§D1.3well-defined 性の確認

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有理数を分数で表す方法は一つではありません。たとえば1/2=2/41/2=2/4です。そのため、a>0a>0の有理数乗を分数表示から定めるときには、どちらの表示からも同じ値が得られる必要があります。このように、定義に含まれる選択を変えても結果が変わらない性質を well-defined 性といいます。代表元や近似列を用いる定義でも、同じ確認が必要です。本記事では、有理数乗の値が分数表示に依存しないことを証明し、実数乗を有理数の近似列から定めるときの選択非依存性が、指数関数の構成で得た既存の結果から得られることを確かめます。

1 確認が必要になる場面

定義に代表元や表示の選択が入るとき、well-defined 性を確認する必要があります。商群G/NG/Nの演算(gN)(hN)=(gh)N(gN)(hN)=(gh)N、有理数の分数表示を用いる操作、商空間・商環・誘導写像を定めるときには、いずれも、選んだ代表や表示を変えても結果が変わらないことを確かめる必要があります。

2 確認の型

定義 2.1 (well-defined).∼\simを集合XX上の同値関係、X/ ⁣∼X/\!\simを商集合とする。写像f:X→Yf:X\to Yを用いてfˉ([x])=f(x)\bar f([x])=f(x)と定める。この対応が well-defined (well-defined) であるとは、代表の取り方によらないこと、すなわち

x∼x′ ⇒ f(x)=f(x′)x \sim x' \ \Rightarrow\ f(x) = f(x')

がすべてのx,x′∈Xx,x'\in Xについて成り立つことをいう。

定理 2.2 (商の普遍性).f:X→Yf:X\to Yが、すべてのx,x′∈Xx,x'\in Xについてx∼x′⇒f(x)=f(x′)x\sim x'\Rightarrow f(x)=f(x')を満たすとする。このとき、fˉ([x])=f(x)\bar f([x])=f(x)を満たす写像fˉ:X/ ⁣∼ →Y\bar f:X/\!\sim\,\to Yがただ一つ存在する。

証明. 類c∈X/ ⁣∼c\in X/\!\simの代表x∈cx\in cを一つ取り、fˉ(c)=f(x)\bar f(c)=f(x)と定める。別の代表x′∈cx'\in cを取るとx∼x′x\sim x'であるから、仮定によりf(x)=f(x′)f(x)=f(x')である。したがって、fˉ(c)\bar f(c)は代表によらず定まり、fˉ\bar fは写像になる。

gˉ:X/ ⁣∼ →Y\bar g:X/\!\sim\,\to Yもgˉ([x])=f(x)\bar g([x])=f(x)を満たすとする。任意の類ccはあるx∈Xx\in Xによってc=[x]c=[x]と表されるので、gˉ(c)=f(x)=fˉ(c)\bar g(c)=f(x)=\bar f(c)である。したがってgˉ=fˉ\bar g=\bar fである。▨

well-defined 性の確認では、同じ対象を表す二つの代表を取り、二つの代表から得られる値が一致することを示します。この確認で扱う含意は、§D1.2 定義 1.1の一意性の証明で扱う含意と同じ形です。

例 2.3.Z/nZ\Z/n\Z上の加法を[a]+[b]=[a+b][a]+[b]=[a+b]で定める。a≡a′a\equiv a'およびb≡b′(modn)b\equiv b'\pmod nならば、あるk,l∈Zk,l\in\Zによってa−a′=kna-a'=knおよびb−b′=lnb-b'=lnと表される。したがって

(a+b)−(a′+b′)=(k+l)n(a+b)-(a'+b')=(k+l)n

であり、a+b≡a′+b′(modn)a+b\equiv a'+b'\pmod n、すなわち[a+b]=[a′+b′][a+b]=[a'+b']である。このため、加法の値は二つの代表の選び方によらない。

例 2.4.Z/6Z\Z/6\ZからZ/4Z\Z/4\Zへの対応を[a]6↦[a]4[a]_6\mapsto[a]_4と定めようとしても、対応は well-defined ではない。実際、[0]6=[6]6[0]_6=[6]_6である一方、[0]4≠[6]4=[2]4[0]_4\ne[6]_4=[2]_4であるから、同じ元の二つの代表が異なる行き先を与える。

一般に、対応[a]n↦[a]m[a]_n\mapsto[a]_mが well-defined であるための必要十分条件はm∣nm\mid nである。実際、a−a′a-a'がnnの倍数であるときにmmの倍数でもあるという条件は、m∣nm\mid nと同値である。

3 有理数乗の分数表示

有理数乗を分数表示から定める場合には、同じ有理数を表す二つの分数から同じ値が得られることを確認する必要があります。

命題 3.1.a>0a>0とする。整数m,m′m,m'と正の整数n,n′n,n'が

mn=m′n′\frac{m}{n}=\frac{m'}{n'}

を満たすならば、

(an)m=(an′)m′\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\left(\sqrt[n']{a}\right)^{m'}

