Lebesgue 積分 | 測度と積分

1 非負可測関数の積分

定義 1.1. $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とし、 $f:X\to[0,\infty]$ を拡張実数値可測関数とする。 $f$ の Lebesgue 積分 (Lebesgue integral of a nonnegative measurable function) を

\int_X f\,d\mu =\sup\left\{\int_X\varphi\,d\mu\ \middle|\ \varphi\text{ は非負単関数であり }0\leq\varphi\leq f\right\}

によって定める。上限は $[0,\infty]$ においてとる。

命題 1.2. $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とし、 $f,g:X\to[0,\infty]$ を拡張実数値可測関数とする。このとき、すべての $x\in X$ に対して $f(x)\leq g(x)$ が成り立つならば、

\int_X f\,d\mu\leq\int_X g\,d\mu

が成り立つ。

証明. $0\leq\varphi\leq f$ を満たす任意の非負単関数 $\varphi$ は $0\leq\varphi\leq g$ も満たす。したがって、定義 1.1で $f$ に対して上限をとる集合は、 $g$ に対して上限をとる集合に含まれる。ゆえに、

\int_X f\,d\mu\leq\int_X g\,d\mu

が成り立つ。▨

命題 1.3. $(X,\mathcal F,\mu)$ を測度空間とし、 $f:X\to[0,\infty]$ を可測関数、 $t$ を $0<t<\infty$ を満たす実数とする。このとき、

t\mu(\{x\in X\mid f(x)\geq t\})\leq\int_Xf\,d\mu

が成り立つ。

証明. $E=\{f\geq t\}$ は可測であり、非負単関数 $t\mathbf1_E$ は $t\mathbf1_E\leq f$ を満たす。積分の定義と単関数積分の公式により、 $t\mu(E)=\int_Xt\mathbf1_E\,d\mu\leq\int_Xf\,d\mu$ である。▨

補題 1.4. $(X,\mathcal F,\mu)$ を測度空間とし、 $s$ を非負単関数、 $s_n$ を非負単関数の増加列とする。このとき、点ごとに $s\leq\sup_ns_n$ ならば、

\int_Xs\,d\mu\leq\sup_n\int_Xs_n\,d\mu

である。

証明. $t_n=\min(s,s_n)$ は非負単関数であり、 $t_n\uparrow s$ である。§E10.8 命題 6.1と§E10.8 命題 5.4から

\int_Xs\,d\mu=\sup_n\int_Xt_n\,d\mu\leq\sup_n\int_Xs_n\,d\mu

を得る。▨

補題 1.5. $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とし、 $f:X\to[0,\infty]$ を拡張実数値可測関数とする。このとき、非負単関数の列 $(\varphi_n)_{n\geq1}$ が、任意の $x\in X$ に対して

\varphi_n(x)\leq\varphi_{n+1}(x), \qquad \lim_{n\to\infty}\varphi_n(x)=f(x)

を満たすならば、

\int_X f\,d\mu =\lim_{n\to\infty}\int_X\varphi_n\,d\mu

が $[0,\infty]$ において成り立つ。

証明. $L=\sup_n\int_X\varphi_n\,d\mu$ とおく。 $\varphi_n\leq f$ であるから、積分の定義により $L\leq\int_Xf\,d\mu$ である。任意の非負単関数 $s\leq f$ に対して補題 1.4を適用すると、 $\int_Xs\,d\mu\leq L$ である。このような $s$ 全体について上限をとれば、 $\int_Xf\,d\mu\leq L$ を得る。▨

定理 1.6. $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とし、 $f,g:X\to[0,\infty]$ を拡張実数値可測関数とする。このとき、任意の $a,b\in[0,\infty)$ に対して、

\int_X(af+bg)\,d\mu =a\int_Xf\,d\mu+b\int_Xg\,d\mu

が成り立つ。関数の値と積分値の演算の双方で $0\cdot\infty=0$ とする。

証明.§E10.7 命題 6.1により $af+bg$ は可測である。§E10.7 定理 7.3により非負単関数列 $\varphi_n\uparrow f$ と $\psi_n\uparrow g$ をとる。 $a\varphi_n+b\psi_n\uparrow af+bg$ である。係数が 0 の場合は対応する項が常に 0 であり、正の有限係数の場合は拡張非負実数の増加極限と乗法が交換する。補題 1.5と§E10.8 命題 5.3から

\begin{aligned} \int_X(af+bg)\,d\mu &=\lim_n\int_X(a\varphi_n+b\psi_n)\,d\mu\\ &=\lim_n\left(a\int_X\varphi_n\,d\mu+b\int_X\psi_n\,d\mu\right)\\ &=a\int_Xf\,d\mu+b\int_Xg\,d\mu \end{aligned}

