1 Hom の加法群構造と係数環 R R R M , N M,N M , N R R R Hom R ( M , N ) \operatorname{Hom}_R(M,N) Hom R ( M , N ) R R R
例 1.1. k k k R : = Mat 2 × 2 ( k ) R:=\operatorname{Mat}_{2\times2}(k) R := Mat 2 × 2 ( k ) f : = id R f:=\operatorname{id}_R f := id R
p : = ( 0 1 0 0 ) , q : = ( 0 0 1 0 ) p:=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad
q:=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} p := ( 0 0 1 0 ) , q := ( 0 1 0 0 ) と置く。このとき、§E6.2 例 14.2 をa = p a=p a = p b = q b=q b = q p q = ( 1 0 0 0 ) pq=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} pq = ( 1 0 0 0 ) q p = ( 0 0 0 1 ) qp=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} q p = ( 0 0 0 1 ) ( p ⋅ f ) ( x ) : = p f ( x ) (p\cdot f)(x):=pf(x) ( p ⋅ f ) ( x ) := p f ( x ) ( p ⋅ f ) ( q 1 R ) = p q ≠ q p = q ( p ⋅ f ) ( 1 R ) (p\cdot f)(q1_R)=pq\ne qp=q(p\cdot f)(1_R) ( p ⋅ f ) ( q 1 R ) = pq = q p = q ( p ⋅ f ) ( 1 R ) R R R §E6.2 定理 14.1 で与えられる。
2 固定した始域から Hom を取る操作 左R R R P P P
定義 2.1. u : A → B u\colon A\to B u : A → B R R R
u ∗ = Hom R ( P , u ) : Hom R ( P , A ) ⟶ Hom R ( P , B ) u_*=\operatorname{Hom}_R(P,u)\colon
\operatorname{Hom}_R(P,A)\longrightarrow\operatorname{Hom}_R(P,B) u ∗ = Hom R ( P , u ) : Hom R ( P , A ) ⟶ Hom R ( P , B ) を
u ∗ ( φ ) : = u ∘ φ u_*(\varphi):=u\circ\varphi u ∗ ( φ ) := u ∘ φ によって定め、この写像を固定した始域に対する共変 Hom 写像 (covariant Hom map with fixed source )
命題 2.2. 固定した左R R R P P P
任意のR R R u : A → B u\colon A\to B u : A → B u ∗ u_* u ∗
A A A ( id A ) ∗ = id Hom R ( P , A ) (\operatorname{id}_A)_*
=\operatorname{id}_{\operatorname{Hom}_R(P,A)} ( id A ) ∗ = id Hom R ( P , A ) R R R A → u B → v C A\xrightarrow{u}B\xrightarrow{v}C A u B v C ( v ∘ u ) ∗ = v ∗ ∘ u ∗ (v\circ u)_*=v_*\circ u_* ( v ∘ u ) ∗ = v ∗ ∘ u ∗ 3 固定した終域への Hom を取る操作 左R R R N N N
定義 3.1. u : A → B u\colon A\to B u : A → B R R R
u ∗ = Hom R ( u , N ) : Hom R ( B , N ) ⟶ Hom R ( A , N ) u^*=\operatorname{Hom}_R(u,N)\colon
\operatorname{Hom}_R(B,N)\longrightarrow\operatorname{Hom}_R(A,N) u ∗ = Hom R ( u , N ) : Hom R ( B , N ) ⟶ Hom R ( A , N ) を
u ∗ ( ψ ) : = ψ ∘ u u^*(\psi):=\psi\circ u u ∗ ( ψ ) := ψ ∘ u によって定め、この写像を固定した終域に対する反変 Hom 写像 (contravariant Hom map with fixed target )
命題 3.2. 固定した左R R R N N N
任意のR R R u : A → B u\colon A\to B u : A → B u ∗ u^* u ∗
A A A ( id A ) ∗ = id Hom R ( A , N ) (\operatorname{id}_A)^*
=\operatorname{id}_{\operatorname{Hom}_R(A,N)} ( id A ) ∗ = id Hom R ( A , N ) R R R A → u B → v C A\xrightarrow{u}B\xrightarrow{v}C A u B v C ( v ∘ u ) ∗ = u ∗ ∘ v ∗ (v\circ u)^*=u^*\circ v^* ( v ∘ u ) ∗ = u ∗ ∘ v ∗ 4 Hom の左完全性 命題 4.1. R R R
0 ⟶ A ′ → i A → p A ′ ′ ⟶ 0 0\longrightarrow A'
\xrightarrow{\ i\ }A
\xrightarrow{\ p\ }A''
\longrightarrow0 0 ⟶ A ′ i A p A ′′ ⟶ 0 を左R R R
