逆・裏・対偶 | 集合と論理

1 対偶律と逆・裏の関係

定義 1.1 (逆・裏・対偶). 命題 $p \Rightarrow q$ に対して、次の逆 (converse)、裏 (inverse)、対偶 (contrapositive) を定める。

\begin{array}{ll} \text{逆} & q \Rightarrow p \quad(\text{前件と後件を入れ替える}) \\ \text{裏} & \lnot p \Rightarrow \lnot q \quad(\text{両方を否定する}) \\ \text{対偶} & \lnot q \Rightarrow \lnot p \quad(\text{入れ替えたうえで否定する}) \\ \end{array}

この項目でもっとも重要な事実を先に述べます。

定理 1.2 (対偶律). 任意の命題 $p$ 、 $q$ について $(p \Rightarrow q) \equiv (\lnot q \Rightarrow \lnot p)$ が成り立つ。

真理値表で確かめます。

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$	$\lnot q$	$\lnot p$	$\lnot q \Rightarrow \lnot p$
T	T	T	F	F	T
T	F	F	T	F	F
F	T	T	F	T	T
F	F	T	T	T	T

証明. 上の表の第3列と第6列は、4行すべてで一致する。 $p$ と $q$ の真偽の組み合わせを尽くしているので、二つは同値である。▨

定理 1.3. 任意の命題 $p$ 、 $q$ について、 $p \Rightarrow q$ の逆 $q \Rightarrow p$ と裏 $\lnot p \Rightarrow \lnot q$ は同値である。

証明. 逆 $q \Rightarrow p$ の対偶は $\lnot p \Rightarrow \lnot q$ である。定理 1.2により、逆と裏は同値である。▨

例 1.4. 実数 $x$ について、条件文 $x=2 \Rightarrow x^2=4$ はすべての $x$ で真である。しかし、逆 $x^2=4 \Rightarrow x=2$ と裏 $x\ne2 \Rightarrow x^2\ne4$ は、いずれも $x=-2$ のときに偽となる。したがって、もとの条件文と逆・裏は一般には同値ではない。

真理集合の言葉でも同じことが見えます。 $p \Rightarrow q$ は $P \subset Q$ にあたり、対偶 $\lnot q \Rightarrow \lnot p$ は $\overline{Q} \subset \overline{P}$ にあたります。 $P$ のどの要素も $Q$ に属することと、 $Q$ に属さないどの要素も $P$ に属さないことは、同じ包含関係を二つの側から述べたものです。

2 対偶による証明を選ぶ判断

もとの命題と対偶は真偽が一致するので、もとの命題を示す代わりに、対偶を示してもかまいません。どちらを示すかは、仮定から手がかりを取り出しやすいほうを選びます。

定理 2.1. 整数 $n$ について、 $n^2$ が偶数ならば $n$ は偶数である。

もとの仮定からは、 $n^2=2k$ となる整数 $k$ を取ることができます。対偶の仮定からは、 $n=2m+1$ となる整数 $m$ を取ることができます。後者の式を二乗すれば、 $n^2$ の偶奇を直接調べることができます。

証明 (対偶による). 対偶は「 $n$ が奇数ならば $n^2$ は奇数である」である。 $n$ が奇数ならば $n = 2m + 1$ （ $m$ は整数）と書くことができ、

$n^2 = (2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 2(2m^2 + 2m) + 1$

より $n^2$ は奇数である。定理 1.2により、もとの命題も成り立つ。▨

対偶を用いるかどうかは、もとの仮定と結論の否定から、それぞれどのような式を書き下すことができるかを比べて判断します。整数の偶奇、有理数と無理数の区別、不等式の向きに関する命題でも、結論の否定を仮定したほうが計算を進めやすい場合には、対偶による証明を選びます。

例 2.2. 実数 $a,b$ について、 $a+b>0$ ならば $a>0$ または $b>0$ である。対偶を示す。 $a\le0$ かつ $b\le0$ ならば、二つの不等式を足して $a+b\le0$ を得る。したがって、対偶律により、もとの主張が成り立つ。逆は一般には成り立たない。 $a=1,b=-2$ では $a>0$ だが $a+b=-1<0$ である。

閑話休題：人間は対偶による判断を苦手とする 机の上にカードが4枚あります。表にはアルファベットが、裏には数字が書いてあり、いま見えている面は「A」「K」「4」「7」です。規則「母音のカードの裏は偶数である」が守られているかどうかを確かめるには、どのカードを裏返す必要があるでしょうか。 $1966$ 年にウェイソンが行ったこの実験で、正答率はおよそ $10\%$ でした。多くの人は「A と 4」を選びます。正解は「A と 7」です。規則は $p \Rightarrow q$ （母音ならば偶数）なので、確かめるべきは前件を満たす A と、対偶の前件 $\lnot q$ を満たす奇数の 7 です。「4」を裏返すのは逆（偶数ならば母音）を確かめる行為であって、規則はそれを主張していません。

興味深いのはここからです。同じ論理構造を「ビールを飲んでいるなら20歳以上である」という規則に置き換え、「ビール」「コーラ」「25歳」「16歳」の4人から選ばせると、ほとんどの人が正しく「ビールと16歳」を選びます。抽象的な記号では $10\%$ しか正答することができない問題が、規則違反の監視という文脈では、ほぼ全員が正答することができるのです。人間の論理的な判断は一様ではなく、文脈に強く依存しています。逆と裏を機械的な書き換えとして訓練する本単元の方針は、この偏りに対する備えです。直感は文脈によって答えを変えますが、真理値表と対偶の規則は変えません。

§A3.6逆・裏・対偶

1 対偶律と逆・裏の関係

2 対偶による証明を選ぶ判断

例題

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