Kummer 理論 | 体論入門

1 Kummer 完全列

定理 1.1 (Kummer 完全列). $K$ を体とし、 $n\ge2$ を $\operatorname{char}K\nmid n$ を満たす整数とする。離散 $G_K$ -加群の列

1\longrightarrow\mu_n\longrightarrow K_s^\times \xrightarrow{(\cdot)^n}K_s^\times\longrightarrow1

は完全である。 $G_K$ の $\mu_n$ への作用は、円分指標 $\chi_n:G_K\to(\Z/n\Z)^\times$ による作用である。

証明. $n$ 乗写像の核は定義により $\mu_n$ である。任意の $a\in K_s^\times$ に対して $x^n-a$ は微分 $nx^{n-1}$ と互いに素なので分離多項式である。 $K_s$ は分離閉体であるため、この多項式は $K_s$ に根をもち、 $n$ 乗写像は全射である。すべての写像は $G_K$ の作用と可換する。

原始 $n$ 乗根 $\zeta_n$ を選ぶと、§E8.20 定義 1.2により $\sigma(\zeta_n)=\zeta_n^{\chi_n(\sigma)}$ である。したがって $\mu_n$ の作用は円分指標によって与えられる。▨

定理 1.2.定理 1.1の仮定のもとで、 $K^\times/K^{\times n}$ と、連続な乗法一次コサイクル

z:G_K\longrightarrow\mu_n, \qquad z_{\sigma\tau}=z_\sigma\,\sigma(z_\tau)

を基点変更

z'_\sigma=\frac{\sigma(\zeta)}{\zeta}z_\sigma \qquad(\zeta\in\mu_n)

で同一視した同値類との間に、自然な群同型

K^\times/K^{\times n}\xrightarrow{\ \sim\ } \{\mu_n\text{ 値連続一次コサイクル}\}/\!\sim

\text{(1.2.1)}

がある。 $a\in K^\times$ の類は、 $K_s$ で $\alpha^n=a$ となる $\alpha$ を選んで定めるコサイクル

z_{a,\sigma}=\frac{\sigma(\alpha)}{\alpha}\in\mu_n

\text{(1.2.2)}

に対応する。この同値類が分類する対象は、方程式 $x^n=a$ の解全体

X_a=\{x\in K_s\mid x^n=a\}

からなる $\mu_n$ -主等質空間である。

証明. $\alpha^n=a$ なら、式 (1.2.2)の $n$ 乗は $\sigma(a)/a=1$ なので $z_{a,\sigma}\in\mu_n$ である。また

z_{a,\sigma\tau} =\frac{\sigma\tau(\alpha)}{\alpha} =\frac{\sigma(\alpha)}{\alpha}\, \sigma\!\left(\frac{\tau(\alpha)}{\alpha}\right)

であるから、 $z_a$ は一次コサイクルである。別の根 $\zeta\alpha$ を選ぶと式 (1.2.2)は $\sigma(\zeta)z_{a,\sigma}/\zeta$ へ変わるので、同じ同値類が定められる。さらに $a$ を $ac^n$ 、 $c\in K^\times$ へ替えたときは根を $\alpha c$ と選ぶことができ、コサイクルは変わらない。したがって式 (1.2.1)の写像は定まる。 $\alpha$ の固定部分群は開いているため、 $z_a$ は連続である。根の積を選べばコサイクルも積になるため、この写像は群準同型である。

この写像が単射であることを示す。 $\alpha^n=a$ 、 $\beta^n=b$ から得たコサイクルが同値であるとし、ある $\zeta\in\mu_n$ について

\frac{\sigma(\beta)}{\beta} =\frac{\sigma(\zeta)}{\zeta}\frac{\sigma(\alpha)}{\alpha}

がすべての $\sigma\in G_K$ に対して成り立つとする。この等式は $c=\beta/(\zeta\alpha)$ が $G_K$ に固定されることを意味するので $c\in K^\times$ であり、 $b/a=c^n$ となる。ゆえに $[a]=[b]$ である。

