§E8.27多項式の可解性

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KKを標数00の体とし、すべての代数拡大を一つの代数閉包K‾\overline Kの中で考える。標数00では有限拡大が分離的であるため、多項式の分解体は有限 Galois 拡大になる。

1 根基塔

定義 1.1. 体の塔

K=F0⊆F1⊆⋯⊆Fr,Fi=Fi−1(αi),αini∈Fi−1K=F_0\subseteq F_1\subseteq\cdots\subseteq F_r, \qquad F_i=F_{i-1}(\alpha_i),\quad \alpha_i^{n_i}\in F_{i-1}

であって、各ni≥2n_i\ge2となるものを根基塔 (radical tower) という。

f∈K[x]f\in K[x]の分解体をLLとする。LLがある根基塔の最上体FrF_rに含まれるとき、ffは根基によって可解 (solvable by radicals) であるという。

根基拡大Fi−1(αi)/Fi−1F_{i-1}(\alpha_i)/F_{i-1}は一般には Galois 拡大ではない。例えばQ(23)/Q\Q(\sqrt[3]{2})/\Qはx3−2x^3-2の非実根を含まないため正規でない。必要な一の冪根とすべての共役な根基を同時に添加すると、根基塔の最上体FrF_rを、可解 Galois 群をもつ正規拡大へ埋め込むことができる。

補題 1.2.Fr/KF_r/Kが根基塔によって得られる有限拡大なら、FrF_rを含む有限 Galois 拡大M/KM/KであってGal⁡(M/K)\operatorname{Gal}(M/K)が可解群となるものが存在する。

証明.r=0r=0ならM=KM=Kと取ればよい。以下ではr≥1r\ge1とする。NNをすべてのnin_iの公倍数とし、M0=K(μN)M_0=K(\mu_N)とおく。§E8.20 命題 1.4によりM0/KM_0/Kは有限 Galois 拡大であり、その Galois 群は(Z/NZ)×(\Z/N\Z)^\timesの部分群なのでアーベル群である。とくに可解群である。

Mi−1/KM_{i-1}/Kが有限 Galois 拡大で、Galois 群が可解であり、Fi−1⊆Mi−1F_{i-1}\subseteq M_{i-1}であると仮定する。αi=0\alpha_i=0の段は体を変えないため、あらかじめ塔から除いてよい。ai=αini∈Fi−1×a_i=\alpha_i^{n_i}\in F_{i-1}^\timesとおき、Γi−1=Gal⁡(Mi−1/K)\Gamma_{i-1}=\operatorname{Gal}(M_{i-1}/K)とする。各σ∈Γi−1\sigma\in\Gamma_{i-1}に対してβσni=σ(ai)\beta_\sigma^{n_i}=\sigma(a_i)となる根を選び、σ=1\sigma=1ではβ1=αi\beta_1=\alpha_iと選ぶ。次の体を取る。

Mi=Mi−1(βσ∣σ∈Γi−1).M_i=M_{i-1}(\beta_\sigma\mid\sigma\in\Gamma_{i-1}).

μni⊆M0⊆Mi−1\mu_{n_i}\subseteq M_0\subseteq M_{i-1}なので、MiM_iは

∏σ∈Γi−1(xni−σ(ai))\prod_{\sigma\in\Gamma_{i-1}}(x^{n_i}-\sigma(a_i))

のMi−1M_{i-1}上の分解体である。KKを固定する埋め込みはΓi−1\Gamma_{i-1}を通じて各因子を置換し、各根を既に添加した根のμni\mu_{n_i}倍へ写す。したがってMi/KM_i/Kは正規であり、標数00なので有限 Galois 拡大である。またαi∈Mi\alpha_i\in M_iであるからFi⊆MiF_i\subseteq M_iである。

τ∈Gal⁡(Mi/Mi−1)\tau\in\operatorname{Gal}(M_i/M_{i-1})に対して

τ(βσ)=χσ(τ)βσ,χσ(τ)∈μni\tau(\beta_\sigma)=\chi_\sigma(\tau)\beta_\sigma, \qquad \chi_\sigma(\tau)\in\mu_{n_i}

