) \Rightarrow y = x \bigr) \Bigr) \\ \text{否定} & \forall x \ \lnot \bigl(\forall \varepsilon > 0 \ \exists N \ \forall n \ge N \ (|a_n - x| < \varepsilon)\bigr) \quad \lor \quad \exists x \ \exists y \ \Bigl( \bigl(\forall \varepsilon > 0 \ \exists N \ \forall n \ge N \ (|a_n - x| < \varepsilon)\bigr) \ \land \ \bigl(\forall \varepsilon > 0 \ \exists N \ \forall n \ge N \ (|a_n - y| < \varepsilon)\bigr) \ \land \ x \ne y \Bigr) \\ \text{一意性の示し方} & L \ne L' \ \text{と仮定し } \varepsilon = \dfrac{|L - L'|}{2} > 0 \ \text{を取ると、十分大きい } n \ \text{で } |L - L'| \le |L - a_n| + |a_n - L'| < |L - L'| \ \text{となり矛盾。} \end{array}

注意 存在は「収束する」という仮定が与えている。一意性は2つの極限を取って三角不等式で潰す。極限の一意性はこの2段構えの典型で、ジョルダン標準形の一意性なども骨格は同じ。 展開は∃\exists! x P(x)≡∃x\equiv \exists x(P(x)∧∀y\land \forall y(P(y)⇒\Rightarrowy==x))。否定は「P を満たすものが1つもない」または「P を満たす相異なる2つがある」の選言になる（存在が壊れる型と一意性が壊れる型の2通り）。存在と一意性は必ず別々に示すこと。▨

問題 4.10.

ベクトル空間 V の基底 v1,…,vn と w∈V に対し、w=x1v1+⋯+xnvn となる係数の組はただ1つ存在する\text{ベクトル空間 } V \ \text{の基底 } v_1, \ldots, v_n \ \text{と } w \in V \ \text{に対し、} w = x_1 v_1 + \cdots + x_n v_n \ \text{となる係数の組はただ1つ存在する}
解答.

答

展開∃x ((w=x1v1+⋯+xnvn) ∧ ∀y ((w=y1v1+⋯+ynvn)⇒y=x))否定∀x ¬(w=x1v1+⋯+xnvn)∨∃x ∃y ((w=x1v1+⋯+xnvn) ∧ (w=y1v1+⋯+ynvn) ∧ x≠y)一意性の示し方2 通りの表示の差を取ると (x1−y1)v1+⋯+(xn−yn)vn=0 。一次独立性より各係数が 0 、すなわち xi=yi 。\begin{array}{ll} \text{展開} & \exists x \ \Bigl( \bigl(w = x_1 v_1 + \cdots + x_n v_n\bigr) \ \land \ \forall y \ \bigl( \bigl(w = y_1 v_1 + \cdots + y_n v_n\bigr) \Rightarrow y = x \bigr) \Bigr) \\ \text{否定} & \forall x \ \lnot \bigl(w = x_1 v_1 + \cdots + x_n v_n\bigr) \quad \lor \quad \exists x \ \exists y \ \Bigl( \bigl(w = x_1 v_1 + \cdots + x_n v_n\bigr) \ \land \ \bigl(w = y_1 v_1 + \cdots + y_n v_n\bigr) \ \land \ x \ne y \Bigr) \\ \text{一意性の示し方} & 2 \ \text{通りの表示の差を取ると } (x_1 - y_1) v_1 + \cdots + (x_n - y_n) v_n = 0 \ \text{。一次独立性より各係数が } 0 \ \text{、すなわち } x_i = y_i \ \text{。} \end{array}

注意 存在は基底が V を生成すること、一意性は基底が一次独立であること——基底の2つの条件が、そのまま存在と一意性に対応している。座標が well-defined であることの根拠でもある。 展開は∃\exists! x P(x)≡∃x\equiv \exists x(P(x)∧∀y\land \forall y(P(y)⇒\Rightarrowy==x))。否定は「P を満たすものが1つもない」または「P を満たす相異なる2つがある」の選言になる（存在が壊れる型と一意性が壊れる型の2通り）。存在と一意性は必ず別々に示すこと。▨

問題 4.11.

