§B4.15正規分布と標準化

最終更新

連続的な値をとる確率変数について、確率を密度曲線の下の面積として表します。面積の厳密な定義を Lebesgue 積分として与える一般理論は、E9§E10 測度と積分の§E10.10 Lebesgue 積分へ委ねます。

1 正規分布

定義 1.1 (正規分布). 実数μ\muと正の実数σ\sigmaに対して、密度関数

f(x)=12πσexp⁡(−(x−μ)22σ2)f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)

をもつ確率分布を、平均μ\mu、分散σ2\sigma^2の正規分布といい、N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)と書きます。

この密度関数が全実数上で1に規格化され、平均μ\mu、分散σ2\sigma^2をもつことの証明は§E11.5 基本的な確率分布へ委ねます。

確率変数XXが区間[a,b][a,b]に入る確率は、aaからbbまでの密度曲線の下の面積です。連続分布では一点の面積が0なので、P(X=a)=0P(X=a)=0です。

2 標準化

標準化は、正規分布に従う確率変数だけに対して定義される操作ではありません。

定理 2.1. 有限な平均μ\muと正の標準偏差σ\sigmaをもつ確率変数XXに対して、

Z=X−μσZ=\frac{X-\mu}{\sigma}

とおくと、E[Z]=0E[Z]=0、V[Z]=1V[Z]=1が成り立ちます。さらにX∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)ならばZ∼N(0,1)Z\sim N(0,1)です。

証明. 期待値の線形性と分散の定数倍の公式から、

E[Z]=E[X]−μσ=0,V[Z]=V[X]σ2=1E[Z]=\frac{E[X]-\mu}{\sigma}=0,\qquad V[Z]=\frac{V[X]}{\sigma^2}=1

を得ます。正規分布の場合には、x=μ+σzx=\mu+\sigma zという変数変換により密度関数が標準正規分布の密度へ移ります。この密度変換の証明は§E11.8 確率変数の変換と密度変換へ委ねます。□

例 2.2.X∼N(10,22)X\sim N(10,2^2)とします。

P(8≤X≤12)=P(−1≤X−102≤1)=P(−1≤Z≤1)P(8\le X\le12) =P\left(-1\le\frac{X-10}{2}\le1\right) =P(-1\le Z\le1)

です。標準正規分布表から最後の確率を求めます。

偏差値50+10(X−μ)/σ50+10(X-\mu)/\sigmaも線形標準化の一種です。この変換で得られる確率変数の平均が50、標準偏差が10になることは、元の分布が正規分布でなくても成り立ちます。正規性が必要になるのは、変換後の確率変数についての確率を正規分布表で計算するときです。

3 中心極限定理と二項分布の近似

定理 3.1. 独立で同じ分布に従い、有限な平均μ\muと正で有限な分散σ2\sigma^2をもつ確率変数X1,X2,…X_1,X_2,\ldotsについて、標本数nnが大きいとき、

(X1+⋯+Xn)−nμσn\frac{(X_1+\cdots+X_n)-n\mu}{\sigma\sqrt n}

の分布を標準正規分布で近似することができます。

本記事では中心極限定理を証明せず、その証明を§E11.16 中心極限定理へ委ねます。X1,X2,…X_1,X_2,\ldotsが独立でない場合、同じ分布に従わない場合、分散が有限でない場合には、上の定理をそのまま適用することはできません。

注意 3.2 (二項分布の正規近似).X∼B(n,p)X\sim B(n,p)でnpnpとn(1−p)n(1-p)がともに十分大きいとき、XXを平均npnp、分散np(1−p)np(1-p)の正規分布で近似することができます。目安として両者が10以上であることを用いる場合があります。整数値の区間を連続分布で近似するときは、例えばP(a≤X≤b)P(a\le X\le b)をP(a−0.5<Y<b+0.5)P(a-0.5<Y<b+0.5)で近似する連続補正を用います。

4 例題

レベル2 — 正規分布と標準化

正規分布表の値として P(−1≤\leZ≤\le1)==0.6826、P(−2≤\leZ≤\le2)==0.9544、P(−3≤\leZ≤\le3)==0.9974 を用いてよい。次の問いに答えよ。

解法の型Z==(X −μ)/σ\mu)/\sigmaで標準化し、標準正規分布 N(0, 1) の面積に読み替える

例 4.1. X が正規分布 N(50, 12²) に従うとき、X==32 を標準化した値 z を求めよ。

X∼N(50,122),X=32 のときの z=X−μσX \sim N(50, 12^2),\quad X = 32\ \text{のときの}\ z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}

