§B4.16統計的推測

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本記事では、無作為抽出と正規近似の条件を明示したうえで、標本から母集団についての区間推定と仮説検定を行います。

1 推定量と標準誤差

定義 1.1 (標準誤差). 推定量の標本抽出による標準偏差を標準誤差といいます。独立同分布な標本X1,…,XnX_1,\ldots,X_nの母標準偏差がσ\sigmaならば、標本平均Xˉ\bar Xの標準誤差はσ/n\sigma/\sqrt nです。

中心極限定理の標準的な条件のもとで、nnが大きいとき、標本平均の分布を正規分布で近似します。中心極限定理の証明は§E11.16 中心極限定理へ委ねます。

2 母平均の信頼区間

公式 2.1 (母平均の95パーセント信頼区間). 独立同分布な無作為標本を取り、母標準偏差σ\sigmaが既知で、標本平均の分布を正規分布で近似することができるとします。このとき母平均μ\muの95パーセント信頼区間は

Xˉ−1.96σn≤μ≤Xˉ+1.96σn\bar X-1.96\frac{\sigma}{\sqrt n} \le\mu\le \bar X+1.96\frac{\sigma}{\sqrt n}

です。

95パーセントとは、同じ抽出と区間作成の手順を繰り返したとき、作った区間の約95パーセントが固定された母平均を含むという意味です。得られた一本の区間に、母平均が95パーセントの確率で入るという意味ではありません。

3 母比率の信頼区間

公式 3.1 (母比率の95パーセント信頼区間). 大きさnnの独立な無作為標本における成功数をXX、標本比率をp^=X/n\hat p=X/nとします。np^n\hat pとn(1−p^)n(1-\hat p)がともに十分大きいとき、母比率ppの近似的な95パーセント信頼区間を

p^−1.96p^(1−p^)n≤p≤p^+1.96p^(1−p^)n\hat p-1.96\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} \le p\le \hat p+1.96\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}

とします。

例 3.2. 無作為に選んだ400人のうち240人が賛成したとします。p^=0.60\hat p=0.60、標準誤差の推定値は

0.6⋅0.4400≈0.0245\sqrt{\frac{0.6\cdot0.4}{400}}\approx0.0245

です。近似的な95パーセント信頼区間は

0.60±1.96⋅0.02450.60\pm1.96\cdot0.0245

なので、およそ[0.552,0.648][0.552,0.648]です。

4 仮説検定

定義 4.1 (帰無仮説・対立仮説・検定統計量・p値). 検定で基準として仮定する主張を帰無仮説H0H_0、帰無仮説と比較して支持を調べる主張を対立仮説H1H_1といいます。標本から計算し、帰無仮説のもとでの分布が既知である量を検定統計量といいます。観測した検定統計量と同程度以上に対立仮説側へ外れた値が、帰無仮説のもとで現れる確率をp値といいます。

例 4.2.H0:p=0.5H_0:p=0.5、H1:p≠0.5H_1:p\ne0.5とします。n=400n=400人中224人が成功したのでp^=0.56\hat p=0.56です。帰無仮説のもとで

Z=p^−0.50.5(1−0.5)/400=2.4Z=\frac{\hat p-0.5}{\sqrt{0.5(1-0.5)/400}}=2.4

です。両側p値は標準正規分布についてP(∣Z∣≥2.4)P(|Z|\ge2.4)であり、約0.016です。有意水準5パーセントなら帰無仮説を棄却します。

帰無仮説を棄却しないことは、帰無仮説が正しいことの証明ではありません。p値は帰無仮説が正しい確率でも、効果の大きさでもありません。

5 例題

レベル3 — 区間推定

標準正規分布について P(−1.96≤\leZ≤\le1.96)==0.95 を用いてよい。次の問いに答えよ。

解法の型母平均の95%信頼区間: x̄ −1.96σ/1.96\sigma/√n≤\leμ\mu≤\lex̄ +1.96σ/1.96\sigma/√n。母比率: p̂ ± 1.96√(p̂(1−p̂)/n)。有意水準5%の両側検定の棄却域: |z| > 1.96