任意の左R R R P P P 0 ⟶ Hom R ( P , A ′ ) → i ∗ Hom R ( P , A ) → p ∗ Hom R ( P , A ′ ′ ) 0\longrightarrow\operatorname{Hom}_R(P,A')
\xrightarrow{\ i_*\ }\operatorname{Hom}_R(P,A)
\xrightarrow{\ p_*\ }\operatorname{Hom}_R(P,A'') 0 ⟶ Hom R ( P , A ′ ) i ∗ Hom R ( P , A ) p ∗ Hom R ( P , A ′′ )
任意の左R R R N N N 0 ⟶ Hom R ( A ′ ′ , N ) → p ∗ Hom R ( A , N ) → i ∗ Hom R ( A ′ , N ) 0\longrightarrow\operatorname{Hom}_R(A'',N)
\xrightarrow{\ p^*\ }\operatorname{Hom}_R(A,N)
\xrightarrow{\ i^*\ }\operatorname{Hom}_R(A',N) 0 ⟶ Hom R ( A ′′ , N ) p ∗ Hom R ( A , N ) i ∗ Hom R ( A ′ , N )
証明. 主張 (1) を示す。i i i p p p §E6.3 命題 3.2 により、p ψ = 0 p\psi=0 p ψ = 0 ψ : P → A \psi\colon P\to A ψ : P → A ψ = i φ \psi=i\varphi ψ = i φ im i ∗ = ker p ∗ \im i_*=\ker p_* im i ∗ = ker p ∗ i ∗ i_* i ∗
主張 (2) を示す。p p p i i i β i = 0 \beta i=0 β i = 0 β : A → N \beta\colon A\to N β : A → N β = α p \beta=\alpha p β = α p im p ∗ = ker i ∗ \im p^*=\ker i^* im p ∗ = ker i ∗ p ∗ p^* p ∗ ▨
5 余核に対する反変 Hom の形 系 5.1. R R R R R R
B → u A → p C ⟶ 0 B\xrightarrow{\ u\ }A
\xrightarrow{\ p\ }C
\longrightarrow0 B u A p C ⟶ 0 を完全とする。すなわちp p p im u = ker p \operatorname{im}u=\ker p im u = ker p R R R N N N
0 ⟶ Hom R ( C , N ) → p ∗ Hom R ( A , N ) → u ∗ Hom R ( B , N ) 0\longrightarrow\operatorname{Hom}_R(C,N)
\xrightarrow{\ p^*\ }\operatorname{Hom}_R(A,N)
\xrightarrow{\ u^*\ }\operatorname{Hom}_R(B,N) 0 ⟶ Hom R ( C , N ) p ∗ Hom R ( A , N ) u ∗ Hom R ( B , N ) は完全である。
とくに、β : A → N \beta\colon A\to N β : A → N β ∘ u = 0 \beta\circ u=0 β ∘ u = 0 α ∘ p = β \alpha\circ p=\beta α ∘ p = β R R R α : C → N \alpha\colon C\to N α : C → N
証明. 完全性によりp p p u u u §E6.3 命題 3.2 により、β u = 0 \beta u=0 β u = 0 β : A → N \beta\colon A\to N β : A → N α : C → N \alpha\colon C\to N α : C → N β = α p \beta=\alpha p β = α p p ∗ p^* p ∗ ker u ∗ \ker u^* ker u ∗ ▨
6 右端の写像が全射でない例 共変な列では、p ∗ p_* p ∗ A ′ ′ A'' A ′′ p p p i ∗ i^* i ∗ A ′ A' A ′ A A A
定義 6.1. 全射p : A → B p\colon A\to B p : A → B R R R α : P → B \alpha\colon P\to B α : P → B R R R α ~ : P → A \widetilde\alpha\colon P\to A α : P → A
p ∘ α ~ = α p\circ\widetilde\alpha=\alpha p ∘ α = α を満たすとき、α ~ \widetilde\alpha α α \alpha α p p p 持ち上げ (lift along a surjection )
固定したp p p P P P
p ∗ : Hom R ( P , A ) ⟶ Hom R ( P , B ) p_*\colon\operatorname{Hom}_R(P,A)\longrightarrow\operatorname{Hom}_R(P,B) p ∗ : Hom R ( P , A ) ⟶ Hom R ( P , B ) が全射であることは、すべてのα : P → B \alpha\colon P\to B α : P → B p p p
例 6.2. 整数n ≥ 2 n\ge2 n ≥ 2 Z \Z Z
0 ⟶ Z → × n Z → q Z / n Z ⟶ 0 0\longrightarrow\Z
\xrightarrow{\ \times n\ }\Z
\xrightarrow{\ q\ }\Z/n\Z
\longrightarrow0 0 ⟶ Z × n Z q Z / n Z ⟶ 0 を考える。
共変な場合にはP : = Z / n Z P:=\Z/n\Z P := Z / n Z f : Z / n Z → Z f\colon\Z/n\Z\to\Z f : Z / n Z → Z a : = f ( 1 + n Z ) a:=f(1+n\Z) a := f ( 1 + n Z )
