§E10.12積分の変換公式

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積分を扱う際には、空間どうしの写像や各点に与える重みに応じて、測度を変えることがある。その際には、変換後の測度に関する積分を、もとの測度に関する積分でどのように表すかが問題となる。たとえば、重みがそれぞれ1,2,41,2,4の三点を、最初の二点は一つの点へ、第三点は別の点へ写すと、移した先の二点の重みは3,43,4となる。可測写像による像測度の構成と、非負可測関数による密度測度の構成は、測度を変える基本的な方法であり、両者の積分公式は異なる測度に関する積分を比較する基礎となる。本記事では、像測度と密度による積分変換の基本的な性質と代表的な例について解説する。

1 像測度

定義 1.1.(X,F,μ)(X,\mathcal F,\mu)を測度空間、(Y,G)(Y,\mathcal G)を可測空間とし、T:(X,F)→(Y,G)T:(X,\mathcal F)\to(Y,\mathcal G)を可測写像とする。各B∈GB\in\mathcal Gに対して

(T#μ)(B)=μ(T−1(B))(T_\#\mu)(B)=\mu(T^{-1}(B))

と定める。集合関数T#μ:G→[0,∞]T_\#\mu:\mathcal G\to[0,\infty]をμ\muのTTによる 像測度 (pushforward measure) という。

定理 1.2.(X,F,μ)(X,\mathcal F,\mu)を測度空間、(Y,G)(Y,\mathcal G)を可測空間とし、T:(X,F)→(Y,G)T:(X,\mathcal F)\to(Y,\mathcal G)を可測写像とする。ν=T#μ\nu=T_\#\muとおく。このとき、ν\nuは(Y,G)(Y,\mathcal G)上の測度であり、次が成り立つ。

  1. 任意の非負拡張実数値可測関数h:Y→[0,∞]h:Y\to[0,\infty]に対して、h∘Th\circ Tは可測であり、 ∫Yh dν=∫Xh∘T dμ\int_Yh\,d\nu=\int_Xh\circ T\,d\mu が[0,∞][0,\infty]において成り立つ。
  2. 任意の有限実数値または複素数値の可測関数hhに対して、hhがν\nuに関して可積分であることと、h∘Th\circ Tがμ\muに関して可積分であることは同値である。
  3. 可測関数h:Y→Rh:Y\to\Rがν\nuに関して可積分ならば、h∘Th\circ Tはμ\muに関して可積分であり、 ∫Yh dν=∫Xh∘T dμ\int_Yh\,d\nu=\int_Xh\circ T\,d\mu が成り立つ。
  4. 可測関数h:Y→Ch:Y\to\Cがν\nuに関して可積分ならば、h∘Th\circ Tはμ\muに関して可積分であり、 ∫Yh dν=∫Xh∘T dμ\int_Yh\,d\nu=\int_Xh\circ T\,d\mu が成り立つ。

証明.YY上の非負拡張実数値可測関数hhに対して

J(h)=∫Xh∘T dμJ(h)=\int_Xh\circ T\,d\mu

とおく。合成h∘Th\circ Tは可測であり、J(0)=0J(0)=0である。合成は加法と有限非負係数による乗法を保つので、§E10.10 定理 1.6によりJJは加法的かつ非負同次である。hn↑hh_n\uparrow hならばhn∘T↑h∘Th_n\circ T\uparrow h\circ Tであるから、§E10.11 定理 1.1によりJ(hn)↑J(h)J(h_n)\uparrow J(h)である。任意のB∈GB\in\mathcal Gに対して

J(1B)=∫X1T−1(B) dμ=μ(T−1(B))=ν(B)J(\mathbf1_B)=\int_X\mathbf1_{T^{-1}(B)}\,d\mu =\mu(T^{-1}(B))=\nu(B)

である。したがって、§E10.11 定理 1.3によりν\nuは測度であり、J(h)=∫Yh dνJ(h)=\int_Yh\,d\nuである。合成の可測性と合わせて主張 (1)を得る。