答z=−32z = -\dfrac{3}{2}

注意 z==(X −μ)/σ=\mu)/\sigma =(32 − 50)/12==-18/12==-3/2。平均からのずれを標準偏差何個分かで測り直す操作（σ\sigmaで割る。σ\sigma² ではない）。

例 4.2. X が正規分布 N(60, 8²) に従うとき、P(52≤\leX≤\le68) を求めよ。

X∼N(60,82) のとき P(52≤X≤68)X \sim N(60, 8^2)\ \text{のとき}\ P(52 \le X \le 68)

答0.68260.6826

注意 Z==(X − 60)/8 で標準化すると、52≤\leX≤\le68 は −1≤\leZ≤\le1（平均 ±1σ1\sigma）に対応する。正規分布表より P(−1≤\leZ≤\le1)==0.6826。

例 4.3. X が正規分布 N(50, 12²) に従うとき、P(X≥\ge74) を求めよ。

X∼N(50,122) のとき P(X≥74)X \sim N(50, 12^2)\ \text{のとき}\ P(X \ge 74)

答0.02280.0228

注意 標準化すると X≥\ge74 は Z≥\ge2。正規分布は左右対称なので、P(Z≥\ge2)==(1 − P(−2≤\leZ≤\le2))/2==(1 − 0.9544)/2==0.0228。

例 4.4. X が正規分布 N(120, 4²) に従うとき、P(120≤\leX≤\le128) を求めよ。

X∼N(120,42) のとき P(120≤X≤128)X \sim N(120, 4^2)\ \text{のとき}\ P(120 \le X \le 128)

答0.47720.4772

注意 標準化すると 120≤\leX≤\le128 は 0≤\leZ≤\le2。対称性より P(0≤\leZ≤\le2)==P(−2≤\leZ≤\le2)/2==0.9544/2==0.4772。

例 4.5. 二項分布 B(100, 1/2) に従う確率変数 X を正規分布で近似して、P(45≤\leX≤\le55) を求めよ。

X∼B(100,12) のとき P(45≤X≤55)X \sim B\left(100, \dfrac{1}{2}\right)\ \text{のとき}\ P(45 \le X \le 55)

答0.68260.6826

注意 平均 np==50、分散 np(1−p)==25 なので標準偏差は 5。n が大きいので X は近似的に N(50, 5²) に従う。Z==(X − 50)/5 で標準化すると、45≤\leX≤\le55 は −1≤\leZ≤\le1 に対応し、正規分布表より確率は 0.6826。

例 4.6. X が正規分布 N(150, 8²) に従うとき、X==142 を標準化した値 z を求めよ。

X∼N(150,82),X=142 のときの z=X−μσX \sim N(150, 8^2),\quad X = 142\ \text{のときの}\ z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}

答z=−1z = -1

注意 z==(X −μ)/σ=\mu)/\sigma =(142 − 150)/8==-8/8==-1。平均からのずれを標準偏差何個分かで測り直す操作（σ\sigmaで割る。σ\sigma² ではない）。

例 4.7. X が正規分布 N(100, 4²) に従うとき、P(92≤\leX≤\le108) を求めよ。

X∼N(100,42) のとき P(92≤X≤108)X \sim N(100, 4^2)\ \text{のとき}\ P(92 \le X \le 108)

答0.95440.9544

注意 Z==(X − 100)/4 で標準化すると、92≤\leX≤\le108 は −2≤\leZ≤\le2（平均 ±2σ2\sigma）に対応する。正規分布表より P(−2≤\leZ≤\le2)==0.9544。

例 4.8. X が正規分布 N(100, 10²) に従うとき、P(X≥\ge120) を求めよ。

X∼N(100,102) のとき P(X≥120)X \sim N(100, 10^2)\ \text{のとき}\ P(X \ge 120)

答0.02280.0228

注意 標準化すると X≥\ge120 は Z≥\ge2。正規分布は左右対称なので、P(Z≥\ge2)==(1 − P(−2≤\leZ≤\le2))/2==(1 − 0.9544)/2==0.0228。

例 4.9. X が正規分布 N(50, 10²) に従うとき、P(50≤\leX≤\le80) を求めよ。

X∼N(50,102) のとき P(50≤X≤80)X \sim N(50, 10^2)\ \text{のとき}\ P(50 \le X \le 80)