を得る。最後の等号は、有限個の非負増加列の和の極限が各極限の和に等しいことによる。一つの極限が無限ならばその項が任意の有限値を超え、すべてが有限ならば通常の有限和の極限を用いる。▨

2 可積分な実数値関数と複素数値関数

定義 2.1. $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とする。

実数値関数 $f:X\to\R$ の正部分と負部分を、それぞれ

f^+=\max\{f,0\}, \qquad f^-=\max\{-f,0\}

と書く。このとき、

f=f^+-f^-, \qquad |f|=f^++f^-, \qquad f^+f^-=0

が点ごとに成り立つ。

有限実数値可測関数 $f:X\to\R$ が可積分 (integrable real-valued function) であるとは、

\int_X|f|\,d\mu<\infty

が成り立つことをいう。このとき、

\int_Xf\,d\mu =\int_Xf^+\,d\mu-\int_Xf^-\,d\mu

と定める。

複素数値可測関数 $h:X\to\C$ が可積分 (integrable complex-valued function) であるとは、

\int_X|h|\,d\mu<\infty

が成り立つことをいう。このとき、

\int_Xh\,d\mu =\int_X\Re h\,d\mu +i\int_X\Im h\,d\mu

と定める。

命題 2.2. 測度空間 $(X,\mathcal F,\mu)$ の有限実数値可測関数 $f$ が可積分であることと、 $f^+$ と $f^-$ の積分がともに有限であることは同値である。複素数値可測関数 $h$ が可積分であることと、 $\Re h$ と $\Im h$ がともに可積分であることは同値である。

証明. 実数値可測関数 $f$ について、定理 1.6から

\int_X|f|\,d\mu =\int_Xf^+\,d\mu+\int_Xf^-\,d\mu

が成り立つ。したがって、 $f$ が可積分であることは、 $\int_Xf^+\,d\mu$ と $\int_Xf^-\,d\mu$ がともに有限であることと同値である。この有限性により、実関数の積分の定義に未定義な $\infty-\infty$ は現れない。

複素数値可測関数 $h$ については、 $\Re h$ と $\Im h$ が可測であり、絶対値も可測である。実際、絶対値写像 $\C\to\R$ は連続であるから、§E10.7 命題 1.3と§E10.7 命題 1.2を順に適用する。さらに、

|\Re h|\leq|h|, \qquad |\Im h|\leq|h|

であるから、 $h$ が可積分ならば実部と虚部も可積分である。逆に、実部と虚部が可積分ならば $|h|\leq|\Re h|+|\Im h|$ であるため、

\int_X|h|\,d\mu \leq\int_X|\Re h|\,d\mu+\int_X|\Im h|\,d\mu<\infty

となり、 $h$ も可積分である。▨

定理 2.3. $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とする。このとき、次が成り立つ。

$f,g:X\to\R$ が可積分であり、 $a,b\in\R$ であるならば、 $af+bg$ は可積分であり、 $\int_X(af+bg)\,d\mu =a\int_Xf\,d\mu+b\int_Xg\,d\mu$ が成り立つ。
$h,k:X\to\C$ が可積分であり、 $\alpha,\beta\in\C$ であるならば、 $\alpha h+\beta k$ は可積分であり、 $\int_X(\alpha h+\beta k)\,d\mu =\alpha\int_Xh\,d\mu+\beta\int_Xk\,d\mu$ が成り立つ。

証明.§E10.7 命題 4.1により、 $af+bg$ は有限実数値可測関数である。三角不等式、命題 1.2、および定理 1.6から

\int_X|af+bg|\,d\mu \leq |a|\int_X|f|\,d\mu+|b|\int_X|g|\,d\mu<\infty

である。したがって、 $af+bg$ は可積分である。

$u=f+g$ とおく。点ごとに

u^++f^-+g^-=u^-+f^++g^+

が成り立つ。実際、 $u=u^+-u^-=f^+-f^-+g^+-g^-$ の両辺で項を移せば、この等式を得る。各項の積分は有限であるから、定理 1.6を適用して有限な実数の等式

\int_Xu^+\,d\mu+\int_Xf^-\,d\mu+\int_Xg^-\,d\mu =\int_Xu^-\,d\mu+\int_Xf^+\,d\mu+\int_Xg^+\,d\mu

を得る。有限な項を移項すると、

\int_X(f+g)\,d\mu=\int_Xf\,d\mu+\int_Xg\,d\mu

が成り立つ。

$a\geq0$ ならば $(af)^+=af^+$ かつ $(af)^-=af^-$ である。 $a<0$ ならば $(af)^+=(-a)f^-$ かつ $(af)^-=(-a)f^+$ である。定理 1.6と実関数の積分の定義により、いずれの場合にも

