原始元定理 | 体論入門

1 単拡大と中間体の個数

無限体の場合に用いる線形空間の事実を先に証明する。

補題 1.1. $K$ を無限体とし、 $V$ を非零有限次元 $K$ -線形空間とする。有限個の真の線形部分空間 $W_1,\ldots,W_r\subsetneq V$ に対して

V\ne W_1\cup\cdots\cup W_r

である。

証明. 各 $i$ について、 $W_i$ を含む余次元一の部分空間を取り、その核がこの部分空間になる非零線形汎関数 $\ell_i:V\to K$ を選ぶ。基底を固定して $V\cong K^n$ と同一視すると、積

P(v)=\prod_{i=1}^{r}\ell_i(v)

は零でない多項式である。無限体上の零でない多変数多項式は $K^n$ のすべての点では消えない。この事実は、変数の個数について帰納し、最後の変数に関する一変数多項式が有限個の根しかもたないことから従う。したがって $P(v)\ne0$ となる $v\in V$ が存在する。この $v$ はどの $\ker\ell_i$ にも属さないため、どの $W_i$ にも属さない。▨

定理 1.2. $L/K$ を有限代数拡大とする。次の条件は同値である。

ある $\alpha\in L$ が存在して $L=K(\alpha)$ となる。
$K\subseteq M\subseteq L$ を満たす中間体 $M$ は有限個しかない。

証明. まず $L=K(\alpha)$ と仮定する。中間体 $M$ に対し、 $\alpha$ の $M$ 上のモニック最小多項式を $m_{\alpha,M}\in M[x]\subseteq L[x]$ とする。この多項式は $m_{\alpha,K}$ を $L[x]$ で割り切る。

$M_0$ を $m_{\alpha,M}$ のすべての係数によって $K$ 上生成される部分体とする。 $M_0\subseteq M$ であり、 $m_{\alpha,M}\in M_0[x]$ なので

[L:M_0]=[M_0(\alpha):M_0]\le\deg m_{\alpha,M}=[L:M].

一方、塔の公式§E8.1 定理 2.1により

[L:M_0]=[L:M][M:M_0]

である。したがって $[M:M_0]=1$ 、すなわち $M=M_0$ である。ゆえに $M$ は $m_{\alpha,M}$ の係数から回収され、写像 $M\mapsto m_{\alpha,M}$ は単射である。 $m_{\alpha,K}$ が $L[x]$ でもつモニック因子は有限個なので、中間体も有限個である。

逆に中間体全体が有限個であると仮定する。 $L=K$ なら $L=K(0)$ であるから、以下では $L\ne K$ とする。 $L$ 自身を除く真の中間体を $M_1,\ldots,M_r$ とする。 $K$ はその一つなので $r\ge1$ である。 $K$ が有限体なら、 $L/K$ は有限拡大であるから§E8.7 系 2.3により $L=K(\theta)$ となる $\theta\in L$ が存在する。

$K$ が無限体であるとする。 $L=K(\alpha)$ となる $\alpha$ が存在しないと仮定すると、各 $\alpha\in L$ に対して $K(\alpha)$ は $L$ の真の中間体であり、したがっていずれかの $M_i$ に等しい。各 $\alpha$ は $K(\alpha)$ に属するから

L=M_1\cup\cdots\cup M_r

となる。各 $M_i$ は $L$ の真の $K$ -線形部分空間であるが、無限体上の有限次元線形空間は有限個の真の線形部分空間の和集合にはならない。補題 1.1に反するため、 $L=K(\alpha)$ となる $\alpha$ が存在する。▨

2 有限次分離拡大の中間体

有限次分離拡大の各中間体には、代数閉包へ基底変換することにより、座標の等しい成分をまとめる座標の分割が対応する。この対応を用いて、中間体が有限個しかないことを示す。

定理 2.1. $L/K$ を有限次分離拡大とする。このとき、 $K\subseteq M\subseteq L$ を満たす中間体 $M$ は有限個しかない。

証明. $n=[L:K]$ とし、 $K$ の代数閉包 $\Omega$ を一つ固定する。§E8.8 定理 3.3の証明で構成した $\Omega$ -代数同型

\Phi_L:L\otimes_K\Omega\xrightarrow{\ \sim\ }\Omega^n, \qquad a\otimes c\longmapsto\bigl(c\sigma(a)\bigr)_{\sigma\in\operatorname{Hom}_K(L,\Omega)}