と書ける。すべてのχσ(τ)\chi_\sigma(\tau)が11ならτ\tauはMiM_iの生成元をすべて固定する。ゆえに

Gal⁡(Mi/Mi−1)↪∏σ∈Γi−1μni\operatorname{Gal}(M_i/M_{i-1})\hookrightarrow \prod_{\sigma\in\Gamma_{i-1}}\mu_{n_i}

は単射であり、左辺はアーベル群である。制限写像による完全列

1⟶Gal⁡(Mi/Mi−1)⟶Gal⁡(Mi/K)⟶Gal⁡(Mi−1/K)⟶11\longrightarrow\operatorname{Gal}(M_i/M_{i-1}) \longrightarrow\operatorname{Gal}(M_i/K) \longrightarrow\operatorname{Gal}(M_{i-1}/K) \longrightarrow1

と可解性の閉性§E7.22 定理 3.3により、Gal⁡(Mi/K)\operatorname{Gal}(M_i/K)は可解群である。帰納法をrr回適用したM=MrM=M_rが求める拡大である。▨

2 Galois 群による必要十分条件

証明の出発点は、ffの分解体L/KL/Kと有限群G=Gal⁡(L/K)G=\operatorname{Gal}(L/K)を対応させることである。必要性の中間目標は、根基塔を含む有限 Galois 拡大を構成し、その Galois 群にアーベル核をもつ列を与えることである。十分性の証明の主要な段階は、GGの組成列を巡回 Galois 拡大の塔へ移し、一の冪根を添加した後に Kummer 理論で各段を一つの根基添加として実現することである。

定理 2.1.f∈K[x]f\in K[x]を非定数多項式とし、その分解体をLLとする。このとき次の二条件は同値である。

  1. ffは根基によって可解である。
  2. Gal⁡(L/K)\operatorname{Gal}(L/K)は可解群である。

証明.(1)を仮定し、L⊆FrL\subseteq F_rとなる根基塔を取る。補題 1.2によりFrF_rを含む有限 Galois 拡大M/KM/KであってGal⁡(M/K)\operatorname{Gal}(M/K)が可解となるものが存在する。L/KL/Kは Galois 拡大なので、制限写像

Gal⁡(M/K)⟶Gal⁡(L/K)\operatorname{Gal}(M/K)\longrightarrow\operatorname{Gal}(L/K)

は全射である。実際、LLの任意のKK-自己同型は有限埋め込み延長§E8.10 補題 1.3によってMMのKK-埋め込みへ延長され、M/KM/Kの正規性によってMMの自己同型になる。したがってGal⁡(L/K)\operatorname{Gal}(L/K)は可解群の商群であり、§E7.22 定理 3.3により可解である。

(2)を仮定し、G=Gal⁡(L/K)G=\operatorname{Gal}(L/K)とおく。GGが自明ならL=KL=Kなので結論は明らかである。以下ではN=∣G∣≥2N=|G|\ge2とし、K′=K(μN)K'=K(\mu_N)、M=LK′M=LK'とおく。K′/KK'/Kは、原始NN乗根ζN\zeta_NがζNN=1∈K\zeta_N^N=1\in Kを満たすため、一段の根基拡大である。M/K′M/K'は有限 Galois 拡大であり、制限写像によって

H=Gal⁡(M/K′)↪GH=\operatorname{Gal}(M/K')\hookrightarrow G

とみなすことができる。§E7.22 定理 3.3によりHHは可解群である。

有限可解群の組成因子判定§E7.22 定理 5.1により、組成列

H=H0▹H1▹⋯▹Hs={1}H=H_0\triangleright H_1\triangleright\cdots\triangleright H_s=\{1\}

を、各商Hj/Hj+1H_j/H_{j+1}が素数位数pjp_jの巡回群となるように取ることができる。Ej=MHjE_j=M^{H_j}とおくと、 Galois の基本定理§E8.10 定理 4.1により

K′=E0⊂E1⊂⋯⊂Es=MK'=E_0\subset E_1\subset\cdots\subset E_s=M

であり、Ej+1/EjE_{j+1}/E_jは次数pjp_jの巡回 Galois 拡大である。pjp_jは∣H∣|H|を割り、∣H∣|H|は∣G∣=N|G|=Nを割るため、μpj⊆K′⊆Ej\mu_{p_j}\subseteq K'\subseteq E_jである。