\int_Xaf\,d\mu=a\int_Xf\,d\mu

が成り立つ。加法性とスカラー倍の等式を $af$ と $bg$ に適用すると、主張 (1)を得る。

$\alpha=p+iq$ 、 $\beta=r+is$ とおき、 $h=u+iv$ 、 $k=w+iz$ と書く。 $p,q,r,s$ は実数であり、命題 2.2により $u,v,w,z$ は可積分な実数値関数である。

\Re(\alpha h+\beta k)=pu-qv+rw-sz,\qquad \Im(\alpha h+\beta k)=qu+pv+sw+rz

であるから、主張 (1)により両成分は可積分である。§E10.7 定理 8.1と命題 2.2により、 $\alpha h+\beta k$ は可測かつ可積分である。

複素関数の加法性は

\Re(h+k)=\Re h+\Re k, \qquad \Im(h+k)=\Im h+\Im k

と、すでに証明した実関数の加法性から従う。複素数 $\alpha=p+iq$ と複素関数 $h=u+iv$ に対して、

\Re(\alpha h)=pu-qv, \qquad \Im(\alpha h)=qu+pv

である。実関数の線形性により、

\begin{aligned} \int_X\alpha h\,d\mu &=\int_X(pu-qv)\,d\mu+i\int_X(qu+pv)\,d\mu\\ &=(p+iq)\left(\int_Xu\,d\mu+i\int_Xv\,d\mu\right)\\ &=\alpha\int_Xh\,d\mu. \end{aligned}

複素関数の加法性と複素スカラー倍の等式を $\alpha h$ と $\beta k$ に適用すると、主張 (2)を得る。▨

命題 2.4. $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とし、 $f,g:X\to\R$ を可積分な実数値関数とする。このとき、すべての $x\in X$ に対して $f(x)\leq g(x)$ が成り立つならば、

\int_Xf\,d\mu\leq\int_Xg\,d\mu

が成り立つ。

証明. $g-f$ は定理 2.3 (1)により可積分であり、仮定から非負である。したがって、正部分は $g-f$ 、負部分は $0$ であり、実関数としての積分は非負関数としての積分と一致するため、

0\leq\int_X(g-f)\,d\mu.

定理 2.3により、

\int_X(g-f)\,d\mu=\int_Xg\,d\mu-\int_Xf\,d\mu

である。ゆえに、 $\int_Xf\,d\mu\leq\int_Xg\,d\mu$ が成り立つ。▨

補題 2.5. $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とし、 $u:X\to\R$ または $u:X\to\C$ を可積分関数とする。このとき、

\left|\int_Xu\,d\mu\right| \leq\int_X|u|\,d\mu

が成り立つ。

証明. $u$ が実数値関数ならば、 $-|u|\leq u\leq|u|$ が点ごとに成り立つ。命題 2.4を二度適用すると、

-\int_X|u|\,d\mu \leq\int_Xu\,d\mu \leq\int_X|u|\,d\mu

を得る。したがって、主張が成り立つ。

$u$ が複素数値関数ならば $I=\int_Xu\,d\mu$ とおく。 $I=0$ ならば、左辺は $0$ であり、右辺は非負であるから主張が成り立つ。 $I\neq0$ ならば

\alpha=\frac{\overline{I}}{|I|}

とおく。 $|\alpha|=1$ であり、定理 2.3と複素積分の定義から

|I| =\Re(\alpha I) =\int_X\Re(\alpha u)\,d\mu

である。点ごとに $\Re(\alpha u)\leq|\alpha u|=|u|$ が成り立つため、命題 2.4により

|I|\leq\int_X|u|\,d\mu

を得る。▨

3 零集合とほとんど至る所での一致

補題 3.1. $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とし、 $Z\in\mathcal{F}$ が $\mu(Z)=0$ を満たすとする。このとき、 $u:X\to[0,\infty]$ が拡張実数値可測関数であり、すべての $x\in X\setminus Z$ に対して $u(x)=0$ が成り立つならば、

\int_Xu\,d\mu=0

が成り立つ。

証明. $0\leq\varphi\leq u$ を満たす任意の非負単関数 $\varphi$ をとる。 $\varphi$ の正の相異なる値を $c_1,\dots,c_k$ とし、 $A_i=\{\varphi=c_i\}$ とおく。 $x\in X\setminus Z$ では $0\leq\varphi(x)\leq u(x)=0$ であるから、 $A_i\subseteq Z$ である。各 $A_i$ は可測であり、測度の単調性から $0\leq\mu(A_i)\leq\mu(Z)=0$ である。したがって、

\int_X\varphi\,d\mu=\sum_{i=1}^{k}c_i\mu(A_i)=0.