例 5.1. 母標準偏差が 40 である母集団から大きさ 400 の標本を無作為に取ったところ、標本平均は 79 であった。母平均μ\muの95%信頼区間を求めよ。

n=400,xˉ=79,σ=40n = 400,\quad \bar{x} = 79,\quad \sigma = 40

答75.08≤μ≤82.9275.08 \le \mu \le 82.92

注意 標本平均の標準偏差はσ/\sigma/√n==40/20==2。信頼区間の幅の半分は 1.96 × 2==3.92 なので、79 ± 3.92 すなわち 75.08≤μ≤\le \mu \le82.92。「95%信頼区間」は、同じ手順で標本を取り直して区間を作る操作を繰り返すと、そのうち約95%が母平均を含む、という手続きの性質である。いま得た1本の区間に母平均が入る確率が95%、という言い方は正確ではない（母平均は動かない定数で、標本ごとに動くのは区間のほう）。

例 5.2. ある母集団から大きさ 900 の標本を無作為に取ったところ、810 個が特性 A を持っていた。母比率 p の95%信頼区間を求めよ。

n=900,p^=810900=0.9n = 900,\quad \hat{p} = \dfrac{810}{900} = 0.9

答0.8804≤p≤0.91960.8804 \le p \le 0.9196

注意 標本比率は p̂==810/900==0.9。標準誤差は √(p̂(1−p̂)/n)==0.01 で、1.96 倍すると 0.0196。よって 0.9 ± 0.0196、すなわち 0.8804≤\lep≤\le0.9196。「95%信頼区間」は、同じ手順で標本を取り直して区間を作る操作を繰り返すと、そのうち約95%が母比率を含む、という手続きの性質である。いま得た1本の区間に母比率が入る確率が95%、という言い方は正確ではない（母比率は動かない定数で、標本ごとに動くのは区間のほう）。

例 5.3. あるコインを 400 回投げたところ、表が 216 回出た。このコインの表の出る確率は 1/2 でないといえるか。有意水準5%で両側検定せよ。

n=400,表の回数=216,z=216−200400⋅12⋅12n = 400,\quad \text{表の回数} = 216,\quad z = \dfrac{216 - 200}{\sqrt{400 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}}

答z=1.6,∣z∣≤1.96z = 1.6,\quad |z| \le 1.96より帰無仮説は棄却されない（1/2 でないとはいえない）

注意 帰無仮説「表の確率は 1/2」のもとで、表の回数は平均 200、標準偏差 √(400×(1/2)×(1/2))==10 の正規分布に近似的に従う。z==(216 − 200)/10==1.6。棄却域は |z| > 1.96 なので、棄却しない。棄却されなくても「表の確率が 1/2 である」と証明されたわけではない（棄却するほどの証拠がなかっただけ）。

例 5.4. 母標準偏差 100 の母集団について「母平均は 80 である」という帰無仮説を立てる。大きさ 400 の標本の標本平均が 87 であったとき、有意水準5%で両側検定せよ。

n=400,xˉ=87,σ=100,μ0=80,z=xˉ−μ0σ/nn = 400,\quad \bar{x} = 87,\quad \sigma = 100,\quad \mu_0 = 80,\quad z = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}

答z=1.4,∣z∣≤1.96z = 1.4,\quad |z| \le 1.96より帰無仮説は棄却されない

注意σ/\sigma/√n==100/20==5 なので z==(87 − 80)/5==1.4。有意水準5%の両側検定の棄却域は |z| > 1.96 で、今回は棄却域に入らないので帰無仮説は棄却されない（「正しいと証明された」わけではなく、「棄却するほどの証拠がない」だけ）。

例 5.5. 母標準偏差が 30 である母集団から大きさ 100 の標本を無作為に取ったところ、標本平均は 64 であった。母平均μ\muの95%信頼区間を求めよ。

n=100,xˉ=64,σ=30n = 100,\quad \bar{x} = 64,\quad \sigma = 30

答58.12≤μ≤69.8858.12 \le \mu \le 69.88

注意 標本平均の標準偏差はσ/\sigma/√n==30/10==3。信頼区間の幅の半分は 1.96 × 3==5.88 なので、64 ± 5.88 すなわち 58.12≤μ≤\le \mu \le69.88。「95%信頼区間」は、同じ手順で標本を取り直して区間を作る操作を繰り返すと、そのうち約95%が母平均を含む、という手続きの性質である。いま得た1本の区間に母平均が入る確率が95%、という言い方は正確ではない（母平均は動かない定数で、標本ごとに動くのは区間のほう）。

