1 合成体 合成体の定義には、二つの拡大体を含む共通の拡大体を指定する。
定義 1.1. 体K K K E / K E/K E / K F / K F/K F / K Ω / K \Omega/K Ω/ K E E E F F F Ω \Omega Ω E E E F F F Ω \Omega Ω 合成体 (compositum )E F EF E F
合成体は共通の拡大体に依存する。したがって、抽象的な二つのK K K Ω \Omega Ω
乗法( e , f ) ↦ e f (e,f)\mapsto ef ( e , f ) ↦ e f K K K
命題 1.2. K K K E E E F F F Ω / K \Omega/K Ω/ K E F EF E F Ω \Omega Ω E E E F F F K K K
μ E , F : E ⊗ K F ⟶ E F , e ⊗ f ⟼ e f \mu_{E,F}\colon E\otimes_K F\longrightarrow EF,
\qquad e\otimes f\longmapsto ef μ E , F : E ⊗ K F ⟶ E F , e ⊗ f ⟼ e f が存在する。その像は
im μ E , F = { ∑ i = 1 r e i f i ∣ r ≥ 1 , e i ∈ E , f i ∈ F } \operatorname{im}\mu_{E,F}
=\left\{\sum_{i=1}^r e_if_i
\mathrel{\Big|}r\ge1,\ e_i\in E,\ f_i\in F\right\} im μ E , F = { i = 1 ∑ r e i f i r ≥ 1 , e i ∈ E , f i ∈ F } である。
証明. 写像
E × F ⟶ E F , ( e , f ) ⟼ e f E\times F\longrightarrow EF,
\qquad(e,f)\longmapsto ef E × F ⟶ E F , ( e , f ) ⟼ e f は各変数についてK K K §E6.12 定義 9.1 と普遍性§E6.12 定理 11.1 により、一意なK K K μ E , F : E ⊗ K F → E F \mu_{E,F}\colon E\otimes_KF\to EF μ E , F : E ⊗ K F → E F μ E , F ( e ⊗ f ) = e f \mu_{E,F}(e\otimes f)=ef μ E , F ( e ⊗ f ) = e f §E6.12 命題 11.2 により、像は表示した有限和全体に一致する。▨
2 線形無関連性 一方の体で線形独立な元が、もう一方の体まで係数を広げても線形独立であるとき、二つの拡大を線形無関連と呼ぶ。
定義 2.1. 定義 1.1 の仮定のもとで、任意の有限なK K K e 1 , … , e r ∈ E e_1,\ldots,e_r\in E e 1 , … , e r ∈ E Ω \Omega Ω F F F E E E F F F K K K 線形無関連 (linearly disjoint )
線形無関連性の定義の条件は、E E E E E E F F F E E E F F F
定理 2.2. 体K K K E , F E,F E , F Ω \Omega Ω
E E E F F F K K K
標準写像
μ E , F : E ⊗ K F ⟶ E F , e ⊗ f ⟼ e f \mu_{E,F}\colon E\otimes_KF\longrightarrow EF,
\qquad e\otimes f\longmapsto ef μ E , F : E ⊗ K F ⟶ E F , e ⊗ f ⟼ e f
任意の有限なK K K f 1 , … , f s ∈ F f_1,\ldots,f_s\in F f 1 , … , f s ∈ F Ω \Omega Ω E E E
証明.