全射性を示すため、 $\mu_n$ 値連続一次コサイクル $z$ を取る。 $z$ を $K_s^\times$ 値コサイクルとみなし、乗法版 Hilbert の定理 90§E8.18 定理 4.3を適用すると、ある $\alpha\in K_s^\times$ が存在して $z_\sigma=\sigma(\alpha)/\alpha$ となる。 $z_\sigma^n=1$ であるから $\alpha^n$ は $G_K$ に固定される。したがって $a=\alpha^n\in K^\times$ であり、 $z$ は $[a]$ の像である。

$X_a$ には $\mu_n$ が乗法で自由かつ推移的に作用し、 $G_K$ の作用と $\sigma(\zeta\alpha)=\sigma(\zeta)\sigma(\alpha)$ の意味で両立する。基点 $\alpha$ を別の根 $\zeta\alpha$ へ替えたときのコサイクルの変化は上で定めた同値関係そのものである。したがって式 (1.2.1)は $\mu_n$ -主等質空間 $X_a$ の同型類も分類する。▨

式 (1.2.1)では $\mu_n\subset K$ を仮定していない。したがって、任意の体で成立する結論は $n$ 乗根の主等質空間の分類であり、巡回拡大の分類ではない。

注意 1.3. 標数が $p$ の場合、 $p$ 冪次巡回拡大は $p$ 乗写像では分離的に扱うことができない。

2 一の冪根を含む場合

以下この節では $\mu_n\subset K$ を追加で仮定する。このとき $G_K$ の $\mu_n$ への作用は自明であるため、一次コサイクル条件は連続準同型条件になる。さらに基点変更では $\sigma(\zeta)/\zeta=1$ なので、異なるコサイクルが同値になることはない。したがって式 (1.2.1)は自然な群同型

K^\times/K^{\times n}\xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_{\mathrm{cont}}(G_K,\mu_n)

を与える。

命題 2.1. $\mu_n\subset K$ とし、 $[a]\in K^\times/K^{\times n}$ に対応する指標を $z_a:G_K\to\mu_n$ とする。 $d=\#\operatorname{im}z_a$ 、 $L=K_s^{\ker z_a}$ とおくと、 $L/K$ は次数 $d$ の巡回 Galois 拡大であり、 $d\mid n$ である。さらに $L=K(\alpha)$ 、 $\alpha^n=a$ と書くことができる。

この対応が記録するのは、拡大 $L/K$ だけでなく、単射

\operatorname{Gal}(L/K)\xrightarrow{\ \sim\ }\operatorname{im}z_a\subseteq\mu_n, \qquad \sigma\longmapsto\frac{\sigma(\alpha)}{\alpha}

を備えた標識付き巡回拡大である。

証明. $\mu_n$ の作用が自明なので $z_a$ は連続準同型である。開正規部分群 $\ker z_a$ の固定体 $L$ は有限 Galois 拡大であり

\operatorname{Gal}(L/K)\cong\operatorname{im}z_a

である。 $\mu_n$ は巡回群なので像も位数 $d\mid n$ の巡回群である。

式 (1.2.2)から、 $\sigma(\alpha)=\alpha$ と $z_a(\sigma)=1$ は同値である。したがって $\alpha$ の固定部分群は $\ker z_a$ であり、Galois 対応により $K(\alpha)=L$ となる。最後の同型が標識を与える。▨

同じ巡回拡大であっても、標識を変えると、対応する指標は変わる。標識を忘れた巡回拡大どうしが一致するための条件は、次のとおりである。

命題 2.2. $[a],[b]\in K^\times/K^{\times n}$ の位数が同じ正整数 $d$ であるとする。対応する標識を忘れた固定体が $K_s$ 内で等しいことと、ある $u\in(\Z/d\Z)^\times$ について

[b]=[a]^u

となることは同値である。

証明. $[b]=[a]^u$ なら、対応する指標は $z_b=z_a^u$ である。 $u$ は位数 $d$ の像に自己同型として作用するため、二つの指標の核は等しく、固定体も等しい。

逆に固定体が等しければ二つの指標の核は等しい。したがって両指標は同じ巡回商群を位数 $d$ の $\mu_n$ の部分群へ同型に写す。その二つの同型の差は位数 $d$ の巡回群の自己同型なので、ある $u\in(\Z/d\Z)^\times$ による冪乗である。式 (1.2.1)の全単射から $[b]=[a]^u$ を得る。▨

