§A3.8「すべて」「ある」を含む命題の否定

1 二種類の量化

全称命題では、例外が一つも無いことが主張されます。存在命題では、条件を満たす対象が少なくとも一つあることが主張されます。

どちらの場合も、$x$が動く範囲を定めておかなければ、命題の真偽が定まりません。「すべての$x$について$x^2 \ge 0$」は、$x$が実数の範囲を動くなら真です。複素数全体には通常の大小関係を定めていないため、同じ不等式のまま$x$の範囲を複素数全体へ広げても、真偽を問う命題にはなりません。たとえば$x=i$の平方は$-1$ですが、$x^2\ge0$を複素数上の条件として使うには、大小関係を別に定める必要があります。記号だけを書く場合は$\forall x \in \R$のように範囲を添え、文章で書く場合は「すべての実数$x$について」と書きます。

2 否定の規則

否定の計算は、次の2本の規則に尽きます。

否定を通すと$\forall$と$\exists$が入れ替わり、量化子の内側の$p(x)$が否定されます。日本語で言い換えると、次のようになります。

• 「すべてが$p$である」の否定は、「$p$でないものがある」です。
• 「$p$であるものがある」の否定は、「すべてが$p$でない」です。

たとえば「すべての鳥は飛ぶ」の否定は、「すべての鳥は飛ばない」ではなく、「飛ばない鳥が存在する」です。前者は、鳥が一羽も飛ばないという、はるかに強い主張になっています。

全称命題を否定するには、条件を満たさない対象を一つ挙げれば足ります。これを反例と呼びます。何万羽の飛ぶ鳥を観察しても「すべての鳥は飛ぶ」を証明することはできませんが、飛ばない鳥を一羽示せば、この命題は確実に偽になります。

3 量化子の内側にある条件の否定

量化子を入れ替えるだけでは、否定は完成しません。内側の$p(x)$の否定も正しく作ります。$p(x)$が不等式であれば、否定によって等号の付き方が変わります。「$x > 0$」の否定は「$x \le 0$」であり、「$x \ge 0$」ではありません。

$\lnot\big(\forall x\, (x > 0)\big) \equiv \exists x\, (x \le 0)$

$p(x)$が「かつ」「または」を含むときは、内側の否定にド・モルガン則を用います。$p(x)$が条件文であるときは、$\lnot(A \Rightarrow B) \equiv A \land \lnot B$を用います。この規則は、条件文が偽になるのが「前件が真かつ後件が偽」の場合だけである、という真理値表の第2行から従います。

4 存在命題の構成による証明

全称命題と存在命題では、証明するときの手が入れ替わります。

• 全称命題を証明するには、範囲の中から任意の対象を一つ取り、その対象について何も特別なことを仮定せずに$p(x)$を示します。
• 存在命題を証明するには、条件を満たす対象を一つ具体的に作って示します。

ただし、対象を構成することは、存在を示す唯一の方法ではありません。§A3.7 背理法の閑話休題で見た、$a^b$が有理数になる無理数の組$a$、$b$が存在するという主張は、二つの場合に分けてどちらでも組が存在すると示すもので、どちらの組が条件を満たすのかを特定していません。このような証明も、存在を示す正しい証明です。本記事では、構成による証明を存在命題の基本的な手段として扱い、構成によらない存在の証明については§A3.7 背理法と、§E16 数理論理へ委ねます。構成を求める立場（直観主義論理）と、排中律を認める立場との線引きは、同単元が扱います。