分離性と有限エタール代数 | 体論入門

1 重根と分離性

定義 1.1. $f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_i x^i\in K[x]$ の形式微分 (formal derivative) を

f'(x)=\sum_{i=1}^{n}i a_i x^{i-1}

と定める。

非零多項式 $f\in K[x]$ が分離的 (separable polynomial) であるとは、代数閉包の中で $f$ の相異なる根の個数が $\deg f$ に等しいことをいう。 $K$ 上代数的な元 $\alpha$ が分離的 (separable element) であるとは、最小多項式 $m_{\alpha,K}$ が分離的であることをいう。代数拡大 $L/K$ が分離拡大 (separable extension) であるとは、 $L$ のすべての元が $K$ 上分離的であることをいう。

定理 1.2. $f\in K[x]\setminus\{0\}$ とし、 $\Omega$ を $K$ の代数閉包とする。次の条件は同値である。

$f$ は $\Omega$ に重根をもつ。
$f$ と $f'$ は $K[x]$ で非定数の共通因子をもつ。
$\gcd(f,f')\ne1$ である。

とくに、モニック既約多項式 $p$ が分離的であることと $p'\ne0$ であることは同値である。

証明. $\alpha\in\Omega$ が $f$ の重根なら、 $f=(x-\alpha)^2g$ と書くことができる。積の微分則から $f'$ も $x-\alpha$ で割り切れる。したがって $f$ と $f'$ は $\Omega[x]$ で共通根をもつ。最小多項式を取れば、 $K[x]$ でも非定数の共通因子をもつ。

逆に $\alpha$ が $f$ と $f'$ の共通根であるとする。 $f=(x-\alpha)q$ と書くと

f'=q+(x-\alpha)q'

である。 $f'(\alpha)=0$ より $q(\alpha)=0$ なので、 $x-\alpha$ は $q$ も割り切る。したがって $(x-\alpha)^2$ は $f$ を割り切り、 $\alpha$ は重根である。(2) $\Leftrightarrow$ (3)は最大公約多項式の定義から従う。

$p$ が既約なら、 $\gcd(p,p')$ は $1$ または $p$ である。 $\deg p'<\deg p$ なので、後者が成り立つことと $p'=0$ は同値である。したがって最後の主張を得る。▨

標数 $0$ では非定数多項式の微分は $0$ にならないため、すべての既約多項式が分離的である。標数 $p>0$ では、 $f'=0$ であることと $f$ が $x^p$ の多項式であることが同値である。そのため、標数 $p>0$ では非分離性が現れ得る。

例 1.3. $x^3-2\in\Q[x]$ では $f'=3x^2$ であり、 $\gcd(x^3-2,3x^2)=1$ なので分離的である。

一方、 $K=\mathbb F_p(t)$ とし、 $f=x^p-t$ とする。 $t$ は $K$ の $p$ 乗ではないので $f$ は既約であるが、 $f'=0$ である。代数閉包で $\alpha^p=t$ とおくと $f=(x-\alpha)^p$ であり、 $f$ は相異なる根を一つしかもたない。

2 埋め込みの個数と分離次数

$K$ の代数閉包 $\Omega$ を一つ固定する。 $K$ -埋め込みとは、 $K$ の各元を固定する体準同型をいう。

補題 2.1. $E/K$ を $\Omega$ の部分体とし、 $\sigma:E\to\Omega$ を $K$ -埋め込みとする。 $\alpha$ を $E$ 上代数的な元とし、その最小多項式を $m_{\alpha,E}$ とする。 $\sigma$ を係数へ施した多項式を $\sigma m_{\alpha,E}\in\sigma(E)[x]$ と書く。

$\sigma$ を延長する埋め込み $E(\alpha)\to\Omega$ と、 $\sigma m_{\alpha,E}$ の $\Omega$ における相異なる根は、 $\alpha$ の像を対応させることによって一対一に対応する。

証明. $\beta\in\Omega$ を $\sigma m_{\alpha,E}$ の根とする。写像

E[x]\longrightarrow\Omega,\qquad \sum_i a_i x^i\longmapsto\sum_i\sigma(a_i)\beta^i

の核は $(m_{\alpha,E})$ である。したがって商を取ると、§E8.2 定理 3.1の同型を通じて $E(\alpha)\to\Omega$ が得られ、この埋め込みは $\alpha$ を $\beta$ へ写す。