証明. z = 0 z=0 z = 0 r = 1 r=1 r = 1 e 1 = 1 e_1=1 e 1 = 1 f 1 = 0 f_1=0 f 1 = 0 z ≠ 0 z\ne0 z = 0 §E6.12 命題 11.2 により、E E E a 1 , … , a t a_1,\ldots,a_t a 1 , … , a t F F F b 1 , … , b t b_1,\ldots,b_t b 1 , … , b t
z = ∑ j = 1 t a j ⊗ b j z=\sum_{j=1}^t a_j\otimes b_j z = j = 1 ∑ t a j ⊗ b j と書くことができる。a 1 , … , a t a_1,\ldots,a_t a 1 , … , a t K K K e 1 , … , e r e_1,\ldots,e_r e 1 , … , e r r ≥ 1 r\ge1 r ≥ 1 a j a_j a j f 1 , … , f r ∈ F f_1,\ldots,f_r\in F f 1 , … , f r ∈ F
z = ∑ i = 1 r e i ⊗ f i z=\sum_{i=1}^r e_i\otimes f_i z = i = 1 ∑ r e i ⊗ f i となる。
s ≥ 1 s\ge1 s ≥ 1 K K K g 1 , … , g s ∈ E g_1,\ldots,g_s\in E g 1 , … , g s ∈ E h 1 , … , h s ∈ F h_1,\ldots,h_s\in F h 1 , … , h s ∈ F §E3.3 定理 2.1 により、g 1 , … , g s g_1,\ldots,g_s g 1 , … , g s E E E K K K B B B §E6.12 定理 10.1 の記号を用いて、この基底から得られる自由加群の場合のテンソル積を( V E , τ E ) (V_E,\tau_E) ( V E , τ E ) §E6.12 命題 9.2 (1) により、純テンソルと可換する一意なK K K
θ : V E ⟶ E ⊗ K F , θ ( τ E ( e , f ) ) = e ⊗ f \theta\colon V_E\longrightarrow E\otimes_KF,
\qquad
\theta\bigl(\tau_E(e,f)\bigr)=e\otimes f θ : V E ⟶ E ⊗ K F , θ ( τ E ( e , f ) ) = e ⊗ f が存在する。V E = ⨁ e ∈ B F V_E=\bigoplus_{e\in B}F V E = ⨁ e ∈ B F ∑ i τ E ( g i , h i ) \sum_i\tau_E(g_i,h_i) ∑ i τ E ( g i , h i ) g i g_i g i h i h_i h i θ \theta θ
∑ i = 1 s g i ⊗ h i = 0 ⟺ ∑ i = 1 s τ E ( g i , h i ) = 0 ⟺ h 1 = ⋯ = h s = 0 \sum_{i=1}^s g_i\otimes h_i=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
\sum_{i=1}^s\tau_E(g_i,h_i)=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
h_1=\cdots=h_s=0 i = 1 ∑ s g i ⊗ h i = 0 ⟺ i = 1 ∑ s τ E ( g i , h i ) = 0 ⟺ h 1 = ⋯ = h s = 0 である。この同値を、先に構成したe 1 , … , e r e_1,\ldots,e_r e 1 , … , e r f 1 , … , f r f_1,\ldots,f_r f 1 , … , f r z = 0 z=0 z = 0 f 1 = ⋯ = f r = 0 f_1=\cdots=f_r=0 f 1 = ⋯ = f r = 0 ▨
(1) ⇒ \Rightarrow ⇒ (2) (1) を仮定し、z ∈ ker μ E , F z\in\ker\mu_{E,F} z ∈ ker μ E , F 主張 2.2.1 により、K K K e 1 , … , e r e_1,\ldots,e_r e 1 , … , e r z = ∑ i e i ⊗ f i z=\sum_i e_i\otimes f_i z = ∑ i e i ⊗ f i
0 = μ E , F ( z ) = ∑ i = 1 r e i f i 0=\mu_{E,F}(z)=\sum_{i=1}^r e_if_i 0 = μ E , F ( z ) = i = 1 ∑ r e i f i である。e 1 , … , e r e_1,\ldots,e_r e 1 , … , e r K K K (1) によりF F F f i f_i f i z = 0 z=0 z = 0 μ E , F \mu_{E,F} μ E , F
(2) ⇒ \Rightarrow ⇒ (1) (2) を仮定し、K K K e 1 , … , e r ∈ E e_1,\ldots,e_r\in E e 1 , … , e r ∈ E