例 5.6. ある母集団から大きさ 400 の標本を無作為に取ったところ、80 個が特性 A を持っていた。母比率 p の95%信頼区間を求めよ。

n=400,p^=80400=0.2n = 400,\quad \hat{p} = \dfrac{80}{400} = 0.2

答0.1608≤p≤0.23920.1608 \le p \le 0.2392

注意 標本比率は p̂==80/400==0.2。標準誤差は √(p̂(1−p̂)/n)==0.02 で、1.96 倍すると 0.0392。よって 0.2 ± 0.0392、すなわち 0.1608≤\lep≤\le0.2392。「95%信頼区間」は、同じ手順で標本を取り直して区間を作る操作を繰り返すと、そのうち約95%が母比率を含む、という手続きの性質である。いま得た1本の区間に母比率が入る確率が95%、という言い方は正確ではない（母比率は動かない定数で、標本ごとに動くのは区間のほう）。

例 5.7. あるコインを 100 回投げたところ、表が 43 回出た。このコインの表の出る確率は 1/2 でないといえるか。有意水準5%で両側検定せよ。

n=100,表の回数=43,z=43−50100⋅12⋅12n = 100,\quad \text{表の回数} = 43,\quad z = \dfrac{43 - 50}{\sqrt{100 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}}

答z=−1.4,∣z∣≤1.96z = -1.4,\quad |z| \le 1.96より帰無仮説は棄却されない（1/2 でないとはいえない）

注意 帰無仮説「表の確率は 1/2」のもとで、表の回数は平均 50、標準偏差 √(100×(1/2)×(1/2))==5 の正規分布に近似的に従う。z==(43 − 50)/5==-1.4。棄却域は |z| > 1.96 なので、棄却しない。棄却されなくても「表の確率が 1/2 である」と証明されたわけではない（棄却するほどの証拠がなかっただけ）。

例 5.8. 母標準偏差 50 の母集団について「母平均は 120 である」という帰無仮説を立てる。大きさ 100 の標本の標本平均が 129 であったとき、有意水準5%で両側検定せよ。

n=100,xˉ=129,σ=50,μ0=120,z=xˉ−μ0σ/nn = 100,\quad \bar{x} = 129,\quad \sigma = 50,\quad \mu_0 = 120,\quad z = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}

答z=1.8,∣z∣≤1.96z = 1.8,\quad |z| \le 1.96より帰無仮説は棄却されない

注意σ/\sigma/√n==50/10==5 なので z==(129 − 120)/5==1.8。有意水準5%の両側検定の棄却域は |z| > 1.96 で、今回は棄却域に入らないので帰無仮説は棄却されない（「正しいと証明された」わけではなく、「棄却するほどの証拠がない」だけ）。

例 5.9. 母標準偏差が 40 である母集団から大きさ 400 の標本を無作為に取ったところ、標本平均は 92 であった。母平均μ\muの95%信頼区間を求めよ。

n=400,xˉ=92,σ=40n = 400,\quad \bar{x} = 92,\quad \sigma = 40

答88.08≤μ≤95.9288.08 \le \mu \le 95.92

注意 標本平均の標準偏差はσ/\sigma/√n==40/20==2。信頼区間の幅の半分は 1.96 × 2==3.92 なので、92 ± 3.92 すなわち 88.08≤μ≤\le \mu \le95.92。「95%信頼区間」は、同じ手順で標本を取り直して区間を作る操作を繰り返すと、そのうち約95%が母平均を含む、という手続きの性質である。いま得た1本の区間に母平均が入る確率が95%、という言い方は正確ではない（母平均は動かない定数で、標本ごとに動くのは区間のほう）。

例 5.10. ある母集団から大きさ 900 の標本を無作為に取ったところ、90 個が特性 A を持っていた。母比率 p の95%信頼区間を求めよ。

n=900,p^=90900=0.1n = 900,\quad \hat{p} = \dfrac{90}{900} = 0.1

答0.0804≤p≤0.11960.0804 \le p \le 0.1196

注意 標本比率は p̂==90/900==0.1。標準誤差は √(p̂(1−p̂)/n)==0.01 で、1.96 倍すると 0.0196。よって 0.1 ± 0.0196、すなわち 0.0804≤\lep≤\le0.1196。「95%信頼区間」は、同じ手順で標本を取り直して区間を作る操作を繰り返すと、そのうち約95%が母比率を含む、という手続きの性質である。いま得た1本の区間に母比率が入る確率が95%、という言い方は正確ではない（母比率は動かない定数で、標本ごとに動くのは区間のほう）。

6 演習

問題 6.1. 独立同分布な無作為標本144個の標本平均が50であり、母標準偏差12が既知である。標本平均の分布を正規分布で近似することができるとして、母平均の95パーセント信頼区間を求めよ。

解答.