$\varphi$ が値 $0$ をとる集合の測度が $\infty$ であっても、値 $0$ に対応する項は $0\cdot\infty=0$ である。定義 1.1で、 $u$ 以下のすべての非負単関数について上限をとると、 $\int_Xu\,d\mu=0$ を得る。▨

定理 3.2. $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とし、 $Z\in\mathcal{F}$ が $\mu(Z)=0$ を満たすとする。このとき、次が成り立つ。

$f,g:X\to[0,\infty]$ が拡張実数値可測関数であり、すべての $x\in X\setminus Z$ に対して $f(x)=g(x)$ が成り立つならば、 $\int_Xf\,d\mu=\int_Xg\,d\mu$ が成り立つ。
$f,g:X\to\R$ が可測であり、すべての $x\in X\setminus Z$ に対して $f(x)=g(x)$ が成り立つならば、 $f$ と $g$ の可積分性は同値である。可積分である場合には、 $\int_Xf\,d\mu=\int_Xg\,d\mu$ が成り立つ。
$h,k:X\to\C$ が可測であり、すべての $x\in X\setminus Z$ に対して $h(x)=k(x)$ が成り立つならば、 $h$ と $k$ の可積分性は同値である。可積分である場合には、 $\int_Xh\,d\mu=\int_Xk\,d\mu$ が成り立つ。

証明. 非負可測関数 $f$ に対して、 $f_Z=f\mathbf1_Z$ 、 $f_{X\setminus Z}=f\mathbf1_{X\setminus Z}$ と定める。このとき、 $Z$ と $X\setminus Z$ の指示関数は非負可測関数であるから、§E10.7 補題 6.2により $f_Z$ と $f_{X\setminus Z}$ は可測である。点ごとに

f=f_Z+f_{X\setminus Z}

が成り立つ。補題 3.1と定理 1.6により、

\int_Xf\,d\mu =\int_Xf_Z\,d\mu+\int_Xf_{X\setminus Z}\,d\mu =\int_Xf_{X\setminus Z}\,d\mu.

$g$ についても同じ等式が成り立つ。仮定から $f_{X\setminus Z}=g_{X\setminus Z}$ であるため、主張 (1)を得る。

実数値関数の場合、非負版を $|f|$ と $|g|$ へ適用すると、絶対値の積分が一致するため、可積分性は同値である。可積分であり、 $f=g$ が $X\setminus Z$ 上で成り立つならば、 $f^+=g^+$ と $f^-=g^-$ も $X\setminus Z$ 上で成り立つ。主張 (1)を各正負部分へ適用すると、

\int_Xf^+\,d\mu=\int_Xg^+\,d\mu, \qquad \int_Xf^-\,d\mu=\int_Xg^-\,d\mu

を得る。すべての積分値は有限であるから、差をとることにより主張 (2)を得る。

複素数値関数の場合も、非負版を $|h|$ と $|k|$ へ適用して可積分性の同値を得る。可積分であり、 $h=k$ が $X\setminus Z$ 上で成り立つならば、実部どうしと虚部どうしも $X\setminus Z$ 上で一致する。主張 (2)を実部と虚部へ適用し、定義 2.1の複素積分の定義を用いると、主張 (3)を得る。▨

補題 3.3. $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とし、 $u,v:X\to[0,\infty]$ を非負可測関数とする。 $u\leq v$ が $\mu$ に関してほとんど至る所で成り立つとする。このとき、

\int_Xu\,d\mu\leq\int_Xv\,d\mu

が成り立つ。

証明. 非負可測関数 $w=\min\{u,v\}$ は $u$ とほとんど至る所で一致し、各点で $w\leq v$ を満たす。定理 3.2 (1)と命題 1.2により

\int_Xu\,d\mu=\int_Xw\,d\mu\leq\int_Xv\,d\mu

を得る。▨

命題 3.4. 測度空間 $(X,\mathcal F,\mu)$ の非負拡張実数値可測関数 $f$ について、 $\int_Xf\,d\mu=0$ であることと $f=0$ がほとんど至る所で成り立つことは同値である。

証明. $\int_Xf\,d\mu=0$ とする。 $E_n=\{f\geq1/n\}$ に命題 1.3を適用すると $n^{-1}\mu(E_n)\leq0$ である。したがって $\mu(E_n)=0$ であり、 $\{f>0\}=\bigcup_nE_n$ は可測零集合である。逆向きは補題 3.1による。▨

命題 3.5. 測度空間 $(X,\mathcal F,\mu)$ の非負拡張実数値可測関数 $f$ が $\int_Xf\,d\mu<\infty$ を満たすならば、 $f$ はほとんど至る所で有限である。可測零集合 $\{f=\infty\}$ 上で $f$ を 0 に変更すると、有限実数値可測関数が得られ、積分値は変わらない。