3 Kummer 対と有限アーベル拡大

定義 3.1. $\mu_n\subset K$ とし、 $B\le K^\times/K^{\times n}$ を有限部分群とする。各 $[b]\in B$ について $\beta_b^n=b$ となる元を $K_s$ で選び

L_B=K(\beta_b\mid[b]\in B)

とおく。Kummer 対 (Kummer pairing) を

\langle\ ,\ \rangle_B: \operatorname{Gal}(L_B/K)\times B\longrightarrow\mu_n, \qquad \langle\sigma,[b]\rangle_B=\frac{\sigma(\beta_b)}{\beta_b}

\text{(3.1.1)}

で定める。

代表元を $b$ から $bc^n$ へ替え、根を $\beta_bc$ へ替えても式 (3.1.1)は変わらない。根 $\beta_b$ を $b$ の別の $n$ 乗根へ替えることは、 $\beta_b$ に $\mu_n\subset K$ の元を掛けることにあたるので、やはり値は変わらない。

補題 3.2. $A$ を指数が $n$ を割る有限アーベル群とし、 $\mu_n$ を位数 $n$ の巡回群とする。このとき

|\operatorname{Hom}(A,\mu_n)|=|A|

\text{(3.2.1)}

である。また、任意の $a\in A\setminus\{1\}$ に対して、 $\psi(a)\ne1$ を満たす $\psi\in\operatorname{Hom}(A,\mu_n)$ が存在する。

証明. 有限アーベル群の基本定理§E7.19 定理 6.3により、 $n$ の約数 $d_1,\ldots,d_r$ が存在して

A\cong C_{d_1}\times\cdots\times C_{d_r}

と書くことができる。実際、基本定理による各巡回因子の位数は $A$ の指数を割るため、 $n$ も割る。

$C_{d_i}$ の生成元を $e_i$ とする。準同型 $C_{d_i}\to\mu_n$ は $e_i$ の像によって一意に定まり、像として選ぶことができる元は

\mu_n[d_i]=\{\zeta\in\mu_n\mid\zeta^{d_i}=1\}

である。 $d_i\mid n$ であり $\mu_n$ は位数 $n$ の巡回群なので、 $\mu_n[d_i]$ は位数 $d_i$ の部分群である。したがって

|\operatorname{Hom}(C_{d_i},\mu_n)|=d_i

となる。直積の各成分へ制限することにより

\operatorname{Hom}(A,\mu_n) \cong\prod_{i=1}^r\operatorname{Hom}(C_{d_i},\mu_n)

であるから、両辺の位数を取ると式 (3.2.1)を得る。

$a\ne1$ とし、表示した直積分解における第 $i$ 成分 $a_i$ が自明でない添字 $i$ を選ぶ。原始 $n$ 乗根 $\zeta_n$ を一つ取り、 $e_i$ を $\zeta_n^{n/d_i}$ へ写し、他の巡回因子を $1$ へ写す準同型を $\psi$ とする。 $\zeta_n^{n/d_i}$ の位数は $d_i$ なので、 $a_i\ne1$ から $\psi(a)\ne1$ が従う。▨

定理 3.3. $\mu_n\subset K$ とし、 $B\le K^\times/K^{\times n}$ を有限部分群とする。 $L_B/K$ は指数が $n$ を割る有限アーベル Galois 拡大であり、式 (3.1.1)は両側で非退化な完全双線形対である。とくに

\operatorname{Gal}(L_B/K)\cong\operatorname{Hom}(B,\mu_n), \qquad [L_B:K]=|B|.

\text{(3.3.1)}

証明. 各多項式 $x^n-b$ は、 $\mu_n\subset K$ なので $\beta_b$ を一つ含む体ではすべての根をもち、 $\operatorname{char}K\nmid n$ なので分離的である。有限個の生成元を選べば $L_B$ はそれらの多項式の分解体になるため、有限 Galois 拡大である。各自己同型はそれぞれの $\beta_b$ を $\mu_n$ 倍するので、Galois 群はアーベル群であり、その各元の位数は $n$ を割る。