定義 1.1により、標本平均の標準誤差は12/144=12/12=112/\sqrt{144}=12/12=1である。公式 2.1により、母平均μ\muの95パーセント信頼区間は

50−1.96⋅1≤μ≤50+1.96⋅150-1.96\cdot1\le\mu\le50+1.96\cdot1

であり、[48.04,51.96][48.04,51.96]である。▨

問題 6.2. 大きさnnの独立な無作為標本の標本比率をp^\hat pとする。母比率ppについてH0:p=0.3H_0:p=0.3、H1:p>0.3H_1:p>0.3を検定するときの検定統計量を式で示せ。

解答.

帰無仮説p=0.3p=0.3のもとで、標本比率p^\hat pの期待値は0.30.3、標準偏差は0.3⋅0.7/n\sqrt{0.3\cdot0.7/n}である。したがって、検定統計量は

Z=p^−0.30.3⋅0.7/nZ=\frac{\hat p-0.3}{\sqrt{0.3\cdot0.7/n}}

である。n⋅0.3n\cdot0.3とn⋅0.7n\cdot0.7がともに十分大きいとき、帰無仮説のもとでZZの分布を標準正規分布で近似する。対立仮説はp>0.3p>0.3なので、ZZの大きい値が対立仮説側へ外れた値であり、観測値zzに対するp値はP(Z≥z)P(Z\ge z)である。▨

問題 6.3. ある検定のp値が0.03であった。p値が0.03であることから述べることができる内容と、述べることができない内容を区別せよ。

解答.

定義 4.1により、述べることができるのは、帰無仮説のもとで、検定統計量が、観測した検定統計量の値と同程度以上に対立仮説側へ外れる確率が0.03であることである。有意水準を5パーセントと定めていたならば、帰無仮説を棄却する。一方、帰無仮説が正しい確率が0.03であることは述べることができない。p値は帰無仮説を仮定して計算した確率であり、帰無仮説そのものの確率ではないからである。また、p値は標本の大きさにも依存するので、効果が大きいことも、p値だけからは結論することができない。▨

問題 6.4. 母標準偏差が3である母集団から、独立同分布な無作為標本を100個取り、標本平均12を得た。標本平均の分布を正規分布で近似することができるとして、母平均の95パーセント信頼区間を求め、その95パーセントの意味を説明せよ。

解答.

定義 1.1により、標準誤差は3/100=0.33/\sqrt{100}=0.3である。公式 2.1により、母平均の95パーセント信頼区間は12±1.96⋅0.3=12±0.58812\pm1.96\cdot0.3=12\pm0.588であり、[11.412,12.588][11.412,12.588]である。95パーセントという数値は、同じ標本抽出と区間の作り方を繰り返したときに、作られた区間が固定された母平均を含む割合が約95パーセントであることを表す。得られた一本の区間[11.412,12.588][11.412,12.588]に、母平均が95パーセントの確率で入るという意味ではない。▨

レベル3 — 区間推定

標準正規分布について P(−1.96≤\leZ≤\le1.96)==0.95 を用いてよい。次の問いに答えよ。

解法の型母平均の95%信頼区間: x̄ −1.96σ/1.96\sigma/√n≤\leμ\mu≤\lex̄ +1.96σ/1.96\sigma/√n。母比率: p̂ ± 1.96√(p̂(1−p̂)/n)。有意水準5%の両側検定の棄却域: |z| > 1.96

問題 6.5. 母標準偏差が 25 である母集団から大きさ 25 の標本を無作為に取ったところ、標本平均は 66 であった。母平均μ\muの95%信頼区間を求めよ。

n=25,xˉ=66,σ=25n = 25,\quad \bar{x} = 66,\quad \sigma = 25
解答.