n a = f ( n ( 1 + n Z ) ) = f ( 0 ) = 0 na=f(n(1+n\Z))=f(0)=0 na = f ( n ( 1 + n Z )) = f ( 0 ) = 0 となる。Z \Z Z n n n a = 0 a=0 a = 0 f = 0 f=0 f = 0
Hom Z ( Z / n Z , Z ) = 0 \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z/n\Z,\Z)=0 Hom Z ( Z / n Z , Z ) = 0 である。一方、
id Z / n Z ∈ Hom Z ( Z / n Z , Z / n Z ) \operatorname{id}_{\Z/n\Z}
\in\operatorname{Hom}_{\Z}(\Z/n\Z,\Z/n\Z) id Z / n Z ∈ Hom Z ( Z / n Z , Z / n Z ) は非零である。よって
q ∗ : Hom Z ( Z / n Z , Z ) ⟶ Hom Z ( Z / n Z , Z / n Z ) q_*\colon
\operatorname{Hom}_{\Z}(\Z/n\Z,\Z)
\longrightarrow
\operatorname{Hom}_{\Z}(\Z/n\Z,\Z/n\Z) q ∗ : Hom Z ( Z / n Z , Z ) ⟶ Hom Z ( Z / n Z , Z / n Z ) は全射でない。特に恒等写像はq q q
反変な場合にはN : = Z N:=\Z N := Z f : Z → Z f\colon\Z\to\Z f : Z → Z f ( 1 ) = a ∈ Z f(1)=a\in\Z f ( 1 ) = a ∈ Z f ( m ) = m a f(m)=ma f ( m ) = ma
Hom Z ( Z , Z ) ≅ Z \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z,\Z)\cong\Z Hom Z ( Z , Z ) ≅ Z と同一視することができる。この同一視の下で、前合成による写像
( × n ) ∗ : Hom Z ( Z , Z ) ⟶ Hom Z ( Z , Z ) (\times n)^*\colon
\operatorname{Hom}_{\Z}(\Z,\Z)
\longrightarrow
\operatorname{Hom}_{\Z}(\Z,\Z) ( × n ) ∗ : Hom Z ( Z , Z ) ⟶ Hom Z ( Z , Z ) はa ↦ n a a\mapsto na a ↦ na
( f ∘ ( × n ) ) ( 1 ) = f ( n ) = n a (f\circ(\times n))(1)=f(n)=na ( f ∘ ( × n )) ( 1 ) = f ( n ) = na である。n ≥ 2 n\ge2 n ≥ 2 1 1 1 ( × n ) ∗ (\times n)^* ( × n ) ∗ n Z → Z , n m ↦ m n\Z\to\Z,\ nm\mapsto m n Z → Z , nm ↦ m Z → Z \Z\to\Z Z → Z
7 平衡写像 非可換環上では、二つの因子をともに左加群とするだけでは平衡関係を書くことができない。第一因子を右R R R R R R ( m r , n ) (mr,n) ( m r , n ) ( m , r n ) (m,rn) ( m , r n )
定義 7.1. R , S R,S R , S M M M R R R N N N R R R S S S P P P S S S b : M × N → P b\colon M\times N\to P b : M × N → P 右S S S R R R (R-balanced map commuting with the right S-action )m , m ′ ∈ M m,m'\in M m , m ′ ∈ M n , n ′ ∈ N n,n'\in N n , n ′ ∈ N r ∈ R r\in R r ∈ R s ∈ S s\in S s ∈ S
b ( m + m ′ , n ) = b ( m , n ) + b ( m ′ , n ) , b ( m , n + n ′ ) = b ( m , n ) + b ( m , n ′ ) , b ( m r , n ) = b ( m , r n ) , b ( m , n s ) = b ( m , n ) s \begin{aligned}
b(m+m',n)&=b(m,n)+b(m',n),\\
b(m,n+n')&=b(m,n)+b(m,n'),\\
b(mr,n)&=b(m,rn),\\
b(m,ns)&=b(m,n)s
\end{aligned} b ( m + m ′ , n ) b ( m , n + n ′ ) b ( m r , n ) b ( m , n s ) = b ( m , n ) + b ( m ′ , n ) , = b ( m , n ) + b ( m , n ′ ) , = b ( m , r n ) , = b ( m , n ) s が成り立つことをいう。この条件を満たす写像の全体を
Bal R S ( M , N ; P ) \operatorname{Bal}_R^S(M,N;P) Bal R S ( M , N ; P ) と書く。
Bal R S ( M , N ; P ) \operatorname{Bal}_R^S(M,N;P) Bal R S ( M , N ; P )
( b + b ′ ) ( m , n ) : = b ( m , n ) + b ′ ( m , n ) (b+b')(m,n):=b(m,n)+b'(m,n) ( b + b ′ ) ( m , n ) := b ( m , n ) + b ′ ( m , n ) によってアーベル群になる。実際、定義の四つの等式はいずれも両辺がb b b