逆に、 $\sigma$ を延長する埋め込み $\widetilde\sigma$ は $0=\widetilde\sigma(m_{\alpha,E}(\alpha))=(\sigma m_{\alpha,E})(\widetilde\sigma(\alpha))$ を満たす。体 $E(\alpha)$ は $E$ と $\alpha$ で生成されるため、 $\widetilde\sigma$ は $\widetilde\sigma(\alpha)$ によって一意に定まる。▨

定義 2.2. 有限拡大 $L/K$ の分離次数 (separable degree) を

[L:K]_{\mathrm s}=\#\operatorname{Hom}_K(L,\Omega)

と定める。右辺は、 $L$ から固定した代数閉包 $\Omega$ への $K$ -埋め込みの個数である。

定理 2.3. 有限拡大 $L/K$ に対して

[L:K]_{\mathrm s}\le [L:K]

が成り立つ。等号が成り立つことと、 $L/K$ が分離拡大であることは同値である。

証明. $L=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_r)$ とし、 $K_i=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_i)$ とおく。補題 2.1により、 $K_{i-1}$ からの一つの埋め込みを $K_i$ へ延長する方法の個数は、 $\alpha_i$ の最小多項式の相異なる根の個数であり、高々 $[K_i:K_{i-1}]$ である。すべての段階について数えると

\#\operatorname{Hom}_K(L,\Omega) \le\prod_{i=1}^{r}[K_i:K_{i-1}]=[L:K]

を得る。最後の等号は塔の公式§E8.1 定理 2.1による。

$L/K$ が分離的なら、各 $\alpha_i$ の $K$ 上の最小多項式は分離的である。 $K_{i-1}$ 上の最小多項式はその多項式を割り切るため、やはり分離的である。したがって各段階の延長数は $[K_i:K_{i-1}]$ に等しく、全体でも等号が成り立つ。

逆に $L/K$ が分離的でないなら、ある $\alpha\in L$ の $K$ 上の最小多項式は非分離的である。 $E=K(\alpha)$ とおくと

\#\operatorname{Hom}_K(E,\Omega)<[E:K]

である。一つの $K$ -埋め込み $E\to\Omega$ を $L$ へ延長する方法は、生成元を一つずつ添加して補題 2.1を適用すれば高々 $[L:E]$ 個である。ゆえに

\#\operatorname{Hom}_K(L,\Omega) \le\#\operatorname{Hom}_K(E,\Omega)[L:E] <[E:K][L:E]=[L:K]

となる。したがって等号なら $L/K$ は分離的である。▨

系 2.4. 有限拡大 $L/K$ が、 $K$ 上分離的な有限個の元 $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ で生成されるなら、 $L/K$ は分離拡大である。

証明. $K_i=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_i)$ とおく。 $\alpha_i$ の $K_{i-1}$ 上の最小多項式は、 $K$ 上の最小多項式を $K_{i-1}[x]$ で割り切るため分離的である。したがって、各 $K_{i-1}$ -埋め込みを $K_i$ へ延長する方法の個数は $[K_i:K_{i-1}]$ である。すべての段階について数え、塔の公式を用いると $\#\operatorname{Hom}_K(L,\Omega)=[L:K]$ を得る。定理 2.3により $L/K$ は分離拡大である。▨

3 有限エタール代数

定義 3.1. 有限次元可換単位的 $K$ -代数 $A$ が有限エタール $K$ -代数 (finite etale K-algebra) であるとは、有限個の有限次分離拡大 $L_1/K,\ldots,L_r/K$ が存在して

A\cong L_1\times\cdots\times L_r

と $K$ -代数同型になることをいう。空積は用いず、 $A\ne0$ とする。

代数閉体 $\Omega$ 上の有限次元代数について、被約であることは、ある $r\ge1$ について $\Omega^r$ に同型であることと同値になる。

補題 3.2. $\Omega$ を代数的閉体とし、 $B$ を非零有限次元可換単位的 $\Omega$ -代数とする。 $B$ が被約であることと、ある $r\ge1$ について $B\cong\Omega^r$ となることは同値である。