有限アーベル Kummer 拡大の分類§E8.21 定理 3.4をn=pjn=p_jとして適用する。Ej+1/EjE_{j+1}/E_jに対応する部分群Bj≤Ej×/Ej×pjB_j\le E_j^\times/E_j^{\times p_j}は位数pjp_jなので、一つの類[aj][a_j]で生成される。Kummer 対の完全性§E8.21 定理 3.3と分類の定義から

Ej+1=Ej(ajpj)E_{j+1}=E_j(\sqrt[p_j]{a_j})

である。したがってK⊆K′=E0⊆E1⊆⋯⊆Es=MK\subseteq K'=E_0\subseteq E_1\subseteq\cdots\subseteq E_s=Mは根基塔であり、L⊆ML\subseteq Mなのでffは根基によって可解である。▨

例 2.2.f=x3−3x−1∈Q[x]f=x^3-3x-1\in\Q[x]は有理根をもたないため既約である。判別式は8181であり、平方数である。§E8.16 定理 5.3により Galois 群はA3A_3に含まれる。一方、既約性から Galois 群は三つの根へ推移的に作用するため、その位数は33で割り切れる。したがって Galois 群はA3≅C3A_3\cong C_3である。これは可解群なので、定理 2.1によりffは根基によって可解である。三つの根がすべて実数であっても、根基表示の途中では原始三乗根を添加する必要がある場合がある。

3 分解体の忠実な線形表現

L/KL/Kをffの分解体、G=Gal⁡(L/K)G=\operatorname{Gal}(L/K)、d=[L:K]d=[L:K]とする。各σ∈G\sigma\in GはLLのKK-線形自己同型である。

命題 3.1.LLのKK-基底B\mathcal Bを選ぶと、作用の行列表現

ρB:G⟶GL⁡d(K)\rho_{\mathcal B}:G\longrightarrow\GL_d(K)

は忠実であり、像は有限群である。別の基底B′\mathcal B'への基底変換行列をPPとすると

ρB′(σ)=P−1ρB(σ)P\rho_{\mathcal B'}(\sigma)=P^{-1}\rho_{\mathcal B}(\sigma)P

がすべてのσ∈G\sigma\in Gについて成り立つ。とくに像の可解性は基底の選択に依存せず、ffが根基によって可解であることとρB(G)\rho_{\mathcal B}(G)が可解群であることは同値である。

証明.ρB(σ)\rho_{\mathcal B}(\sigma)が恒等行列ならσ\sigmaは基底の各元を固定し、KK-線形性によってLLの全元を固定する。ゆえにσ=1\sigma=1であり、表現は忠実である。GGは有限群なので像も有限である。

線形写像の行列に対する基底変換公式から共役の式を得る。共役写像A↦P−1APA\mapsto P^{-1}APは群同型であり、導来列の自然性§E7.22 補題 3.1により可解性を保つ。最後の同値はG≅ρB(G)G\cong\rho_{\mathcal B}(G)と定理 2.1から従う。▨

可解な有限行列群が常に同時上三角化可能であるわけではない。標数00の代数閉体上の有限像の場合には、同時上三角化可能性は可解性より強く、可換性と同値になる。

定理 3.2.Ω\Omegaを標数00の代数閉体、VVを有限次元Ω\Omega-ベクトル空間とし、Γ≤GL⁡(V)\Gamma\le\GL(V)を有限部分群とする。次の三条件は同値である。

  1. VVのある基底についてΓ\Gammaの全元が上三角行列になる。
  2. VVのある基底についてΓ\Gammaの全元が対角行列になる。
  3. Γ\Gammaはアーベル群である。

証明.(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。

(1)⇒\Rightarrow(3)を示す。(1)を仮定し、全元を上三角行列として表す。対角成分を取る写像

δ:Γ⟶(Ω×)dim⁡V\delta:\Gamma\longrightarrow(\Omega^\times)^{\dim V}

は群準同型である。ker⁡δ\ker\deltaの元は上三角なユニポテント行列である。U∈ker⁡δU\in\ker\deltaの位数をmmとすると、UUの最小多項式は(x−1)dim⁡V(x-1)^{\dim V}とxm−1x^m-1の両方を割る。標数00ではxm−1x^m-1に重根がないため、両多項式の最大公約因子はx−1x-1である。したがってU=IU=Iであり、δ\deltaは単射である。終域はアーベル群なのでΓ\Gammaもアーベル群であり、(3)を得る。