答56.2≤μ≤75.856.2 \le \mu \le 75.8

注意 標本平均の標準偏差はσ/\sigma/√n==25/5==5。信頼区間の幅の半分は 1.96 × 5==9.8 なので、66 ± 9.8 すなわち 56.2≤μ≤\le \mu \le75.8。「95%信頼区間」は、同じ手順で標本を取り直して区間を作る操作を繰り返すと、そのうち約95%が母平均を含む、という手続きの性質である。いま得た1本の区間に母平均が入る確率が95%、という言い方は正確ではない（母平均は動かない定数で、標本ごとに動くのは区間のほう）。▨

問題 6.6. ある母集団から大きさ 1600 の標本を無作為に取ったところ、320 個が特性 A を持っていた。母比率 p の95%信頼区間を求めよ。

n=1600,p^=3201600=0.2n = 1600,\quad \hat{p} = \dfrac{320}{1600} = 0.2
解答.

答0.1804≤p≤0.21960.1804 \le p \le 0.2196

注意 標本比率は p̂==320/1600==0.2。標準誤差は √(p̂(1−p̂)/n)==0.01 で、1.96 倍すると 0.0196。よって 0.2 ± 0.0196、すなわち 0.1804≤\lep≤\le0.2196。「95%信頼区間」は、同じ手順で標本を取り直して区間を作る操作を繰り返すと、そのうち約95%が母比率を含む、という手続きの性質である。いま得た1本の区間に母比率が入る確率が95%、という言い方は正確ではない（母比率は動かない定数で、標本ごとに動くのは区間のほう）。▨

問題 6.7. あるコインを 400 回投げたところ、表が 188 回出た。このコインの表の出る確率は 1/2 でないといえるか。有意水準5%で両側検定せよ。

n=400,表の回数=188,z=188−200400⋅12⋅12n = 400,\quad \text{表の回数} = 188,\quad z = \dfrac{188 - 200}{\sqrt{400 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}}
解答.

答z=−1.2,∣z∣≤1.96z = -1.2,\quad |z| \le 1.96より帰無仮説は棄却されない（1/2 でないとはいえない）

注意 帰無仮説「表の確率は 1/2」のもとで、表の回数は平均 200、標準偏差 √(400×(1/2)×(1/2))==10 の正規分布に近似的に従う。z==(188 − 200)/10==-1.2。棄却域は |z| > 1.96 なので、棄却しない。棄却されなくても「表の確率が 1/2 である」と証明されたわけではない（棄却するほどの証拠がなかっただけ）。▨

問題 6.8. 母標準偏差 100 の母集団について「母平均は 100 である」という帰無仮説を立てる。大きさ 100 の標本の標本平均が 114 であったとき、有意水準5%で両側検定せよ。

n=100,xˉ=114,σ=100,μ0=100,z=xˉ−μ0σ/nn = 100,\quad \bar{x} = 114,\quad \sigma = 100,\quad \mu_0 = 100,\quad z = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
解答.

答z=1.4,∣z∣≤1.96z = 1.4,\quad |z| \le 1.96より帰無仮説は棄却されない

注意σ/\sigma/√n==100/10==10 なので z==(114 − 100)/10==1.4。有意水準5%の両側検定の棄却域は |z| > 1.96 で、今回は棄却域に入らないので帰無仮説は棄却されない（「正しいと証明された」わけではなく、「棄却するほどの証拠がない」だけ）。▨

問題 6.9. 母標準偏差が 40 である母集団から大きさ 100 の標本を無作為に取ったところ、標本平均は 44 であった。母平均μ\muの95%信頼区間を求めよ。

n=100,xˉ=44,σ=40n = 100,\quad \bar{x} = 44,\quad \sigma = 40
解答.

答36.16≤μ≤51.8436.16 \le \mu \le 51.84

注意 標本平均の標準偏差はσ/\sigma/√n==40/10==4。信頼区間の幅の半分は 1.96 × 4==7.84 なので、44 ± 7.84 すなわち 36.16≤μ≤\le \mu \le51.84。「95%信頼区間」は、同じ手順で標本を取り直して区間を作る操作を繰り返すと、そのうち約95%が母平均を含む、という手続きの性質である。いま得た1本の区間に母平均が入る確率が95%、という言い方は正確ではない（母平均は動かない定数で、標本ごとに動くのは区間のほう）。▨

問題 6.10. ある母集団から大きさ 400 の標本を無作為に取ったところ、200 個が特性 A を持っていた。母比率 p の95%信頼区間を求めよ。

n=400,p^=200400=0.5n = 400,\quad \hat{p} = \dfrac{200}{400} = 0.5
解答.