式 (3.1.1)は両変数について群準同型である。左側で全ての $[b]$ と自明に対をなす $\sigma$ は、すべての $\beta_b$ を固定するため $L_B$ 全体を固定し、 $\sigma=1$ である。右側で全ての $\sigma$ と自明に対をなす $[b]$ については、 $\beta_b$ が $\operatorname{Gal}(L_B/K)$ に固定されるため $\beta_b\in K$ であり、 $[b]=1$ となる。したがって対は両側で非退化である。

$B$ と $\operatorname{Gal}(L_B/K)$ はいずれも指数が $n$ を割る有限アーベル群である。補題 3.2により $|\operatorname{Hom}(B,\mu_n)|=|B|$ および $|\operatorname{Hom}(\operatorname{Gal}(L_B/K),\mu_n)|=|\operatorname{Gal}(L_B/K)|$ である。両側の非退化性により得られる二つの単射の位数を比較すると等号になり、式 (3.3.1)と完全性を得る。▨

定理 3.4. $\mu_n\subset K$ とする。対応

B\longmapsto L_B

は、 $K^\times/K^{\times n}$ の有限部分群 $B$ と、 $K_s$ 内の指数が $n$ を割る有限アーベル Galois 拡大 $L/K$ との間の全単射である。逆対応は

L\longmapsto B_L=\{[b]\in K^\times/K^{\times n}\mid b=\beta^n \text{ となる }\beta\in L^\times\text{ が存在する}\}

である。

証明. 前定理により $L_B/K$ は指定された型の拡大である。また $B\subseteq B_{L_B}$ である。 $L/K$ が指数が $n$ を割る有限アーベル Galois 拡大である場合、自然な写像

\kappa_L:B_L\longrightarrow\operatorname{Hom}(\operatorname{Gal}(L/K),\mu_n), \qquad [\beta^n]\longmapsto\left(\sigma\longmapsto\frac{\sigma(\beta)}{\beta}\right)

\text{(3.4.1)}

を考える。根または代表元を変えても指標は変わらない。指標が自明なら $\beta\in K$ なので、 $\kappa_L$ は単射である。一方、任意の指標は乗法版 Hilbert の定理 90§E8.18 定理 4.3により $\sigma(\beta)/\beta$ と書くことができ、その $n$ 乗は $K$ に属する。したがって $\kappa_L$ は全射である。

$L=L_B$ とすると、式 (3.3.1)により式 (3.4.1)の終域の位数は $|B|$ である。 $B\subseteq B_{L_B}$ なので $B_{L_B}=B$ を得る。

逆に $L/K$ を指数が $n$ を割る有限アーベル Galois 拡大とし、 $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ とする。式 (3.4.1)により、 $B_L$ は $G$ の指標群全体と同型である。補題 3.2により有限アーベル群の指標は各非自明な元を分離するため、これらの指標の核の共通部分は自明である。対応する根をすべて添加した体の固定部分群も自明なので $L=L_{B_L}$ である。二つの対応は互いに逆である。▨

例 3.5. $\operatorname{char}K\ne2$ とし、 $a,b\in K^\times/K^{\times2}$ が生成する部分群 $B$ の位数が $4$ であるとする。 $\mu_2\subset K$ は自動的に成り立つ。Kummer 対により

K(\sqrt a,\sqrt b)/K

は次数 $4$ の Galois 拡大で、Galois 群は $\operatorname{Hom}(B,\mu_2)\cong C_2\times C_2$ である。二つの生成元の符号を独立に変える自己同型が、 $B$ の双対基底になる。

4 一の冪根を含まない場合の捻れ

命題 4.1. $\mu_n$ が $K$ に含まれるとは仮定しない。 $K'=K(\mu_n)$ 、 $H=G_{K'}=\ker\chi_n$ とする。Kummer 類 $[a]$ のコサイクル $z_a$ を $H$ へ制限すると準同型

z_a|_H:H\longrightarrow\mu_n

になるが、 $\gamma\in G_K$ と $\tau\in H$ に対して

z_a(\gamma\tau\gamma^{-1}) =\gamma(z_a(\tau)) =z_a(\tau)^{\chi_n(\gamma)}

\text{(4.1.1)}

という捻れた同変性を満たす。

証明. $H$ は $\mu_n$ へ自明に作用するため、コサイクル条件を $H$ に制限すると準同型条件になる。 $z=z_a$ と書く。コサイクル条件と $z_{\gamma^{-1}}=\gamma^{-1}(z_\gamma^{-1})$ を用いると

z_{\gamma\tau\gamma^{-1}} =z_\gamma\,\gamma(z_\tau)\,\gamma\tau(z_{\gamma^{-1}}).