証明. $E=\{f=\infty\}$ は可測である。任意の整数 $m\geq1$ に対して、命題 1.3により $\mu(E)\leq\mu(\{f\geq m\})\leq m^{-1}\int_Xf\,d\mu$ である。 $m\to\infty$ として $\mu(E)=0$ を得る。 $E$ 上で 0 にした関数は、各半直線の逆像を $E$ と $X\setminus E$ に分けることにより可測である。修正後の関数と $f$ の積分値の一致は定理 3.2 (1)による。▨

命題 3.6. $(X,\mathcal F,\mu)$ を測度空間とし、 $\mathbb K$ を $\R$ または $\C$ とする。 $w:X\to\mathbb K$ を可積分関数とし、すべての $A\in\mathcal F$ に対して

\int_Xw\mathbf1_A\,d\mu=0

が成り立つと仮定する。このとき、 $w=0$ が $\mu$ に関してほとんど至る所で成り立つ。

証明. 任意の $A\in\mathcal F$ に対して $w\mathbf1_A$ は可測であり、 $|w\mathbf1_A|\leq|w|$ であるから可積分である。 $w$ が実数値の場合、 $A_+=\{w>0\}$ と $A_-=\{w<0\}$ は可測であり、 $w\mathbf1_{A_+}=w^+$ 、 $w\mathbf1_{A_-}=-w^-$ である。仮定と定理 2.3 (1)により $\int_Xw^+\,d\mu=\int_Xw^-\,d\mu=0$ を得る。命題 3.4により $w^+=w^-=0$ がほとんど至る所で成り立つので、 $w=0$ がほとんど至る所で成り立つ。

$w$ が複素数値の場合、実部と虚部は可積分であり、任意の $A\in\mathcal F$ に対して

\int_X(\Re w)\mathbf1_A\,d\mu =\Re\int_Xw\mathbf1_A\,d\mu=0, \qquad \int_X(\Im w)\mathbf1_A\,d\mu =\Im\int_Xw\mathbf1_A\,d\mu=0

である。実数値の場合の結論を実部と虚部へ適用すると、それぞれが可測零集合の外で 0 である。その二つの零集合の和の外で $w=0$ である。▨

例 3.7. $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間とし、 $Z\in\mathcal{F}$ が $\mu(Z)=0$ を満たすとする。このとき、任意の $c\in[0,\infty)$ に対して $c\mathbf{1}_Z$ は非負単関数であり、

\int_Xc\mathbf{1}_Z\,d\mu=c\mu(Z)=0

である。

4 制限と完備化に対する積分の整合性

命題 4.1. $(X,\mathcal F,\mu)$ を測度空間、 $A\in\mathcal F$ とする。このとき、 $\mathcal F|_A=\{A\cap E\mid E\in\mathcal F\}$ とし、 $B\in\mathcal F|_A$ に対して $(\mu|_A)(B)=\mu(B)$ とおくと、 $(A,\mathcal F|_A,\mu|_A)$ は測度空間である。非負拡張実数値可測関数 $f:A\to[0,\infty]$ を $X\setminus A$ 上で 0 に延長した関数を $f_0$ とすると、 $f_0$ は可測であり、

\int_A f\,d(\mu|_A)=\int_X f_0\,d\mu

である。有限実数値または複素数値の可測関数 $f$ についても、 $f$ の可積分性と $f_0$ の可積分性は同値であり、可積分である場合は同じ等式が成り立つ。

証明. $A\in\mathcal F$ であるから、 $\mathcal F|_A$ の元はすべて $\mathcal F$ に属する。 $\mathcal F|_A$ は $A$ を全体集合とする σ-加法族であり、 $\mu$ の可算加法性はその制限にも成り立つ。 $f_0$ の Borel 集合の逆像は、 $A$ 内の $f$ の逆像と、値 0 がその集合に属する場合の $X\setminus A$ との和であるため、 $f_0$ は可測である。非負単関数 $s=\sum_i c_i\mathbf1_{B_i}$ （ $B_i\in\mathcal F|_A$ ）では、 $X\setminus A$ を係数 0 の部分として加えると、表示独立性により両側の積分は $\sum_i c_i\mu(B_i)$ である。非負 $f$ に対して単関数列 $s_n\uparrow f$ をとると、零延長も $(s_n)_0\uparrow f_0$ を満たす。補題 1.5を両測度へ適用して等式を得る。実数値・複素数値の場合は、非負版を $|f|$ へ適用して可積分性の同値を得る。実数値の場合は正負部分へ、複素数値の場合は実部と虚部の正負部分へ適用して積分値の等式を得る。▨

命題 4.2. $(X,\mathcal F,\mu)$ を測度空間とする。このとき、 $f:X\to[0,\infty]$ が $\overline{\mathcal F}^{\,\mu}$ に関して可測ならば、 $\mathcal F$ 可測関数 $g:X\to[0,\infty]$ と $Z\in\mathcal F$ が存在し、 $\mu(Z)=0$ かつ $X\setminus Z$ 上で $f=g$ である。 $f$ が有限実数値ならば $g$ も有限実数値に選ぶことができる。有限実数値または複素数値の $\overline{\mathcal F}^{\,\mu}$ 可測関数 $f$ についても、同じ終域をもつ $\mathcal F$ 可測関数 $g$ と、このような $Z$ が存在する。

