確率の定義と「同様に確からしい」 | 場合の数と確率統計

1 標本空間と事象

定義 1.1 (標本空間と事象). 一回の試行で起こりうる根元的な結果をすべて集めた有限集合を標本空間 $\Omega$ といいます。 $\Omega$ の部分集合を事象といいます。

定義 1.2 (同様に確からしい場合の確率). 有限標本空間 $\Omega$ の各根元事象が同じ確率で起こると仮定するとき、事象 $A\subseteq\Omega$ の確率を

P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}

と定義します。

例 1.3. 二枚の公平な硬貨を区別して投げます。標本空間を

\Omega=\{(\text{表},\text{表}),(\text{表},\text{裏}),(\text{裏},\text{表}),(\text{裏},\text{裏})\}

とすると、各結果は同じ確率で起こります。表がちょうど一枚出る事象は2個の根元事象からなるので、確率は $2/4=1/2$ です。

表の枚数だけを並べた集合 $\{0,1,2\}$ の三つの結果は、同じ確率では起こりません。この集合を標本空間として要素の個数の比を取り、表がちょうど一枚出る確率を $1/3$ とする計算は誤りです。

2 モンティ・ホール問題と選択規則

同じ場面の説明でも、試行を行う人の選択規則が違えば確率は変わります。モンティ・ホール問題で、その違いを確かめます。

例 2.1 (モンティ・ホール問題). 三つの扉のうち一つに車を無作為に置きます。参加者は車の位置を知らず、車の配置とは独立な手順で一つの扉を選びます。司会者は車の位置と参加者の選択を知っており、参加者が選ばなかった扉のうち、必ずヤギの扉を一つ開けます。開けることができるヤギの扉が二つある場合には、その二つから等確率で一つを選びます。その後、参加者は未開封のもう一つの扉へ変更することができます。

最初の選択が車である確率は $1/3$ であり、最初の選択がヤギである確率は $2/3$ です。司会者は必ず別のヤギを開けるので、変更すると、最初にヤギを選んだ場合に車を得ます。したがって、変更して車を得る確率は $2/3$ 、変更しないで車を得る確率は $1/3$ です。

注意 2.2 (司会者の規則を変えた場合). 司会者が車の位置を知らずに扉を開け、偶然ヤギが現れた場合には、観測した情報の確率モデルが変わります。「司会者がどの条件で、どの扉を、どの確率で開けるか」を指定しなければ、問題の答えは一意に定まりません。

3 例題

レベル1 — 確率の定義と「同様に確からしい」

確率は P(A) $=$ n(A)/n(U)（n(U) は同様に確からしい根元事象の総数）で定める。同様に確からしい根元事象を正しく取って、次の確率を求めよ。

解法の型式を立てる前に「今の数え方で、どの結果も同じ起こりやすさか」を自問する。区別すべきもの（2個のサイコロ、2枚の硬貨、同色の玉）は区別して数えるのが定石

例 3.1. 袋に大きさの等しい赤玉 2 個と白玉 3 個が入っている。この袋から同時に2個の玉を取り出すとき、2個の色が異なる確率を求めよ。同じ色の玉どうしをどう扱うかに注意せよ。

\text{赤玉 } 2 \text{ 個、白玉 } 3 \text{ 個の袋から同時に2個を取り出す。}\qquad P(\text{取り出した2個が異色}) = \ ?

答 $\dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$ （同色の玉にも番号を振って区別し、根元事象を $C(5,2) = 10$ 通りに取る）

注意同じ色の玉は見た目で区別できなくても、赤1〜赤2、白1〜白3 と番号を振って区別する。すると2個の選び方 C(5,2) $=$ 10 通りが同様に確からしい根元事象になる。異色になるのは赤 2 通りと白 3 通りの組み合わせで 2 × 3 $=$ 6 通り。よって 6/10 $=$ 3/5。番号を振らずに色だけで {赤赤, 赤白, 白白} の3通りを根元事象に取るのは誤り。この3通りは同様に確からしくない（出方の数が 1 通り、6 通り、3 通りと違う）。

例 3.2. 全事象（標本空間）を U とし、事象 A と B は互いに排反であるとする。P(A) $=$ 1/6、P(B) $=$ 2/3 のとき、P(A $\cup$ B)、A の余事象の確率、A $\cup$ B の余事象の確率を求めよ。

A \cap B = \varnothing,\quad P(A) = \dfrac{1}{6},\quad P(B) = \dfrac{2}{3},\qquad P(A \cup B) = \ ?,\quad P(\overline{A}) = \ ?,\quad P(\overline{A \cup B}) = \ ?