(3)⇒\Rightarrow(2)を示す。(3)を仮定する。各g∈Γg\in\Gammaは有限位数なので、その最小多項式はあるxm−1x^m-1を割る。Ω\Omegaは代数閉体で標数00であるからxm−1x^m-1は相異なる一次因子の積であり、ggは対角化可能である。すべての元がスカラー行列なら任意の基底を取ればよい。そうでなければ、二つ以上の固有値をもつg∈Γg\in\Gammaを一つ取る。ggの各固有空間は、Γ\Gammaの可換性によって他の全元で保たれる。また、各h∈Γh\in\Gammaの固有空間射影はhhの多項式であるため、hhの制限も各gg-固有空間上で対角化可能である。各gg-固有空間はVVより小さいので、次元に関する帰納法を適用し、それぞれに共通固有基底を取る。それらを合わせるとΓ\Gammaの全元に共通する固有ベクトルからなる基底を得る。したがって(2)が成り立つ。▨

命題 3.3.L/KL/Kを有限アーベル Galois 拡大とし、G=Gal⁡(L/K)G=\operatorname{Gal}(L/K)の指数がnnを割るとする。μn⊂K\mu_n\subset Kと仮定し、§E8.21 定理 3.4でLLに対応する有限部分群をB≤K×/K×nB\le K^\times/K^{\times n}とする。各[b]∈B[b]\in Bに対してβbn=b\beta_b^n=bかつβb∈L\beta_b\in Lとなる根を選ぶ。このとき

κb:G⟶μn,κb(σ)=σ(βb)βb\kappa_b:G\longrightarrow\mu_n,\qquad \kappa_b(\sigma)=\frac{\sigma(\beta_b)}{\beta_b}

は指標であり、[b]↦κb[b]\mapsto\kappa_bは同型

B→∼Hom⁡(G,μn)B\xrightarrow{\sim}\operatorname{Hom}(G,\mu_n)

を与える。さらに(βb)[b]∈B(\beta_b)_{[b]\in B}はLLのKK-基底であり、この基底でGGの忠実表現は Kummer 指標を対角成分とする対角表現になる。

証明. 指標の定義と同型は Kummer 分類の写像および Kummer 対の完全性§E8.21 定理 3.3そのものである。とくに

σ(βb)=κb(σ)βb\sigma(\beta_b)=\kappa_b(\sigma)\beta_b

なのでβb\beta_bは指標κb\kappa_bに属する共通固有ベクトルである。

相異なる指標に属する非零の共通固有ベクトルは線形独立である。実際、最短の非自明な関係∑j=1tcjvj=0\sum_{j=1}^t c_jv_j=0が存在すると仮定する。χ1≠χt\chi_1\ne\chi_tを分離するσ∈G\sigma\in Gを選び、元の関係へσ\sigmaを作用させた式からχt(σ)\chi_t(\sigma)倍した元の関係を引くと、vtv_tの項が消えたより短い非自明な関係を得て矛盾する。

§E8.21 定理 3.3により∣B∣=[L:K]|B|=[L:K]である。したがって∣B∣|B|個の元βb\beta_bは線形独立で、LLのKK-基底になる。この基底に関する行列の[b][b]で添字付けられた対角成分はκb(σ)\kappa_b(\sigma)である。▨

4 Galois 群がS5S_5となる五次方程式

定理 4.1.

f=x5−4x+2∈Q[x]f=x^5-4x+2\in\Q[x]

の分解体をLLとすると

Gal⁡(L/Q)≅S5\operatorname{Gal}(L/\Q)\cong S_5

である。したがってffは根基によって可解でない。

証明.ffは素数22に関する Eisenstein の判定法§E6.46 命題 8.1の仮定を満たす。実際、首項係数は22で割れず、他の係数はすべて22で割れ、定数項22は44で割れない。したがってffはQ\Q上既約である。

