§E8.7有限体の位数と乗法群

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体KKの標数char⁡K\operatorname{char}Kとは、1K1_Kをmm回加えて00となる正整数mmが存在するときの最小のそのようなmmをいい、そのような正整数が存在しないときは00と定める。

有限体の加法と乗法は、集合の有限性だけから強い制約を受ける。加法については、標数ppの素体を含む有限次元ベクトル空間として有限体を記述することができる。乗法については、体の中で方程式xd=1x^d=1が高々dd個の解しかもたないことにより、体の乗法群の任意の有限部分群が巡回群になる。

1 標数と素体

有限体FFに対して、単位元を1F1_Fと書く。自然な環準同型

ι:Z⟶F,m⟼m1F\iota:\Z\longrightarrow F,\qquad m\longmapsto m1_F

を考える。char⁡F=0\operatorname{char}F=0ならι\iotaは単射となるが、無限集合Z\Zから有限集合FFへの単射は存在しない。したがってchar⁡F\operatorname{char}Fは正であり、体の正の標数は素数ppである。ゆえにker⁡ι=pZ\ker\iota=p\Zであり、im⁡ι≅Fp\operatorname{im}\iota\cong\mathbb F_pである。FFの任意の部分体は1F1_Fを含むためim⁡ι\operatorname{im}\iotaを含む。したがってim⁡ι\operatorname{im}\iotaはFFの素体である。

定理 1.1.FFを有限体とする。このとき、ある素数ppと正整数nnが一意に存在して

char⁡F=p,∣F∣=pn\operatorname{char}F=p,\qquad |F|=p^n

となる。さらに、FFの素体はFp≅Z/pZ\mathbb F_p\cong\Z/p\Zであり、n=[F:Fp]n=[F:\mathbb F_p]である。

証明.FFは有限集合なので、1F,2⋅1F,3⋅1F,…1_F,2\cdot1_F,3\cdot1_F,\ldotsの中に一致する二元がある。したがってm1F=0m1_F=0となる正整数mmが存在し、ker⁡ι=dZ\ker\iota=d\Zとなる正整数ddが存在する。準同型定理によりim⁡ι≅Z/dZ\operatorname{im}\iota\cong\Z/d\Zである。体の部分環im⁡ι\operatorname{im}\iotaは整域なので、ddは素数でなければならない。この素数をppとするとchar⁡F=p\operatorname{char}F=pであり、素体はFp\mathbb F_pである。

FFはFp\mathbb F_p上のベクトル空間である。FFが有限集合なので、その次元nnは有限である。F≠0F\ne0であるからn≥1n\ge1である。基底を一つ取ると、各元はnn個の係数によって一意に表され、各係数にはpp通りの選択がある。ゆえに

∣F∣=pn|F|=p^n

となる。位数から標数ppと指数nnは一意に定まる。▨

例 1.2. 位数66の体が存在すると仮定すると、定理 1.1により6=pn6=p^nとなる素数ppと正整数nnが必要になる。しかし66は素数冪ではないため、そのような体は存在しない。これは、位数66の可換環Z/6Z\Z/6\Zが零因子をもつこととも整合する。

2 有限乗法部分群

有限体の乗法群に限らず、体の乗法群に含まれる有限部分群はすべて巡回群である。証明では、有限アーベル群の基本定理§E7.19 定理 6.3の次の結論を用いる。任意の非自明な有限アーベル群GGには、正整数1<n1∣n2∣⋯∣nr1<n_1\mid n_2\mid\cdots\mid n_rが存在して

G≅Cn1×⋯×CnrG\cong C_{n_1}\times\cdots\times C_{n_r}

となる。とくにGGのすべての元の位数はnrn_rを割り、GGの指数はnrn_rである。

定理 2.1.KKを体とし、GGをK×K^\timesの有限部分群とする。このときGGは巡回群である。

とくに、FFが位数qqの有限体なら

F×≅Cq−1F^\times\cong C_{q-1}

である。

証明.G={1}G=\{1\}ならGGは自明な巡回群である。以下ではG≠{1}G\ne\{1\}とする。K×K^\timesは可換群なので、GGは非自明な有限アーベル群である。§E7.19 定理 6.3の不変因子分解を取り、GGの指数をe=nre=n_rとする。すべてのg∈Gg\in Gはge=1g^e=1を満たすため、GGの全元はK[x]K[x]の多項式xe−1x^e-1の根である。体上の次数eeの非零多項式は高々ee個の根しかもたないので

∣G∣≤e.|G|\le e.

