余事象・独立試行・反復試行 | 場合の数と確率統計

1 余事象

定義 1.1 (余事象). 標本空間を $\Omega$ とし、事象 $A\subseteq\Omega$ に対して、 $A$ が起こらない事象 $\Omega\setminus A$ を $A$ の余事象といいます。

公式 1.2 (余事象の確率).

P(\Omega\setminus A)=1-P(A).

証明. $A$ と $\Omega\setminus A$ は排反であり、その和集合は $\Omega$ です。したがって

P(A)+P(\Omega\setminus A)=P(\Omega)=1

が成り立ちます。▨

例 1.3. 成功確率が $p$ である独立な試行を $n$ 回行います。少なくとも一回成功する事象の余事象は、すべて失敗する事象です。したがって確率は

1-(1-p)^n

です。

2 独立性

独立性は、二つの事象の確率の積についての等式として定義します。原因と結果についての主張ではありません。

定義 2.1 (二事象の独立性). 事象 $A,B$ が独立であるとは、

P(A\cap B)=P(A)P(B)

が成り立つことをいいます。

注意 2.2 (排反と独立の違い). $A\cap B=\varnothing$ であることを排反といいます。 $P(A)>0$ かつ $P(B)>0$ の排反な二事象は、

P(A\cap B)=0\ne P(A)P(B)

なので独立ではありません。

3 反復試行

公式 3.1 (反復試行の確率). 各回の成功確率が $p$ であり、各回が互いに独立である試行を $n$ 回行います。ちょうど $r$ 回成功する確率は

{}_nC_r p^r(1-p)^{n-r}

です。ただし $0\le r\le n$ とします。

証明. 成功する $r$ 回の選び方は ${}_nC_r$ 通りです。各選び方について、独立性から成功と失敗が指定どおり起こる確率は $p^r(1-p)^{n-r}$ です。これらの事象は排反なので、確率を足すと公式を得ます。▨

4 誕生日問題のモデル

例 4.1. うるう日を除く365日を考え、各人の誕生日が365日のいずれにも同じ確率で属し、異なる人の誕生日が互いに独立であると仮定します。 $m\le365$ 人の誕生日がすべて異なる確率は

\frac{365}{365}\cdot\frac{364}{365}\cdots\frac{365-m+1}{365}

です。したがって、少なくとも二人の誕生日が一致する確率は、この積を1から引いた値です。

注意 4.2 (誕生日モデルの限界). 現実の出生数は季節によって変化し、双子などの誕生日は独立ではありません。上の計算は、一様性と個人間の独立性を仮定した教材用モデルの結論であり、現実の集団へそのまま適用することはできません。

5 例題

レベル1 — 反復試行の確率

次の確率を求めよ。

解法の型反復試行の確率 $=$ C(n,k) $p^k$ (1−p)^{n−k}

例 5.1.

\text{硬貨を } 4 \text{ 回投げるとき、表がちょうど } 0 \text{ 回出る確率}

答 $\dfrac{1}{16}$

レベル2 — 少なくとも1つ

次の確率を求めよ。

解法の型余事象『1回も起こらない』の確率を1から引く

例 5.2.

\text{さいころを } 3 \text{ 回投げるとき、少なくとも1回は6の目が出る確率}

答 $\dfrac{91}{216}$

注意余事象は「3回とも6以外」で、その確率は (5/6)^3 $=$ 125/216。1から引いて 91/216

6 演習

問題 6.1. 公平なサイコロを4回投げるとき、少なくとも一回6が出る確率を求めよ。

解答.

少なくとも一回6が出る事象の余事象は、4回とも6以外の目が出る事象である。各回に6以外の目が出る確率は $5/6$ であり、各回は独立なので、4回とも6以外の目が出る確率は $(5/6)^4=625/1296$ である。公式 1.2により、求める確率は

1-\left(\frac56\right)^4=1-\frac{625}{1296}=\frac{671}{1296}

である。▨

問題 6.2. 公平な硬貨を5回投げるとき、表がちょうど2回出る確率を求めよ。

解答.

各回に表が出る確率は $1/2$ であり、各回は独立である。公式 3.1を $n=5$ 、 $r=2$ 、 $p=1/2$ として用いると、求める確率は

{}_5C_2\left(\frac12\right)^2\left(\frac12\right)^3=\frac{10}{32}=\frac5{16}

である。▨

問題 6.3. $P(A)>0$ かつ $P(B)>0$ である二事象 $A,B$ が排反ならば、 $A$ と $B$ は独立でないことを、独立性の定義から説明せよ。

解答.

$A$ と $B$ は排反なので $A\cap B=\varnothing$ であり、 $P(A\cap B)=0$ である。一方、 $P(A)>0$ かつ $P(B)>0$ なので $P(A)P(B)>0$ である。したがって $P(A\cap B)\ne P(A)P(B)$ であり、定義 2.1の等式が成り立たない。よって、 $A$ と $B$ は独立でない。▨

レベル1 — 反復試行の確率

次の確率を求めよ。

解法の型反復試行の確率 $=$ C(n,k) $p^k$ (1−p)^{n−k}

問題 6.4.

\text{硬貨を } 4 \text{ 回投げるとき、表がちょうど } 1 \text{ 回出る確率}

解答.

答 $\dfrac{1}{4}$ ▨

問題 6.5.

\text{硬貨を } 3 \text{ 回投げるとき、表がちょうど } 3 \text{ 回出る確率}

解答.

答 $\dfrac{1}{8}$ ▨

レベル2 — 少なくとも1つ

次の確率を求めよ。

解法の型余事象『1回も起こらない』の確率を1から引く

問題 6.6.

\text{さいころを } 3 \text{ 回投げるとき、少なくとも1回は6の目が出る確率}

解答.

答 $\dfrac{91}{216}$

注意余事象は「3回とも6以外」で、その確率は (5/6)^3 $=$ 125/216。1から引いて 91/216▨

問題 6.7.

\text{さいころを } 3 \text{ 回投げるとき、少なくとも1回は3の倍数の目(3 または 6)が出る確率}

解答.

答 $\dfrac{19}{27}$

注意 1回で3の倍数が出る確率は 2/6 $=$ 1/3。余事象は「3回とも3の倍数でない」で (2/3)^3 $=$ 8/27。1から引いて 19/27▨

§B4.6余事象・独立試行・反復試行

1 余事象

2 独立性

3 反復試行

4 誕生日問題のモデル

5 例題

6 演習

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