答0.49870.4987

注意 標準化すると 50≤\leX≤\le80 は 0≤\leZ≤\le3。対称性より P(0≤\leZ≤\le3)==P(−3≤\leZ≤\le3)/2==0.9974/2==0.4987。

例 4.10. 二項分布 B(400, 1/2) に従う確率変数 X を正規分布で近似して、P(180≤\leX≤\le220) を求めよ。

X∼B(400,12) のとき P(180≤X≤220)X \sim B\left(400, \dfrac{1}{2}\right)\ \text{のとき}\ P(180 \le X \le 220)

答0.95440.9544

注意 平均 np==200、分散 np(1−p)==100 なので標準偏差は 10。n が大きいので X は近似的に N(200, 10²) に従う。Z==(X − 200)/10 で標準化すると、180≤\leX≤\le220 は −2≤\leZ≤\le2 に対応し、正規分布表より確率は 0.9544。

5 演習

問題 5.1. 平均70、標準偏差8の確率変数を標準化したとき、値82は標準化後にいくつになるか。

解答.

標準化はz=(x−μ)/σz=(x-\mu)/\sigmaで与えられるので、値82は(82−70)/8=12/8=1.5(82-70)/8=12/8=1.5になる。▨

問題 5.2. 有限な平均μ\muと正の標準偏差σ\sigmaをもつ確率変数XXについて、線形標準化Z=(X−μ)/σZ=(X-\mu)/\sigmaの平均が0、分散が1になることを、XXが正規分布に従うことを用いずに証明せよ。

解答.

期待値の線形性により、実数a,ba,bについてE[aX+b]=aE[X]+bE[aX+b]=aE[X]+bである。a=1/σa=1/\sigma、b=−μ/σb=-\mu/\sigmaとすると、

E[Z]=E[X]−μσ=μ−μσ=0E[Z]=\frac{E[X]-\mu}{\sigma}=\frac{\mu-\mu}{\sigma}=0

である。分散の定義とE[Z]=0E[Z]=0により、

V[Z]=E[(Z−0)2]=E[(X−μ)2σ2]=E[(X−μ)2]σ2=V[X]σ2=σ2σ2=1V[Z]=E\left[(Z-0)^2\right]=E\left[\frac{(X-\mu)^2}{\sigma^2}\right]=\frac{E[(X-\mu)^2]}{\sigma^2}=\frac{V[X]}{\sigma^2}=\frac{\sigma^2}{\sigma^2}=1

である。3番目の等号では、期待値の線形性を定数1/σ21/\sigma^2倍に用いた。この計算で用いたのは、期待値の線形性と分散の定義とE[X]=μE[X]=\mu、V[X]=σ2V[X]=\sigma^2だけであり、XXの密度関数の形は用いていない。したがって、E[Z]=0E[Z]=0、V[Z]=1V[Z]=1はXXが正規分布に従わなくても成り立つ。▨

問題 5.3.X∼B(100,0.2)X\sim B(100,0.2)を正規分布で近似するとき、近似に用いる正規分布の平均と分散を求めよ。また、P(15≤X≤25)P(15\le X\le25)を近似するときに用いる、連続補正後の区間を答えよ。

解答.

注意 3.2により、近似に用いる正規分布の平均はnp=100⋅0.2=20np=100\cdot0.2=20、分散はnp(1−p)=100⋅0.2⋅0.8=16np(1-p)=100\cdot0.2\cdot0.8=16である。np=20np=20とn(1−p)=80n(1-p)=80はともに10以上である。近似する正規分布に従う確率変数をY∼N(20,16)Y\sim N(20,16)とすると、連続補正によりP(15≤X≤25)P(15\le X\le25)をP(14.5<Y<25.5)P(14.5<Y<25.5)で近似する。したがって、連続補正後の区間は14.5<Y<25.514.5<Y<25.5である。▨

問題 5.4. 平均40、分散25の確率変数XXについて、X=52X=52の標準化後の値を求めよ。また、XXが正規分布に従うことを仮定しないとき、線形標準化後の確率変数の平均と分散について何を述べることができるかを示せ。

解答.