一方、不変因子分解から

∣G∣=n1⋯nr≥nr=e|G|=n_1\cdots n_r\ge n_r=e

である。したがって∣G∣=e|G|=eである。r≥2r\ge2ならn1>1n_1>1からn1⋯nr>nr=en_1\cdots n_r>n_r=eとなって矛盾するため、r=1r=1である。ゆえにG≅CeG\cong C_eは巡回群である。

有限体FFについては∣F×∣=∣F∣−1=q−1|F^\times|=|F|-1=q-1なので、最後の主張が従う。▨

例 2.2.KKを体とし、n≥1n\ge1とする。KKに含まれるnn乗根全体

μn(K)={a∈K×∣an=1}\mu_n(K)=\{a\in K^\times\mid a^n=1\}

はK×K^\timesの有限部分群である。したがって定理 2.1により巡回群であり、その位数はnnを割る。実際、この巡回群の生成元をζ\zetaとするとζn=1\zeta^n=1であるから、ζ\zetaの位数、すなわちμn(K)\mu_n(K)の位数はnnを割る。

有限体FFの乗法群F×F^\timesは、定理 2.1により巡回群である。F×F^\timesの生成元を、FFの乗法的原始元という。有限体そのものの存在と同型を除く一意性は、既に導入した§E8.6 分解体を用いて、分離多項式xpn−xx^{p^n}-xに対して後続の有限体の Galois 理論で証明する。

系 2.3.KKを有限体とし、L/KL/Kを有限拡大とする。このとき、あるθ∈L\theta\in Lが存在して

L=K(θ)L=K(\theta)

となる。

証明.d=[L:K]d=[L:K]とし、e1,…,ede_1,\ldots,e_dをLLのKK上の基底とする。KKは有限集合であるから、各x∈Lx\in Lは一意な表示

x=a1e1+⋯+aded(a1,…,ad∈K)x=a_1e_1+\cdots+a_de_d\qquad(a_1,\ldots,a_d\in K)

をもち、LLも有限集合である。定理 2.1をL×L^\timesに適用して、L×=⟨θ⟩L^\times=\langle\theta\rangleとなるθ∈L×\theta\in L^\timesを取る。

K(θ)K(\theta)はθ\thetaを含む体なので、すべての整数mmに対してθm∈K(θ)\theta^m\in K(\theta)である。LLの非零元はすべてあるθm\theta^mであり、零元もK(θ)K(\theta)に属する。したがってL⊆K(θ)L\subseteq K(\theta)である。逆の包含K(θ)⊆LK(\theta)\subseteq Lは、LLがKKとθ\thetaを含む体であることから従う。よってL=K(θ)L=K(\theta)である。▨

3 演習

問題 3.1.