を用いる。ここで、分離性により $K$ -埋め込みの個数は $n$ である。

まず、 $\Omega^n$ の単位的 $\Omega$ -部分代数は座標集合 $\{1,\ldots,n\}$ の分割と一対一に対応することを示す。単位的 $\Omega$ -部分代数 $A\subseteq\Omega^n$ に対し、

i\sim_A j\quad\Longleftrightarrow\quad a_i=a_j\ \text{がすべての}\ a=(a_1,\ldots,a_n)\in A\ \text{について成り立つ}

と定める。この同値関係の同値類ごとに座標が等しい元全体の代数を $B_A$ と書くと、定義から $A\subseteq B_A$ である。

$C$ を一つの同値類とし、 $i\in C$ を取る。各 $j\notin C$ について $i\not\sim_A j$ であるから、 $a^{(j)}\in A$ で $a^{(j)}_i\ne a^{(j)}_j$ を満たすものがある。

p_j=\frac{a^{(j)}-a^{(j)}_j1}{a^{(j)}_i-a^{(j)}_j}\in A

とおく。 $p_j$ の第 $i$ 座標は $1$ 、第 $j$ 座標は $0$ である。さらに $k\in C$ なら、 $A$ のすべての元の第 $k$ 座標と第 $i$ 座標は等しいので、 $p_j$ の第 $k$ 座標も $1$ である。したがって

e_C=\prod_{j\notin C}p_j\in A

は、 $C$ 上で $1$ 、その補集合上で $0$ となる座標指示関数である。各同値類 $C$ の指示関数 $e_C$ が $A$ に属するから、これらの $\Omega$ -線形結合である $B_A$ のすべての元が $A$ に属する。よって $A=B_A$ である。逆に、任意の座標分割の各部分上で定数となる元全体は単位的 $\Omega$ -部分代数であり、その上の関係 $\sim_A$ は元の分割を回復する。したがって、座標分割と単位的 $\Omega$ -部分代数の対応は一対一である。

中間体 $M$ を一つ取る。 $M/K$ は有限次元である。 $M$ の $K$ -基底 $m_1,\ldots,m_d$ を $L$ の $K$ -基底 $m_1,\ldots,m_d,\ell_1,\ldots,\ell_s$ へ延長する。このとき $m_1\otimes1,\ldots,m_d\otimes1$ は $M\otimes_K\Omega$ の $\Omega$ -基底であり、その像は $L\otimes_K\Omega$ の基底の一部である。したがって自然な写像

M\otimes_K\Omega\longrightarrow L\otimes_K\Omega

は単射である。その像を $\Phi_L$ で送ったものを $A_M$ と書けば、 $A_M$ は $\Omega^n$ の単位的 $\Omega$ -部分代数である。

この部分代数から $M$ を回復することもできる。実際、上で選んだ $L$ の基底に関して

M=\{x\in L\mid x\otimes1\ \text{が}\ M\otimes_K\Omega\ \text{の像に属する}\}

である。右辺の包含 $M\subseteq\cdots$ は明らかである。逆に $x\in L$ を上の基底で表すと、 $x\otimes1$ が $m_1\otimes1,\ldots,m_d\otimes1$ の $\Omega$ -線形結合に属するためには、 $\ell_1\otimes1,\ldots,\ell_s\otimes1$ の係数がすべて $\Omega$ で零でなければならない。これらの係数は $K$ の元であり、 $K\to\Omega$ は単射であるから、それぞれ $K$ でも零である。したがって $x\in M$ である。

したがって $A_M=A_N$ なら、 $\Phi_L$ の単射性と上の復元式から $M=N$ である。中間体から得られる $A_M$ は $\{1,\ldots,n\}$ の座標分割と一対一に対応し、この集合の分割は有限個しかない。よって中間体も有限個しかない。▨

3 有限次分離拡大の原始元

定理 3.1 (原始元定理). $L/K$ が有限次分離拡大なら、ある $\gamma\in L$ が存在して

L=K(\gamma)