∑ i = 1 r e i f i = 0 ( f i ∈ F ) \sum_{i=1}^r e_if_i=0
\qquad(f_i\in F) i = 1 ∑ r e i f i = 0 ( f i ∈ F ) というF F F
z = ∑ i = 1 r e i ⊗ f i z=\sum_{i=1}^r e_i\otimes f_i z = i = 1 ∑ r e i ⊗ f i はμ E , F ( z ) = 0 \mu_{E,F}(z)=0 μ E , F ( z ) = 0 z = 0 z=0 z = 0 主張 2.2.1 の後半により、すべてのf i f_i f i (1) が成り立つ。
§E6.12 定義 9.1 の普遍性を用いてテンソル積の交換同型を構成する。写像
E × F ⟶ F ⊗ K E , ( e , f ) ⟼ f ⊗ e E\times F\longrightarrow F\otimes_KE,
\qquad
(e,f)\longmapsto f\otimes e E × F ⟶ F ⊗ K E , ( e , f ) ⟼ f ⊗ e は各変数について加法的であり、k ∈ K k\in K k ∈ K
f ⊗ ( e k ) = ( k f ) ⊗ e f\otimes(ek)=(kf)\otimes e f ⊗ ( e k ) = ( k f ) ⊗ e を満たすため、K K K K K K
τ : E ⊗ K F ⟶ F ⊗ K E , τ ( e ⊗ f ) = f ⊗ e \tau\colon E\otimes_KF\longrightarrow F\otimes_KE,
\qquad
\tau(e\otimes f)=f\otimes e τ : E ⊗ K F ⟶ F ⊗ K E , τ ( e ⊗ f ) = f ⊗ e を得る。同様に、K K K ( f , e ) ↦ e ⊗ f (f,e)\mapsto e\otimes f ( f , e ) ↦ e ⊗ f K K K
σ : F ⊗ K E ⟶ E ⊗ K F , σ ( f ⊗ e ) = e ⊗ f \sigma\colon F\otimes_KE\longrightarrow E\otimes_KF,
\qquad
\sigma(f\otimes e)=e\otimes f σ : F ⊗ K E ⟶ E ⊗ K F , σ ( f ⊗ e ) = e ⊗ f を得る。任意の純テンソルについて
( σ ∘ τ ) ( e ⊗ f ) = e ⊗ f , ( τ ∘ σ ) ( f ⊗ e ) = f ⊗ e (\sigma\circ\tau)(e\otimes f)=e\otimes f,
\qquad
(\tau\circ\sigma)(f\otimes e)=f\otimes e ( σ ∘ τ ) ( e ⊗ f ) = e ⊗ f , ( τ ∘ σ ) ( f ⊗ e ) = f ⊗ e である。§E6.12 命題 9.2 (2) により純テンソルはそれぞれのテンソル積を加法群として生成するから、σ ∘ τ \sigma\circ\tau σ ∘ τ τ ∘ σ \tau\circ\sigma τ ∘ σ τ \tau τ σ \sigma σ
E F EF E F F E FE F E Ω \Omega Ω E E E F F F Ω \Omega Ω e ⊗ f e\otimes f e ⊗ f
( μ F , E ∘ τ ) ( e ⊗ f ) = f e = e f = μ E , F ( e ⊗ f ) (\mu_{F,E}\circ\tau)(e\otimes f)=fe=ef=\mu_{E,F}(e\otimes f) ( μ F , E ∘ τ ) ( e ⊗ f ) = f e = e f = μ E , F ( e ⊗ f ) が成り立つ。§E6.12 命題 9.2 (2) と二つの写像の加法性により、型をそろえた写像の等式
μ F , E ∘ τ = μ E , F : E ⊗ K F ⟶ E F = F E \mu_{F,E}\circ\tau=\mu_{E,F}\colon E\otimes_KF\longrightarrow EF=FE μ F , E ∘ τ = μ E , F : E ⊗ K F ⟶ E F = F E を得る。τ \tau τ μ E , F \mu_{E,F} μ E , F μ F , E \mu_{F,E} μ F , E F F F E E E μ F , E \mu_{F,E} μ F , E (3) は同値である。したがって(2) ⇔ \Leftrightarrow ⇔ (3) ▨
系 2.3. 体K K K E , F E,F E , F K K K
E ∩ F = K E\cap F=K E ∩ F = K である。
証明. x ∈ E ∩ F x\in E\cap F x ∈ E ∩ F x ∉ K x\notin K x ∈ / K 1 , x 1,x 1 , x E E E K K K x ∈ F x\in F x ∈ F