G=Gal⁡(L/Q)G=\operatorname{Gal}(L/\Q)を五つの根への忠実な置換作用によってS5S_5の部分群とみなす。既約性により作用は推移的である。実際、根α\alphaの安定化群はGal⁡(L/Q(α))\operatorname{Gal}(L/\Q(\alpha))であり、Galois 対応から軌道の大きさは

[G:Stab⁡G(α)]=[Q(α):Q]=5[G:\Stab[G]{\alpha}]=[\Q(\alpha):\Q]=5

である。ゆえに55は∣G∣|G|を割る。Cauchy の定理§E7.13 定理 8.1によりGGは位数55の元を含み、その元はS5S_5では五巡回置換である。

次に複素共役が互換を与えることを示す。a=(4/5)1/4a=(4/5)^{1/4}とおくと、実軸上で

f′(x)=5x4−4f'(x)=5x^4-4

はx=±ax=\pm aだけで零になる。また

f(−a)=2+16a5>0,f(a)=2−16a5<0f(-a)=2+\frac{16a}{5}>0, \qquad f(a)=2-\frac{16a}{5}<0

である。第二の不等式はa>5/8a>5/8から従い、この不等式はa4=4/5>(5/8)4a^4=4/5>(5/8)^4から従う。導関数の符号とx→±∞x\to\pm\inftyにおけるf(x)f(x)の符号を合わせると、ffは区間(−∞,−a)(-\infty,-a)、(−a,a)(-a,a)、(a,∞)(a,\infty)のそれぞれにちょうど一つの実根をもつ。残る二根は互いに複素共役な非実根である。したがって複素共役は三つの実根を固定し、二つの非実根を交換するGGの互換である。

c∈Gc\in Gを五巡回置換、τ∈G\tau\in Gを互換とする。頂点をZ/5Z\Z/5\Zと同一視し、ccをx↦x+1x\mapsto x+1と書く。τ\tauがuuとvvを交換するなら、共役ckτc−kc^k\tau c^{-k}はu+ku+kとv+kv+kを交換する。差v−uv-uは55を法として非零なので、これら五本の辺からなるグラフは連結である。連結グラフの任意の二頂点を結ぶ道を取り、道の辺の互換を順に共役すると両端を交換する互換が得られる。したがって辺に対応する互換はすべての互換を生成し、⟨c,τ⟩=S5\langle c,\tau\rangle=S_5である。ゆえにG=S5G=S_5となる。

§E7.22 例 6.2によりS5S_5は可解群でない。定理 2.1からffは根基によって可解でない。▨

系 4.2 (Abel–Ruffini の定理). すべての五次方程式の根を、その係数から四則演算と根基の有限回の適用によって与える一般公式は存在しない。

証明. そのような一般公式が存在すれば、係数をx5−4x+2x^5-4x+2の係数へ特殊化することにより、この多項式は根基によって可解になる。これは定理 4.1に反する。▨

5 演習

問題 5.1 (根基による可解性).

