§E8.29五次方程式の楕円函数解法

最終更新

§E8.28 五次方程式の標準形では、分離的な五次多項式を有限個の Bring–Jerrard 終端

R(Z)=Z5+d1Z+d0R(Z)=Z^5+d_1Z+d_0

へ送り、principal 段と Bring 段の各変換に対する exact inverse を記録する。本記事では、非衝突終端に Hermite の楕円函数パラメータを与える。位数5の変換の次数と、Bring 方程式の未知数の次数を混同しない。前提となる theta 函数と modular lambda は§E5 複素解析の§E5.24 楕円積分と楕円函数への展望から取り込む。

1 Bring–Jerrard 終端

定義 1.1. Bring–Jerrard 終端 (Bring–Jerrard terminal) とは、係数体K⊂CK\subset\C上のR(Z)=Z5+d1Z+d0R(Z)=Z^5+d_1Z+d_0と、§E8.28 定理 7.1の exact inverseU4,U2U_4,U_2の組である。恒等 chart の段では対応する逆を恒等写像とする。

補題 1.2.Ra(x)=x5−x+aR_a(x)=x^5-x+aは55a4−28≠05^5a^4-2^8\ne0のとき分離的である。a=0a=0も分離的であり、modular parameter の追加分岐であって五次方程式の判別式零点ではない。

証明. 重根xxは5x4−1=05x^4-1=0とx5−x+a=0x^5-x+a=0を満たす。前者からx4=1/5x^4=1/5、後者からa=−(x5−x)=4x/5a=-(x^5-x)=4x/5なので55a4=285^5a^4=2^8となる。逆向きもx=5a/4x=5a/4を代入すれば同じ計算で得られる。a=0a=0ではx(x4−1)x(x^4-1)であり、根は相異なる。▨

2 theta 函数と branch datum

前提記事の定理をH={τ∣ℑτ>0}\mathfrak H=\{\tau\mid\Im\tau>0\}上で用いる。q=eπiτq=e^{\pi i\tau}、

k=θ2(0∣τ)2θ3(0∣τ)2,k′=θ4(0∣τ)2θ3(0∣τ)2,λ=k2k=\frac{\theta_2(0\mid\tau)^2}{\theta_3(0\mid\tau)^2},\quad k'=\frac{\theta_4(0\mid\tau)^2}{\theta_3(0\mid\tau)^2},\quad \lambda=k^2

とし、k′2=1−k2k'^2=1-k^2とする。λ=0,1,∞\lambda=0,1,\inftyは compactified modular curve の cusp の像であり、上半平面内の点ではない。

定義 2.1. 単連結開集合D⊂HD\subset\mathfrak H上でλ(τ)≠0\lambda(\tau)\ne0、1−λ(τ)≠01-\lambda(\tau)\ne0とする。 Hermite branch datum (Hermite branch datum) とは、ϕ8=λ\phi^8=\lambda、ψ8=1−λ\psi^8=1-\lambda、ϕ4=k\phi^4=k、ψ4=k′\psi^4=k'を満たす正則関数と、初期値からの解析接続および閉路後の multiplier の選択である。

補題 2.2. 上のDD、τ0∈D\tau_0\in D、ϕ08=λ(τ0)\phi_0^8=\lambda(\tau_0)、ψ08=1−λ(τ0)\psi_0^8=1-\lambda(\tau_0)に対して、初期値を固定する一意な正則なϕ,ψ\phi,\psiが存在する。DDの外への一価な延長は主張しない。

証明. 非零正則関数λ,1−λ\lambda,1-\lambdaは、単連結性により正則対数をもつ。ϕ=exp⁡(log⁡λ/8)\phi=\exp(\log\lambda/8)、ψ=exp⁡(log⁡(1−λ)/8)\psi=\exp(\log(1-\lambda)/8)と置けば存在する。初期値が対数の加法定数を定めるので一意である。単連結でない領域では対数の周期が生じるため、閉路後の multiplier を datum に含める。▨

実基点τ=it  (t>0)\tau=it\;(t>0)ではk,k′,ϕ,ψ>0k,k',\phi,\psi>0とする。λ=0,1,∞\lambda=0,1,\inftyの cusp と55a4=285^5a^4=2^8の有限 Bring 特異値は別の locus である。A=0A=0では後述の四次式が(k2+1)2=0(k^2+1)^2=0となるが、x5−xx^5-xは分離的である。

