二項分布 | 場合の数と確率統計

1 定義と確率

定義 1.1 (二項分布). 成功確率 $p$ の試行を独立に $n$ 回行い、成功回数を $X$ とします。このとき $X$ の確率分布を、試行回数 $n$ 、成功確率 $p$ の二項分布といい、 $B(n,p)$ と書きます。ただし $n$ は正の整数、 $0\le p\le1$ とします。

公式 1.2 (二項分布の確率関数). $X\sim B(n,p)$ ならば、 $k=0,1,\ldots,n$ について

P(X=k)={}_nC_kp^k(1-p)^{n-k}

が成り立ちます。

証明. 成功する $k$ 回の選び方は ${}_nC_k$ 通りです。各選び方が起こる確率は独立性により $p^k(1-p)^{n-k}$ です。これらは排反なので、確率を足すと公式を得ます。▨

例 1.3. 成功確率 $p$ の独立な試行を5回行うとき、成功がちょうど2回になる確率は

{}_5C_2p^2(1-p)^3=10p^2(1-p)^3

です。

2 期待値と分散

成功回数を、各回の成否に応じて0または1をとる確率変数の和として表します。

定理 2.1. $X\sim B(n,p)$ ならば、

E[X]=np,\qquad V[X]=np(1-p)

が成り立ちます。

証明. 第 $i$ 回が成功すれば $X_i=1$ 、失敗すれば $X_i=0$ とします。このとき

X=X_1+\cdots+X_n,\qquad E[X_i]=p,\qquad V[X_i]=p(1-p)

です。期待値の線形性から $E[X]=np$ を得ます。各回が独立なので $X_i$ も互いに独立であり、分散の加法性から $V[X]=np(1-p)$ を得ます。▨

3 分布の形

注意 3.1 (パラメータと分布の形). $p=1/2$ では分布は $n/2$ を中心として対称です。 $p<1/2$ では小さい成功回数に確率が集まり、 $p>1/2$ では大きい成功回数に確率が集まります。 $n$ を増やすと分散は増えますが、成功割合 $X/n$ の分散は $p(1-p)/n$ へ減少します。

公式 3.2 (二項分布の隣接確率比). $0<p<1$ とし、 $0\le k<n$ を満たす整数 $k$ について、

\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)} =\frac{n-k}{k+1}\frac{p}{1-p}

が成り立ちます。この比を調べると、確率が増加から減少へ変わる位置を判断することができます。

注意 3.3 (成功確率が端点にある場合). $p=0$ では $P(X=0)=1$ 、 $p=1$ では $P(X=n)=1$ であり、分布は一点に集中します。隣接確率比は $p$ または $1-p$ による除算を含むため、これらの端点では用いず、確率関数から分布を直接判断します。

4 例題

レベル1 — 二項分布の確率

次の確率を求めよ。

解法の型 $P(X = k) = {}_n\mathrm{C}_k p^k(1-p)^{n-k}$

$X \sim B\left(5, \dfrac{1}{2}\right)$ のとき、次の確率を求めよ。

例 4.1.

P(X = 4)

答 $\dfrac{5}{32}$

レベル2 — 期待値と分散

次の二項分布の期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を求めよ。

解法の型 $E[X] = np,\quad V[X] = np(1-p)$

期待値と分散を求めよ。

例 4.2.

X \sim B\left(4, \dfrac{1}{2}\right)

答 $E[X] = 2,\quad V[X] = 1$

5 演習

問題 5.1. $X\sim B(10,0.3)$ のとき、 $P(X=3)$ 、 $E[X]$ 、 $V[X]$ を求めよ。

解答.

公式 1.2により、

P(X=3)={}_{10}C_3(0.3)^3(0.7)^7=120\cdot0.027\cdot0.0823543=0.266827932

であり、 $P(X=3)$ はおよそ $0.267$ である。定理 2.1により、 $E[X]=10\cdot0.3=3$ 、 $V[X]=10\cdot0.3\cdot0.7=2.1$ である。▨

問題 5.2. $B(8,0.2)$ と $B(8,0.8)$ の確率関数が、成功回数 $4$ を中心とする左右反転の関係にあることを説明せよ。

解答.

成功確率が $p$ のとき、二項分布 $B(8,p)$ に従う確率変数 $X$ について $P(X=k)$ を $P_p(X=k)$ と書く。 $k=0,1,\ldots,8$ とする。公式 1.2と ${}_8C_k={}_8C_{8-k}$ により、

P_{0.8}(X=k)={}_8C_k(0.8)^k(0.2)^{8-k}={}_8C_{8-k}(0.2)^{8-k}(0.8)^{k}=P_{0.2}(X=8-k)

が成り立つ。成功回数 $k$ と $8-k$ は $4$ について対称な位置にあるので、 $B(8,0.8)$ の確率関数のグラフは、 $B(8,0.2)$ の確率関数のグラフを直線 $k=4$ について折り返したものである。▨

問題 5.3. $X\sim B(n,p)$ のとき、成功割合 $X/n$ の標準偏差を求め、 $p$ を固定して $n$ を増やしたときの標準偏差の変化を説明せよ。

解答.

実数 $a$ と確率変数 $Y$ について、§B4.8 定理 3.1により $E[aY]=aE[Y]$ なので、

V[aY]=E[(aY-aE[Y])^2]=a^2E[(Y-E[Y])^2]=a^2V[Y]

が成り立つ。 $a=1/n$ 、 $Y=X$ とし、定理 2.1の $V[X]=np(1-p)$ を用いると、

V\left[\frac Xn\right]=\frac{np(1-p)}{n^2}=\frac{p(1-p)}{n}

である。したがって、 $X/n$ の標準偏差は $\sqrt{p(1-p)/n}$ である。 $0<p<1$ のとき、 $p$ を固定すると標準偏差は $1/\sqrt n$ に比例して減少する。たとえば $n$ を4倍にすると標準偏差は半分になる。 $p=0$ または $p=1$ のときは、どの $n$ についても標準偏差は0である。▨

レベル1 — 二項分布の確率

次の確率を求めよ。

解法の型 $P(X = k) = {}_n\mathrm{C}_k p^k(1-p)^{n-k}$

問題 5.4. $X \sim B\left(4, \dfrac{1}{3}\right)$ のとき、次の確率を求めよ。

P(X = 1)

解答.

答 $\dfrac{32}{81}$ ▨

問題 5.5. $X \sim B\left(4, \dfrac{1}{2}\right)$ のとき、次の確率を求めよ。

P(X = 3)

解答.

答 $\dfrac{1}{4}$ ▨

レベル2 — 期待値と分散

次の二項分布の期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を求めよ。

解法の型 $E[X] = np,\quad V[X] = np(1-p)$

期待値と分散を求めよ。

問題 5.6.

X \sim B\left(24, \dfrac{2}{3}\right)

解答.

答 $E[X] = 16,\quad V[X] = \dfrac{16}{3}$ ▨

問題 5.7.

X \sim B\left(18, \dfrac{2}{3}\right)

解答.

答 $E[X] = 12,\quad V[X] = 4$ ▨

§B4.9二項分布

1 定義と確率

2 期待値と分散

3 分布の形

4 例題

5 演習

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