証明. $B\cong\Omega^r$ なら、各成分で冪零な元は $0$ だけなので $B$ は被約である。

逆に $B$ が被約であるとする。 $\dim_\Omega B$ について帰納する。有限次元性により、 $B$ は包含に関して極小な非零イデアル $I$ をもつ。 $0\ne a\in I$ を取る。被約性から $a^2\ne0$ なので、非零イデアル $a^2B\subseteq I$ は極小性により $I$ に等しい。したがって $a=a^2b$ となる $b\in B$ が存在する。 $e=ab$ とおくと

e^2=a^2b^2=ab=e

であり、 $I=aB=eB$ である。また $x=ac\in I$ に対して $ex=a^2bc=ac=x$ なので、 $e$ は環 $eB$ の単位元である。

$0\ne x\in eB$ なら、 $xB$ は $I$ に含まれる非零イデアルなので $xB=I$ である。したがって $xy=e$ となる $y\in B$ が存在し、 $ey\in eB$ は $x$ の逆元である。ゆえに $eB$ は体である。直交する冪等元 $e$ と $1-e$ により

B\longrightarrow eB\times(1-e)B, \qquad z\longmapsto(ez,(1-e)z)

は同型である。 $(1-e)B$ も有限次元かつ被約であり、 $e\ne0$ なのでその次元は $B$ より小さい。 $(1-e)B=0$ なら $B=eB$ は既に体である。 $(1-e)B\ne0$ なら帰納法を適用する。いずれの場合も、 $B$ は有限個の有限次体拡大の直積になる。 $\Omega$ は代数的閉体なので、各体因子は $\Omega$ 自身に等しい。したがって $B\cong\Omega^r$ である。▨

定理 3.3. $A$ を非零有限次元可換単位的 $K$ -代数とし、 $\Omega$ を $K$ の代数閉包とする。次の条件は同値である。

$A$ は有限エタール $K$ -代数である。
$A\otimes_K\Omega$ は被約である。
$A\otimes_K\Omega\cong\Omega^{\dim_K A}$ と $\Omega$ -代数同型になる。

証明. まず有限次分離拡大 $L/K$ を考える。 $K$ -埋め込みの集合を $\Sigma=\operatorname{Hom}_K(L,\Omega)$ とし、 $\Omega$ -代数準同型

\Phi_L:L\otimes_K\Omega\longrightarrow\prod_{\sigma\in\Sigma}\Omega, \qquad a\otimes c\longmapsto\bigl(c\sigma(a)\bigr)_{\sigma}

\text{(3.3.1)}

を定める。 $L/K$ は分離的なので、定理 2.3により $|\Sigma|=[L:K]$ である。

相異なる体準同型は線形独立である。実際、最小個数の項からなる非自明な関係 $\sum_{i=1}^{s}c_i\sigma_i(a)=0$ がすべての $a\in L$ について成り立つと仮定する。 $\sigma_1(b)\ne\sigma_s(b)$ となる $b\in L$ を選び、 $a$ を $ab$ に置き換えた関係から元の関係の $\sigma_s(b)$ 倍を引くと、項数が少なく、第一係数が非零である関係を得る。これは最小性に反する。したがって式 (3.3.1)の座標を与える線形汎関数は独立であり、 $\Phi_L$ の階数は $|\Sigma|=[L:K]$ である。定義域と終域の $\Omega$ -次元はいずれも $[L:K]$ なので、 $\Phi_L$ は同型である。

$A=\prod_i L_i$ が有限エタールなら、テンソル積は有限直積と交換するため

A\otimes_K\Omega\cong\prod_i\Omega^{[L_i:K]} \cong\Omega^{\dim_K A}

となる。したがって(1) $\Rightarrow$ (3)と(3) $\Rightarrow$ (2)が従う。

次に $A\otimes_K\Omega$ が被約であると仮定する。写像 $A\to A\otimes_K\Omega$ 、 $a\mapsto a\otimes1$ はベクトル空間の基底を取れば単射である。したがって $A$ 自身も被約である。補題 3.2の証明で用いた極小イデアルと冪等元による帰納法を $K$ 上で同じように行うと、有限次体拡大 $L_i/K$ が存在して

A\cong\prod_i L_i

となる。各 $L_i\otimes_K\Omega$ は $A\otimes_K\Omega$ の直積因子なので被約である。補題 3.2により $L_i\otimes_K\Omega\cong\Omega^{[L_i:K]}$ である。左辺から $\Omega$ への $\Omega$ -代数準同型は $L_i$ から $\Omega$ への $K$ -埋め込みと一対一に対応するため、その個数は $[L_i:K]$ である。定理 2.3により $L_i/K$ は分離拡大である。ゆえに $A$ は有限エタールであり、(2) $\Rightarrow$ (1)が従う。▨