8 平衡写像のなすアーベル群と反復 Hom 平衡写像b b b m ∈ M m\in M m ∈ M N N N P P P S S S b ( m , − ) b(m,-) b ( m , − ) m ↦ b ( m , − ) m\mapsto b(m,-) m ↦ b ( m , − ) M M M R R R Hom S ( N , P ) \operatorname{Hom}_S(N,P) Hom S ( N , P ) R R R
命題 8.1. N N N R R R S S S P P P S S S
H : = Hom S ( N , P ) H:=\operatorname{Hom}_S(N,P) H := Hom S ( N , P ) に対して
( h ⋅ r ) ( n ) : = h ( r n ) ( h ∈ H , r ∈ R , n ∈ N ) (h\cdot r)(n):=h(rn)
\qquad
(h\in H,\ r\in R,\ n\in N) ( h ⋅ r ) ( n ) := h ( r n ) ( h ∈ H , r ∈ R , n ∈ N ) と定めると、h ⋅ r h\cdot r h ⋅ r S S S H H H R R R
証明. N N N s o p n : = n s s^{\mathrm{op}}n:=ns s op n := n s n r o p : = r n n r^{\mathrm{op}}:=rn n r op := r n S o p S^{\mathrm{op}} S op R o p R^{\mathrm{op}} R op P P P S o p S^{\mathrm{op}} S op Z \Z Z §E6.2 定理 14.1 により、H = Hom S o p ( N , P ) H=\operatorname{Hom}_{S^{\mathrm{op}}}(N,P) H = Hom S op ( N , P ) R o p R^{\mathrm{op}} R op
( r o p ⋅ h ) ( n ) = h ( n r o p ) = h ( r n ) (r^{\mathrm{op}}\cdot h)(n)=h(n r^{\mathrm{op}})=h(rn) ( r op ⋅ h ) ( n ) = h ( n r op ) = h ( r n ) が定まる。右S S S S o p S^{\mathrm{op}} S op R o p R^{\mathrm{op}} R op R R R ▨
命題 8.2. M M M R R R N N N R R R S S S P P P S S S Hom S ( N , P ) \operatorname{Hom}_S(N,P) Hom S ( N , P ) 命題 8.1 の右R R R
Λ M , N , P : Bal R S ( M , N ; P ) → ≅ Hom R ( M , Hom S ( N , P ) ) , ( Λ M , N , P ( b ) ( m ) ) ( n ) : = b ( m , n ) \Lambda_{M,N,P}\colon
\operatorname{Bal}_R^S(M,N;P)
\xrightarrow{\ \cong\ }
\operatorname{Hom}_R\bigl(M,\operatorname{Hom}_S(N,P)\bigr),
\qquad
\bigl(\Lambda_{M,N,P}(b)(m)\bigr)(n):=b(m,n) Λ M , N , P : Bal R S ( M , N ; P ) ≅ Hom R ( M , Hom S ( N , P ) ) , ( Λ M , N , P ( b ) ( m ) ) ( n ) := b ( m , n ) はアーベル群の同型である。逆写像は
( Λ M , N , P − 1 ( G ) ) ( m , n ) : = G ( m ) ( n ) \bigl(\Lambda_{M,N,P}^{-1}(G)\bigr)(m,n):=G(m)(n) ( Λ M , N , P − 1 ( G ) ) ( m , n ) := G ( m ) ( n ) で与えられる。
さらに、次の二つの可換性が成り立つ。
右R R R a : M ′ → M a\colon M'\to M a : M ′ → M b ∈ Bal R S ( M , N ; P ) b\in\operatorname{Bal}_R^S(M,N;P) b ∈ Bal R S ( M , N ; P ) b ∘ ( a × 1 N ) ∈ Bal R S ( M ′ , N ; P ) b\circ(a\times1_N)\in\operatorname{Bal}_R^S(M',N;P) b ∘ ( a × 1 N ) ∈ Bal R S ( M ′ , N ; P ) Λ M ′ , N , P ( b ∘ ( a × 1 N ) ) = Λ M , N , P ( b ) ∘ a \Lambda_{M',N,P}\bigl(b\circ(a\times1_N)\bigr)
=\Lambda_{M,N,P}(b)\circ a Λ M ′ , N , P ( b ∘ ( a × 1 N ) ) = Λ M , N , P ( b ) ∘ a
右S S S c : P → P ′ c\colon P\to P' c : P → P ′ b ∈ Bal R S ( M , N ; P ) b\in\operatorname{Bal}_R^S(M,N;P) b ∈ Bal R S ( M , N ; P ) c ∘ b ∈ Bal R S ( M , N ; P ′ ) c\circ b\in\operatorname{Bal}_R^S(M,N;P') c ∘ b ∈ Bal R S ( M , N ; P ′ ) m ∈ M m\in M m ∈ M Λ M , N , P ′ ( c ∘ b ) ( m ) = c ∘ Λ M , N , P ( b ) ( m ) \Lambda_{M,N,P'}(c\circ b)(m)
=c\circ\Lambda_{M,N,P}(b)(m) Λ M , N , P ′ ( c ∘ b ) ( m ) = c ∘ Λ M , N , P ( b ) ( m )