3 位数5の六次関係

u=ϕ(ω)u=\phi(\omega)、v=ϕ(5ω)v=\phi(5\omega)と置く。「位数5」はω↦5ω\omega\mapsto5\omegaの指数であり、 Bring 方程式の次数を意味しない。

定理 3.1. Hermite の位数5の変換に対して

u6−v6+5u2v2(u2−v2)−4uv(1−u4v4)=0.u^6-v^6+5u^2v^2(u^2-v^2)-4uv(1-u^4v^4)=0.(H6)\text{(H6)}

が成り立つ。source crosswalk の規約では、これはu,vu,vに関する六次モジュラー関係であり、λ\lambdaだけの消去式ではない。

証明. この六次関係の theta 級数による有限係数計算は、E4 owner の§E5.24 定理 6.2が供給する。ここではその exact theorem をu=ϕ(ω)u=\phi(\omega)、v=ϕ(5ω)v=\phi(5\omega)の枝 datum に適用する。従って E9 は係数の再計算を重複させず、この関係を後続の有限代数計算への入力として用いる。▨

4 六次関係から Hermite の五次恒等式

補題 4.1. 次の三因子積を定める。

Φ(ω)=[ϕ(5ω)+ϕ(ω/5)]⋅[ϕ((ω+16)/5)−ϕ((ω+4⋅16)/5)]⋅[ϕ((ω+2⋅16)/5)−ϕ((ω+3⋅16)/5)].\begin{aligned} \Phi(\omega)={}&[\phi(5\omega)+\phi(\omega/5)]\\ &\cdot[\phi((\omega+16)/5)-\phi((\omega+4\cdot16)/5)]\\ &\cdot[\phi((\omega+2\cdot16)/5)-\phi((\omega+3\cdot16)/5)]. \end{aligned}(P)\text{(P)}

第一因子は和であり、残る二因子は差である。Φr=Φ(ω+16r)\Phi_r=\Phi(\omega+16r)とする。ϕ8=λ\phi^8=\lambda、ψ8=1−λ\psi^8=1-\lambda、式 (H6)および式 (P)の枝 datum のもとで、

Φ5−2453ϕ4ψ16Φ+2655ϕ3ψ16(1+ϕ8)=0.\Phi^5-2^4 5^3\phi^4\psi^{16}\Phi +2^6\sqrt{5^5}\phi^3\psi^{16}(1+\phi^8)=0.(4.1.1)\text{(4.1.1)}

が成り立つ。

証明. この三因子積、係数および有限係数消去は E4 owner の exact theorem§E5.24 定理 6.4が供給する。E4 の証明では、§E5.24 定義 6.1の枝 datum、§E5.24 定理 6.2の六次関係、および有限な theta 係数計算を一つの owner interface として閉じている。したがって E9 本文では、未定義の補助多項式やローカルな reduction table を再掲せず、その theorem の結論を exact input として採用する。これにより、 E4 が担う有限計算と、次節で E9 が担う非零尺度変換・逆向き検証が分離される。▨

5 Bring 形への尺度変換

補題 5.1.

C0=(2453)1/4ϕψ4,Φ=C0xC_0=(2^4 5^3)^{1/4}\phi\psi^4,\qquad \Phi=C_0x

と置く。C04=2453ϕ4ψ16C_0^4=2^4 5^3\phi^4\psi^{16}であるから、式 (4.1.1)をC05C_0^5で割ると

x5−x+a=0,a=2(1+ϕ8)55/4ϕ2ψ4.x^5-x+a=0,\qquad a=\frac{2(1+\phi^8)}{5^{5/4}\phi^2\psi^4}.(Ha)\text{(Ha)}

となる。定数項の計算は

2655/2ϕ3ψ16(1+ϕ8)25515/4ϕ5ψ20=2(1+ϕ8)55/4ϕ2ψ4\frac{2^6 5^{5/2}\phi^3\psi^{16}(1+\phi^8)} {2^5 5^{15/4}\phi^5\psi^{20}} =\frac{2(1+\phi^8)}{5^{5/4}\phi^2\psi^4}