x ⋅ 1 + ( − 1 ) ⋅ x = 0 x\cdot1+(-1)\cdot x=0 x ⋅ 1 + ( − 1 ) ⋅ x = 0 は係数x , − 1 ∈ F x,-1\in F x , − 1 ∈ F F F F E ∩ F E\cap F E ∩ F K K K E ∩ F = K E\cap F=K E ∩ F = K ▨
3 有限次数の場合の次数 有限次数の場合、E E E K K K E F EF E F F F F
定理 3.1. 体K K K E , F E,F E , F Ω \Omega Ω
[ E F : F ] ≤ [ E : K ] , [ E F : E ] ≤ [ F : K ] [EF:F]\le [E:K],
\qquad
[EF:E]\le [F:K] [ E F : F ] ≤ [ E : K ] , [ E F : E ] ≤ [ F : K ] であり、
[ E F : K ] ≤ [ E : K ] [ F : K ] [EF:K]\le [E:K][F:K] [ E F : K ] ≤ [ E : K ] [ F : K ] が成り立つ。
証明. m = [ E : K ] m=[E:K] m = [ E : K ] e 1 , … , e m e_1,\ldots,e_m e 1 , … , e m E E E K K K Ω \Omega Ω
V = F e 1 + ⋯ + F e m V=Fe_1+\cdots+Fe_m V = F e 1 + ⋯ + F e m を考える。V V V E E E F F F E E E e 1 , … , e m e_1,\ldots,e_m e 1 , … , e m K K K V V V 1 ∈ V 1\in V 1 ∈ V
0 ≠ x ∈ V 0\ne x\in V 0 = x ∈ V F F F
m x : V ⟶ V , y ⟼ x y m_x\colon V\longrightarrow V,
\qquad y\longmapsto xy m x : V ⟶ V , y ⟼ x y を考える。V V V Ω \Omega Ω m x m_x m x V V V F F F m x m_x m x V V V §E3.9 系 1.4 によりm x m_x m x y ∈ V y\in V y ∈ V x y = 1 xy=1 x y = 1 V V V
V V V E E E F F F E F ⊆ V EF\subseteq V E F ⊆ V V ⊆ E F V\subseteq EF V ⊆ E F E F = V EF=V E F = V [ E F : F ] ≤ m = [ E : K ] [EF:F]\le m=[E:K] [ E F : F ] ≤ m = [ E : K ] E E E F F F [ E F : E ] ≤ [ F : K ] [EF:E]\le[F:K] [ E F : E ] ≤ [ F : K ] §E8.1 定理 2.1 により
[ E F : K ] = [ E F : F ] [ F : K ] ≤ [ E : K ] [ F : K ] [EF:K]=[EF:F][F:K]\le[E:K][F:K] [ E F : K ] = [ E F : F ] [ F : K ] ≤ [ E : K ] [ F : K ] が成り立つ。▨
有限次数では、乗法写像は合成体へ全射である。次元を比較すると、線形無関連性と次数の積公式が同値になる。
定理 3.2. 体K K K E , F E,F E , F Ω \Omega Ω
E E E F F F K K K μ E , F : E ⊗ K F → E F \mu_{E,F}\colon E\otimes_KF\to EF μ E , F : E ⊗ K F → E F
次数の積公式
[ E F : K ] = [ E : K ] [ F : K ] [EF:K]=[E:K][F:K] [ E F : K ] = [ E : K ] [ F : K ]
証明. (1) ⇔ \Leftrightarrow ⇔ (2) 定理 2.2 で証明した。
m = [ E : K ] m=[E:K] m = [ E : K ] n = [ F : K ] n=[F:K] n = [ F : K ] E E E K K K e 1 , … , e m e_1,\ldots,e_m e 1 , … , e m F F F K K K f 1 , … , f n f_1,\ldots,f_n f 1 , … , f n
e i ⊗ f j ( 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n ) e_i\otimes f_j
\qquad(1\le i\le m,\ 1\le j\le n) e i ⊗ f j ( 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n ) は§E6.12 定理 10.1 によりE ⊗ K F E\otimes_KF E ⊗ K F K K K
dim K ( E ⊗ K F ) = m n \dim_K(E\otimes_KF)=mn dim K ( E ⊗ K F ) = mn である。