である。

証明.x=(an)mx=\left(\sqrt[n]{a}\right)^mおよびy=(an′)m′y=\left(\sqrt[n']{a}\right)^{m'}と置く。a>0a>0であるからx>0x>0およびy>0y>0である。§B3.1 定理 1.2により

xnn′=((an)n)mn′=amn′,ynn′=((an′)n′)m′n=am′nx^{nn'} =\left(\left(\sqrt[n]{a}\right)^n\right)^{mn'} =a^{mn'}, \qquad y^{nn'} =\left(\left(\sqrt[n']{a}\right)^{n'}\right)^{m'n} =a^{m'n}

である。仮定の両辺に正の整数nn′nn'を掛けるとmn′=m′nmn'=m'nであるから、xnn′=ynn′x^{nn'}=y^{nn'}である。nn′nn'は正の整数であり、正の実数上のnn′nn'乗は§B3.1 定理 2.1により単射である。したがってx=yx=yである。▨

4 実数乗を定めるときの選択

実数乗を有理数の近似列から定める場合には、近似列に沿う極限の存在に加えて、その極限が近似列の選び方によらないことが必要です。この選択非依存性は、指数関数の構成で得た既存の結果へ委ねます。

注意 4.1.a>0a>0、x∈Rx\in\Rとし、{rn}\{r_n\}と{sn}\{s_n\}をxxに収束する有理数の列とする。a≥1a\ge 1の場合、§B3.3 定理 3.1では{arn}\{a^{r_n}\}と{asn}\{a^{s_n}\}が収束すること、および二つの極限が等しいことが述べられる。したがって、極限の存在と近似列の選択非依存性が同時に得られる。

0<a<10<a<1の場合、§B3.3 定理 4.2では、xxに収束する任意の有理数列{qn}\{q_n\}について{aqn}\{a^{q_n}\}がaxa^xに収束することが述べられる。これを{rn}\{r_n\}と{sn}\{s_n\}に適用すると、二つの極限はいずれもaxa^xに等しい。したがって、この場合にも極限は近似列の選び方によらない。

5 例題

レベル3 — well-defined 性の確認

次の「定義」が well-defined か（代表元・表示の取り方によらないか）を判定せよ。well-defined でないなら、代表元を2通り取って値が食い違う具体例を1つ挙げよ。well-defined なら、その確認を書け。

解法の型確認の型は1つ: 同じものを表す2つの代表元 x, x' を取り、定義した値が一致するか（x ~ x'⇒\Rightarrowf(x)==f(x')）を見る。一致しない例が1つでもあれば、それは定義になっていない

次の「定義」が well-defined かを判定せよ。well-defined でないなら、代表元を2通り取って値が食い違う具体例を挙げよ。

例 5.1.

有理数 pq に対し f(pq)=p+q で写像を定める\text{有理数 } \dfrac{p}{q} \ \text{に対し } f\left(\dfrac{p}{q}\right) = p + q \ \text{で写像を定める}

答

判定well-defined でない反例12=24 だが、表示 12 では 1+2=3 、表示 24 では 2+4=6 。3≠6 なので表示に依存する。\begin{array}{ll} \text{判定} & \text{well-defined でない} \\ \text{反例} & \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} \ \text{だが、表示 } \dfrac{1}{2} \ \text{では } 1 + 2 = 3 \ \text{、表示 } \dfrac{2}{4} \ \text{では } 2 + 4 = 6 \ \text{。} 3 \ne 6 \ \text{なので表示に依存する。} \end{array}

注意 有理数の分数表示は一意でないので、分子と分母を個別に使う定義は代表元（表示）に依存しがち。「既約分数で表したときの p + q」と言い直せば well-defined になるが、それは定義に一意な代表元の選び方を追加したということ。 well-defined 性の確認は「代表元を変えても結果が同じか」を見るだけの定型作業で、一意存在の一意性パートと同じ論理構造（同値なら値が等しい、という含意を示す）。商や複数の表示をもつ対象を扱うたびに反射的に確認すること。

例 5.2.

Z/2Z→{1,−1}, [a]↦(−1)a で写像を定める\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to \{1, -1\}, \ [a] \mapsto (-1)^a \ \text{で写像を定める}

答

判定well-defined である確認a≡a′(mod2) なら a−a′ は偶数なので (−1)a=(−1)a′ 。代表元によらない。\begin{array}{ll} \text{判定} & \text{well-defined である} \\ \text{確認} & a \equiv a' \pmod 2 \ \text{なら } a - a' \ \text{は偶数なので } (-1)^a = (-1)^{a'} \ \text{。代表元によらない。} \end{array}

注意 (−1)^a は a の偶奇だけで決まるので、mod 2 の類の代表元をどう取っても同じ値になる。偶奇の情報しか使っていない、というのが well-defined 性の理由。 well-defined 性の確認は「代表元を変えても結果が同じか」を見るだけの定型作業で、一意存在の一意性パートと同じ論理構造（同値なら値が等しい、という含意を示す）。商や複数の表示をもつ対象を扱うたびに反射的に確認すること。

例 5.3.