答0.451≤p≤0.5490.451 \le p \le 0.549

注意 標本比率は p̂==200/400==0.5。標準誤差は √(p̂(1−p̂)/n)==0.025 で、1.96 倍すると 0.049。よって 0.5 ± 0.049、すなわち 0.451≤\lep≤\le0.549。「95%信頼区間」は、同じ手順で標本を取り直して区間を作る操作を繰り返すと、そのうち約95%が母比率を含む、という手続きの性質である。いま得た1本の区間に母比率が入る確率が95%、という言い方は正確ではない（母比率は動かない定数で、標本ごとに動くのは区間のほう）。▨

問題 6.11. あるコインを 100 回投げたところ、表が 58 回出た。このコインの表の出る確率は 1/2 でないといえるか。有意水準5%で両側検定せよ。

n=100,表の回数=58,z=58−50100⋅12⋅12n = 100,\quad \text{表の回数} = 58,\quad z = \dfrac{58 - 50}{\sqrt{100 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}}
解答.

答z=1.6,∣z∣≤1.96z = 1.6,\quad |z| \le 1.96より帰無仮説は棄却されない（1/2 でないとはいえない）

注意 帰無仮説「表の確率は 1/2」のもとで、表の回数は平均 50、標準偏差 √(100×(1/2)×(1/2))==5 の正規分布に近似的に従う。z==(58 − 50)/5==1.6。棄却域は |z| > 1.96 なので、棄却しない。棄却されなくても「表の確率が 1/2 である」と証明されたわけではない（棄却するほどの証拠がなかっただけ）。▨

問題 6.12. 母標準偏差 25 の母集団について「母平均は 80 である」という帰無仮説を立てる。大きさ 25 の標本の標本平均が 67 であったとき、有意水準5%で両側検定せよ。

n=25,xˉ=67,σ=25,μ0=80,z=xˉ−μ0σ/nn = 25,\quad \bar{x} = 67,\quad \sigma = 25,\quad \mu_0 = 80,\quad z = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
解答.

答z=−2.6,∣z∣>1.96z = -2.6,\quad |z| > 1.96より帰無仮説を棄却する

注意σ/\sigma/√n==25/5==5 なので z==(67 − 80)/5==-2.6。有意水準5%の両側検定の棄却域は |z| > 1.96 で、今回は棄却域に入るので帰無仮説を棄却する。▨

問題 6.13. 母標準偏差が 40 である母集団から大きさ 400 の標本を無作為に取ったところ、標本平均は 116 であった。母平均μ\muの95%信頼区間を求めよ。

n=400,xˉ=116,σ=40n = 400,\quad \bar{x} = 116,\quad \sigma = 40
解答.

答112.08≤μ≤119.92112.08 \le \mu \le 119.92

注意 標本平均の標準偏差はσ/\sigma/√n==40/20==2。信頼区間の幅の半分は 1.96 × 2==3.92 なので、116 ± 3.92 すなわち 112.08≤μ≤\le \mu \le119.92。「95%信頼区間」は、同じ手順で標本を取り直して区間を作る操作を繰り返すと、そのうち約95%が母平均を含む、という手続きの性質である。いま得た1本の区間に母平均が入る確率が95%、という言い方は正確ではない（母平均は動かない定数で、標本ごとに動くのは区間のほう）。▨

問題 6.14. あるコインを 400 回投げたところ、表が 174 回出た。このコインの表の出る確率は 1/2 でないといえるか。有意水準5%で両側検定せよ。

n=400,表の回数=174,z=174−200400⋅12⋅12n = 400,\quad \text{表の回数} = 174,\quad z = \dfrac{174 - 200}{\sqrt{400 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}}
解答.

答z=−2.6,∣z∣>1.96z = -2.6,\quad |z| > 1.96より帰無仮説を棄却する（1/2 でないといえる）

注意 帰無仮説「表の確率は 1/2」のもとで、表の回数は平均 200、標準偏差 √(400×(1/2)×(1/2))==10 の正規分布に近似的に従う。z==(174 − 200)/10==-2.6。棄却域は |z| > 1.96 なので、棄却する。▨

問題 6.15. 母標準偏差 100 の母集団について「母平均は 120 である」という帰無仮説を立てる。大きさ 100 の標本の標本平均が 144 であったとき、有意水準5%で両側検定せよ。

n=100,xˉ=144,σ=100,μ0=120,z=xˉ−μ0σ/nn = 100,\quad \bar{x} = 144,\quad \sigma = 100,\quad \mu_0 = 120,\quad z = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
解答.