証明. 非負拡張実数値の $\overline{\mathcal F}^{\,\mu}$ 可測関数 $f$ に対して、非負単関数近似 $s_n\uparrow f$ をとる。各 $s_n$ の標準表示を $s_n=\sum_j c_{n,j}\mathbf1_{E_{n,j}}$ とする。§E10.8 命題 7.6と可算選択公理により、 $A_{n,j},Z_{n,j}\in\mathcal F$ を同時に選び、 $\mu(Z_{n,j})=0$ と $E_{n,j}\mathbin\triangle A_{n,j}\subseteq Z_{n,j}$ を満たすようにする。添字 $(n,j)$ は可算である。

Z=\bigcup_{n,j}Z_{n,j},\qquad t_n=\sum_j c_{n,j}\mathbf1_{A_{n,j}},\qquad g=\limsup_nt_n

とおく。 $Z$ は $\mathcal F$ 可測零集合であり、 $t_n$ は非負 $\mathcal F$ 可測単関数である。可算極限の閉性から $g$ は $\mathcal F$ 可測であり、 $X\setminus Z$ 上で $t_n=s_n$ であるため、 $g=f$ である。 $f$ が有限実数値ならば、 $\{g=\infty\}\subseteq Z$ 上で $g$ を 0 に変更する。この集合は $\mathcal F$ に属するため、有限実数値の $\mathcal F$ 可測関数を得る。有限実数値の $f$ に対しては、 $f^+$ と $f^-$ に非負有限実数値の場合の結論を適用し、有限実数値の $\mathcal F$ 可測代表 $g_+,g_-$ の差 $g=g_+-g_-$ をとる。二つの例外可測零集合の和の外で $g=f$ である。複素数値の $f$ に対しては、実部と虚部の有限実数値代表 $g_1,g_2$ をとり、 $g=g_1+ig_2$ とおく。二つの例外可測零集合の和の外で $g=f$ である。▨

命題 4.3. $(X,\mathcal F,\mu)$ とその完備化 $(X,\overline{\mathcal F}^{\,\mu},\overline\mu)$ をとる。このとき、非負拡張実数値の $\mathcal F$ 可測関数 $g$ に対して

\int_Xg\,d\overline\mu=\int_Xg\,d\mu

である。有限実数値または複素数値の $\mathcal F$ 可測関数 $g$ については、 $\mu$ 可積分性と $\overline\mu$ 可積分性が同値であり、可積分の場合に同じ等式が成り立つ。さらに、非負拡張実数値の $\overline{\mathcal F}^{\,\mu}$ 可測関数 $f$ と、 $\mu$ -可測零集合の外で $f$ と一致する $\mathcal F$ 可測関数 $g$ に対して、 $\int_Xf\,d\overline\mu=\int_Xg\,d\mu$ である。有限実数値または複素数値の $f,g$ についても、 $f$ の $\overline\mu$ 可積分性と $g$ の $\mu$ 可積分性は同値であり、可積分の場合は積分値が一致する。

証明. $\overline\mu$ と $\mu$ は $\mathcal F$ 上で一致するから、 $\mathcal F$ 可測単関数の積分も一致する。 $g$ の $\mathcal F$ 可測単関数近似へ補題 1.5を両測度について適用すると、最初の等式を得る。 $f=g$ が $\mu$ -可測零集合 $Z$ の外で成り立つ場合、 $\overline\mu(Z)=\mu(Z)=0$ であるため、定理 3.2 (1)により $\int_Xf\,d\overline\mu=\int_Xg\,d\overline\mu=\int_Xg\,d\mu$ である。有限実数値・複素数値の場合は絶対値に非負版を適用して可積分性の同値を得る。正負部分または実部・虚部へ適用することにより、積分値も一致する。▨

5 Riemann 積分との比較

命題 5.1. $a<b$ を実数、 $I=[a,b]$ とし、 $\mathcal B(I)\subseteq\mathcal A$ を満たす $I$ 上の σ-加法族 $\mathcal A$ をとる。 $\lambda$ を $(I,\mathcal A)$ 上の測度とし、任意の $B\in\mathcal B(I)$ に対して $\lambda(B)=\lambda_1^B(B)$ が成り立つと仮定する。ここで、 $\lambda_1^B$ は一次元 Borel Lebesgue 測度である。 $f:I\to\R$ を $\mathcal A$ 可測な有界関数とし、 $f$ は Riemann 可積分であると仮定する。このとき、 $f$ は $\lambda$ に関して可積分であり、