である。A=55/4a/2A=5^{5/4}a/2、k=ϕ4k=\phi^4、k′=ψ4k'=\psi^4として平方すると

A2=(1+k2)2k(1−k2),k4+A2k3+2k2−A2k+1=0.A^2=\frac{(1+k^2)^2}{k(1-k^2)},\qquad k^4+A^2k^3+2k^2-A^2k+1=0.(Hk)\text{(Hk)}

を得る。平方は枝の符号を失うので、式 (Hk)の根だけを式 (Ha)の解とみなしてはならない。ϕψ≠0\phi\psi\ne0の局所枝ではΦ=C0x\Phi=C_0xの逆はx=Φ/C0x=\Phi/C_0である。

証明.C04=2453ϕ4ψ16C_0^4=2^4 5^3\phi^4\psi^{16}なので、ϕψ≠0\phi\psi\ne0ならC0≠0C_0\ne0である。乗法写像の逆は除法である。cusp ではこの chart を使用しない。▨

6 五候補の代入・相異性・全根性

定義 6.1. admissible branch datum (admissible branch datum) とは、次を同時に満たす datum である。

  1. r=0,…,4r=0,\ldots,4の各Φr\Phi_rが式 (P)の枝 lift である。
  2. 各rrで式 (H6)と theta 5倍変換則の reduction relations が成立する。
  3. 全てのrrでϕr4=ϕ4\phi_r^4=\phi^4、ψr4=ψ4\psi_r^4=\psi^4、ϕr8=ϕ8\phi_r^8=\phi^8、ψr8=ψ8\psi_r^8=\psi^8とし、同じ branch lift によりB=2453ϕ4ψ16B=2^4 5^3\phi^4\psi^{16}、C=2655ϕ3ψ16(1+ϕ8)C=2^6\sqrt{5^5}\phi^3\psi^{16}(1+\phi^8)を共有する。

補題 6.2. admissible branch datum の各rrについて、

Φr5−BΦr+C=0\Phi_r^5-B\Phi_r+C=0

が成立する。

証明. 各rrについて、E4 owner の§E5.24 補題 6.5をω↦ω+16r\omega\mapsto\omega+16rの枝 datum に適用する。この exact theorem が、§E5.24 定義 6.1の五候補について同じB,CB,Cを持つ共通方程式を供給する。従って E9 は reduction ideal や係数表を再構成せず、Φr5−BΦr+C=0\Phi_r^5-B\Phi_r+C=0を用いる。▨

補題 6.3. admissible branch datum、C0≠0C_0\ne0および55a4−28≠05^5a^4-2^8\ne0のもとで、Φ0,…,Φ4\Phi_0,\ldots,\Phi_4は相異なる。

証明. 二つの候補Φr=Φs\Phi_r=\Phi_s（r≠sr\ne s）があると仮定する。§E5.24 補題 6.3の基本対称式から Vieta の公式により

∏j=04(Y−Φj)=Y5−BY+C\prod_{j=0}^4(Y-\Phi_j)=Y^5-BY+C

である。Y=C0xY=C_0xを代入してC05C_0^5で割ると、C04=BC_0^4=BとC/C05=aC/C_0^5=aにより∏j=04(x−xj)=x5−x+a\prod_{j=0}^4(x-x_j)=x^5-x+aを得る。ここでxj=Φj/C0x_j=\Phi_j/C_0である。尺度変換はC0≠0C_0\ne0により単射なのでxr=xsx_r=x_sであり、xrx_rはこの五次式の重根である。補題 1.2から55a4−28=05^5a^4-2^8=0となるが、仮定に反する。▨

定理 6.4. admissible branch datum があり、C0≠0C_0\ne0、55a4−28≠05^5a^4-2^8\ne0とする。このときΦ0,…,Φ4\Phi_0,\ldots,\Phi_4はY5−BY+CY^5-BY+Cの五根を尽くし、xr=Φr/C0x_r=\Phi_r/C_0はx5−x+a=0x^5-x+a=0の五根を尽くす。

証明.補題 6.2により五候補は同じ五次多項式Y5−BY+CY^5-BY+Cの根であり、補題 6.3により相異なる。次数5の多項式は高々5個の根しかもたないので、五候補は全根である。C0C_0による非零尺度変換は根の相異性と個数を保ち、式 (Ha)により尺度後の方程式はx5−x+a=0x^5-x+a=0である。従ってxrx_rはその五根を尽くす。▨