証明. b ∈ Bal R S ( M , N ; P ) b\in\operatorname{Bal}_R^S(M,N;P) b ∈ Bal R S ( M , N ; P ) m ∈ M m\in M m ∈ M n ↦ b ( m , n ) n\mapsto b(m,n) n ↦ b ( m , n ) b ( m , n s ) = b ( m , n ) s b(m,ns)=b(m,n)s b ( m , n s ) = b ( m , n ) s S S S Λ M , N , P ( b ) ( m ) ∈ Hom S ( N , P ) \Lambda_{M,N,P}(b)(m)\in\operatorname{Hom}_S(N,P) Λ M , N , P ( b ) ( m ) ∈ Hom S ( N , P ) m ↦ Λ M , N , P ( b ) ( m ) m\mapsto\Lambda_{M,N,P}(b)(m) m ↦ Λ M , N , P ( b ) ( m ) r ∈ R r\in R r ∈ R n ∈ N n\in N n ∈ N
( Λ M , N , P ( b ) ( m r ) ) ( n ) = b ( m r , n ) = b ( m , r n ) = ( Λ M , N , P ( b ) ( m ) ) ( r n ) = ( Λ M , N , P ( b ) ( m ) ⋅ r ) ( n ) \begin{aligned}
\bigl(\Lambda_{M,N,P}(b)(mr)\bigr)(n)
&=b(mr,n)\\
&=b(m,rn)\\
&=\bigl(\Lambda_{M,N,P}(b)(m)\bigr)(rn)\\
&=\bigl(\Lambda_{M,N,P}(b)(m)\cdot r\bigr)(n)
\end{aligned} ( Λ M , N , P ( b ) ( m r ) ) ( n ) = b ( m r , n ) = b ( m , r n ) = ( Λ M , N , P ( b ) ( m ) ) ( r n ) = ( Λ M , N , P ( b ) ( m ) ⋅ r ) ( n ) である。第二の等号は定義の第三の等式、第四の等号は命題 8.1 の作用の定義による。よってΛ M , N , P ( b ) \Lambda_{M,N,P}(b) Λ M , N , P ( b ) R R R Λ M , N , P \Lambda_{M,N,P} Λ M , N , P Λ M , N , P ( b + b ′ ) = Λ M , N , P ( b ) + Λ M , N , P ( b ′ ) \Lambda_{M,N,P}(b+b')=\Lambda_{M,N,P}(b)+\Lambda_{M,N,P}(b') Λ M , N , P ( b + b ′ ) = Λ M , N , P ( b ) + Λ M , N , P ( b ′ ) Λ M , N , P \Lambda_{M,N,P} Λ M , N , P
逆向きにG ∈ Hom R ( M , Hom S ( N , P ) ) G\in\operatorname{Hom}_R(M,\operatorname{Hom}_S(N,P)) G ∈ Hom R ( M , Hom S ( N , P ))
b G ( m , n ) : = G ( m ) ( n ) b_G(m,n):=G(m)(n) b G ( m , n ) := G ( m ) ( n ) と定める。G G G b G b_G b G G ( m ) G(m) G ( m ) G G G R R R R R R
b G ( m r , n ) = G ( m r ) ( n ) = ( G ( m ) ⋅ r ) ( n ) = G ( m ) ( r n ) = b G ( m , r n ) \begin{aligned}
b_G(mr,n)
&=G(mr)(n)\\
&=(G(m)\cdot r)(n)\\
&=G(m)(rn)\\
&=b_G(m,rn)
\end{aligned} b G ( m r , n ) = G ( m r ) ( n ) = ( G ( m ) ⋅ r ) ( n ) = G ( m ) ( r n ) = b G ( m , r n ) である。また、G ( m ) G(m) G ( m ) S S S
b G ( m , n s ) = G ( m ) ( n s ) = G ( m ) ( n ) s = b G ( m , n ) s b_G(m,ns)=G(m)(ns)=G(m)(n)s=b_G(m,n)s b G ( m , n s ) = G ( m ) ( n s ) = G ( m ) ( n ) s = b G ( m , n ) s である。したがってb G ∈ Bal R S ( M , N ; P ) b_G\in\operatorname{Bal}_R^S(M,N;P) b G ∈ Bal R S ( M , N ; P ) b ( m , n ) b(m,n) b ( m , n ) G ( m ) ( n ) G(m)(n) G ( m ) ( n ) Λ M , N , P \Lambda_{M,N,P} Λ M , N , P
b ∘ ( a × 1 N ) b\circ(a\times1_N) b ∘ ( a × 1 N ) a a a R R R m ′ ∈ M ′ m'\in M' m ′ ∈ M ′ n ∈ N n\in N n ∈ N b ( a ( m ′ ) , n ) b(a(m'),n) b ( a ( m ′ ) , n ) c ∘ b c\circ b c ∘ b c c c S S S m m m n n n c ( b ( m , n ) ) c(b(m,n)) c ( b ( m , n )) ▨
9 テンソル積の定義 定義 9.1. M M M R R R N N N R R R S S S S S S V V V τ ∈ Bal R S ( M , N ; V ) \tau\in\operatorname{Bal}_R^S(M,N;V) τ ∈ Bal R S ( M , N ; V ) ( V , τ ) (V,\tau) ( V , τ ) M M M N N N R R R tensor product over R )