Z/4Z→Z/8Z, [a]4↦[a]8 で写像を定める\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}, \ [a]_4 \mapsto [a]_8 \ \text{で写像を定める}

答

判定well-defined でない反例[0]4=[4]4 だが、代表元 0 では [0]8 、代表元 4 では [4]8 。[0]8≠[4]8 なので代表元に依存する。\begin{array}{ll} \text{判定} & \text{well-defined でない} \\ \text{反例} & [0]_4 = [4]_4 \ \text{だが、代表元 } 0 \ \text{では } [0]_8 \ \text{、代表元 } 4 \ \text{では } [4]_8 \ \text{。} [0]_8 \ne [4]_8 \ \text{なので代表元に依存する。} \end{array}

注意 法を細かくする向き（mod 4 から mod 8 へ）は情報が足りず、必ず壊れる。4 の倍数が 8 の倍数とは限らない（4 がその反例）。well-defined になるのは法を粗くする向き（m が n を割り切るとき）だけ。 well-defined 性の確認は「代表元を変えても結果が同じか」を見るだけの定型作業で、一意存在の一意性パートと同じ論理構造（同値なら値が等しい、という含意を示す）。商や複数の表示をもつ対象を扱うたびに反射的に確認すること。

例 5.4.

有理数の加法を、表示 pq, rs を使って pq+rs=ps+qrqs で定める\text{有理数の加法を、表示 } \dfrac{p}{q}, \ \dfrac{r}{s} \ \text{を使って } \dfrac{p}{q} + \dfrac{r}{s} = \dfrac{ps + qr}{qs} \ \text{で定める}

答

判定well-defined である確認例えば 12+13=56 、別表示 24 で計算しても 2⋅3+4⋅112=1012=56 で一致する。一般に pq′=p′q から従う。\begin{array}{ll} \text{判定} & \text{well-defined である} \\ \text{確認} & \text{例えば } \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6} \ \text{、別表示 } \dfrac{2}{4} \ \text{で計算しても } \dfrac{2 \cdot 3 + 4 \cdot 1}{12} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6} \ \text{で一致する。一般に } pq' = p'q \ \text{から従う。} \end{array}

注意 有理数は p/q という表示が一意でない（1/2==2/4）ので、演算を表示で定めるときは well-defined 性の確認が要る。実際、別の表示で計算しても同じ有理数になる。 well-defined 性の確認は「代表元を変えても結果が同じか」を見るだけの定型作業で、一意存在の一意性パートと同じ論理構造（同値なら値が等しい、という含意を示す）。商や複数の表示をもつ対象を扱うたびに反射的に確認すること。

例 5.5.

Z/5Z の加法を [a]+[b]=[a+b] で定める\mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \ \text{の加法を } [a] + [b] = [a + b] \ \text{で定める}

答

判定well-defined である確認a≡a′, b≡b′(mod5) とすると (a+b)−(a′+b′)=(a−a′)+(b−b′) は 5 の倍数。よって [a+b]=[a′+b′] で、代表元の取り方によらない。\begin{array}{ll} \text{判定} & \text{well-defined である} \\ \text{確認} & a \equiv a', \ b \equiv b' \pmod{5} \ \text{とすると } (a + b) - (a' + b') = (a - a') + (b - b') \ \text{は } 5 \ \text{の倍数。よって } [a + b] = [a' + b'] \ \text{で、代表元の取り方によらない。} \end{array}

注意 代表元を変えても値が変わらないことを確かめる、というのが well-defined 性の確認。実際 mod 5 で a≡\equiva', b≡\equivb' なら、差 (a+b) − (a'+b') は 5 の倍数になるので同じ類に落ちる。 well-defined 性の確認は「代表元を変えても結果が同じか」を見るだけの定型作業で、一意存在の一意性パートと同じ論理構造（同値なら値が等しい、という含意を示す）。商や複数の表示をもつ対象を扱うたびに反射的に確認すること。

例 5.6.

Z/6Z の加法を [a]+[b]=[a+b] で定める\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \ \text{の加法を } [a] + [b] = [a + b] \ \text{で定める}

答

判定well-defined である確認a≡a′, b≡b′(mod6) とすると (a+b)−(a′+b′)=(a−a′)+(b−b′) は 6 の倍数。よって [a+b]=[a′+b′] で、代表元の取り方によらない。\begin{array}{ll} \text{判定} & \text{well-defined である} \\ \text{確認} & a \equiv a', \ b \equiv b' \pmod{6} \ \text{とすると } (a + b) - (a' + b') = (a - a') + (b - b') \ \text{は } 6 \ \text{の倍数。よって } [a + b] = [a' + b'] \ \text{で、代表元の取り方によらない。} \end{array}

注意 代表元を変えても値が変わらないことを確かめる、というのが well-defined 性の確認。実際 mod 6 で a≡\equiva', b≡\equivb' なら、差 (a+b) − (a'+b') は 6 の倍数になるので同じ類に落ちる。 well-defined 性の確認は「代表元を変えても結果が同じか」を見るだけの定型作業で、一意存在の一意性パートと同じ論理構造（同値なら値が等しい、という含意を示す）。商や複数の表示をもつ対象を扱うたびに反射的に確認すること。

例 5.7.