答

\begin{array}{ll} P(A \cup B) &= \dfrac{5}{6} \\ P(\overline{A}) &= \dfrac{5}{6} \\ P(\overline{A \cup B}) &= \dfrac{1}{6} \end{array}

注意確率の基本性質は 0 $\le$ P(A) $\le$ 1、P(U) $=$ 1、そして A と B が排反（A $\cap$ B $=$ ∅）なら P(A $\cup$ B) $=$ P(A) + P(B)（加法定理）の3つ。よって P(A $\cup$ B) $=$ 1/6 + 4/6 $=$ 5/6（通分して足す）。余事象は P(U) $=$ 1 と加法定理（A とその余事象は排反で和が U）から P(A の余事象) $=$ 1 − P(A) $=$ 5/6、P((A $\cup$ B) の余事象) $=$ 1 − P(A $\cup$ B) $=$ 1/6。排反でないときは P(A $\cup$ B) $=$ P(A) + P(B) − P(A $\cap$ B) となり、単純に足せないことに注意。

4 演習

問題 4.1. 公平な六面体サイコロを二回投げるとき、出た目の和が7である確率を求めよ。

解答.

一回目の目と二回目の目の順序つきの組 $(i,j)$ （ $i,j=1,\ldots,6$ ）を根元的な結果とする標本空間 $\Omega$ は36個の要素をもち、サイコロは公平で二回の投げ方は互いに影響しないので、各結果は同様に確からしい。和が7である結果は $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ の6個である。定義 1.2により、和が7である確率は $6/36=1/6$ である。▨

問題 4.2. 「二枚の硬貨を投げたとき、表の枚数は0、1、2の三通りだから、表が一枚の確率は $1/3$ である」という推論の誤りを説明せよ。

解答.

定義 1.2で要素の個数の比を確率としてよいのは、標本空間の各根元事象が同じ確率で起こる場合に限られる。表の枚数の集合 $\{0,1,2\}$ の三つの結果は、同じ確率では起こらない。実際、例 1.3のように二枚の硬貨を区別した標本空間の4個の結果は同様に確からしく、表が0枚、1枚、2枚である事象はそれぞれ1個、2個、1個の結果からなる。したがって、それらの確率は $1/4$ 、 $1/2$ 、 $1/4$ であり、表が一枚の確率は $1/3$ ではなく $1/2$ である。推論の誤りは、同様に確からしくない結果の集合で個数の比を取ったことにある。▨

問題 4.3.例 2.1で、次の条件が計算にどのように用いられたかを説明せよ。参加者が車の位置を知らず、最初の選択が車の配置と独立であること。司会者が参加者の選んだ扉を開けず、車の扉を開けず、必ず一枚を開けること。

解答.

扉を $1,2,3$ とし、車は各扉に確率 $1/3$ で置かれる。参加者が扉 $d$ を選ぶ確率を $q_d$ とする。最初の選択は車の配置と独立なので、最初の選択が車である確率は

\sum_{d=1}^{3}P(\text{参加者が扉 }d\text{ を選び、車が扉 }d\text{ にある})=\sum_{d=1}^{3}q_d\cdot\frac13=\frac13

である。したがって、最初の選択がヤギである確率は $1-1/3=2/3$ である。参加者が車の位置を知っていて車の扉を選ぶ場合のように、選択が配置に依存すると、この計算は成り立たない。

次に、司会者の三条件を用いる。最初の選択がヤギの場合、参加者が選ばなかった二つの扉は車の扉とヤギの扉である。司会者は参加者の選んだ扉と車の扉を開けず、必ず一枚を開けるので、開けるのは残りのヤギの扉であり、未開封のもう一つの扉は車である。最初の選択が車の場合、参加者が選ばなかった二つの扉はともにヤギであり、司会者はその一方を開けるので、未開封のもう一つの扉はヤギである。司会者がどちらの場合にも必ず一枚を開けるので、この二つの場合は排反で全体を尽くす。したがって、変更して車を得るのは最初の選択がヤギの場合に限られ、その確率は $2/3$ である。▨

レベル1 — 確率の定義と「同様に確からしい」

確率は P(A) $=$ n(A)/n(U)（n(U) は同様に確からしい根元事象の総数）で定める。同様に確からしい根元事象を正しく取って、次の確率を求めよ。

問題 4.4. 4 枚の硬貨を同時に投げるとき、表がちょうど 1 枚出る確率を求めよ。また「表の枚数は 0, 1, …, 4 の 5 通りだから確率は 1/5」という答えが誤りである理由を述べよ。

P(\text{4 枚の硬貨のうち表がちょうど 1 枚}) = \ ?