例 3.4. $f\in K[x]$ をモニック多項式とし、 $A=K[x]/(f)$ とする。代数閉包 $\Omega$ へ基底変換すると

A\otimes_K\Omega\cong\Omega[x]/(f)

である。 $f=\prod_{i=1}^{n}(x-\alpha_i)$ が相異なる一次因子の積なら、中国剰余定理により $\Omega[x]/(f)\cong\Omega^n$ となる。 $f$ が重根 $\alpha$ をもつなら、対応する局所因子では $x-\alpha$ の剰余類が非零冪零元になる。したがって $A$ が有限エタールであることと $f$ が分離的であることは同値である。

4 演習

問題 4.1 (分離性と有限エタール代数).

標数 $p>0$ の体で $f'=0$ となることと、 $f(x)=g(x^p)$ と書くことができることの同値を証明せよ。
有限拡大 $L/E/K$ に対して、 $K$ -埋め込み $L\to\Omega$ を $E$ へ制限して数えることにより、各 $K$ -埋め込み $E\to\Omega$ の $L$ への延長の個数が $[L:E]_{\mathrm s}$ に等しいことを示し、 $[L:K]_{\mathrm s}=[L:E]_{\mathrm s}[E:K]_{\mathrm s}$ を証明せよ。
$K$ の標数が $2$ でないとする。 $K[x]/(x^2-a)$ が有限エタールであるための $a\in K$ に関する条件を、例 3.4を用いて求めよ。

解答.