群 G の元 g の逆元はただ1つ存在する\text{群 } G \ \text{の元 } g \ \text{の逆元はただ1つ存在する}
解答.

答

展開∃x ((gx=xg=e) ∧ ∀y ((gy=yg=e)⇒y=x))否定∀x ¬(gx=xg=e)∨∃x ∃y ((gx=xg=e) ∧ (gy=yg=e) ∧ x≠y)一意性の示し方h,h′ がともに g の逆元なら h=he=h(gh′)=(hg)h′=eh′=h′ 。\begin{array}{ll} \text{展開} & \exists x \ \Bigl( \bigl(g x = x g = e\bigr) \ \land \ \forall y \ \bigl( \bigl(g y = y g = e\bigr) \Rightarrow y = x \bigr) \Bigr) \\ \text{否定} & \forall x \ \lnot \bigl(g x = x g = e\bigr) \quad \lor \quad \exists x \ \exists y \ \Bigl( \bigl(g x = x g = e\bigr) \ \land \ \bigl(g y = y g = e\bigr) \ \land \ x \ne y \Bigr) \\ \text{一意性の示し方} & h, h' \ \text{がともに } g \ \text{の逆元なら } h = h e = h (g h') = (h g) h' = e h' = h' \ \text{。} \end{array}

注意 一意性の証明は結合法則を使って両側から挟むだけ。存在は群の公理、一意性は計算——2段構えがはっきり分かれる例。「あるとしても1つ」だけでは存在は言えないので、両方を必ず示す。 展開は∃\exists! x P(x)≡∃x\equiv \exists x(P(x)∧∀y\land \forall y(P(y)⇒\Rightarrowy==x))。否定は「P を満たすものが1つもない」または「P を満たす相異なる2つがある」の選言になる（存在が壊れる型と一意性が壊れる型の2通り）。存在と一意性は必ず別々に示すこと。▨

問題 4.12.

a>0 のとき、x2=a を満たす正の実数はただ1つ存在するa > 0 \ \text{のとき、} x^2 = a \ \text{を満たす正の実数はただ1つ存在する}
解答.

答

展開∃x ((x>0 ∧ x2=a) ∧ ∀y ((y>0 ∧ y2=a)⇒y=x))否定∀x ¬(x>0 ∧ x2=a)∨∃x ∃y ((x>0 ∧ x2=a) ∧ (y>0 ∧ y2=a) ∧ x≠y)一意性の示し方x,y>0 で x2=y2=a なら (x−y)(x+y)=0 。x+y>0 より x=y 。\begin{array}{ll} \text{展開} & \exists x \ \Bigl( (x > 0 \ \land \ x^2 = a) \ \land \ \forall y \ \bigl( (y > 0 \ \land \ y^2 = a) \Rightarrow y = x \bigr) \Bigr) \\ \text{否定} & \forall x \ \lnot (x > 0 \ \land \ x^2 = a) \quad \lor \quad \exists x \ \exists y \ \Bigl( (x > 0 \ \land \ x^2 = a) \ \land \ (y > 0 \ \land \ y^2 = a) \ \land \ x \ne y \Bigr) \\ \text{一意性の示し方} & x, y > 0 \ \text{で } x^2 = y^2 = a \ \text{なら } (x - y)(x + y) = 0 \ \text{。} x + y > 0 \ \text{より } x = y \ \text{。} \end{array}

注意 存在は中間値の定理（または上限の存在）。一意性は因数分解して、x + y > 0 という「正である」条件を使って潰す。条件「正の」を落とすと ±√a の2つになり一意性が壊れる——一意性は条件のどこが効いているかを見る訓練になる。 展開は∃\exists! x P(x)≡∃x\equiv \exists x(P(x)∧∀y\land \forall y(P(y)⇒\Rightarrowy==x))。否定は「P を満たすものが1つもない」または「P を満たす相異なる2つがある」の選言になる（存在が壊れる型と一意性が壊れる型の2通り）。存在と一意性は必ず別々に示すこと。▨

前提記事