§A3.14定義の展開という技法

1 結論と仮定の定義への展開

定義の展開では、次の順序を用います。

結論を展開すると、何を示せば証明が終わるのかが分かります。仮定を展開すると、証明に使うことができる式や条件が分かります。両方を同じ記号で書くことにより、結論と仮定の間に残る推論を特定することができます。

2 単射の合成と定義の展開

単射の定義を定理の仮定と結論へそれぞれ適用すると、次の条件になります。

役割	定義を展開した条件
$f$が単射であるという仮定	すべての$s,t\in X$に対して、$f(s)=f(t)$ならば$s=t$です。
$g$が単射であるという仮定	すべての$u,v\in Y$に対して、$g(u)=g(v)$ならば$u=v$です。
$g\circ f$が単射であるという結論	すべての$a,b\in X$に対して、$g(f(a))=g(f(b))$ならば$a=b$です。

$a,b\in X$を任意に取ると、$f(a),f(b)\in Y$です。このため、$g$の単射性を先に適用し、続いて$f$の単射性を適用します。

結論と二つの仮定を定義へ置き換えると、この証明は単射性を二回適用することで閉じます。

3 集合の等式の展開と場合分け

集合の等式についても、仮定と結論を要素の所属条件に書き換えます。

4 上限公理を要する収束の例

定義を展開すると、計算だけでは閉じない依存を特定することもできます。次の定理はその例です。

実数列$(a_n)_{n\ge1}$について仮定を展開すると、すべての$n\ge1$に対する不等式$a_n\le a_{n+1}$と、ある実数$M$が存在して、すべての$n\ge1$に対して$a_n\le M$が成り立つことが現れます。一方、結論を展開すると、極限の候補となる実数$\alpha$が存在し、任意の$\varepsilon>0$に対して番号$N$を選ぶことができ、$n\ge N$を満たすすべての$n$に対して$|a_n-\alpha|<\varepsilon$が成り立つという量化が現れます。仮定の不等式だけから、実数$\alpha$の存在を得ることはできません。

数列の値の集合$\{a_n\mid n\ge1\}$は空でなく、上に有界です。極限候補を得る段階では、§D1.4 定義 1.2から得られる上限の存在を用います。ただし、上限が存在することだけでは収束の証明は終わりません。上限の性質から、任意の$\varepsilon>0$に対応する番号$N$を得る推論も必要です。その推論を含む完全な証明は§D1.7 定理 1.1に委ねます。