Z/7Z→Z/7Z, [a]↦[a2] で写像を定める\mathbb{Z}/7\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}, \ [a] \mapsto [a^2] \ \text{で写像を定める}

答

判定well-defined である確認a≡a′(mod7) なら a2−a′2=(a−a′)(a+a′) は 7 の倍数。よって [a2]=[a′2] 。\begin{array}{ll} \text{判定} & \text{well-defined である} \\ \text{確認} & a \equiv a' \pmod{7} \ \text{なら } a^2 - a'^2 = (a - a')(a + a') \ \text{は } 7 \ \text{の倍数。よって } [a^2] = [a'^2] \ \text{。} \end{array}

注意 合同式は積で保たれる（a≡\equiva' なら a²≡\equiva'²）ので、代表元の取り方によらない。多項式で書ける対応は一般に well-defined になる。 well-defined 性の確認は「代表元を変えても結果が同じか」を見るだけの定型作業で、一意存在の一意性パートと同じ論理構造（同値なら値が等しい、という含意を示す）。商や複数の表示をもつ対象を扱うたびに反射的に確認すること。

例 5.8.

Z/5Z→Z/5Z, [a]↦[2a] で写像を定める\mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}, \ [a] \mapsto [2^a] \ \text{で写像を定める}

答

判定well-defined でない反例[0]=[5] だが、代表元 0 では [20]=[1] 、代表元 5 では [25]=[32]=[2] 。[1]≠[2] なので代表元に依存する。\begin{array}{ll} \text{判定} & \text{well-defined でない} \\ \text{反例} & [0] = [5] \ \text{だが、代表元 } 0 \ \text{では } [2^0] = [1] \ \text{、代表元 } 5 \ \text{では } [2^5] = [32] = [2] \ \text{。} [1] \ne [2] \ \text{なので代表元に依存する。} \end{array}

注意 合同式は和と積では保たれるが、指数の位置では保たれない（a≡\equiva' (mod 5) でも 2^a≡\equiv2^a' (mod 5) とは限らない）。実際 2 の位数は 4 なので、指数は mod 4 で見る必要がある。指数に類の代表元を置く定義は要注意。 well-defined 性の確認は「代表元を変えても結果が同じか」を見るだけの定型作業で、一意存在の一意性パートと同じ論理構造（同値なら値が等しい、という含意を示す）。商や複数の表示をもつ対象を扱うたびに反射的に確認すること。

例 5.9.

Z/5Z→Z/5Z, [a]↦[a2] で写像を定める\mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}, \ [a] \mapsto [a^2] \ \text{で写像を定める}

答

判定well-defined である確認a≡a′(mod5) なら a2−a′2=(a−a′)(a+a′) は 5 の倍数。よって [a2]=[a′2] 。\begin{array}{ll} \text{判定} & \text{well-defined である} \\ \text{確認} & a \equiv a' \pmod{5} \ \text{なら } a^2 - a'^2 = (a - a')(a + a') \ \text{は } 5 \ \text{の倍数。よって } [a^2] = [a'^2] \ \text{。} \end{array}

注意 合同式は積で保たれる（a≡\equiva' なら a²≡\equiva'²）ので、代表元の取り方によらない。多項式で書ける対応は一般に well-defined になる。 well-defined 性の確認は「代表元を変えても結果が同じか」を見るだけの定型作業で、一意存在の一意性パートと同じ論理構造（同値なら値が等しい、という含意を示す）。商や複数の表示をもつ対象を扱うたびに反射的に確認すること。

例 5.10.

Z/7Z→Z, [a]↦a で写像を定める\mathbb{Z}/7\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, \ [a] \mapsto a \ \text{で写像を定める}

答

判定well-defined でない反例[0]=[7] だが、代表元 0 を取ると値は 0 、代表元 7 を取ると値は 7 。0≠7 なので値が代表元に依存する。\begin{array}{ll} \text{判定} & \text{well-defined でない} \\ \text{反例} & [0] = [7] \ \text{だが、代表元 } 0 \ \text{を取ると値は } 0 \ \text{、代表元 } 7 \ \text{を取ると値は } 7 \ \text{。} 0 \ne 7 \ \text{なので値が代表元に依存する。} \end{array}