この結論は大域的な一価枝の存在を意味しない。係数平面

Ua={a∈C∣55a4−28≠0}U_a=\{a\in\C\mid5^5a^4-2^8\ne0\}

では、基点からの解析接続は閉路に依存し、五根を置換する。この五根の置換は解析的モノドロミーであり、係数体の算術的 Galois 群とは別の作用である。

7 §E8.28 五次方程式の標準形 の exact inverse と例外分岐

定理 7.1.R(Z)=Z5+d1Z+d0R(Z)=Z^5+d_1Z+d_0の判別式が零なら Hermite chart へ送らず、§E8.28 定理 5.1の squarefree image と fiber gcd へ戻る。d1=0d_1=0またはd0=0d_0=0なら、Z5=−d0Z^5=-d_0またはZ(Z4+d1)=0Z(Z^4+d_1)=0を代数的終端として扱う。非衝突でd1d0≠0d_1d_0\ne0の場合だけ、Hermite のxrx_rを尺度の逆でzrz_rに戻し、

Xr=U2(U4(zr))−a45.X_r=U_2(U_4(z_r))-\frac{a_4}{5}.(Inv)\text{(Inv)}

とする。§E8.28 定理 8.1 (4)の非衝突 Bring 終端の exact inverse が定義され、admissible branch datum があるとする。式 (Inv)の五つの値は入力五次多項式の五根を相異なる順序で尽くす。

証明.§E8.28 定理 7.1の Bring inverse と principal inverse は、それぞれの補間行列が非特異であるため根集合上の全単射である。§E8.28 定理 7.1 (1)の剰余合同式を合成すると、式 (Inv)は Bring 終端の根集合から入力の根集合への写像となる。両集合は五元集合であり、合成は単射なので全単射である。平行移動の逆X=U−a4/5X=U-a_4/5も一対一である。像判別式が零の枝では補間行列が特異になり得るので、式 (Inv)を使わず fiber gcd へ分岐する。 fiber の次数和は5であり、次数4以下の方程式から重複度を含む全根を回収できる。▨

8 境界

本記事では、theta 函数と modular lambda の基本定理を前提記事から取り込む。compactification 上の cusp の全局所座標、任意の係数平面上の一価な枝、およびその大域的なモノドロミー分類は主張しない。係数空間からの大域的 lift は未解決である。本記事で構成したのは、非判別式 locus 上で branch datum を固定した局所 Hermite 解と、§E8.28 定理 8.1 (4)の exact inverse による元の五根への復元である。

9 演習

問題 9.1 (問題).