となる。このような $\gamma$ を $L/K$ の原始元 (primitive element) という。

証明. $K$ が有限体である場合、§E8.7 系 2.3により、ある $\gamma\in L$ が存在して $L=K(\gamma)$ となる。 $K$ が無限体である場合、定理 2.1により中間体は有限個しかない。次に定理 1.2を適用すると、ある $\gamma\in L$ が存在して $L=K(\gamma)$ となる。▨

例 3.2. $\gamma=\sqrt2+\sqrt3$ とおく。 $(\sqrt3-\sqrt2)\gamma=1$ なので

\sqrt2=\frac12\left(\gamma-\frac1\gamma\right), \qquad \sqrt3=\frac12\left(\gamma+\frac1\gamma\right)

である。したがって $\Q(\sqrt2,\sqrt3)=\Q(\gamma)$ となる。この例では、原始元定理の証明で除外する有限個の条件を調べず、直接の計算によって原始元を一つ与えている。

4 超越的な単拡大との相違

有限代数拡大という仮定を外すと、単拡大であっても中間体は有限個とは限らない。

例 4.1. $t$ を $K$ 上超越的とする。各 $n\ge2$ について

K\subsetneq K(t^n)\subsetneq K(t)

である。実際、 $u=t^n$ とおく。関係 $t^n=u$ により、 $K(u)[t]$ は $K(u)$ 上 $1,t,\ldots,t^{n-1}$ で生成される。この環は体 $K(t)$ の部分環なので整域であり、 $K(u)$ 上有限次元の整域は体である。実際、非零元による乗法は有限次元線形空間の単射線形写像なので全射であり、その非零元は逆元をもつ。したがって $K(u)[t]=K(t)$ である。

$1,t,\ldots,t^{n-1}$ が $K(u)$ 上一次従属であると仮定する。係数の分母を払うと、すべてが零ではない $h_0,\ldots,h_{n-1}\in K[u]$ によって

\sum_{r=0}^{n-1}h_r(u)t^r=0

とできる。 $h_r(u)=\sum_j a_{rj}u^j$ と書き $u=t^n$ を代入すると、左辺は $\sum_{r,j}a_{rj}t^{nj+r}$ となる。指数 $nj+r$ の $n$ を法とする剩余は $r$ なので、異なる組 $(r,j)$ から得られる指数は異なる。 $t$ は $K$ 上超越的なのですべての $a_{rj}$ が零となり、仮定に反する。ゆえに $1,t,\ldots,t^{n-1}$ は $K(t)$ の $K(t^n)$ -基底であり、

[K(t):K(t^n)]=n

である。また $t^n$ は $K$ 上超越的である。したがって上記の二つの包含は真である。次数が異なるため、 $K(t^n)$ は $n$ ごとに相異なる。ゆえに単純超越拡大 $K(t)/K$ は無限個の中間体をもつ。

5 演習

問題 5.1.

$L=K(\alpha)$ の中間体 $M$ が $m_{\alpha,M}$ の係数から回収されることを、次数の二つの評価を明記して証明せよ。
$A\subseteq\Omega^n$ を単位的 $\Omega$ -部分代数とする。本文の同値関係 $\sim_A$ の各同値類の指示関数が $A$ に属することを証明し、 $A$ を対応する座標分割から回復せよ。
$K\subseteq M\subseteq L$ で $L/K$ が有限次分離拡大であるとする。 $M$ の基底を $L$ の基底へ延長し、 $M\otimes_K\Omega\to L\otimes_K\Omega$ が単射であることと、その像から $M$ を回復する式を証明せよ。
$K(t^2)$ 、 $K(t^3)$ および $K(t^6)$ の包含関係を求め、それぞれの有限拡大次数を計算せよ。

解答.