注意 「類から代表元そのものを返す」対応は典型的な非 well-defined 例。[0] と [7] は同じ類なのに、行き先が 0 と 7 で食い違う。整数として異なる値を返してしまうので、これは写像になっていない。 well-defined 性の確認は「代表元を変えても結果が同じか」を見るだけの定型作業で、一意存在の一意性パートと同じ論理構造（同値なら値が等しい、という含意を示す）。商や複数の表示をもつ対象を扱うたびに反射的に確認すること。

6 演習

レベル3 — well-defined 性の確認

次の「定義」が well-defined か（代表元・表示の取り方によらないか）を判定せよ。well-defined でないなら、代表元を2通り取って値が食い違う具体例を1つ挙げよ。well-defined なら、その確認を書け。

解法の型確認の型は1つ: 同じものを表す2つの代表元 x, x' を取り、定義した値が一致するか（x ~ x'⇒\Rightarrowf(x)==f(x')）を見る。一致しない例が1つでもあれば、それは定義になっていない

次の「定義」が well-defined かを判定せよ。well-defined でないなら、代表元を2通り取って値が食い違う具体例を挙げよ。

問題 6.1.

有理数の加法を、表示 pq, rs を使って pq+rs=ps+qrqs で定める\text{有理数の加法を、表示 } \dfrac{p}{q}, \ \dfrac{r}{s} \ \text{を使って } \dfrac{p}{q} + \dfrac{r}{s} = \dfrac{ps + qr}{qs} \ \text{で定める}
解答.

答

判定well-defined である確認例えば 12+13=56 、別表示 24 で計算しても 2⋅3+4⋅112=1012=56 で一致する。一般に pq′=p′q から従う。\begin{array}{ll} \text{判定} & \text{well-defined である} \\ \text{確認} & \text{例えば } \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6} \ \text{、別表示 } \dfrac{2}{4} \ \text{で計算しても } \dfrac{2 \cdot 3 + 4 \cdot 1}{12} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6} \ \text{で一致する。一般に } pq' = p'q \ \text{から従う。} \end{array}

注意 有理数は p/q という表示が一意でない（1/2==2/4）ので、演算を表示で定めるときは well-defined 性の確認が要る。実際、別の表示で計算しても同じ有理数になる。 well-defined 性の確認は「代表元を変えても結果が同じか」を見るだけの定型作業で、一意存在の一意性パートと同じ論理構造（同値なら値が等しい、という含意を示す）。商や複数の表示をもつ対象を扱うたびに反射的に確認すること。▨

問題 6.2.

Z/5Z→Z, [a]↦a で写像を定める\mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, \ [a] \mapsto a \ \text{で写像を定める}
解答.

答

判定well-defined でない反例[0]=[5] だが、代表元 0 を取ると値は 0 、代表元 5 を取ると値は 5 。0≠5 なので値が代表元に依存する。\begin{array}{ll} \text{判定} & \text{well-defined でない} \\ \text{反例} & [0] = [5] \ \text{だが、代表元 } 0 \ \text{を取ると値は } 0 \ \text{、代表元 } 5 \ \text{を取ると値は } 5 \ \text{。} 0 \ne 5 \ \text{なので値が代表元に依存する。} \end{array}

注意 「類から代表元そのものを返す」対応は典型的な非 well-defined 例。[0] と [5] は同じ類なのに、行き先が 0 と 5 で食い違う。整数として異なる値を返してしまうので、これは写像になっていない。 well-defined 性の確認は「代表元を変えても結果が同じか」を見るだけの定型作業で、一意存在の一意性パートと同じ論理構造（同値なら値が等しい、という含意を示す）。商や複数の表示をもつ対象を扱うたびに反射的に確認すること。▨

問題 6.3.

Z/6Z→Z/4Z, [a]6↦[a]4 で写像を定める\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, \ [a]_6 \mapsto [a]_4 \ \text{で写像を定める}
解答.

答

判定well-defined でない反例[0]6=[6]6 だが、代表元 0 では [0]4 、代表元 6 では [6]4=[2]4 。[0]4≠[2]4 なので代表元に依存する。\begin{array}{ll} \text{判定} & \text{well-defined でない} \\ \text{反例} & [0]_6 = [6]_6 \ \text{だが、代表元 } 0 \ \text{では } [0]_4 \ \text{、代表元 } 6 \ \text{では } [6]_4 = [2]_4 \ \text{。} [0]_4 \ne [2]_4 \ \text{なので代表元に依存する。} \end{array}

注意 4 は 6 を割り切らないので、6 の倍数が 4 の倍数とは限らない（6 がその反例）。[a]ₙ↦\mapsto[a]ₘ が well-defined になるのは m が n を割り切るときに限る。「書けてしまう式」と「定義になっている式」は別物。 well-defined 性の確認は「代表元を変えても結果が同じか」を見るだけの定型作業で、一意存在の一意性パートと同じ論理構造（同値なら値が等しい、という含意を示す）。商や複数の表示をもつ対象を扱うたびに反射的に確認すること。▨

問題 6.4.