  1. d1d0≠0d_1d_0\ne0とし、R(Z)=Z5+d1Z+d0R(Z)=Z^5+d_1Z+d_0にZ=λxZ=\lambda x（λ4=−d1\lambda^4=-d_1）を代入してR(λx)=λ5(x5−x+a)R(\lambda x)=\lambda^5(x^5-x+a)の形に書き、aaをd0d_0とλ\lambdaで表せ。λ\lambdaの四通りの選び方でa4=−d04/d15a^4=-d_0^4/d_1^5が変わらないことを示し、補題 1.2から、55d04+28d15≠05^5d_0^4+2^8d_1^5\ne0ならばRRが分離的であることを導け。
  2. A=0A=0の式 (Hk)を因数分解し、Bring 判別式との違いを説明せよ。
  3. aaが55a4=285^5a^4=2^8を満たすとし、t=5a/4t=5a/4とおく。Ra(x)=x5−x+aR_a(x)=x^5-x+aについてRa(x)=(x−t)2(x3+2tx2+3t2x+4t3)R_a(x)=(x-t)^2\bigl(x^3+2tx^2+3t^2x+4t^3\bigr)を示し、ttがちょうど二重根であって、三次因子がttと異なる相異なる三根をもつことを示せ。さらにa>0a>0のとき、RaR_aの相異なる実根の個数を求めよ。
  4. R(Z)=Z5−5Z+4R(Z)=Z^5-5Z+4について55d04+28d15=05^5d_0^4+2^8d_1^5=0を確かめ、gcd⁡(R,R′)\gcd(R,R')を Euclid の互除法で求めよ。さらにRRを因数分解し、相異なる根の個数と各根の重複度を求めよ。
解答 (解答).
  1. d1≠0d_1\ne0であるからλ≠0\lambda\ne0である。λ4=−d1\lambda^4=-d_1により R(λx)=λ5x5+d1λx+d0=λ5(x5+d1λ4x+d0λ5)=λ5(x5−x+a),a=d0λ5R(\lambda x)=\lambda^5x^5+d_1\lambda x+d_0=\lambda^5\Bigl(x^5+\frac{d_1}{\lambda^4}x+\frac{d_0}{\lambda^5}\Bigr)=\lambda^5\bigl(x^5-x+a\bigr),\qquad a=\frac{d_0}{\lambda^5} である。λ4=−d1\lambda^4=-d_1の解はλij\lambda i^j（j=0,1,2,3j=0,1,2,3）であり、i5=ii^5=iであるから、λij\lambda i^jに対応する値はd0/(λ5ij)=a i−jd_0/(\lambda^5i^{j})=a\,i^{-j}である。したがってaaの四乗は選び方によらず a4=d04λ20=d04(λ4)5=d04(−d1)5=−d04d15a^4=\frac{d_0^4}{\lambda^{20}}=\frac{d_0^4}{(\lambda^4)^5}=\frac{d_0^4}{(-d_1)^5}=-\frac{d_0^4}{d_1^5} である。よって55a4−28=−(55d04+28d15)/d155^5a^4-2^8=-\bigl(5^5d_0^4+2^8d_1^5\bigr)/d_1^5である。55d04+28d15≠05^5d_0^4+2^8d_1^5\ne0ならば55a4−28≠05^5a^4-2^8\ne0であり、補題 1.2によりx5−x+ax^5-x+aは相異なる五根x1,…,x5x_1,\ldots,x_5をもつ。R(λx)=λ5(x5−x+a)R(\lambda x)=\lambda^5(x^5-x+a)であるからλx1,…,λx5\lambda x_1,\ldots,\lambda x_5はRRの根であり、λ≠0\lambda\ne0により相異なる。次数55のRRは相異なる五根をもつので分離的である。
  2. A=0A=0を式 (Hk)の四次式に代入するとk4+2k2+1=(k2+1)2=(k−i)2(k+i)2k^4+2k^2+1=(k^2+1)^2=(k-i)^2(k+i)^2であり、四次式はk=±ik=\pm iを重根にもつ。一方A=55/4a/2A=5^{5/4}a/2であるからA=0A=0はa=0a=0に当たり、x5−x=x(x−1)(x+1)(x−i)(x+i)x^5-x=x(x-1)(x+1)(x-i)(x+i)は相異なる五根をもつ。実際55a4−28=−28≠05^5a^4-2^8=-2^8\ne0である。一般のAAについて、四次式k4+A2k3+2k2−A2k+1k^4+A^2k^3+2k^2-A^2k+1のkkに関する判別式を計算すると 4A4(A4−16)24A^4\bigl(A^4-16\bigr)^2 である。一方A4=55a4/16A^4=5^5a^4/16であるから55a4−28=16(A4−16)5^5a^4-2^8=16\bigl(A^4-16\bigr)である。したがって四次式が重根をもつのはA=0A=0またはA4=16A^4=16のときであり、Bring 判別式が零になるのはA4=16A^4=16のときだけである。たとえばA2=4A^2=4では四次式は(k2+2k−1)2(k^2+2k-1)^2となり、これは Bring 判別式の零点に当たる。A=0A=0は四次式だけに現れる重根の場合であり、五次方程式の重根に対応しない。違いは、式 (Hk)がaaを平方したA2A^2から母数kkを求める式であって、Bring 多項式の根の衝突を表す式ではないことによる。
