条件付き確率とベイズの定理 | 場合の数と確率統計

1 条件付き確率

定義 1.1 (条件付き確率). 事象 $A,B$ について $P(B)>0$ であるとき、 $B$ が起こったという条件のもとでの $A$ の条件付き確率を

P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

と定義します。

条件付き確率の定義の式を変形すると、乗法定理が得られます。

公式 1.2 (乗法定理). $P(B)>0$ ならば、

P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)

が成り立ちます。さらに $P(A)>0$ ならば、

P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)

も成り立ちます。

2 ベイズの定理

標本空間を、原因に相当する互いに排反な事象へ分けて、結果が観測された後の各原因の確率を求めます。

定理 2.1 (ベイズの定理). $A_1,\ldots,A_m$ が標本空間の分割であり、各 $P(A_i)>0$ とします。事象 $B$ が $P(B)>0$ を満たすとき、

P(A_i\mid B) =\frac{P(B\mid A_i)P(A_i)} {\sum_{j=1}^{m}P(B\mid A_j)P(A_j)}

が成り立ちます。

証明. 乗法定理から分子は $P(A_i\cap B)=P(B\mid A_i)P(A_i)$ です。また、 $A_j\cap B$ は互いに排反で、その和集合が $B$ なので、

P(B)=\sum_{j=1}^{m}P(B\mid A_j)P(A_j)

です。条件付き確率の定義へ代入すると結論を得ます。▨

例 2.2. 病気の割合を $1\%$ とします。病気がある人の検査陽性率を $90\%$ 、病気がない人の偽陽性率を $5\%$ とします。陽性となる確率は

0.90\cdot0.01+0.05\cdot0.99=0.0585

です。したがって、陽性者が病気である条件付き確率は

\frac{0.90\cdot0.01}{0.0585}\approx0.154

です。 $P(\text{陽性}\mid\text{病気})=0.90$ と $P(\text{病気}\mid\text{陽性})\approx0.154$ は異なります。

3 例題

レベル1 — 条件付き確率

次の条件付き確率を求めよ。

解法の型 $P(B \mid A) = \dfrac{n(A \cap B)}{n(A)}$

ある集団 $60$ 人のうち、 $A$ である人が $34$ 人（そのうち $B$ でもある人が $10$ 人）、 $A$ でない人が $26$ 人（そのうち $B$ である人が $21$ 人）である。 $A$ である人の中から1人を選ぶとき、その人が $B$ である条件付き確率を求めよ。

例 3.1.

P(B \mid A)

答 $\dfrac{5}{17}$

注意 $n(A) = 34,\quad n(A \cap B) = 10$

4 演習

問題 4.1. 箱Aを確率 $0.4$ 、箱Bを確率 $0.6$ で選ぶ。箱Aから赤玉を引く確率は $0.5$ 、箱Bから赤玉を引く確率は $0.2$ である。赤玉を引いたとき、箱Aを選んでいた確率を求めよ。

解答.

箱Aを選ぶ事象を $A_1$ 、箱Bを選ぶ事象を $A_2$ 、赤玉を引く事象を $B$ とする。 $A_1,A_2$ は標本空間の分割であり、 $P(A_1)=0.4>0$ 、 $P(A_2)=0.6>0$ である。 $P(B)=0.5\cdot0.4+0.2\cdot0.6=0.32>0$ なので、定理 2.1により、

P(A_1\mid B)=\frac{0.5\cdot0.4}{0.5\cdot0.4+0.2\cdot0.6}=\frac{0.2}{0.32}=\frac58

である。▨

問題 4.2.定理 2.1で必要な、分母が正であるという条件をすべて述べよ。

解答.

必要な条件は、各 $i=1,\ldots,m$ について $P(A_i)>0$ であることと、 $P(B)>0$ であることである。定義 1.1により、 $P(B\mid A_j)$ は $P(A_j)>0$ のときに限って定義されるので、右辺に現れる $P(B\mid A_j)$ のために各 $P(A_j)>0$ が必要である。左辺の $P(A_i\mid B)$ は $P(B)>0$ のときに限って定義されるので、 $P(B)>0$ が必要である。右辺の分母 $\sum_{j=1}^{m}P(B\mid A_j)P(A_j)$ は $P(B)$ に等しいので、分母が正であることは $P(B)>0$ と同じ条件である。▨

問題 4.3. $P(A\mid B)$ と $P(B\mid A)$ を取り違えた説明の例を一つ作り、誤りを訂正せよ。

解答.

例 2.2の検査を用いる。「病気がある人の90パーセントが陽性になるので、陽性者の90パーセントが病気である」という説明は、 $P(\text{陽性}\mid\text{病気})=0.90$ を $P(\text{病気}\mid\text{陽性})$ と取り違えている。陽性者が病気である確率は、有病率 $0.01$ と偽陽性率 $0.05$ も用いて定理 2.1で求める。その値は

P(\text{病気}\mid\text{陽性})=\frac{0.90\cdot0.01}{0.90\cdot0.01+0.05\cdot0.99}=\frac{0.009}{0.0585}\approx0.154

であり、0.90 とは大きく異なる。したがって、正しい説明は「陽性者のうち病気である人の割合はおよそ15パーセントである」である。▨

レベル1 — 条件付き確率

次の条件付き確率を求めよ。

解法の型 $P(B \mid A) = \dfrac{n(A \cap B)}{n(A)}$

ある集団 $100$ 人のうち、 $A$ である人が $49$ 人（そのうち $B$ でもある人が $31$ 人）、 $A$ でない人が $51$ 人（そのうち $B$ である人が $34$ 人）である。 $A$ である人の中から1人を選ぶとき、その人が $B$ である条件付き確率を求めよ。

問題 4.4.

P(B \mid A)

解答.

答 $\dfrac{31}{49}$

注意 $n(A) = 49,\quad n(A \cap B) = 31$ ▨

§B4.7条件付き確率とベイズの定理

1 条件付き確率

2 ベイズの定理

3 例題

4 演習

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