Z/5Z→Z/5Z, [a]↦[a2] で写像を定める\mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}, \ [a] \mapsto [a^2] \ \text{で写像を定める}
解答.

答

判定well-defined である確認a≡a′(mod5) なら a2−a′2=(a−a′)(a+a′) は 5 の倍数。よって [a2]=[a′2] 。\begin{array}{ll} \text{判定} & \text{well-defined である} \\ \text{確認} & a \equiv a' \pmod{5} \ \text{なら } a^2 - a'^2 = (a - a')(a + a') \ \text{は } 5 \ \text{の倍数。よって } [a^2] = [a'^2] \ \text{。} \end{array}

注意 合同式は積で保たれる（a≡\equiva' なら a²≡\equiva'²）ので、代表元の取り方によらない。多項式で書ける対応は一般に well-defined になる。 well-defined 性の確認は「代表元を変えても結果が同じか」を見るだけの定型作業で、一意存在の一意性パートと同じ論理構造（同値なら値が等しい、という含意を示す）。商や複数の表示をもつ対象を扱うたびに反射的に確認すること。▨

問題 6.5.

Z/5Z→Z/5Z, [a]↦[2a] で写像を定める\mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}, \ [a] \mapsto [2^a] \ \text{で写像を定める}
解答.

答

判定well-defined でない反例[0]=[5] だが、代表元 0 では [20]=[1] 、代表元 5 では [25]=[32]=[2] 。[1]≠[2] なので代表元に依存する。\begin{array}{ll} \text{判定} & \text{well-defined でない} \\ \text{反例} & [0] = [5] \ \text{だが、代表元 } 0 \ \text{では } [2^0] = [1] \ \text{、代表元 } 5 \ \text{では } [2^5] = [32] = [2] \ \text{。} [1] \ne [2] \ \text{なので代表元に依存する。} \end{array}

注意 合同式は和と積では保たれるが、指数の位置では保たれない（a≡\equiva' (mod 5) でも 2^a≡\equiv2^a' (mod 5) とは限らない）。実際 2 の位数は 4 なので、指数は mod 4 で見る必要がある。指数に類の代表元を置く定義は要注意。 well-defined 性の確認は「代表元を変えても結果が同じか」を見るだけの定型作業で、一意存在の一意性パートと同じ論理構造（同値なら値が等しい、という含意を示す）。商や複数の表示をもつ対象を扱うたびに反射的に確認すること。▨

問題 6.6.

N を群 G の正規部分群とし、商群 G/N の演算を (gN)(hN)=(gh)N で定めるN \ \text{を群 } G \ \text{の正規部分群とし、商群 } G/N \ \text{の演算を } (gN)(hN) = (gh)N \ \text{で定める}
解答.

答

判定well-defined である確認gN=g′N, hN=h′N なら g′=gn1, h′=hn2 (n1,n2∈N) と書け、g′h′=gn1hn2=(gh)((h−1n1h)n2) 。N の正規性より h−1n1h∈N なので g′h′N=(gh)N 。\begin{array}{ll} \text{判定} & \text{well-defined である} \\ \text{確認} & gN = g'N, \ hN = h'N \ \text{なら } g' = gn_1, \ h' = hn_2 \ (n_1, n_2 \in N) \ \text{と書け、} g'h' = g n_1 h n_2 = (gh)\bigl((h^{-1} n_1 h) n_2\bigr) \ \text{。} N \ \text{の正規性より } h^{-1} n_1 h \in N \ \text{なので } g'h'N = (gh)N \ \text{。} \end{array}

注意 商群の演算が well-defined であることの証明。N が正規でないとh−h^{-}¹n1hn_{1}hが N に入る保証がなく、代表元の取り方で結果が変わってしまう。正規性はまさにこの確認のために要求される条件。 well-defined 性の確認は「代表元を変えても結果が同じか」を見るだけの定型作業で、一意存在の一意性パートと同じ論理構造（同値なら値が等しい、という含意を示す）。商や複数の表示をもつ対象を扱うたびに反射的に確認すること。▨

問題 6.7.

Z/4Z→Z/8Z, [a]4↦[a]8 で写像を定める\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}, \ [a]_4 \mapsto [a]_8 \ \text{で写像を定める}
解答.

答

判定well-defined でない反例[0]4=[4]4 だが、代表元 0 では [0]8 、代表元 4 では [4]8 。[0]8≠[4]8 なので代表元に依存する。\begin{array}{ll} \text{判定} & \text{well-defined でない} \\ \text{反例} & [0]_4 = [4]_4 \ \text{だが、代表元 } 0 \ \text{では } [0]_8 \ \text{、代表元 } 4 \ \text{では } [4]_8 \ \text{。} [0]_8 \ne [4]_8 \ \text{なので代表元に依存する。} \end{array}

注意 法を細かくする向き（mod 4 から mod 8 へ）は情報が足りず、必ず壊れる。4 の倍数が 8 の倍数とは限らない（4 がその反例）。well-defined になるのは法を粗くする向き（m が n を割り切るとき）だけ。 well-defined 性の確認は「代表元を変えても結果が同じか」を見るだけの定型作業で、一意存在の一意性パートと同じ論理構造（同値なら値が等しい、という含意を示す）。商や複数の表示をもつ対象を扱うたびに反射的に確認すること。▨

問題 6.8.