有限実数値または複素数値の可測関数hhに対して、非負版を∣h∣|h|へ適用すると

∫X∣h∘T∣ dμ=∫Y∣h∣ dν\int_X|h\circ T|\,d\mu=\int_Y|h|\,d\nu

である。両辺が同時に有限となるので、主張 (2)が成り立つ。可積分な実数値関数hhについては、(h∘T)±=h±∘T(h\circ T)^\pm=h^\pm\circ Tに非負版を適用して差をとると、主張 (3)を得る。可積分な複素数値関数hhについては、実部と虚部へ実数値版を適用すると、主張 (4)を得る。▨

命題 1.3.(X,F,μ)(X,\mathcal F,\mu)を測度空間、(Y,G)(Y,\mathcal G)を可測空間とする。このとき、可測写像T:(X,F)→(Y,G)T:(X,\mathcal F)\to(Y,\mathcal G)に対して、T#μT_\#\muは(Y,G)(Y,\mathcal G)上の測度である。

証明.定理 1.2により従う。▨

例 1.4.X={1,2,3}X=\{1,2,3\}とY={a,b}Y=\{a,b\}に冪集合の σ-加法族を入れ、

μ(A)=∑x∈Awx,(w1,w2,w3)=(1,2,4)\mu(A)=\sum_{x\in A}w_x,\qquad (w_1,w_2,w_3)=(1,2,4)

と定める。このとき、写像T(1)=T(2)=aT(1)=T(2)=a、T(3)=bT(3)=bに対して

(T#μ)({a})=3,(T#μ)({b})=4(T_\#\mu)(\{a\})=3,\qquad (T_\#\mu)(\{b\})=4

である。h(a)=−1h(a)=-1、h(b)=2h(b)=2と定めると、

∫Yh d(T#μ)=−3+8=5=−1−2+8=∫Xh∘T dμ\int_Yh\,d(T_\#\mu)=-3+8=5 =-1-2+8=\int_Xh\circ T\,d\mu

となる。

問題 1.5.

  1. 測度空間(R,B(R),λ1B)(\R,\mathcal{B}(\R),\lambda_1^B)を考える。T:R→RT:\R\to\Rを、x≠0x\neq0に対してT(x)=x−1/xT(x)=x-1/x、T(0)=0T(0)=0によって定める。TTが Borel 可測であり、T#λ1B=λ1BT_{\#}\lambda_1^B=\lambda_1^Bであることを証明せよ。さらに、Borel 可測なh:R→Rh:\R\to\Rについて、hhがλ1B\lambda_1^Bに関して可積分であることとh∘Th\circ Tがλ1B\lambda_1^Bに関して可積分であることが同値であり、そのとき∫Rh∘T dλ1B=∫Rh dλ1B\int_{\R}h\circ T\,d\lambda_1^B=\int_{\R}h\,d\lambda_1^Bが成り立つことを証明せよ。
解答.

  1. 実数ccに対して

    x+(c)=c+c2+42,x−(c)=c−c2+42x_+(c)=\frac{c+\sqrt{c^2+4}}{2}, \qquad x_-(c)=\frac{c-\sqrt{c^2+4}}{2}

    とおく。x±(c)x_\pm(c)はx2−cx−1=0x^2-cx-1=0の二根であり、積が−1-1であるからx−(c)<0<x+(c)x_-(c)<0<x_+(c)である。x≠0x\neq0についてT(x)=cT(x)=cはx2−cx−1=0x^2-cx-1=0と同値であるから、T(x)=cT(x)=cを満たす正のxxはx+(c)x_+(c)だけであり、負のxxはx−(c)x_-(c)だけである。0<x<y0<x<yまたはx<y<0x<y<0ならばxy>0xy>0であり、

    T(y)−T(x)=(y−x)(1+1xy)>0T(y)-T(x)=(y-x)\Bigl(1+\frac{1}{xy}\Bigr)>0

    であるから、TTは(0,∞)(0,\infty)と(−∞,0)(-\infty,0)のそれぞれの上で狭義単調増加である。ゆえに、x>0x>0についてT(x)≤cT(x)\leq cとx≤x+(c)x\leq x_+(c)は同値であり、x<0x<0についてT(x)≤cT(x)\leq cとx≤x−(c)x\leq x_-(c)は同値である。したがって、