任意の右S S S P P P b ∈ Bal R S ( M , N ; P ) b\in\operatorname{Bal}_R^S(M,N;P) b ∈ Bal R S ( M , N ; P )
b ~ ∘ τ = b \widetilde b\circ\tau=b b ∘ τ = b を満たす右S S S b ~ : V → P \widetilde b\colon V\to P b : V → P
同じことを Hom で書くと、任意の右S S S P P P
Hom S ( V , P ) ⟶ Bal R S ( M , N ; P ) , G ⟼ G ∘ τ \operatorname{Hom}_S(V,P)\longrightarrow\operatorname{Bal}_R^S(M,N;P),
\qquad
G\longmapsto G\circ\tau Hom S ( V , P ) ⟶ Bal R S ( M , N ; P ) , G ⟼ G ∘ τ が全単射であることをいう。命題 8.2 の同型と合わせると、この条件は、任意の右S S S P P P
Hom S ( V , P ) ≅ Hom R ( M , Hom S ( N , P ) ) \operatorname{Hom}_S(V,P)
\cong
\operatorname{Hom}_R\bigl(M,\operatorname{Hom}_S(N,P)\bigr) Hom S ( V , P ) ≅ Hom R ( M , Hom S ( N , P ) ) が成り立ち、その同型がP P P S S S
命題 9.2. M M M R R R N N N R R R S S S
( V , τ ) (V,\tau) ( V , τ ) ( V ′ , τ ′ ) (V',\tau') ( V ′ , τ ′ ) M M M N N N R R R θ ∘ τ = τ ′ \theta\circ\tau=\tau' θ ∘ τ = τ ′ S S S θ : V → V ′ \theta\colon V\to V' θ : V → V ′ ( V , τ ) (V,\tau) ( V , τ ) M M M N N N R R R τ \tau τ { τ ( m , n ) ∣ m ∈ M , n ∈ N } \{\tau(m,n)\mid m\in M,\ n\in N\} { τ ( m , n ) ∣ m ∈ M , n ∈ N } V V V 証明. 1. ( V , τ ) (V,\tau) ( V , τ ) τ ′ ∈ Bal R S ( M , N ; V ′ ) \tau'\in\operatorname{Bal}_R^S(M,N;V') τ ′ ∈ Bal R S ( M , N ; V ′ ) θ ∘ τ = τ ′ \theta\circ\tau=\tau' θ ∘ τ = τ ′ S S S θ : V → V ′ \theta\colon V\to V' θ : V → V ′ ( V ′ , τ ′ ) (V',\tau') ( V ′ , τ ′ ) τ \tau τ θ ′ ∘ τ ′ = τ \theta'\circ\tau'=\tau θ ′ ∘ τ ′ = τ S S S θ ′ : V ′ → V \theta'\colon V'\to V θ ′ : V ′ → V
( θ ′ ∘ θ ) ∘ τ = θ ′ ∘ τ ′ = τ = 1 V ∘ τ (\theta'\circ\theta)\circ\tau=\theta'\circ\tau'=\tau
=1_V\circ\tau ( θ ′ ∘ θ ) ∘ τ = θ ′ ∘ τ ′ = τ = 1 V ∘ τ であり、( V , τ ) (V,\tau) ( V , τ ) θ ′ ∘ θ = 1 V \theta'\circ\theta=1_V θ ′ ∘ θ = 1 V θ ∘ θ ′ = 1 V ′ \theta\circ\theta'=1_{V'} θ ∘ θ ′ = 1 V ′ θ \theta θ θ ∘ τ = τ ′ \theta\circ\tau=\tau' θ ∘ τ = τ ′
2. τ \tau τ V V V V 0 V_0 V 0 s ∈ S s\in S s ∈ S τ ( m , n ) s = τ ( m , n s ) \tau(m,n)s=\tau(m,ns) τ ( m , n ) s = τ ( m , n s ) V 0 V_0 V 0 S S S τ \tau τ V 0 V_0 V 0 σ : M × N → V 0 \sigma\colon M\times N\to V_0 σ : M × N → V 0 φ ∘ τ = σ \varphi\circ\tau=\sigma φ ∘ τ = σ S S S φ : V → V 0 \varphi\colon V\to V_0 φ : V → V 0 j : V 0 → V j\colon V_0\to V j : V 0 → V
( j ∘ φ ) ∘ τ = j ∘ σ = τ = 1 V ∘ τ (j\circ\varphi)\circ\tau=j\circ\sigma=\tau=1_V\circ\tau ( j ∘ φ ) ∘ τ = j ∘ σ = τ = 1 V ∘ τ であるから、普遍性の一意性によりj ∘ φ = 1 V j\circ\varphi=1_V j ∘ φ = 1 V j j j V 0 = V V_0=V V 0 = V ▨
10 第一因子が自由加群である場合の存在 基底表示の係数は、平衡関係によって第二因子へ移すことができる。
定理 10.1. F F F R R R ( e x ) x ∈ X (e_x)_{x\in X} ( e x ) x ∈ X N N N R R R S S S m ∈ F m\in F m ∈ F m = ∑ x ∈ X e x a m ( x ) m=\sum_{x\in X}e_xa_m(x) m = ∑ x ∈ X e x a m ( x ) a m a_m a m
V F : = ⨁ x ∈ X N V_F:=\bigoplus_{x\in X}N V F := x ∈ X ⨁ N に成分ごとの右S S S