答z=2.4,∣z∣>1.96z = 2.4,\quad |z| > 1.96より帰無仮説を棄却する

注意σ/\sigma/√n==100/10==10 なので z==(144 − 120)/10==2.4。有意水準5%の両側検定の棄却域は |z| > 1.96 で、今回は棄却域に入るので帰無仮説を棄却する。▨

問題 6.16. 母標準偏差が 20 である母集団から大きさ 25 の標本を無作為に取ったところ、標本平均は 81 であった。母平均μ\muの95%信頼区間を求めよ。

n=25,xˉ=81,σ=20n = 25,\quad \bar{x} = 81,\quad \sigma = 20
解答.

答73.16≤μ≤88.8473.16 \le \mu \le 88.84

注意 標本平均の標準偏差はσ/\sigma/√n==20/5==4。信頼区間の幅の半分は 1.96 × 4==7.84 なので、81 ± 7.84 すなわち 73.16≤μ≤\le \mu \le88.84。「95%信頼区間」は、同じ手順で標本を取り直して区間を作る操作を繰り返すと、そのうち約95%が母平均を含む、という手続きの性質である。いま得た1本の区間に母平均が入る確率が95%、という言い方は正確ではない（母平均は動かない定数で、標本ごとに動くのは区間のほう）。▨

問題 6.17. ある母集団から大きさ 900 の標本を無作為に取ったところ、90 個が特性 A を持っていた。母比率 p の95%信頼区間を求めよ。

n=900,p^=90900=0.1n = 900,\quad \hat{p} = \dfrac{90}{900} = 0.1
解答.

答0.0804≤p≤0.11960.0804 \le p \le 0.1196

注意 標本比率は p̂==90/900==0.1。標準誤差は √(p̂(1−p̂)/n)==0.01 で、1.96 倍すると 0.0196。よって 0.1 ± 0.0196、すなわち 0.0804≤\lep≤\le0.1196。「95%信頼区間」は、同じ手順で標本を取り直して区間を作る操作を繰り返すと、そのうち約95%が母比率を含む、という手続きの性質である。いま得た1本の区間に母比率が入る確率が95%、という言い方は正確ではない（母比率は動かない定数で、標本ごとに動くのは区間のほう）。▨

問題 6.18. あるコインを 100 回投げたところ、表が 56 回出た。このコインの表の出る確率は 1/2 でないといえるか。有意水準5%で両側検定せよ。

n=100,表の回数=56,z=56−50100⋅12⋅12n = 100,\quad \text{表の回数} = 56,\quad z = \dfrac{56 - 50}{\sqrt{100 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}}
解答.

答z=1.2,∣z∣≤1.96z = 1.2,\quad |z| \le 1.96より帰無仮説は棄却されない（1/2 でないとはいえない）

注意 帰無仮説「表の確率は 1/2」のもとで、表の回数は平均 50、標準偏差 √(100×(1/2)×(1/2))==5 の正規分布に近似的に従う。z==(56 − 50)/5==1.2。棄却域は |z| > 1.96 なので、棄却しない。棄却されなくても「表の確率が 1/2 である」と証明されたわけではない（棄却するほどの証拠がなかっただけ）。▨

問題 6.19. 母標準偏差 50 の母集団について「母平均は 50 である」という帰無仮説を立てる。大きさ 100 の標本の標本平均が 62 であったとき、有意水準5%で両側検定せよ。

n=100,xˉ=62,σ=50,μ0=50,z=xˉ−μ0σ/nn = 100,\quad \bar{x} = 62,\quad \sigma = 50,\quad \mu_0 = 50,\quad z = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
解答.

答z=2.4,∣z∣>1.96z = 2.4,\quad |z| > 1.96より帰無仮説を棄却する

注意σ/\sigma/√n==50/10==5 なので z==(62 − 50)/5==2.4。有意水準5%の両側検定の棄却域は |z| > 1.96 で、今回は棄却域に入るので帰無仮説を棄却する。▨

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