    T−1((−∞,c])=(−∞,x−(c)]∪(0,x+(c)]∪ZcT^{-1}((-\infty,c])=(-\infty,x_-(c)]\cup(0,x_+(c)]\cup Z_c

    である。ここでZcZ_cはc≥0c\geq0のとき{0}\{0\}、c<0c<0のとき空集合である。右辺は Borel 集合であり、§E10.6 命題 5.4と§E10.6 命題 4.2によりTTは Borel 可測である。

    a<ba<bとすると、同じ同値性から

    T−1((a,b])=(x−(a),x−(b)]∪(x+(a),x+(b)]∪(Zb∖Za)T^{-1}((a,b])=(x_-(a),x_-(b)]\cup(x_+(a),x_+(b)]\cup(Z_b\setminus Z_a)

    であり、Zb∖ZaZ_b\setminus Z_aは高々一点である。x+(c)+x−(c)=cx_+(c)+x_-(c)=cであるから

    (T#λ1B)((a,b])=(x−(b)−x−(a))+(x+(b)−x+(a))=b−a(T_{\#}\lambda_1^B)((a,b]) =\bigl(x_-(b)-x_-(a)\bigr)+\bigl(x_+(b)-x_+(a)\bigr)=b-a

    である。命題 1.3によりT#λ1BT_{\#}\lambda_1^BはB(R)\mathcal{B}(\R)上の測度であり、すべての半開区間でλ1B\lambda_1^Bと同じ値をとる。§E10.9 系 9.2の一意性によりT#λ1B=λ1BT_{\#}\lambda_1^B=\lambda_1^Bである。

    h:R→Rh:\R\to\Rを Borel 可測とする。§E10.7 命題 1.2によりh∘Th\circ Tは Borel 可測である。T#λ1B=λ1BT_{\#}\lambda_1^B=\lambda_1^Bであるから、定理 1.2 (2)により、hhの可積分性とh∘Th\circ Tの可積分性は同値である。hhが可積分であるとき、定理 1.2 (3)により∫Rh∘T dλ1B=∫Rh dλ1B\int_{\R}h\circ T\,d\lambda_1^B=\int_{\R}h\,d\lambda_1^Bである。

▨

2 正測度の絶対連続性と相互特異性

定義 2.1.(X,F)(X,\mathcal F)上の正測度ν,μ\nu,\muについて、任意のA∈FA\in\mathcal Fに対してμ(A)=0\mu(A)=0ならばν(A)=0\nu(A)=0であるとき、ν\nuはμ\muに関して 絶対連続 (absolutely continuous) であるといい、ν≪μ\nu\ll\muと書く。

定義 2.2.(X,F)(X,\mathcal F)を可測空間とし、α,β\alpha,\betaをその上の正測度とする。

  1. α\alphaが可測集合S∈FS\in\mathcal Fに 集中する (concentrated) とは、α(X∖S)=0\alpha(X\setminus S)=0が成り立つことをいう。
  2. 可測集合S∈FS\in\mathcal Fが存在してα(X∖S)=0\alpha(X\setminus S)=0かつβ(S)=0\beta(S)=0であるとき、α\alphaとβ\betaは 相互特異 (mutually singular) であるといい、α⊥β\alpha\perp\betaと書く。

補題 2.3. 同じ可測空間上の任意の正測度α,β\alpha,\betaに対して、α⊥β\alpha\perp\betaとβ⊥α\beta\perp\alphaは同値である。

証明.α(X∖S)=β(S)=0\alpha(X\setminus S)=\beta(S)=0を満たす可測集合SSの補集合をとると、β\betaが集中しα\alphaが零となる可測集合を得る。▨

3 密度による測度と積分

定義 3.1.(X,F,μ)(X,\mathcal F,\mu)を測度空間とし、f:X→[0,∞]f:X\to[0,\infty]を非負拡張実数値可測関数とする。E∈FE\in\mathcal Fに対して、可測集合上の積分 (integral over a measurable set) を