  1. 有限整域が体であることを用いずに、有限体の素体がFp\mathbb F_pになることを証明せよ。
  2. 位数1616の有限体が存在すると仮定したとき、その標数と素体上の次元を求めよ。
  3. 定理 2.1の証明で、不変因子分解がC2×C6C_2\times C_6を与えた場合に、多項式x6−1x^6-1の根の個数と群の位数がどのように矛盾するかを説明せよ。
  4. KKの標数がnnを割らないとき、μn(K)\mu_n(K)の位数がnnを割ることに加えて、xn−1x^n-1に重根がないことを証明せよ。
  5. KKが有限体でL/KL/Kが有限拡大であるとする。LLが有限集合であることをKK-基底から示し、L×L^\timesの生成元θ\thetaについてL=K(θ)L=K(\theta)を証明せよ。
解答.
  1. FFを有限体とし、ι:Z→F\iota : \Z \to F、m↦m1Fm \mapsto m 1_Fを自然な環準同型とする。定理 1.1の証明の第一段落と同じく、FFが有限集合であることからker⁡ι=dZ\ker \iota = d\Zを満たす正整数ddが存在する。1F≠01_F \ne 0であるからd≠1d \ne 1である。d=abd = ab、1<a,b<d1 < a, b < dと書くことができるとすると、a,ba, bはddの倍数でないからa1F≠0a 1_F \ne 0、b1F≠0b 1_F \ne 0であるが、(a1F)(b1F)=d1F=0(a 1_F)(b 1_F) = d 1_F = 0となり、体FFが零因子をもたないことに反する。したがってddは素数であり、これをppと書く。次に、im⁡ι\operatorname{im}\iotaがFFの部分体であることを、有限整域が体であることを用いずに示す。im⁡ι\operatorname{im}\iotaの非零元はm1Fm 1_F（p∤mp \nmid m）の形である。§E7.6 補題 4.1により、mu+pv=1mu + pv = 1を満たす整数u,vu, vが存在する。したがって (m1F)(u1F)=(mu)1F=(1−pv)1F=1F−v(p1F)=1F(m 1_F)(u 1_F) = (mu) 1_F = (1 - pv) 1_F = 1_F - v (p 1_F) = 1_F であり、m1Fm 1_Fの逆元u1Fu 1_Fはim⁡ι\operatorname{im}\iotaに属する。im⁡ι\operatorname{im}\iotaはFFの部分環であるから、これによりFFの部分体である。FFの任意の部分体は1F1_Fを含み、和と差について閉じているので、すべてのm1Fm 1_Fを含み、im⁡ι\operatorname{im}\iotaを含む。よってim⁡ι\operatorname{im}\iotaはFFの最小の部分体、すなわち素体である。準同型定理によりim⁡ι≅Z/pZ=Fp\operatorname{im}\iota \cong \Z/p\Z = \mathbb F_pであるから、FFの素体はFp\mathbb F_pである。
  2. 位数1616の有限体FFが存在すると仮定する。定理 1.1により、素数ppと正整数nnが存在してchar⁡F=p\operatorname{char}F = p、∣F∣=pn|F| = p^n、n=[F:Fp]n = [F : \mathbb F_p]が成り立つ。16=2416 = 2^4であり、素因数分解の一意性によりpn=24p^n = 2^4を満たす素数ppと正整数nnはp=2p = 2、n=4n = 4に限る。したがってFFの標数は22であり、素体F2\mathbb F_2上の次元は44である。
  3. 不変因子分解がG≅C2×C6G \cong C_2 \times C_6を与えたとすると、n1=2n_1 = 2、n2=6n_2 = 6であり、∣G∣=2⋅6=12|G| = 2 \cdot 6 = 12、GGの指数はe=n2=6e = n_2 = 6である。すべてのg∈Gg \in Gについてg6=1g^6 = 1であるから、GGの1212個の元はすべてK[x]K[x]の多項式x6−1x^6 - 1の根である。一方、x6−1x^6 - 1は体KK上の次数66の非零多項式であるから、KKの中に高々66個の根しかもたない。12>612 > 6であるから、この二つは両立しない。すなわち、根の個数の上限66が群の位数1212より小さいことが矛盾である。一般の証明では、この比較が∣G∣≤e|G| \le eと∣G∣=n1⋯nr>nr=e|G| = n_1 \cdots n_r > n_r = e（r≥2r \ge 2のとき）の矛盾として現れる。
  4. μn(K)\mu_n(K)の位数がnnを割ることは例 2.2による。重根がないことを示す。LLをKKの拡大体とし、a∈La \in Lをxn−1x^n - 1の根とする。an=1a^n = 1であるからa≠0a \ne 0である。L[x]L[x]において xn−1=xn−an=(x−a) g(x),g(x)=xn−1+axn−2+⋯+an−2x+an−1x^n - 1 = x^n - a^n = (x - a)\,g(x), \qquad g(x) = x^{n-1} + a x^{n-2} + \cdots + a^{n-2} x + a^{n-1} が成り立ち、g(a)=nan−1g(a) = n a^{n-1}である。(x−a)2(x - a)^2がxn−1x^n - 1を割るとすると、L[x]L[x]は整域であるから(x−a)(x - a)を約して(x−a)∣g(x)(x - a) \mid g(x)となり、g(a)=0g(a) = 0である。しかしchar⁡K∤n\operatorname{char}K \nmid nであるからn1K≠0n 1_K \ne 0であり、a≠0a \ne 0であるからg(a)=nan−1≠0g(a) = n a^{n-1} \ne 0である。したがって(x−a)2(x - a)^2はxn−1x^n - 1を割らない。aaは任意の拡大体における任意の根であったから、xn−1x^n - 1は重根をもたない。
  5. d=[L:K]d = [L : K]とし、e1,…,ede_1, \ldots, e_dをLLのKK上の基底とする。写像Kd→LK^d \to L、(a1,…,ad)↦a1e1+⋯+aded(a_1, \ldots, a_d) \mapsto a_1 e_1 + \cdots + a_d e_dは、基底がLLを生成することから全射であり、一次独立であることから単射である。したがって∣L∣=∣K∣d|L| = |K|^dであり、KKは有限集合であるからLLは有限集合である。とくにL×L^\timesはL×L^\times自身の有限部分群であり、定理 2.1により巡回群である。その生成元をθ\thetaとする。K(θ)K(\theta)はθ\thetaを含む体であるから、すべての整数mmについてθm∈K(θ)\theta^m \in K(\theta)である。LLの非零元はすべてあるθm\theta^mに等しく、0∈K(θ)0 \in K(\theta)であるからL⊆K(θ)L \subseteq K(\theta)である。LLはKKとθ\thetaを含む体であるからK(θ)⊆LK(\theta) \subseteq Lである。よってL=K(θ)L = K(\theta)である。

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参考文献

  1. Serge Lang, Algebra, revised 3 ed., Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 2002.
  2. Rudolf Lidl and Harald Niederreiter, Finite Fields, 2nd ed., Encyclopedia of Mathematics and its Applications 20, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

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