τ F : F × N ⟶ V F , τ F ( m , n ) : = ( a m ( x ) n ) x ∈ X \tau_F\colon F\times N\longrightarrow V_F,
\qquad
\tau_F(m,n):=\bigl(a_m(x)n\bigr)_{x\in X} τ F : F × N ⟶ V F , τ F ( m , n ) := ( a m ( x ) n ) x ∈ X と定める。このとき( V F , τ F ) (V_F,\tau_F) ( V F , τ F ) F F F N N N R R R
証明. ι x : N → V F \iota_x\colon N\to V_F ι x : N → V F x x x S S S ( h ⋅ r ) ( n ) = h ( r n ) (h\cdot r)(n)=h(rn) ( h ⋅ r ) ( n ) = h ( r n ) Hom S ( N , V F ) \Hom_S(N,V_F) Hom S ( N , V F ) §E6.3 系 4.11 により、a ( e x ) = ι x a(e_x)=\iota_x a ( e x ) = ι x R R R
a : F ⟶ Hom S ( N , V F ) a\colon F\longrightarrow\Hom_S(N,V_F) a : F ⟶ Hom S ( N , V F ) が一意に定まる。命題 8.2 の逆対応で得られる平衡写像τ ( m , n ) : = a ( m ) ( n ) \tau(m,n):=a(m)(n) τ ( m , n ) := a ( m ) ( n )
τ ( m , n ) = ( ∑ x ι x ⋅ a m ( x ) ) ( n ) = ∑ x ι x ( a m ( x ) n ) = ( a m ( x ) n ) x \tau(m,n)
=\left(\sum_x\iota_x\cdot a_m(x)\right)(n)
=\sum_x\iota_x(a_m(x)n)
=\bigl(a_m(x)n\bigr)_x τ ( m , n ) = ( x ∑ ι x ⋅ a m ( x ) ) ( n ) = x ∑ ι x ( a m ( x ) n ) = ( a m ( x ) n ) x を満たす。係数関数a m a_m a m τ = τ F \tau=\tau_F τ = τ F
P P P S S S b ∈ Bal R S ( F , N ; P ) b\in\operatorname{Bal}_R^S(F,N;P) b ∈ Bal R S ( F , N ; P ) b ( e x , − ) : N → P b(e_x,-)\colon N\to P b ( e x , − ) : N → P S S S §E6.2 命題 6.5 により、b ~ ι x = b ( e x , − ) \widetilde b\iota_x=b(e_x,-) b ι x = b ( e x , − ) S S S b ~ : V F → P \widetilde b\colon V_F\to P b : V F → P 命題 8.2 によってb ~ ∘ τ F \widetilde b\circ\tau_F b ∘ τ F b b b F → Hom S ( N , P ) F\to\Hom_S(N,P) F → Hom S ( N , P ) e x e_x e x b ( e x , − ) b(e_x,-) b ( e x , − ) b ~ ∘ τ F = b \widetilde b\circ\tau_F=b b ∘ τ F = b
c : V F → P c\colon V_F\to P c : V F → P S S S c ∘ τ F = b c\circ\tau_F=b c ∘ τ F = b τ F ( e x , n ) = ι x ( n ) \tau_F(e_x,n)=\iota_x(n) τ F ( e x , n ) = ι x ( n ) c ι x = b ( e x , − ) c\iota_x=b(e_x,-) c ι x = b ( e x , − ) c = b ~ c=\widetilde b c = b ▨
11 一般の場合の存在 定理 11.1. 任意の右R R R M M M R R R S S S N N N M M M N N N R R R
具体的には、§E6.3 系 7.3 の右自由表示F 1 → u F 0 → π M → 0 F_1\xrightarrow{u}F_0\xrightarrow{\pi}M\to0 F 1 u F 0 π M → 0 定理 10.1 によるテンソル積( F i ⊗ R N , τ i ) (F_i\otimes_RN,\tau_i) ( F i ⊗ R N , τ i ) i = 0 , 1 i=0,1 i = 0 , 1 ( y , n ) ↦ τ 0 ( u ( y ) , n ) (y,n)\mapsto\tau_0(u(y),n) ( y , n ) ↦ τ 0 ( u ( y ) , n ) F 1 F_1 F 1 S S S
u ⊗ 1 N : F 1 ⊗ R N ⟶ F 0 ⊗ R N , ( u ⊗ 1 N ) ( τ 1 ( y , n ) ) = τ 0 ( u ( y ) , n ) u\otimes1_N\colon
F_1\otimes_RN\longrightarrow F_0\otimes_RN,
\qquad
(u\otimes1_N)(\tau_1(y,n))=\tau_0(u(y),n) u ⊗ 1 N : F 1 ⊗ R N ⟶ F 0 ⊗ R N , ( u ⊗ 1 N ) ( τ 1 ( y , n )) = τ 0 ( u ( y ) , n ) がただ一つ定まる。この写像の余核と自然な全射を
V : = F 0 ⊗ R N im ( u ⊗ 1 N ) , q : F 0 ⊗ R N ⟶ V V:=\frac{F_0\otimes_RN}{\operatorname{im}(u\otimes1_N)},
\qquad