標準偏差は25=5\sqrt{25}=5なので、X=52X=52の標準化後の値は(52−40)/5=2.4(52-40)/5=2.4である。XXは有限な平均40と正の標準偏差5をもつので、定理 2.1の前半により、Z=(X−40)/5Z=(X-40)/5についてE[Z]=0E[Z]=0、V[Z]=1V[Z]=1が成り立つ。この結論は、XXの分布の形を仮定せずに述べることができる。一方、ZZが標準正規分布に従うことは述べることができないので、標準正規分布表でZZについての確率を計算するには、XXの正規性または適切な正規近似が別に必要である。▨

レベル2 — 正規分布と標準化

正規分布表の値として P(−1≤\leZ≤\le1)==0.6826、P(−2≤\leZ≤\le2)==0.9544、P(−3≤\leZ≤\le3)==0.9974 を用いてよい。次の問いに答えよ。

解法の型Z==(X −μ)/σ\mu)/\sigmaで標準化し、標準正規分布 N(0, 1) の面積に読み替える

問題 5.5. X が正規分布 N(120, 8²) に従うとき、X==144 を標準化した値 z を求めよ。

X∼N(120,82),X=144 のときの z=X−μσX \sim N(120, 8^2),\quad X = 144\ \text{のときの}\ z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}
解答.

答z=3z = 3

注意 z==(X −μ)/σ=\mu)/\sigma =(144 − 120)/8==24/8==3。平均からのずれを標準偏差何個分かで測り直す操作（σ\sigmaで割る。σ\sigma² ではない）。▨

問題 5.6. X が正規分布 N(120, 12²) に従うとき、P(96≤\leX≤\le144) を求めよ。

X∼N(120,122) のとき P(96≤X≤144)X \sim N(120, 12^2)\ \text{のとき}\ P(96 \le X \le 144)
解答.

答0.95440.9544

注意 Z==(X − 120)/12 で標準化すると、96≤\leX≤\le144 は −2≤\leZ≤\le2（平均 ±2σ2\sigma）に対応する。正規分布表より P(−2≤\leZ≤\le2)==0.9544。▨

問題 5.7. X が正規分布 N(100, 4²) に従うとき、P(X≥\ge112) を求めよ。

X∼N(100,42) のとき P(X≥112)X \sim N(100, 4^2)\ \text{のとき}\ P(X \ge 112)
解答.

答0.00130.0013

注意 標準化すると X≥\ge112 は Z≥\ge3。正規分布は左右対称なので、P(Z≥\ge3)==(1 − P(−3≤\leZ≤\le3))/2==(1 − 0.9974)/2==0.0013。▨

問題 5.8. X が正規分布 N(100, 6²) に従うとき、P(100≤\leX≤\le118) を求めよ。

X∼N(100,62) のとき P(100≤X≤118)X \sim N(100, 6^2)\ \text{のとき}\ P(100 \le X \le 118)
解答.

答0.49870.4987

注意 標準化すると 100≤\leX≤\le118 は 0≤\leZ≤\le3。対称性より P(0≤\leZ≤\le3)==P(−3≤\leZ≤\le3)/2==0.9974/2==0.4987。▨

問題 5.9. 二項分布 B(400, 1/2) に従う確率変数 X を正規分布で近似して、P(180≤\leX≤\le220) を求めよ。

X∼B(400,12) のとき P(180≤X≤220)X \sim B\left(400, \dfrac{1}{2}\right)\ \text{のとき}\ P(180 \le X \le 220)
解答.

答0.95440.9544

注意 平均 np==200、分散 np(1−p)==100 なので標準偏差は 10。n が大きいので X は近似的に N(200, 10²) に従う。Z==(X − 200)/10 で標準化すると、180≤\leX≤\le220 は −2≤\leZ≤\le2 に対応し、正規分布表より確率は 0.9544。▨

問題 5.10. X が正規分布 N(150, 4²) に従うとき、X==144 を標準化した値 z を求めよ。

X∼N(150,42),X=144 のときの z=X−μσX \sim N(150, 4^2),\quad X = 144\ \text{のときの}\ z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}
解答.

答z=−32z = -\dfrac{3}{2}

注意 z==(X −μ)/σ=\mu)/\sigma =(144 − 150)/4==-6/4==-3/2。平均からのずれを標準偏差何個分かで測り直す操作（σ\sigmaで割る。σ\sigma² ではない）。▨

問題 5.11. X が正規分布 N(40, 4²) に従うとき、P(36≤\leX≤\le44) を求めよ。

X∼N(40,42) のとき P(36≤X≤44)X \sim N(40, 4^2)\ \text{のとき}\ P(36 \le X \le 44)
解答.

答0.68260.6826

注意 Z==(X − 40)/4 で標準化すると、36≤\leX≤\le44 は −1≤\leZ≤\le1（平均 ±1σ1\sigma）に対応する。正規分布表より P(−1≤\leZ≤\le1)==0.6826。▨

問題 5.12. X が正規分布 N(100, 6²) に従うとき、P(X≥\ge106) を求めよ。

X∼N(100,62) のとき P(X≥106)X \sim N(100, 6^2)\ \text{のとき}\ P(X \ge 106)
解答.