  1. α=1+2∈R\alpha=\sqrt{1+\sqrt2}\in\Rとし、根基塔Q⊆Q(2)⊆Q(α)\Q\subseteq\Q(\sqrt2)\subseteq\Q(\alpha)を考える。α\alphaのQ\Q上の最小多項式ffを求め、Q(α)/Q\Q(\alpha)/\Qが正規拡大でないことを示せ。さらに、ffのC\Cにおける分解体MMがQ(α,i)\Q(\alpha,i)に等しく[M:Q]=8[M:\Q]=8であること、Gal⁡(M/Q)\operatorname{Gal}(M/\Q)が可解群であること、およびMMも根基塔によって得られることを示せ。
  2. ζ7=e2πi/7\zeta_7=e^{2\pi i/7}、L=Q(ζ7+ζ7−1)L=\Q(\zeta_7+\zeta_7^{-1})とし、ω\omegaを11の原始三乗根とする。L/QL/\Qが次数33の巡回 Galois 拡大であり、L=Q(η)L=\Q(\eta)かつη3∈Q\eta^3\in\Qを満たすη\etaが存在しないことを示せ。また、L(ω)=Q(ω)(β)L(\omega)=\Q(\omega)(\beta)かつβ3∈Q(ω)\beta^3\in\Q(\omega)を満たすβ\betaが存在することを、Kummer 理論から示せ。
  3. 標数00の有限ユニポテント群が自明であることを、最小多項式を用いず二項展開から証明せよ。
  4. x5−4x+2x^5-4x+2の三つの実根が存在する各区間を図示し、複素共役の巡回型を求めよ。
  5. 非可換な有限可解群の忠実表現が、標数00の代数閉体上でも同時上三角化されない理由を説明せよ。
解答.
  1. α2=1+2\alpha^2=1+\sqrt2であるから(α2−1)2=2(\alpha^2-1)^2=2であり、α\alphaはf=x4−2x2−1f=x^4-2x^2-1の根である。β=1−2\beta=\sqrt{1-\sqrt2}をαβ=i\alpha\beta=iを満たすように選ぶ。実際(αβ)2=(1+2)(1−2)=−1(\alpha\beta)^2=(1+\sqrt2)(1-\sqrt2)=-1であるから、β\betaの符号を選んでこの等式を満たすことができる。ffの根は±α\pm\alpha、±β\pm\betaである。ffがQ[x]\Q[x]で既約であることを示す。根はいずれも有理数でない。実際、根rrが有理数ならばr2=1±2r^2=1\pm\sqrt2が有理数になる。モニックな二次因子がQ[x]\Q[x]にあれば、その定数項は二つの根の積であるが、可能な積は−α2=−(1+2)-\alpha^2=-(1+\sqrt2)、−β2=−(1−2)-\beta^2=-(1-\sqrt2)、±αβ=±i\pm\alpha\beta=\pm iのいずれかであり、どれも有理数でない。したがってffは既約であり、α\alphaの最小多項式であって、[Q(α):Q]=4[\Q(\alpha):\Q]=4である。Q(α)⊆R\Q(\alpha)\subseteq\Rであるが、β2=1−2<0\beta^2=1-\sqrt2<0であるからβ∉R\beta\notin\Rであり、ffはQ(α)[x]\Q(\alpha)[x]で一次式の積に分解しない。§E8.10 定理 3.1 (4)の分解の条件が成り立たないので、Q(α)/Q\Q(\alpha)/\Qは正規拡大でない。M=Q(±α,±β)=Q(α,β)M=\Q(\pm\alpha,\pm\beta)=\Q(\alpha,\beta)である。i=αβ∈Mi=\alpha\beta\in Mであり、β=i/α∈Q(α,i)\beta=i/\alpha\in\Q(\alpha,i)であるからM=Q(α,i)M=\Q(\alpha,i)である。i∉R⊇Q(α)i\notin\R\supseteq\Q(\alpha)かつi2=−1i^2=-1であるから[M:Q(α)]=2[M:\Q(\alpha)]=2であり、§E8.1 定理 2.1により[M:Q]=8[M:\Q]=8である。MMは分離多項式ffの分解体であるからQ\Q上 Galois 拡大であり、G=Gal⁡(M/Q)G=\operatorname{Gal}(M/\Q)の位数は88である。2=α2−1∈M\sqrt2=\alpha^2-1\in Mであるから、塔Q=E0⊆E1=Q(i)⊆E2=Q(i,2)⊆E3=Q(i,2,α)=M\Q=E_0\subseteq E_1=\Q(i)\subseteq E_2=\Q(i,\sqrt2)\subseteq E_3=\Q(i,\sqrt2,\alpha)=Mを取ることができる。添加する元はそれぞれi2=−1∈Qi^2=-1\in\Q、(2)2=2(\sqrt2)^2=2、α2=1+2∈E2\alpha^2=1+\sqrt2\in E_2を満たすので、MMは根基塔によって得られる。