Z/2Z→{1,−1}, [a]↦(−1)a で写像を定める\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to \{1, -1\}, \ [a] \mapsto (-1)^a \ \text{で写像を定める}
解答.

答

判定well-defined である確認a≡a′(mod2) なら a−a′ は偶数なので (−1)a=(−1)a′ 。代表元によらない。\begin{array}{ll} \text{判定} & \text{well-defined である} \\ \text{確認} & a \equiv a' \pmod 2 \ \text{なら } a - a' \ \text{は偶数なので } (-1)^a = (-1)^{a'} \ \text{。代表元によらない。} \end{array}

注意 (−1)^a は a の偶奇だけで決まるので、mod 2 の類の代表元をどう取っても同じ値になる。偶奇の情報しか使っていない、というのが well-defined 性の理由。 well-defined 性の確認は「代表元を変えても結果が同じか」を見るだけの定型作業で、一意存在の一意性パートと同じ論理構造（同値なら値が等しい、という含意を示す）。商や複数の表示をもつ対象を扱うたびに反射的に確認すること。▨

問題 6.9.

Z/6Z→Z/6Z, [a]↦[a2] で写像を定める\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}, \ [a] \mapsto [a^2] \ \text{で写像を定める}
解答.

答

判定well-defined である確認a≡a′(mod6) なら a2−a′2=(a−a′)(a+a′) は 6 の倍数。よって [a2]=[a′2] 。\begin{array}{ll} \text{判定} & \text{well-defined である} \\ \text{確認} & a \equiv a' \pmod{6} \ \text{なら } a^2 - a'^2 = (a - a')(a + a') \ \text{は } 6 \ \text{の倍数。よって } [a^2] = [a'^2] \ \text{。} \end{array}

注意 合同式は積で保たれる（a≡\equiva' なら a²≡\equiva'²）ので、代表元の取り方によらない。多項式で書ける対応は一般に well-defined になる。 well-defined 性の確認は「代表元を変えても結果が同じか」を見るだけの定型作業で、一意存在の一意性パートと同じ論理構造（同値なら値が等しい、という含意を示す）。商や複数の表示をもつ対象を扱うたびに反射的に確認すること。▨

問題 6.10.

Z/5Z の乗法を [a]⋅[b]=[ab] で定める\mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \ \text{の乗法を } [a] \cdot [b] = [ab] \ \text{で定める}
解答.

答

判定well-defined である確認ab−a′b′=a(b−b′)+b′(a−a′) で、右辺の各項は 5 の倍数。よって [ab]=[a′b′] 。\begin{array}{ll} \text{判定} & \text{well-defined である} \\ \text{確認} & ab - a'b' = a(b - b') + b'(a - a') \ \text{で、右辺の各項は } 5 \ \text{の倍数。よって } [ab] = [a'b'] \ \text{。} \end{array}

注意 差を a(b − b') + b'(a − a') と分解するのが定石（片方ずつ動かす）。どちらの項も 5 の倍数なので、代表元の取り方によらない。 well-defined 性の確認は「代表元を変えても結果が同じか」を見るだけの定型作業で、一意存在の一意性パートと同じ論理構造（同値なら値が等しい、という含意を示す）。商や複数の表示をもつ対象を扱うたびに反射的に確認すること。▨

問題 6.11.

Z/6Z→Z/3Z, [a]6↦[a]3 で写像を定める\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}, \ [a]_6 \mapsto [a]_3 \ \text{で写像を定める}
解答.

答

判定well-defined である確認a≡a′(mod6) なら a−a′ は 6 の倍数、よって 3 の倍数でもあるので a≡a′(mod3) 。代表元によらない。\begin{array}{ll} \text{判定} & \text{well-defined である} \\ \text{確認} & a \equiv a' \pmod 6 \ \text{なら } a - a' \ \text{は } 6 \ \text{の倍数、よって } 3 \ \text{の倍数でもあるので } a \equiv a' \pmod 3 \ \text{。代表元によらない。} \end{array}

注意 [a]ₙ↦\mapsto[a]ₘ 型の対応が well-defined になるのは m が n を割り切るときで、そのときに限る。3 は 6 を割り切るのでこれは正しい定義になっている。 well-defined 性の確認は「代表元を変えても結果が同じか」を見るだけの定型作業で、一意存在の一意性パートと同じ論理構造（同値なら値が等しい、という含意を示す）。商や複数の表示をもつ対象を扱うたびに反射的に確認すること。▨

問題 6.12.