$L = K(\alpha)$ とし、 $M$ を中間体、 $M_0$ を $m_{\alpha, M}$ の係数全体で $K$ 上生成される $L$ の部分体とする。 $m_{\alpha, M}$ の係数は $M$ に属するから $M_0 \subseteq M$ である。 $L/K$ は有限拡大であるから、以下の拡大次数はすべて有限である。第一の評価を示す。 $M_0$ は $K$ を含むので $L = K(\alpha) \subseteq M_0(\alpha) \subseteq L$ であり、 $L = M_0(\alpha)$ である。 $m_{\alpha, M} \in M_0[x]$ は $\alpha$ を根にもつので、§E8.2 定理 2.1 (3)により $m_{\alpha, M_0}$ は $m_{\alpha, M}$ を割る。§E8.2 定理 3.1を $M_0$ と $M$ のそれぞれについて用いると $[L : M_0] = [M_0(\alpha) : M_0] = \deg m_{\alpha, M_0} \le \deg m_{\alpha, M} = [M(\alpha) : M] = [L : M]$ である。最後の等号は $L = M(\alpha)$ による。第二の評価を示す。§E8.1 定理 2.1を $M_0 \subseteq M \subseteq L$ に用いると $[L : M_0] = [L : M]\,[M : M_0] \ge [L : M]$ である。二つの評価から $[L : M]\,[M : M_0] \le [L : M]$ であり、 $[L : M] \ge 1$ であるから $[M : M_0] \le 1$ 、すなわち $[M : M_0] = 1$ である。 $M$ は $M_0$ 上一次元の線形空間であり、 $1 \in M_0$ がその基底であるから $M = M_0$ である。よって $M$ は $m_{\alpha, M}$ の係数が $K$ 上生成する体として回収される。
$C$ を $\sim_A$ の同値類とし、 $i \in C$ を一つ取る。 $C$ が座標集合の全体であれば $e_C = 1 \in A$ である。そうでないとき、 $j \notin C$ を取ると $i \not\sim_A j$ であるから、 $a^{(j)}_i \ne a^{(j)}_j$ を満たす $a^{(j)} \in A$ が存在する。 $A$ は単位的 $\Omega$ -部分代数であり、 $1 \in A$ と $\Omega$ による定数倍と差について閉じているので $p_j = \frac{1}{a^{(j)}_i - a^{(j)}_j}\bigl(a^{(j)} - a^{(j)}_j 1\bigr) \in A$ である。 $p_j$ の第 $i$ 座標は $1$ 、第 $j$ 座標は $0$ である。 $k \in C$ ならば $k \sim_A i$ であり、 $p_j \in A$ であるから $p_j$ の第 $k$ 座標は第 $i$ 座標に等しく $1$ である。 $A$ は積について閉じているので $e_C = \prod_{j \notin C} p_j \in A$ である。 $e_C$ の第 $k$ 座標は、 $k \in C$ ならばすべての因子の第 $k$ 座標が $1$ であるから $1$ であり、 $k \notin C$ ならば因子 $p_k$ の第 $k$ 座標が $0$ であるから $0$ である。よって $e_C$ は $C$ の指示関数であり、 $A$ に属する。次に $A$ を回復する。座標分割の各同値類の上で定数である元の全体を $B_A$ とする。 $\sim_A$ の定義により $A$ の元は各同値類の上で定数であるから $A \subseteq B_A$ である。逆に $b \in B_A$ を取り、同値類 $C$ 上での $b$ の値を $b_C$ と書くと、 $b = \sum_C b_C e_C$ である。各 $e_C$ は $A$ に属し、 $A$ は $\Omega$ -線形結合について閉じているので $b \in A$ である。したがって $A = B_A$ であり、 $A$ は対応する座標分割上で定数となる元の全体として回復される。