$K$ の標数を $p > 0$ とする。まず、整数 $i$ について $i 1_K = 0$ と $p \mid i$ が同値であることを示す。 $i = sp + r$ 、 $0 \le r < p$ と書くと $i 1_K = s(p 1_K) + r 1_K = r 1_K$ である。 $p$ は $m 1_K = 0$ を満たす最小の正整数であるから、 $r 1_K = 0$ と $r = 0$ は同値であり、主張が従う。 $f = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i$ とすると $f' = \sum_{i=1}^{n} (i 1_K) a_i x^{i-1}$ であるから、 $f' = 0$ は、すべての $i \ge 1$ について $(i 1_K) a_i = 0$ であることと同値である。 $K$ は体であるから、これは「 $a_i \ne 0$ ならば $i 1_K = 0$ 」、すなわち「 $a_i \ne 0$ ならば $p \mid i$ 」と同値である。したがって $f' = 0$ ならば、 $p$ で割り切れない $i$ について $a_i = 0$ であり、 $g(y) = \sum_{j \ge 0} a_{pj} y^j$ と置くと $f(x) = g(x^p)$ である。逆に $f(x) = g(x^p)$ 、 $g(y) = \sum_j b_j y^j$ ならば、 $f = \sum_j b_j x^{pj}$ であり、 $f' = \sum_{j \ge 1} (pj 1_K) b_j x^{pj - 1} = 0$ である。
$K$ -埋め込み $\sigma : L \to \Omega$ にその制限 $\sigma|_E$ を対応させる写像 $\operatorname{Hom}_K(L, \Omega) \to \operatorname{Hom}_K(E, \Omega)$ を取る。 $\tau \in \operatorname{Hom}_K(E, \Omega)$ の延長 $L \to \Omega$ の個数を $N(\tau)$ と書くと、各 $\sigma$ はちょうど一つの $\tau = \sigma|_E$ の延長であるから $[L:K]_{\mathrm s} = \sum_{\tau \in \operatorname{Hom}_K(E, \Omega)} N(\tau)$ が成り立つ。 $L = E(\beta_1, \ldots, \beta_m)$ 、 $E_0 = E$ 、 $E_i = E(\beta_1, \ldots, \beta_i)$ と書き、 $q_i = m_{\beta_i, E_{i-1}} \in E_{i-1}[x]$ とする。標数 $0$ では $e_i = 0$ 、標数 $p > 0$ では $q_i \in E_{i-1}[x^{p^{e}}]$ を満たす最大の $e \ge 0$ を $e_i$ とし、 $q_i = h_i(x^{p^{e_i}})$ と書く。標数 $0$ では $h_i = q_i$ は非定数であるから $h_i' \ne 0$ であり、標数 $p > 0$ では(1)の同値と $e_i$ の最大性により $h_i' \ne 0$ である。 $h_i$ の分解は $q_i$ の分解を与えるので、 $h_i$ は既約である。次の主張を示す。 $K$ -埋め込み $\tau' : E_{i-1} \to \Omega$ を任意に取ると、 $\tau' q_i$ は $\Omega$ にちょうど $\deg h_i$ 個の相異なる根をもつ。実際、 $\tau'$ は $E_{i-1}$ から体 $F' = \tau'(E_{i-1}) \subseteq \Omega$ への同型であるから、 $\tau' q_i = (\tau' h_i)(x^{p^{e_i}})$ であり、 $\tau' h_i \in F'[x]$ は既約で $(\tau' h_i)' = \tau'(h_i') \ne 0$ を満たす。 $\Omega$ は $K \subseteq F'$ 上代数的な代数閉体であるから $F'$ の代数閉包であり、定理 1.2により $\tau' h_i$ は $\deg h_i$ 個の相異なる根をもつ。標数 $p$ では写像 $\gamma \mapsto \gamma^{p^{e_i}}$ は $\Omega$ 上単射であり（ $(\gamma - \gamma')^{p^{e_i}} = \gamma^{p^{e_i}} - \gamma'^{p^{e_i}}$ ）、 $\Omega$ が代数閉体であるから $\tau' h_i$ の各根は $p^{e_i}$ 乗根をもつ。したがって $\tau' q_i$ の相異なる根は $\tau' h_i$ の相異なる根と一対一に対応し、その個数は $\deg h_i$ である。この個数は $\tau'$ によらない。補題 2.1を各段階に適用すると、 $E_{i-1}$ からの一つの埋め込み $\tau_{i-1}$ を $E_i$ へ延長する方法の個数は $\tau_{i-1} q_i$ の相異なる根の個数、すなわち $\deg h_i$ である。段階ごとに数えると、すべての $\tau \in \operatorname{Hom}_K(E, \Omega)$ について $N(\tau) = \deg h_1 \cdots \deg h_m$ である。各因子は $1$ 以上であるから、 $K$ からの包含を同じく段階ごとに延長して $\operatorname{Hom}_K(E, \Omega)$ が空でないことも分かる。 $[L:E]_{\mathrm s}$ は、一つの $K$ -埋め込み $\iota : E \to \Omega$ によって $\Omega$ を $E$ の代数閉包とみなしたときの $E$ -埋め込み $L \to \Omega$ の個数、すなわち $N(\iota)$ である。 $\Omega$ は $K \subseteq \iota(E)$ 上代数的な代数閉体であるから、この見方は正当である。上の式により $N(\iota) = \deg h_1 \cdots \deg h_m$ は $\iota$ の選び方によらず、すべての $\tau$ について $N(\tau) = [L:E]_{\mathrm s}$ である。これが前半の主張である。和の式へ代入すると $[L:K]_{\mathrm s} = \sum_{\tau \in \operatorname{Hom}_K(E, \Omega)} [L:E]_{\mathrm s} = [L:E]_{\mathrm s}\,[E:K]_{\mathrm s}$ を得る。 $L/E$ が分離拡大である場合には、各 $q_i$ が分離的であるから $e_i = 0$ 、 $\deg h_i = [E_i : E_{i-1}]$ であり、§E8.1 定理 2.1により $N(\tau) = [L:E]$ となって、定理 2.3の $[L:E]_{\mathrm s} = [L:E]$ と一致する。
例 3.4により、 $K[x]/(x^2 - a)$ が有限エタールであることと $x^2 - a$ が分離的であることは同値である。 $\Omega$ を $K$ の代数閉包とし、 $\alpha \in \Omega$ を $\alpha^2 = a$ を満たす元とすると、 $x^2 - a = (x - \alpha)(x + \alpha)$ である。 $a \ne 0$ ならば $\alpha \ne 0$ であり、 $K$ の標数が $2$ でないので $2\alpha \ne 0$ 、すなわち $\alpha \ne -\alpha$ である。したがって $x^2 - a$ は相異なる二つの根 $\alpha, -\alpha$ をもち、分離的である。 $a = 0$ ならば $x^2 - a = x^2$ の根は $0$ だけであり、相異なる根の個数 $1$ は次数 $2$ より小さいので分離的でない。よって、 $K[x]/(x^2 - a)$ が有限エタールであるための条件は $a \ne 0$ である。

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§E8.8分離性と有限エタール代数

1 重根と分離性

2 埋め込みの個数と分離次数

3 有限エタール代数

4 演習

参考文献

前提記事