\int_I f\,d\lambda=\int_a^b f(x)\,dx

が成り立つ。右辺は Riemann 積分である。

また、 $h:I\to\C$ を $\mathcal A$ 可測な有界関数とし、 $\Re h$ と $\Im h$ はともに Riemann 可積分であると仮定する。このとき、 $h$ は $\lambda$ に関して可積分であり、

\int_I h\,d\lambda =\int_a^b\Re h(x)\,dx +i\int_a^b\Im h(x)\,dx

が成り立つ。右辺の二つの積分は実数値関数の Riemann 積分である。

証明. $|f|\leq M$ を満たす $M\geq0$ をとる。§E10.9 系 9.2と測度の仮定により $\lambda(I)=b-a$ であるから、積分の単調性により

\int_I|f|\,d\lambda\leq M(b-a)<\infty

であり、 $f$ は可積分である。

任意の $\varepsilon>0$ に対して、§D1.17 定理 2.4により、 $U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$ を満たす分割 $P:a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b$ をとる。 $J_i=[t_{i-1},t_i]$ とし、 $m_i=\inf_{J_i}f$ 、 $M_i=\sup_{J_i}f$ とおく。互いに交わらない Borel 集合

E_1=[t_0,t_1],\qquad E_i=(t_{i-1},t_i]\quad(2\leq i\leq n)

は $\mathcal A$ に属し、 $I$ を分割する。可積分な実数値単関数

\ell=\sum_{i=1}^n m_i\mathbf1_{E_i},\qquad u=\sum_{i=1}^n M_i\mathbf1_{E_i}

を定めると、 $\ell\leq f\leq u$ がすべての点で成り立つ。各 $E_i$ の測度は $t_i-t_{i-1}$ であるから、単関数積分の定義と定理 2.3 (1)により、

\int_I\ell\,d\lambda=L(f,P),\qquad \int_Iu\,d\lambda=U(f,P)

である。命題 2.4により、

L(f,P)\leq\int_I f\,d\lambda\leq U(f,P)

を得る。一方、§D1.17 命題 2.3により、 $f$ の Riemann 積分値も同じ下和と上和の間にある。したがって、

\left|\int_I f\,d\lambda-\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon

である。 $\varepsilon>0$ は任意であるから、二つの積分値は一致する。

複素数値関数 $h$ については、実部と虚部に実数値の場合の結論を適用する。命題 2.2により $h$ は可積分であり、複素積分の定義から所要の等式を得る。▨

系 5.2. $a<b$ を実数とし、 $[a,b]\subseteq Y$ を満たす Borel 集合 $Y\subseteq\R$ をとる。 $\mathcal A$ を $\mathcal B(Y)\subseteq\mathcal A$ を満たす $Y$ 上の σ-加法族とし、 $\lambda$ を $(Y,\mathcal A)$ 上の測度とする。任意の $B\in\mathcal B(Y)$ に対して $\lambda(B)=\lambda_1^B(B)$ が成り立つと仮定する。 $\mathbb K$ を $\R$ または $\C$ とし、 $f:[a,b]\to\mathbb K$ を連続関数とする。 $F:[a,b]\to\mathbb K$ は $[a,b]$ 上で連続、 $(a,b)$ 上で微分可能であり、 $F'=f$ を満たすとする。複素数値の場合の微分は実部と虚部についてとる。このとき、 $f$ を $Y\setminus[a,b]$ 上で 0 に延長した関数 $f_0$ は可積分であり、

\int_Yf_0\,d\lambda=F(b)-F(a)

が成り立つ。

証明. $I=[a,b]$ とおく。 $f$ は連続であるから Borel 可測であり、 $\mathcal A|_I$ に関して可測である。実数値の場合、§D1.17 定理 2.5により $f$ は Riemann 可積分である。 $\lambda|_I$ は $I$ の Borel 集合上で $\lambda_1^B$ と一致するので、命題 5.1により $f$ は $\lambda|_I$ に関して可積分である。命題 4.1と§D1.19 定理 2.1により、 $f_0$ は可積分であり、

\int_Yf_0\,d\lambda =\int_I f\,d(\lambda|_I) =\int_a^b f(x)\,dx =F(b)-F(a)

である。複素数値の場合は $f$ と $F$ の実部・虚部へ実数値の場合の結論を適用し、複素積分の定義により同じ等式を得る。▨

6 演習

問題 6.1.