  3. 55a4=285^5a^4=2^8からa≠0a\ne0であり、t4=54a4/28=54/55=1/5t^4=5^4a^4/2^8=5^4/5^5=1/5である。したがって5t4=15t^4=1であり、t5=t/5t^5=t/5から4t5=4t/5=a4t^5=4t/5=aである。g(x)=x3+2tx2+3t2x+4t3g(x)=x^3+2tx^2+3t^2x+4t^3とおき、(x−t)2=x2−2tx+t2(x-t)^2=x^2-2tx+t^2との積を展開すると (x−t)2g(x)=x5+(2t−2t)x4+(3t2−4t2+t2)x3+(4t3−6t3+2t3)x2+(3t4−8t4)x+4t5=x5−5t4x+4t5(x-t)^2g(x)=x^5+(2t-2t)x^4+(3t^2-4t^2+t^2)x^3+(4t^3-6t^3+2t^3)x^2+(3t^4-8t^4)x+4t^5=x^5-5t^4x+4t^5 であり、5t4=15t^4=1と4t5=a4t^5=aにより右辺はRa(x)R_a(x)に等しい。g(t)=t3+2t3+3t3+4t3=10t3≠0g(t)=t^3+2t^3+3t^3+4t^3=10t^3\ne0であるから、ttはggの根でなく、RaR_aのちょうど二重根である。ggが重根β\betaをもつと仮定すると、β\betaはRaR_aの重根である。補題 1.2の証明のとおり、RaR_aの重根xxは5x4−1=05x^4-1=0とRa(x)=0R_a(x)=0を満たし、a=−(x5−x)=4x/5a=-(x^5-x)=4x/5、すなわちx=5a/4=tx=5a/4=tである。したがってβ=t\beta=tとなり、g(t)≠0g(t)\ne0に反する。よってggはttと異なる相異なる三根をもつ。次にa>0a>0とするとt=5a/4>0t=5a/4>0は実数であり、ggは実係数である。g′(x)=3x2+4tx+3t2g'(x)=3x^2+4tx+3t^2の判別式は16t2−36t2<016t^2-36t^2<0であるからg′(x)>0g'(x)>0であり、ggは狭義単調増加である。g(0)=4t3>0g(0)=4t^3>0であり、x→−∞x\to-\inftyでg(x)→−∞g(x)\to-\inftyであるから、§E2.43 系 2.3によりggはちょうど一つの実根をもち、それは負である。したがってRaR_aの相異なる実根はttとその負の根の二つであり、残る二根は互いに共役な非実数である。なおt−5Ra(tZ)=Z5−5Z+4t^{-5}R_a(tZ)=Z^5-5Z+4であり、この等式は(4)の多項式の因数分解と同じものを与える。
  4. d1=−5d_1=-5、d0=4d_0=4であるから55⋅44+28⋅(−5)5=55⋅28−28⋅55=05^5\cdot4^4+2^8\cdot(-5)^5=5^5\cdot2^8-2^8\cdot5^5=0である。R′=5Z4−5R'=5Z^4-5である。Z5R′=Z5−Z\frac Z5R'=Z^5-ZであるからR=Z5R′+(4−4Z)R=\frac Z5R'+(4-4Z)である。次にR′=5(Z−1)(Z3+Z2+Z+1)=−54(Z3+Z2+Z+1)(4−4Z)R'=5(Z-1)(Z^3+Z^2+Z+1)=-\frac54(Z^3+Z^2+Z+1)(4-4Z)であり、余りは00である。したがってgcd⁡(R,R′)=Z−1\gcd(R,R')=Z-1であり、§E8.8 定理 1.2によりRRは重根をもつ。展開して確かめると R=(Z−1)2(Z3+2Z2+3Z+4)R=(Z-1)^2\bigl(Z^3+2Z^2+3Z+4\bigr) である。g=Z3+2Z2+3Z+4g=Z^3+2Z^2+3Z+4とおくとg(1)=10≠0g(1)=10\ne0である。ggが重根β\betaをもつと仮定すると、β\betaはRRの重根であり、R′(β)=0R'(\beta)=0であるからZ−βZ-\betaはgcd⁡(R,R′)=Z−1\gcd(R,R')=Z-1を割り、β=1\beta=1となってg(1)≠0g(1)\ne0に反する。よってggは11と異なる相異なる三根をもつ。RRの相異なる根は四個であり、11の重複度は22、ggの三根の重複度はいずれも11である。

▨

参考文献

  1. Charles Hermite, Sur la résolution de l'équation du cinquième degré, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences 46 (1858), 508–515.位数5の変換に対応する六次式と Hermite の五次恒等式を参考にした。
  2. National Institute of Standards and Technology, NIST Digital Library of Mathematical Functions.theta 函数と modular lambda の定義と変換公式（§20.2、§23.15）を参考にした。

前提記事