$M$ の $K$ -基底 $m_1, \ldots, m_d$ を取る。これは $L$ の一次独立な元であるから、§E3.3 定理 2.1により $L$ の基底に含まれ、 $L$ は有限次元であるから、 $L$ の $K$ -基底 $m_1, \ldots, m_d, \ell_1, \ldots, \ell_s$ が得られる。§E3.17 定理 2.1をテンソル積の因子の順序を入れ換えて用いると、 $m_1 \otimes 1, \ldots, m_d \otimes 1$ は $M \otimes_K \Omega$ の $\Omega$ -基底であり、 $m_1 \otimes 1, \ldots, m_d \otimes 1, \ell_1 \otimes 1, \ldots, \ell_s \otimes 1$ は $L \otimes_K \Omega$ の $\Omega$ -基底である。包含 $M \to L$ が誘導する $\Omega$ -線形写像 $\iota : M \otimes_K \Omega \to L \otimes_K \Omega$ は $m_i \otimes 1$ を $m_i \otimes 1$ へ送るので、基底を一次独立な元の族へ送る。したがって、 $\iota(\sum_i c_i (m_i \otimes 1)) = 0$ ならば $c_i = 0$ であり、 $\iota$ は単射である。回復の式 $M = \{\, x \in L \mid x \otimes 1 \in \iota(M \otimes_K \Omega) \,\}$ を示す。 $x \in M$ ならば $x \otimes 1 = \iota(x \otimes 1)$ であるから、左辺は右辺に含まれる。逆に $x \in L$ を $x = \sum_i a_i m_i + \sum_j b_j \ell_j$ （ $a_i, b_j \in K$ ）と表すと、 $x \otimes 1 = \sum_i a_i (m_i \otimes 1) + \sum_j b_j (\ell_j \otimes 1)$ である。 $x \otimes 1$ が $\iota(M \otimes_K \Omega)$ 、すなわち $m_1 \otimes 1, \ldots, m_d \otimes 1$ の $\Omega$ -線形結合の全体に属するならば、基底に関する座標の一意性により、 $\ell_j \otimes 1$ の係数 $b_j$ はすべて $\Omega$ で $0$ である。 $K \to \Omega$ は単射であるから $b_j$ は $K$ でも $0$ であり、 $x = \sum_i a_i m_i \in M$ である。よって回復の式が成り立つ。この議論は $L/K$ の分離性を用いない。
$t$ は $K$ 上超越的とする。 $t^6 = (t^2)^3 \in K(t^2)$ であるから $K(t^6) \subseteq K(t^2)$ であり、 $t^6 = (t^3)^2 \in K(t^3)$ であるから $K(t^6) \subseteq K(t^3)$ である。例 4.1により $[K(t) : K(t^n)] = n$ であるから、 $[K(t) : K(t^2)] = 2$ 、 $[K(t) : K(t^3)] = 3$ 、 $[K(t) : K(t^6)] = 6$ である。§E8.1 定理 2.1を $K(t^6) \subseteq K(t^2) \subseteq K(t)$ に用いると $6 = 2\,[K(t^2) : K(t^6)]$ であり、 $[K(t^2) : K(t^6)] = 3$ である。同様に $K(t^6) \subseteq K(t^3) \subseteq K(t)$ から $6 = 3\,[K(t^3) : K(t^6)]$ であり、 $[K(t^3) : K(t^6)] = 2$ である。 $K(t^2)$ と $K(t^3)$ の間には包含関係がない。実際、 $K(t^3) \subseteq K(t^2)$ とすると、塔 $K(t^3) \subseteq K(t^2) \subseteq K(t)$ に塔の公式を用いて $3 = [K(t) : K(t^3)] = [K(t) : K(t^2)]\,[K(t^2) : K(t^3)] = 2\,[K(t^2) : K(t^3)]$ となり、 $3$ が偶数になって矛盾する。 $K(t^2) \subseteq K(t^3)$ とすると、塔 $K(t^2) \subseteq K(t^3) \subseteq K(t)$ に塔の公式を用いて $2 = [K(t) : K(t^2)] = [K(t) : K(t^3)]\,[K(t^3) : K(t^2)] = 3\,[K(t^3) : K(t^2)]$ となり、 $2$ が $3$ の倍数になって矛盾する。以上より、包含関係は $K(t^6) \subseteq K(t^2)$ と $K(t^6) \subseteq K(t^3)$ だけであり、次数は $[K(t^2) : K(t^6)] = 3$ 、 $[K(t^3) : K(t^6)] = 2$ である。 $K(t^6)$ 自身は $K$ 上の有限拡大ではない。 $t^6$ は $K$ 上超越的だからである。

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§E8.9原始元定理

1 単拡大と中間体の個数

2 有限次分離拡大の中間体

3 有限次分離拡大の原始元

4 超越的な単拡大との相違

5 演習

参考文献

前提記事