∫Ef dμ=∫Xf1E dμ\int_E f\,d\mu=\int_X f\mathbf1_E\,d\mu

と定める。積では0⋅∞=00\cdot\infty=0とする。

命題 3.2.(X,F,ρ)(X,\mathcal F,\rho)を測度空間、g:X→[0,∞]g:X\to[0,\infty]を非負拡張実数値可測関数とし、集合関数μ:F→[0,∞]\mu:\mathcal F\to[0,\infty]を

μ(E)=∫Eg dρ(E∈F)\mu(E)=\int_Eg\,d\rho\qquad(E\in\mathcal F)(3.2.1)\text{(3.2.1)}

によって定める。このとき、μ\muは正測度であり、任意の非負拡張実数値可測関数hhに対して

∫Xh dμ=∫Xhg dρ\int_Xh\,d\mu=\int_Xhg\,d\rho(3.2.2)\text{(3.2.2)}

が[0,∞][0,\infty]において成り立つ。積では0⋅∞=00\cdot\infty=0とする。

証明.XX上の非負拡張実数値可測関数hhに対してK(h)=∫Xhg dρK(h)=\int_Xhg\,d\rhoとおく。積hghgは§E10.7 補題 6.2により可測であり、0⋅∞=00\cdot\infty=0の規約からK(0)=0K(0)=0である。非負拡張実数の分配法則と§E10.10 定理 1.6により、KKは加法的かつ有限非負係数について同次である。hn↑hh_n\uparrow hならば、g=0g=0の点ではhng=hg=0h_ng=hg=0、0<g<∞0<g<\inftyの点ではhng↑hgh_ng\uparrow hgである。g=∞g=\inftyの点でも、h=0h=0ならばすべての積は00であり、h>0h>0ならば十分大きいnnでhn>0h_n>0となるため、hng↑hgh_ng\uparrow hgである。したがって、§E10.11 定理 1.1によりK(hn)↑K(h)K(h_n)\uparrow K(h)である。任意のE∈FE\in\mathcal Fに対してK(1E)=μ(E)K(\mathbf1_E)=\mu(E)であるから、§E10.11 定理 1.3によりμ\muは測度であり、∫Xh dμ=K(h)=∫Xhg dρ\int_Xh\,d\mu=K(h)=\int_Xhg\,d\rhoである。▨

命題 3.3.(X,F,μ)(X,\mathcal F,\mu)を測度空間とし、f:X→[0,∞]f:X\to[0,\infty]を非負拡張実数値可測関数とする。

λf(E)=∫Ef dμ(E∈F)\lambda_f(E)=\int_Ef\,d\mu\qquad(E\in\mathcal F)

と定める。このとき、λf\lambda_fは正測度であり、λf≪μ\lambda_f\ll\muである。

証明.命題 3.2を基準測度μ\muと密度ffに適用すると、λf\lambda_fは正測度である。μ(E)=0\mu(E)=0ならば§E10.10 補題 3.1によりλf(E)=0\lambda_f(E)=0であるから、λf≪μ\lambda_f\ll\muである。▨

系 3.4.(X,F,ρ)(X,\mathcal F,\rho)を測度空間、g:X→[0,∞]g:X\to[0,\infty]を非負拡張実数値可測関数とし、任意のE∈FE\in\mathcal Fに対してμ(E)=∫Eg dρ\mu(E)=\int_Eg\,d\rhoと定める。このとき、有限実数値または複素数値の可測関数hhがμ\muに関して可積分であるための必要十分条件は

∫X∣h∣g dρ<∞\int_X|h|g\,d\rho<\infty

である。この条件が成り立つとき、g<∞g<\inftyの点ではw=hgw=hg、g=∞g=\inftyの点ではw=0w=0と定めた可測関数wwはhhと同じ終域R\RまたはC\Cに値をとり、ρ\rhoに関して可積分であり、∫Xh dμ=∫Xw dρ\int_Xh\,d\mu=\int_Xw\,d\rhoである。