答0.15870.1587

注意 標準化すると X≥\ge106 は Z≥\ge1。正規分布は左右対称なので、P(Z≥\ge1)==(1 − P(−1≤\leZ≤\le1))/2==(1 − 0.6826)/2==0.1587。▨

問題 5.13. X が正規分布 N(100, 6²) に従うとき、P(100≤\leX≤\le112) を求めよ。

X∼N(100,62) のとき P(100≤X≤112)X \sim N(100, 6^2)\ \text{のとき}\ P(100 \le X \le 112)
解答.

答0.47720.4772

注意 標準化すると 100≤\leX≤\le112 は 0≤\leZ≤\le2。対称性より P(0≤\leZ≤\le2)==P(−2≤\leZ≤\le2)/2==0.9544/2==0.4772。▨

問題 5.14. 二項分布 B(192, 1/4) に従う確率変数 X を正規分布で近似して、P(36≤\leX≤\le60) を求めよ。

X∼B(192,14) のとき P(36≤X≤60)X \sim B\left(192, \dfrac{1}{4}\right)\ \text{のとき}\ P(36 \le X \le 60)
解答.

答0.95440.9544

注意 平均 np==48、分散 np(1−p)==36 なので標準偏差は 6。n が大きいので X は近似的に N(48, 6²) に従う。Z==(X − 48)/6 で標準化すると、36≤\leX≤\le60 は −2≤\leZ≤\le2 に対応し、正規分布表より確率は 0.9544。▨

問題 5.15. X が正規分布 N(50, 4²) に従うとき、X==42 を標準化した値 z を求めよ。

X∼N(50,42),X=42 のときの z=X−μσX \sim N(50, 4^2),\quad X = 42\ \text{のときの}\ z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}
解答.

答z=−2z = -2

注意 z==(X −μ)/σ=\mu)/\sigma =(42 − 50)/4==-8/4==-2。平均からのずれを標準偏差何個分かで測り直す操作（σ\sigmaで割る。σ\sigma² ではない）。▨

問題 5.16. X が正規分布 N(150, 10²) に従うとき、P(130≤\leX≤\le170) を求めよ。

X∼N(150,102) のとき P(130≤X≤170)X \sim N(150, 10^2)\ \text{のとき}\ P(130 \le X \le 170)
解答.

答0.95440.9544

注意 Z==(X − 150)/10 で標準化すると、130≤\leX≤\le170 は −2≤\leZ≤\le2（平均 ±2σ2\sigma）に対応する。正規分布表より P(−2≤\leZ≤\le2)==0.9544。▨

問題 5.17. X が正規分布 N(100, 8²) に従うとき、P(X≥\ge116) を求めよ。

X∼N(100,82) のとき P(X≥116)X \sim N(100, 8^2)\ \text{のとき}\ P(X \ge 116)
解答.

答0.02280.0228

注意 標準化すると X≥\ge116 は Z≥\ge2。正規分布は左右対称なので、P(Z≥\ge2)==(1 − P(−2≤\leZ≤\le2))/2==(1 − 0.9544)/2==0.0228。▨

問題 5.18. X が正規分布 N(150, 6²) に従うとき、P(150≤\leX≤\le168) を求めよ。

X∼N(150,62) のとき P(150≤X≤168)X \sim N(150, 6^2)\ \text{のとき}\ P(150 \le X \le 168)
解答.

答0.49870.4987

注意 標準化すると 150≤\leX≤\le168 は 0≤\leZ≤\le3。対称性より P(0≤\leZ≤\le3)==P(−3≤\leZ≤\le3)/2==0.9974/2==0.4987。▨

問題 5.19. 二項分布 B(192, 1/4) に従う確率変数 X を正規分布で近似して、P(42≤\leX≤\le54) を求めよ。

X∼B(192,14) のとき P(42≤X≤54)X \sim B\left(192, \dfrac{1}{4}\right)\ \text{のとき}\ P(42 \le X \le 54)
解答.

答0.68260.6826

注意 平均 np==48、分散 np(1−p)==36 なので標準偏差は 6。n が大きいので X は近似的に N(48, 6²) に従う。Z==(X − 48)/6 で標準化すると、42≤\leX≤\le54 は −1≤\leZ≤\le1 に対応し、正規分布表より確率は 0.6826。▨

前提記事