各段は平方根の添加であるから次数は22以下であり、§E8.1 定理 2.1により各段の次数の積は[M:Q]=8[M:\Q]=8であるので、各段の次数はちょうど22である。Hj=Gal⁡(M/Ej)H_j=\operatorname{Gal}(M/E_j)（j=0,1,2,3j=0,1,2,3）とおくと、§E8.10 定理 4.1によりG=H0≥H1≥H2≥H3={1}G=H_0\ge H_1\ge H_2\ge H_3=\{1\}であり、∣Hj∣=[M:Ej]=23−j|H_j|=[M:E_j]=2^{3-j}であるから、各Hj+1H_{j+1}はHjH_jの指数22の部分群である。§E7.7 命題 3.1によりHj+1⊴HjH_{j+1}\trianglelefteq H_jであり、商Hj/Hj+1H_j/H_{j+1}は位数22の群であるからアーベル群である。したがってG▹H1▹H2▹{1}G\triangleright H_1\triangleright H_2\triangleright\{1\}はアーベル因子をもつ正規列であり、§E7.22 定理 2.3によりGGは可解群である。
  2. §E8.20 定理 2.4によりGal⁡(Q(ζ7)/Q)≅(Z/7Z)×\operatorname{Gal}(\Q(\zeta_7)/\Q)\cong(\Z/7\Z)^\timesであり、これは位数66のアーベル群である。§E8.20 例 3.2によりLLは複素共役σ−1\sigma_{-1}の固定体であり、[L:Q]=φ(7)/2=3[L:\Q]=\varphi(7)/2=3である。アーベル群の部分群{σ1,σ−1}\{\sigma_1,\sigma_{-1}\}は正規であるから、§E8.10 定理 4.1によりL/QL/\Qは Galois 拡大であり、その Galois 群は位数33の群、したがって巡回群である。L=Q(η)L=\Q(\eta)かつη3=a∈Q\eta^3=a\in\Qを満たすη\etaがあると仮定する。[L:Q]=3[L:\Q]=3であるからη∉Q\eta\notin\Qであり、η\etaの最小多項式はx3−ax^3-aを割る次数33のモニック多項式、すなわちx3−ax^3-aである。§E8.10 定理 3.1 (4)によりx3−ax^3-aはL[x]L[x]で一次式の積に分解するので、その根ηω\eta\omegaはLLに属し、ω=ηω/η∈L\omega=\eta\omega/\eta\in Lである。しかしζ7+ζ7−1=2cos⁡(2π/7)\zeta_7+\zeta_7^{-1}=2\cos(2\pi/7)は実数であるからL⊆RL\subseteq\Rであり、ω∉R\omega\notin\Rであるので矛盾する。したがってそのようなη\etaは存在しない。次にK′=Q(ω)K'=\Q(\omega)とおく。ω∉L\omega\notin LであるからL(ω)≠LL(\omega)\ne Lであり、[L(ω):Q][L(\omega):\Q]は[L:Q]=3[L:\Q]=3と[K′:Q]=2[K':\Q]=2で割り切れ、66以下であるから66に等しい。したがって[L(ω):K′]=3[L(\omega):K']=3である。ζ7+ζ7−1\zeta_7+\zeta_7^{-1}のQ\Q上の最小多項式はL[x]L[x]で一次式の積に分解するので、L(ω)L(\omega)はその多項式のK′K'上の分解体であり、L(ω)/K′L(\omega)/K'は位数33の Galois 群をもつ Galois 拡大である。この群は巡回群であり、指数は33を割る。μ3⊂K′\mu_3\subset K'であり、標数00は33を割らないので、§E8.21 定理 3.4によりある有限部分群B≤K′×/K′×3B\le K'^\times/K'^{\times3}についてL(ω)=LBL(\omega)=L_Bであり、§E8.21 定理 3.3により∣B∣=3|B|=3である。B={1,[b],[b]2}B=\{1,[b],[b]^2\}とすると、β3=b\beta^3=bを満たすβ\betaについてβ2\beta^2はb2b^2の三乗根であり、b2b^2の三乗根はすべてμ3β2⊆K′(β)\mu_3\beta^2\subseteq K'(\beta)に属する。したがってL(ω)=LB=K′(β)L(\omega)=L_B=K'(\beta)であり、β3=b∈K′\beta^3=b\in K'である。