証明.命題 3.2を∣h∣|h|へ適用すると必要十分条件を得る。この条件が成り立つとする。§E10.10 命題 3.5を∣h∣g|h|gへ適用すると、F={g=∞, ∣h∣>0}F=\{g=\infty,\ |h|>0\}はρ\rho-零集合である。wwは可測集合{g<∞}\{g<\infty\}上のR\R値またはC\C値可測関数hghgを零延長した関数であるから、同じ終域への可測関数である。また、FFの外で∣w∣=∣h∣g|w|=|h|gが成り立つため、積分の a.e. 不変性からwwは可積分である。実数値の場合は密度積分公式をh+h^+とh−h^-へ適用し、FF上の変更を a.e. 不変性で除いて差をとる。複素数値の場合は実部と虚部へ実数値の場合を適用する。▨

例 3.5.X={1,2,3}X=\{1,2,3\}に冪集合の σ-加法族を入れ、基準測度ρ\rhoを

ρ(A)=∑n∈Arn,(r1,r2,r3)=(1,2,4)\rho(A)=\sum_{n\in A}r_n,\qquad (r_1,r_2,r_3)=(1,2,4)

によって定める。密度ggの値を(g(1),g(2),g(3))=(0,3,1/2)(g(1),g(2),g(3))=(0,3,1/2)とし、μ(E)=∫Eg dρ\mu(E)=\int_Eg\,d\rhoとおく。このとき、

(μ({1}),μ({2}),μ({3}))=(0,6,2)\bigl(\mu(\{1\}),\mu(\{2\}),\mu(\{3\})\bigr)=(0,6,2)

である。関数hhの値を(h(1),h(2),h(3))=(5,−1,2)(h(1),h(2),h(3))=(5,-1,2)とすると、∣h∣g|h|gのρ\rhoに関する積分は6+4=106+4=10であるから、系 3.4によりhhはμ\muに関して可積分であり、

∫Xh dμ=5⋅0−1⋅6+2⋅2=−2=∫Xhg dρ\int_Xh\,d\mu=5\cdot0-1\cdot6+2\cdot2=-2 =\int_Xhg\,d\rho

である。基準測度では正の質量をもつ点11が、密度測度では零集合となる。

例 3.6.N≥1\NNに冪集合の σ-加法族を入れ、ρ\rhoを数え上げ測度とする。g(n)=2−ng(n)=2^{-n}とし、μ(E)=∫Eg dρ\mu(E)=\int_Eg\,d\rhoによって密度測度μ\muを定める。このとき、非負級数の積分公式§E10.11 系 1.5と幾何級数の和から、

μ(N≥1)=∫N≥1g dρ=∑n=1∞2−n=1\mu(\NN)=\int_{\NN}g\,d\rho=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}=1

である。定数関数h(n)=1h(n)=1は∫N≥1∣h∣ dρ=∞\int_{\NN}|h|\,d\rho=\inftyのためρ\rhoに関して可積分ではない。一方、系 3.4によりhhはμ\muに関して可積分であり、

∫N≥1h dμ=∫N≥1hg dρ=1\int_{\NN}h\,d\mu=\int_{\NN}hg\,d\rho=1

である。

系 3.7.(X,F,ρ)(X,\mathcal F,\rho)を測度空間、f,g:X→[0,∞]f,g:X\to[0,\infty]を非負拡張実数値可測関数とする。μ(E)=∫Eg dρ\mu(E)=\int_Eg\,d\rho、ν(E)=∫Ef dμ\nu(E)=\int_Ef\,d\muと定める。このとき、任意のE∈FE\in\mathcal Fに対してν(E)=∫Efg dρ\nu(E)=\int_Efg\,d\rhoである。

証明.命題 3.2をf1Ef\mathbf1_Eへ適用する。▨

参考文献

  1. Donald L. Cohn, Measure Theory, 2nd ed., Birkhäuser Advanced Texts Basler Lehrbücher, Birkhäuser, 2013.
  2. Gerald B. Folland, Real Analysis, 2nd ed., Wiley, 1999.

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