§A3.1命題と真偽、真理値表

1 命題と真理値表

「$2$は偶数である」は真の命題であり、「$3 > 5$」は偽の命題です。一方、「この問題は難しい」は、判断する人によって答えが分かれるので命題ではありません。真偽が一意に定まることが、命題であるための条件です。本単元では、これ以降、命題の真偽を真理値の計算として扱います。

複合的な命題の真偽を確かめる道具として、次の表を使います。

具体的な命題を当てはめたときには、その命題の間の関係によって、実際には生じない組合せもあります。真理値表では、そのような組合せも含めて真偽の割当てをすべて並べます。

たとえば、命題$P$の否定「$P$でない」（記号では$\lnot P$）の真理値表は次のとおりです。

$P$	$\lnot P$
T	F
F	T

$P$が真であれば$\lnot P$は偽であり、$P$が偽であれば$\lnot P$は真です。否定は、真理値を入れ替える操作であると言うことができます。

2 「ならば」の真偽を定める規約

「ならば」で結んだ文の真偽は、次のように定めます。前件が偽である場合の扱いが要点です。

第2行だけが偽であり、残る3行はいずれも真です。とくに、前件$P$が偽である第3行と第4行では、後件$Q$の真偽にかかわらず$P \Rightarrow Q$を真と定めます。

この定め方は約束であって、証明することができる事実ではありません。ただし、$P \Rightarrow Q$が何を主張しているのかを考えると、この約束を選ぶ理由が分かります。$P \Rightarrow Q$は、「$P$が真であるのに$Q$が偽である」という場合が起こらないことを主張しています。前件が偽である場合には、この主張が破られる余地がそもそもありません。破られていない以上、その場合は真としておく、というのがこの規約です。

条件文の規約を、実数の不等式に適用します。

前件が偽である場合を真と定める規約は、こうした一般的な主張を扱うために必要です。

日常語の「ならば」は、前件と後件のあいだに因果関係や関連があることを含んで使われます。数学の条件文では、上の表により定まる真理値だけが意味され、前件と後件に関連があることは要求されません。たとえば「$1 = 2$ならば地球は平らである」は、前件が偽なので、この規約のもとでは真の命題です。