解答.

答 $\dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4}$ （根元事象は $4$ 枚を区別した表裏の列 $2^{4} = 16$ 通り）

注意 4 枚の硬貨に1号、2号、… と名前をつけて区別し、表裏の列 2^4 $=$ 16 通りを根元事象に取る。これらは同様に確からしい。表がちょうど 1 枚になる列は 4 個の位置から表になる 1 個を選ぶ選び方の数 C(4,1) $=$ 4 通り。よって 4/16 $=$ 1/4。「表の枚数 5 通り」を根元事象にするのが誤りなのは、枚数ごとに出方の数が違うから。実際、表の枚数が 0, 1, …, 4 枚になる出方はそれぞれ 1, 4, 6, 4, 1 通りで一様でなく、同様に確からしくない（例えば2枚の硬貨なら「表1枚」は表裏・裏表の2通りあるのに「表2枚」は1通りしかない）。▨

問題 4.5. 全事象（標本空間）を U とし、事象 A と B は互いに排反であるとする。P(A) $=$ 5/8、P(B) $=$ 1/4 のとき、P(A $\cup$ B)、A の余事象の確率、A $\cup$ B の余事象の確率を求めよ。

A \cap B = \varnothing,\quad P(A) = \dfrac{5}{8},\quad P(B) = \dfrac{1}{4},\qquad P(A \cup B) = \ ?,\quad P(\overline{A}) = \ ?,\quad P(\overline{A \cup B}) = \ ?

解答.

答

\begin{array}{ll} P(A \cup B) &= \dfrac{7}{8} \\ P(\overline{A}) &= \dfrac{3}{8} \\ P(\overline{A \cup B}) &= \dfrac{1}{8} \end{array}

注意確率の基本性質は 0 $\le$ P(A) $\le$ 1、P(U) $=$ 1、そして A と B が排反（A $\cap$ B $=$ ∅）なら P(A $\cup$ B) $=$ P(A) + P(B)（加法定理）の3つ。よって P(A $\cup$ B) $=$ 5/8 + 2/8 $=$ 7/8（通分して足す）。余事象は P(U) $=$ 1 と加法定理（A とその余事象は排反で和が U）から P(A の余事象) $=$ 1 − P(A) $=$ 3/8、P((A $\cup$ B) の余事象) $=$ 1 − P(A $\cup$ B) $=$ 1/8。排反でないときは P(A $\cup$ B) $=$ P(A) + P(B) − P(A $\cap$ B) となり、単純に足せないことに注意。▨

問題 4.6. 袋に大きさの等しい赤玉 4 個と白玉 2 個が入っている。玉を1個ずつ2回続けて取り出す（取り出した玉は袋に戻さない）。2回目に取り出した玉が赤である確率を求めよ。

\text{赤玉 } 4 \text{ 個、白玉 } 2 \text{ 個の袋から、戻さずに1個ずつ2回取り出す。}\qquad P(\text{2回目に取り出した玉が赤}) = \ ?

解答.

答 $\dfrac{4 \times 5}{6 \times 5} = \dfrac{2}{3}$

注意 6 個の玉すべてに番号を振って区別し、取り出す順序も区別して、(1回目, 2回目) の組 6 × 5 $=$ 30 通りを根元事象に取る。これらは同様に確からしい。2回目が赤になるのは、2回目の赤の選び方 4 通り、1回目は残りの 5 個から何でもよく 5 通りで、4 × 5 $=$ 20 通り。よって確率は 20/30 $=$ 2/3。これは1回目に赤が出る確率 4/6 と同じ。1回目の結果を知らない限り、何回目に取り出しても赤が出る確率は変わらない（対称性）。「1回目で赤が1個減るから2回目は不利」と考えるのは、1回目が赤だった場合だけを見ている誤り。▨

§B4.5確率の定義と「同様に確からしい」

1 標本空間と事象

2 モンティ・ホール問題と選択規則

3 例題

4 演習

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