$\tau$ は $\mu_n$ を固定するため、最後の因子は $z_\gamma^{-1}$ になり、可換性から第一因子と相殺する。よって $z_{\gamma\tau\gamma^{-1}}=\gamma(z_\tau)$ である。最後の等号は円分指標の定義による。▨

例 4.2. $K=\Q$ 、 $n=3$ 、 $a=2$ とする。式 (1.2.2)のコサイクル同値類は主等質空間 $x^3=2$ を定める。しかし $\mu_3\not\subset\Q$ であり、 $\Q(\sqrt[3]2)/\Q$ は Galois 拡大ではない。 $K'=\Q(\mu_3)$ へ移すと $K'(\sqrt[3]2)/K'$ は巡回三次拡大になるが、複素共役はその指標を逆数へ移す。これは式 (4.1.1)で $\chi_3$ が $-1$ を取る場合である。したがって元の Kummer 類を $\Q$ 上の巡回三次拡大と同一視することはできない。

5 演習

問題 5.1.

Kummer コサイクル式 (1.2.2)が、 $\mu_n$ への作用を含むコサイクル条件を満たすことを計算せよ。
$\omega$ を $1$ の原始三乗根、 $K=\Q(\omega)$ 、 $n=3$ とし、 $\alpha=\sqrt[3]2\in\R$ とする。 $[2]\in K^\times/K^{\times3}$ の位数が $3$ であることを示せ。また $[4]=[2]^2$ について、 $[2]$ と $[4]$ が同じ拡大 $K(\alpha)$ を定め、対応する指標が $z_4=z_2^2$ を満たすことを確かめ、 $K(\alpha)$ を与える位数 $3$ の類が $[2]$ と $[4]$ の二つに限ることを示せ。
$K=\Q$ 、 $n=2$ 、 $B=\langle[2],[3]\rangle\le\Q^\times/\Q^{\times2}$ とする。 $B=\{1,[2],[3],[6]\}$ かつ $L_B=\Q(\sqrt2,\sqrt3)$ であることを示し、§E8.10 例 4.2の $\sigma,\tau$ を用いて、Kummer 対 $\langle\rho,[b]\rangle_B$ の値を $\rho\in\{1,\sigma,\tau,\sigma\tau\}$ と $[b]\in B$ のすべての組について求めよ。その表から、対が両側で非退化であることを確かめよ。
$K=\Q$ 、 $n=2$ とする。 $B=\langle[2],[3],[6]\rangle$ と $B'=\langle[2],[3],[5]\rangle$ の位数を求め、 $[L_B:\Q]$ と $[L_{B'}:\Q]$ を定理 3.3によって求めよ。
$K=\Q$ 、 $n=3$ 、 $a=2$ 、 $\alpha=\sqrt[3]2\in\R$ とし、 $\Q$ の分離閉包を $\C$ の中の代数的数の全体にとる。 $\omega$ を $1$ の原始三乗根、 $K'=\Q(\omega)$ 、 $H=G_{K'}$ とし、 $\gamma\in G_{\Q}$ を複素共役の制限とする。 $\tau(\alpha)=\omega\alpha$ を満たす $\tau\in H$ が存在することを示し、 $z_a(\tau)$ 、 $\chi_3(\gamma)$ 、 $z_a(\gamma\tau\gamma^{-1})$ を直接計算して式 (4.1.1)を確かめよ。また $z_a(\gamma\tau\gamma^{-1})\ne z_a(\tau)$ であることを示せ。

解答.