$(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間、 $A\in\mathcal{F}$ 、 $c\geq0$ とする。§E10.8 命題 5.2を用いて $\int_Xc\mathbf{1}_A\,d\mu=c\mu(A)$ を証明せよ。 $c=0$ かつ $\mu(A)=\infty$ の場合に必要な規約も明記せよ。
§E10.9 系 9.2の測度空間 $(\R,\mathcal{B}(\R),\lambda_1^B)$ を考える。 $f(x)=x\mathbf{1}_{(0,1]}(x)$ とし、 $n\geq1$ に対して $\varphi_n=\sum_{k=0}^{2^n-1}\frac{k}{2^n}\mathbf{1}_{(k/2^n,(k+1)/2^n]}$ とおく。 $(\varphi_n)_{n\geq1}$ が補題 1.5の仮定を満たすことを示し、 $\int_{\R}f\,d\lambda_1^B=1/2$ を証明せよ。また、 $\psi_n=n\mathbf{1}_{(0,1/n]}$ とおくと、各点で $\psi_n\to0$ であるが $\int_{\R}\psi_n\,d\lambda_1^B$ は $0$ に収束しないことを示せ。

解答.

$X=\emptyset$ ならば $A=\emptyset$ であり、単関数積分の定義の空和により $\int_Xc\mathbf{1}_A\,d\mu=0=c\mu(A)$ である。 $X\neq\emptyset$ ならば、 $A$ と $X\setminus A$ のうち空でない集合をとり、 $X$ の可測分割とする。それぞれの係数を $c$ と $0$ とすると、§E10.8 命題 5.2により
$\int_Xc\mathbf{1}_A\,d\mu=c\mu(A)+0\cdot\mu(X\setminus A)=c\mu(A)$
である。空集合に対応する項は $0$ であり、分割から除いても和は変わらない。

$c=0$ かつ $\mu(A)=\infty$ の場合には $c\mathbf{1}_A$ は零関数であり、左辺は $0$ である。右辺を同じ値にするためには規約 $0\cdot\infty=0$ が必要である。
$I_{n,k}=(k/2^n,(k+1)/2^n]$ （ $0\leq k\leq2^n-1$ ）とおく。 $I_{n,0},\dots,I_{n,2^n-1}$ と $\R\setminus(0,1]$ は $\R$ の互いに交わらない Borel 分割であり、 $\varphi_n$ は $I_{n,k}$ 上で $k/2^n$ 、 $\R\setminus(0,1]$ 上で $0$ をとる。したがって、 $\varphi_n$ は非負単関数である。

$x\notin(0,1]$ ならばすべての $n$ について $\varphi_n(x)=0=f(x)$ である。 $x\in(0,1]$ ならば、 $x\in I_{n,k}$ を満たす $k$ がただ一つ存在し、 $k/2^n<x\leq(k+1)/2^n$ から
$x-2^{-n}\leq\varphi_n(x)=\frac{k}{2^n}<x=f(x)$
である。 $I_{n,k}=I_{n+1,2k}\sqcup I_{n+1,2k+1}$ であるから、 $\varphi_{n+1}(x)$ は $2k/2^{n+1}=k/2^n$ または $(2k+1)/2^{n+1}$ であり、いずれも $\varphi_n(x)$ 以上である。上の不等式から $\varphi_n(x)\to x=f(x)$ である。 $x\mapsto x$ は連続であるから§E10.7 命題 1.3により Borel 可測であり、 $\mathbf{1}_{(0,1]}$ も Borel 可測であるから、§E10.7 命題 4.1によりその積 $f$ は Borel 可測である。したがって、補題 1.5の仮定が満たされる。

§E10.9 系 9.2により $\lambda_1^B(I_{n,k})=2^{-n}$ であるから、§E10.8 命題 5.2により
$\int_{\R}\varphi_n\,d\lambda_1^B=\sum_{k=0}^{2^n-1}\frac{k}{2^n}\cdot\frac{1}{2^n} =\frac{(2^n-1)2^n}{2\cdot4^n}=\frac{1-2^{-n}}{2}$
である。補題 1.5により $\int_{\R}f\,d\lambda_1^B=\lim_{n\to\infty}(1-2^{-n})/2=1/2$ を得る。

$\psi_n$ について、 $x\leq0$ または $x>1$ ならばすべての $n$ について $\psi_n(x)=0$ である。 $x\in(0,1]$ ならば、 $n>1/x$ のとき $x\notin(0,1/n]$ であるから $\psi_n(x)=0$ である。したがって、各点で $\psi_n\to0$ である。一方、 $\int_{\R}\psi_n\,d\lambda_1^B=n\lambda_1^B((0,1/n])=1$ がすべての $n$ について成り立つので、積分の列は $0$ に収束しない。この列は単調増加でなく、補題 1.5の単調性の仮定を満たさない。

▨

§E10.10Lebesgue 積分

1 非負可測関数の積分

2 可積分な実数値関数と複素数値関数

3 零集合とほとんど至る所での一致

4 制限と完備化に対する積分の整合性

5 Riemann 積分との比較

6 演習

参考文献

前提記事