定理 3.1 の証明により、E F EF E F e 1 , … , e m e_1,\ldots,e_m e 1 , … , e m F F F F F F f 1 , … , f n f_1,\ldots,f_n f 1 , … , f n E F EF E F e i f j e_if_j e i f j K K K μ E , F \mu_{E,F} μ E , F
(3) ⇒ \Rightarrow ⇒ (2) [ E F : K ] = m n [EF:K]=mn [ E F : K ] = mn μ E , F \mu_{E,F} μ E , F §E3.9 系 1.4 によりμ E , F \mu_{E,F} μ E , F
(2) ⇒ \Rightarrow ⇒ (3) μ E , F \mu_{E,F} μ E , F μ E , F \mu_{E,F} μ E , F { e i ⊗ f j ∣ 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n } \{e_i\otimes f_j\mid 1\le i\le m,\ 1\le j\le n\} { e i ⊗ f j ∣ 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n }
{ e i f j ∣ 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n } \{e_if_j\mid 1\le i\le m,\ 1\le j\le n\} { e i f j ∣ 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n } はE F EF E F K K K
[ E F : K ] = m n = [ E : K ] [ F : K ] [EF:K]=mn=[E:K][F:K] [ E F : K ] = mn = [ E : K ] [ F : K ] である。以上により、(2) ⇔ \Leftrightarrow ⇔ (3) ▨
4 成立例と不成立例 異なる二つの二次拡大については、具体的な元の一次独立性を調べることで、線形無関連性を判定することができる。
例 4.1. E = Q ( 2 ) E=\Q(\sqrt2) E = Q ( 2 ) F = Q ( 3 ) F=\Q(\sqrt3) F = Q ( 3 ) R \R R 2 ∈ F \sqrt2\in F 2 ∈ F a , b ∈ Q a,b\in\Q a , b ∈ Q 2 = a + b 3 \sqrt2=a+b\sqrt3 2 = a + b 3
2 = a 2 + 3 b 2 + 2 a b 3 2=a^2+3b^2+2ab\sqrt3 2 = a 2 + 3 b 2 + 2 ab 3 である。1 , 3 1,\sqrt3 1 , 3 Q \Q Q a b = 0 ab=0 ab = 0 b = 0 b=0 b = 0 a 2 = 2 a^2=2 a 2 = 2 a = 0 a=0 a = 0 3 b 2 = 2 3b^2=2 3 b 2 = 2 a , b a,b a , b 2 ∉ F \sqrt2\notin F 2 ∈ / F
E E E Q \Q Q 1 , 2 1,\sqrt2 1 , 2 F F F E E E F F F Q \Q Q 定理 3.2 により
[ Q ( 2 , 3 ) : Q ] = 2 ⋅ 2 = 4 [\Q(\sqrt2,\sqrt3):\Q]=2\cdot2=4 [ Q ( 2 , 3 ) : Q ] = 2 ⋅ 2 = 4 である。
同じ拡大を二度用いると、乗法写像には明示的な核が生じる。
例 4.2. E = F = Q ( 2 ) E=F=\Q(\sqrt2) E = F = Q ( 2 ) E E E
z = 2 ⊗ 1 − 1 ⊗ 2 z=\sqrt2\otimes1-1\otimes\sqrt2 z = 2 ⊗ 1 − 1 ⊗ 2 を考える。E E E Q \Q Q 1 , 2 1,\sqrt2 1 , 2 E ⊗ Q E E\otimes_\mathbb QE E ⊗ Q E Q \Q Q
1 ⊗ 1 , 1 ⊗ 2 , 2 ⊗ 1 , 2 ⊗ 2 1\otimes1,\quad1\otimes\sqrt2,\quad
\sqrt2\otimes1,\quad\sqrt2\otimes\sqrt2 1 ⊗ 1 , 1 ⊗ 2 , 2 ⊗ 1 , 2 ⊗ 2 である。したがってz ≠ 0 z\ne0 z = 0
μ E , E ( z ) = 2 − 2 = 0 \mu_{E,E}(z)=\sqrt2-\sqrt2=0 μ E , E ( z ) = 2 − 2 = 0 であるから、μ E , E \mu_{E,E} μ E , E Q \Q Q E E E
[ E F : Q ] = 2 < 4 = [ E : Q ] [ F : Q ] [EF:\Q]=2<4=[E:\Q][F:\Q] [ E F : Q ] = 2 < 4 = [ E : Q ] [ F : Q ] である。