  3. VVを有限次元線形空間、U∈GL⁡(V)U \in \GL(V)をユニポテント、すなわちN=U−IN = U - Iが冪零な元とし、UUは有限位数m≥1m \ge 1をもつとする。N≠0N \ne 0と仮定し、Nr≠0N^r \ne 0を満たす最大のr≥1r \ge 1を取る。このときNr+1=0N^{r+1} = 0である。IIとNNは可換であるから二項展開を用いることができ、 I=Um=(I+N)m=∑k=0m(mk)Nk=I+mN+∑k=2m(mk)NkI = U^m = (I + N)^m = \sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} N^k = I + mN + \sum_{k=2}^{m} \binom{m}{k} N^k である。両辺からIIを引き、右からNr−1N^{r-1}を掛けると、k≥2k \ge 2の項はNk+r−1N^{k + r - 1}、k+r−1≥r+1k + r - 1 \ge r + 1を含むので零になり、 0=mNr0 = m N^r を得る。標数00ではm1≠0m 1 \ne 0であるからNr=0N^r = 0となり、rrの取り方に反する。したがってN=0N = 0、すなわちU=IU = Iである。有限群の元はすべて有限位数であるから、標数00の体上の有限なユニポテント行列群、とくに定理 3.2の証明のker⁡δ\ker\deltaは自明である。
  4. f(x)=x5−4x+2f(x) = x^5 - 4x + 2の値の符号を整数点で調べると次のとおりである。 x−2−1012f(x)−2252−126符号負正正負正\begin{array}{c|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & -22 & 5 & 2 & -1 & 26 \\ \text{符号} & \text{負} & \text{正} & \text{正} & \text{負} & \text{正} \end{array} ffは連続であるから、§E2.43 系 2.3により、区間(−2,−1)(-2, -1)、(0,1)(0, 1)、(1,2)(1, 2)のそれぞれに実根が存在する。定理 4.1の証明により、a=(4/5)1/4a = (4/5)^{1/4}についてffは(−∞,−a)(-\infty, -a)で増加、(−a,a)(-a, a)で減少、(a,∞)(a, \infty)で増加し、各区間にちょうど一つの実根をもつ。5/8<a<15/8 < a < 1であるから(−2,−1)⊂(−∞,−a)(-2, -1) \subset (-\infty, -a)かつ(1,2)⊂(a,∞)(1, 2) \subset (a, \infty)である。ffは(a,∞)(a, \infty)で増加しf(1)<0f(1) < 0であるから、(a,1](a, 1]ではf<0f < 0であり、(0,1)(0, 1)の根は(0,a)(0, a)に属する。したがって三つの実根は、(−2,−1)(-2, -1)、(0,a)(0, a)、(1,2)(1, 2)に一つずつある。残る二根は非実数であり、互いに複素共役である。複素共役は三つの実根を固定し、二つの非実根を交換するので、五つの根の置換としての巡回型は(2,1,1,1)(2, 1, 1, 1)、すなわち互換である。
  5. GGを非可換な有限可解群、Ω\Omegaを標数00の代数閉体、ρ:G→GL⁡(V)\rho : G \to \GL(V)を有限次元Ω\Omega-線形空間VV上の忠実表現とする。ρ\rhoは単射であるから、像Γ=ρ(G)\Gamma = \rho(G)はGGと同型な有限部分群であり、非可換である。定理 3.2により、Γ\Gammaがある基底で同時上三角化されることとΓ\Gammaが可換であることは同値である。したがってΓ\Gammaは同時上三角化されない。理由は、上三角化されたとすると対角成分を取る準同型δ\deltaの核が有限なユニポテント群になり、(3)で扱った事実により自明となって、Γ\Gammaが可換群(Ω×)dim⁡V(\Omega^\times)^{\dim V}に埋め込まれるからである。GGが可解であることはこの議論で何の役割も果たさない。たとえば可解かつ非可換なS3S_3の、座標の置換によるΩ3\Omega^3上の表現は忠実であるが、同時上三角化されない。問題の標数00の仮定は必要である。標数p>0p > 0では、Fp\mathbb F_p成分の33次上三角ユニポテント行列の全体が、上三角行列からなる非可換な有限群である。

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参考文献

  1. Serge Lang, Algebra, revised 3 ed., Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 2002.
  2. David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004.

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