Z/5Z の加法を [a]+[b]=[a+b] で定める\mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \ \text{の加法を } [a] + [b] = [a + b] \ \text{で定める}
解答.

答

判定well-defined である確認a≡a′, b≡b′(mod5) とすると (a+b)−(a′+b′)=(a−a′)+(b−b′) は 5 の倍数。よって [a+b]=[a′+b′] で、代表元の取り方によらない。\begin{array}{ll} \text{判定} & \text{well-defined である} \\ \text{確認} & a \equiv a', \ b \equiv b' \pmod{5} \ \text{とすると } (a + b) - (a' + b') = (a - a') + (b - b') \ \text{は } 5 \ \text{の倍数。よって } [a + b] = [a' + b'] \ \text{で、代表元の取り方によらない。} \end{array}

注意 代表元を変えても値が変わらないことを確かめる、というのが well-defined 性の確認。実際 mod 5 で a≡\equiva', b≡\equivb' なら、差 (a+b) − (a'+b') は 5 の倍数になるので同じ類に落ちる。 well-defined 性の確認は「代表元を変えても結果が同じか」を見るだけの定型作業で、一意存在の一意性パートと同じ論理構造（同値なら値が等しい、という含意を示す）。商や複数の表示をもつ対象を扱うたびに反射的に確認すること。▨

問題 6.13.

Z/7Z の乗法を [a]⋅[b]=[ab] で定める\mathbb{Z}/7\mathbb{Z} \ \text{の乗法を } [a] \cdot [b] = [ab] \ \text{で定める}
解答.

答

判定well-defined である確認ab−a′b′=a(b−b′)+b′(a−a′) で、右辺の各項は 7 の倍数。よって [ab]=[a′b′] 。\begin{array}{ll} \text{判定} & \text{well-defined である} \\ \text{確認} & ab - a'b' = a(b - b') + b'(a - a') \ \text{で、右辺の各項は } 7 \ \text{の倍数。よって } [ab] = [a'b'] \ \text{。} \end{array}

注意 差を a(b − b') + b'(a − a') と分解するのが定石（片方ずつ動かす）。どちらの項も 7 の倍数なので、代表元の取り方によらない。 well-defined 性の確認は「代表元を変えても結果が同じか」を見るだけの定型作業で、一意存在の一意性パートと同じ論理構造（同値なら値が等しい、という含意を示す）。商や複数の表示をもつ対象を扱うたびに反射的に確認すること。▨

問題 6.14.

有理数 pq に対し g(pq)=p （分子）で写像を定める\text{有理数 } \dfrac{p}{q} \ \text{に対し } g\left(\dfrac{p}{q}\right) = p \ \text{（分子）で写像を定める}
解答.

答

判定well-defined でない反例12=24 だが、表示 12 では値は 1 、表示 24 では値は 2 。1≠2 なので表示に依存する。\begin{array}{ll} \text{判定} & \text{well-defined でない} \\ \text{反例} & \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} \ \text{だが、表示 } \dfrac{1}{2} \ \text{では値は } 1 \ \text{、表示 } \dfrac{2}{4} \ \text{では値は } 2 \ \text{。} 1 \ne 2 \ \text{なので表示に依存する。} \end{array}

注意 「分子」は有理数そのものの性質ではなく、選んだ表示の性質でしかない。同じ有理数を表す2つの表示で値が食い違うので、これは定義になっていない。 well-defined 性の確認は「代表元を変えても結果が同じか」を見るだけの定型作業で、一意存在の一意性パートと同じ論理構造（同値なら値が等しい、という含意を示す）。商や複数の表示をもつ対象を扱うたびに反射的に確認すること。▨

問題 6.15.

Z/6Z→Z, [a]↦a で写像を定める\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, \ [a] \mapsto a \ \text{で写像を定める}
解答.

答

判定well-defined でない反例[0]=[6] だが、代表元 0 を取ると値は 0 、代表元 6 を取ると値は 6 。0≠6 なので値が代表元に依存する。\begin{array}{ll} \text{判定} & \text{well-defined でない} \\ \text{反例} & [0] = [6] \ \text{だが、代表元 } 0 \ \text{を取ると値は } 0 \ \text{、代表元 } 6 \ \text{を取ると値は } 6 \ \text{。} 0 \ne 6 \ \text{なので値が代表元に依存する。} \end{array}

注意 「類から代表元そのものを返す」対応は典型的な非 well-defined 例。[0] と [6] は同じ類なのに、行き先が 0 と 6 で食い違う。整数として異なる値を返してしまうので、これは写像になっていない。 well-defined 性の確認は「代表元を変えても結果が同じか」を見るだけの定型作業で、一意存在の一意性パートと同じ論理構造（同値なら値が等しい、という含意を示す）。商や複数の表示をもつ対象を扱うたびに反射的に確認すること。▨

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