$\alpha \in K_s$ を $\alpha^n = a$ を満たす元とし、 $z_\sigma = \sigma(\alpha)/\alpha$ とする。 $\sigma$ は $K$ を固定する体自己同型であるから $z_\sigma^n = \sigma(\alpha^n)/\alpha^n = \sigma(a)/a = 1$ であり、 $z_\sigma \in \mu_n$ である。 $\sigma, \tau \in G_K$ について、 $\sigma$ が商を保つことから $\sigma(z_\tau) = \sigma(\tau(\alpha))/\sigma(\alpha)$ であり、 $z_{\sigma\tau} = \frac{\sigma\tau(\alpha)}{\alpha} = \frac{\sigma(\alpha)}{\alpha} \cdot \frac{\sigma(\tau(\alpha))}{\sigma(\alpha)} = z_\sigma \, \sigma(z_\tau)$ が成り立つ。ここで $\sigma(z_\tau)$ は、 $G_K$ の $K_s$ への作用を $\mu_n$ へ制限した作用による像であり、定理 1.1により $\sigma(z_\tau) = z_\tau^{\chi_n(\sigma)}$ である。したがって $z$ は、円分指標による $\mu_n$ への作用を含むコサイクル条件 $z_{\sigma\tau} = z_\sigma \, z_\tau^{\chi_n(\sigma)}$ を満たす。 $\mu_n \not\subset K$ のときは $\chi_n(\sigma) \ne 1$ となる $\sigma$ が存在するので、この条件を $z_{\sigma\tau} = z_\sigma z_\tau$ に置き換えることはできない。
§E8.6 例 4.1により $[\Q(\alpha,\omega):\Q]=6$ であり、 $[K:\Q]=2$ であるから、塔の公式により $[K(\alpha):K]=3$ である。 $2=c^3$ を満たす $c\in K$ があったとすると、 $c$ は $x^3-2$ の根であるから $c=\alpha\omega^j$ と書くことができ、 $\omega\in K$ により $\alpha\in K$ となって $[K(\alpha):K]=3$ に反する。したがって $[2]\ne1$ であり、 $[2]^3=[2^3]=1$ であるから $[2]$ の位数は $3$ である。 $\alpha^2$ は $x^3-4$ の根であり、 $K(\alpha^2)=K(\alpha)$ である（ $\alpha=\alpha^4/2=(\alpha^2)^2/2$ ）。命題 2.1により、 $[2]$ と $[4]$ が定める拡大はいずれも $K(\alpha)$ である。 $\sigma\in G_K$ について $z_4(\sigma)=\frac{\sigma(\alpha^2)}{\alpha^2}=\Bigl(\frac{\sigma(\alpha)}\alpha\Bigr)^2=z_2(\sigma)^2$ であるから $z_4=z_2^2$ である。 $[4]=[2]^2\ne[2]$ である。実際、等しければ $[2]=1$ となる。位数 $3$ の類で $K(\alpha)$ を与えるものは、命題 2.2により $[2]^u$ （ $u\in(\Z/3\Z)^\times=\{1,2\}$ ）、すなわち $[2]$ と $[4]$ に限る。二つの類は同じ拡大に、 $\sigma\mapsto z_2(\sigma)$ と $\sigma\mapsto z_2(\sigma)^2$ という異なる標識を与える。
正の有理数が $\Q$ の平方であることは、素因数分解のすべての指数が偶数であることと同値である。 $[2]^2=[3]^2=1$ であり、 $[2][3]=[6]$ であるから $B=\{1,[2],[3],[6]\}$ である。 $2,3,6$ と、二つの比 $2/3$ 、 $2/6=1/3$ 、 $3/6=1/2$ はいずれも指数が奇数の素因数をもつので平方でなく、四つの類は相異なる。 $\mu_2=\{\pm1\}\subset\Q$ である。 $\beta_2=\sqrt2$ 、 $\beta_3=\sqrt3$ 、 $\beta_6=\sqrt6$ 、 $\beta_1=1$ と選ぶと $L_B=\Q(\sqrt2,\sqrt3,\sqrt6)=\Q(\sqrt2,\sqrt3)$ である。§E8.10 例 4.2により $\operatorname{Gal}(L_B/\Q)=\{1,\sigma,\tau,\sigma\tau\}$ であり、 $\sigma(\sqrt6)=-\sqrt6$ 、 $\tau(\sqrt6)=-\sqrt6$ 、 $\sigma\tau(\sqrt6)=\sqrt6$ である。式 (3.1.1)により値は次の表のとおりである。 $\begin{array}{c|cccc} \langle\rho,[b]\rangle_B & 1 & [2] & [3] & [6] \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \sigma & 1 & -1 & 1 & -1 \\ \tau & 1 & 1 & -1 & -1 \\ \sigma\tau & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}$ $1$ 以外の各行には値 $-1$ があるので、すべての $[b]$ と自明に対をなす $\rho$ は $1$ だけであり、左側で非退化である。 $1$ 以外の各列には値 $-1$ があるので、すべての $\rho$ と自明に対をなす類は $1$ だけであり、右側で非退化である。
正の有理数が $\Q$ の平方であることは、素因数分解のすべての指数が偶数であることと同値である。 $B$ について、 $[6]=[2][3]$ であるから $B=\langle[2],[3]\rangle=\{1,[2],[3],[6]\}$ であり、(3)の解答のとおり四つの類は相異なるので $|B|=4$ である。 $B'$ について、 $e_1,e_2,e_3\in\{0,1\}$ に対する $8$ 個の類 $[2^{e_1}3^{e_2}5^{e_3}]$ を考える。二つの組 $(e_i)$ 、 $(e'_i)$ が異なれば、比 $2^{e_1-e'_1}3^{e_2-e'_2}5^{e_3-e'_3}$ は指数が奇数の素因数をもつので平方でなく、二つの類は異なる。各類の位数は $2$ 以下であるから、 $B'$ はこの $8$ 個の類からなり、 $|B'|=8$ である。 $\mu_2=\{\pm1\}\subset\Q$ であり、標数 $0$ は $2$ を割らないので定理 3.3を適用することができ、 $[L_B:\Q]=|B|=4$ 、 $[L_{B'}:\Q]=|B'|=8$ である。 $B$ は三つの元で生成されるが、生成元の間に関係 $[6]=[2][3]$ があるので、次数は $2^3$ ではなく $4$ である。
§E8.6 例 4.1により $[\Q(\alpha,\omega):\Q]=6$ 、 $[K':\Q]=2$ であるから、 $[K'(\alpha):K']=3$ であり、 $x^3-2$ は $K'$ 上の $\alpha$ の最小多項式である。 $\omega\alpha$ もその根であるから、 $\alpha\mapsto\omega\alpha$ は $K'$ -同型 $K'(\alpha)\to K'(\omega\alpha)=K'(\alpha)$ を定める。標数 $0$ であるから $K_s$ は $\Q$ の代数閉包であり、§E8.11 定理 2.1を $E=K_s$ 、 $F=K'(\alpha)$ 、 $\Omega=K_s$ に適用すると、この同型は $K'$ -埋め込み $\tilde\tau:K_s\to K_s$ へ延長される。各 $\beta\in K_s$ について、 $\tilde\tau$ は $\beta$ の $\Q$ 上の最小多項式の $K_s$ における根の有限集合をそれ自身へ単射に写すので、 $\beta$ は $\tilde\tau$ の像に属する。したがって $\tilde\tau$ は全射であり、 $\tau=\tilde\tau$ は $\tau(\alpha)=\omega\alpha$ を満たす $H$ の元である。式 (1.2.2)により $z_a(\tau)=\tau(\alpha)/\alpha=\omega$ である。 $\gamma(\omega)=\overline\omega=\omega^2$ であるから $\chi_3(\gamma)=2=-1\in(\Z/3\Z)^\times$ である。 $\alpha$ は実数であるから $\gamma(\alpha)=\gamma^{-1}(\alpha)=\alpha$ であり、 $\gamma\tau\gamma^{-1}(\alpha)=\gamma\bigl(\tau(\alpha)\bigr)=\gamma(\omega\alpha)=\omega^2\alpha$ である。 $H=\ker\chi_3$ は正規部分群であるから $\gamma\tau\gamma^{-1}\in H$ であり、 $z_a(\gamma\tau\gamma^{-1})=\omega^2$ である。一方 $z_a(\tau)^{\chi_3(\gamma)}=\omega^2$ であり、式 (4.1.1)が成り立つ。 $\omega^2\ne\omega$ であるから $z_a(\gamma\tau\gamma^{-1})\ne z_a(\tau)$ である。

▨

§E8.21Kummer 理論

1 Kummer 完全列

2 一の冪根を含む場合

3 Kummer 対と有限アーベル拡大

4 一の冪根を含まない場合の捻れ

5 演習

参考文献

前提記事