q\colon F_0\otimes_RN\longrightarrow V V := im ( u ⊗ 1 N ) F 0 ⊗ R N , q : F 0 ⊗ R N ⟶ V と書き、m ∈ M m\in M m ∈ M π \pi π x ∈ F 0 x\in F_0 x ∈ F 0
τ ( m , n ) : = q ( τ 0 ( x , n ) ) \tau(m,n):=q(\tau_0(x,n)) τ ( m , n ) := q ( τ 0 ( x , n )) と定める。このとき( V , τ ) (V,\tau) ( V , τ ) M M M N N N R R R
証明. 右S S S P P P H P = Hom S ( N , P ) H_P=\Hom_S(N,P) H P = Hom S ( N , P ) 命題 8.2 を合成すると、アーベル群の同型
Ξ i : Hom S ( F i ⊗ R N , P ) ⟶ Hom R ( F i , H P ) , Ξ i ( G ) ( x ) ( n ) = G ( τ i ( x , n ) ) \Xi_i\colon\Hom_S(F_i\otimes_RN,P)\longrightarrow\Hom_R(F_i,H_P),
\qquad \Xi_i(G)(x)(n)=G(\tau_i(x,n)) Ξ i : Hom S ( F i ⊗ R N , P ) ⟶ Hom R ( F i , H P ) , Ξ i ( G ) ( x ) ( n ) = G ( τ i ( x , n )) を得る。y ∈ F 1 y\in F_1 y ∈ F 1 n ∈ N n\in N n ∈ N
Ξ 1 ( G ∘ ( u ⊗ 1 N ) ) ( y ) ( n ) = G ( τ 0 ( u ( y ) , n ) ) = ( Ξ 0 ( G ) ∘ u ) ( y ) ( n ) \Xi_1(G\circ(u\otimes1_N))(y)(n)
=G(\tau_0(u(y),n))
=(\Xi_0(G)\circ u)(y)(n) Ξ 1 ( G ∘ ( u ⊗ 1 N )) ( y ) ( n ) = G ( τ 0 ( u ( y ) , n )) = ( Ξ 0 ( G ) ∘ u ) ( y ) ( n ) であるから、Ξ i \Xi_i Ξ i
P = V P=V P = V q : F 0 ⊗ R N → V q\colon F_0\otimes_RN\to V q : F 0 ⊗ R N → V q ( u ⊗ 1 N ) = 0 q(u\otimes1_N)=0 q ( u ⊗ 1 N ) = 0 Ξ 0 ( q ) u = 0 \Xi_0(q)u=0 Ξ 0 ( q ) u = 0 系 5.1 を右R R R a π = Ξ 0 ( q ) a\pi=\Xi_0(q) aπ = Ξ 0 ( q ) a : M → H V a\colon M\to H_V a : M → H V 命題 8.2 の逆対応によってa a a τ : M × N → V \tau\colon M\times N\to V τ : M × N → V π ( x ) = m \pi(x)=m π ( x ) = m
τ ( m , n ) = a ( π ( x ) ) ( n ) = Ξ 0 ( q ) ( x ) ( n ) = q ( τ 0 ( x , n ) ) \tau(m,n)=a(\pi(x))(n)=\Xi_0(q)(x)(n)=q(\tau_0(x,n)) τ ( m , n ) = a ( π ( x )) ( n ) = Ξ 0 ( q ) ( x ) ( n ) = q ( τ 0 ( x , n )) であり、主張の公式を満たす。平衡性と選択からの独立性は、この合成による構成から従う。
任意の右S S S P P P 系 5.1 をV V V M M M Ξ i \Xi_i Ξ i
Hom S ( V , P ) → q ∗ ker ( u ⊗ 1 N ) ∗ → Ξ 0 ker u ∗ → ( π ∗ ) − 1 Hom R ( M , H P ) → Λ − 1 Bal R S ( M , N ; P ) \Hom_S(V,P)
\xrightarrow{q^*}\ker (u\otimes1_N)^*
\xrightarrow{\Xi_0}\ker u^*
\xrightarrow{(\pi^*)^{-1}}\Hom_R(M,H_P)
\xrightarrow{\Lambda^{-1}}\operatorname{Bal}_R^S(M,N;P) Hom S ( V , P ) q ∗ ker ( u ⊗ 1 N ) ∗ Ξ 0 ker u ∗ ( π ∗ ) − 1 Hom R ( M , H P ) Λ − 1 Bal R S ( M , N ; P ) を得る。ここでΛ \Lambda Λ 命題 8.2 の同型である。G : V → P G\colon V\to P G : V → P b b b π ( x ) = m \pi(x)=m π ( x ) = m
b ( m , n ) = G ( q ( τ 0 ( x , n ) ) ) = G ( τ ( m , n ) ) b(m,n)=G(q(\tau_0(x,n)))=G(\tau(m,n)) b ( m , n ) = G ( q ( τ 0 ( x , n ))) = G ( τ ( m , n )) である。したがってこの全単射はG ↦ G ∘ τ G\mapsto G\circ\tau G ↦ G ∘ τ ( V , τ ) (V,\tau) ( V , τ ) ▨
以後、M M M N N N R R R M ⊗ R N M\otimes_RN M ⊗ R N τ ( m , n ) \tau(m,n) τ ( m , n ) m ⊗ n m\otimes n m ⊗ n 純テンソル という。
命題 11.2. M ⊗ R N M\otimes_RN M ⊗ R N
∑ i = 1 q m i ⊗ n i \sum_{i=1}^q m_i\otimes n_i i = 1 ∑ q m i ⊗ n i として表すことができる。ただし、この表示は一般に一意でなく、一つの純テンソルとして表すことができるとは限らない。
証明. 命題 9.2 (2) により、純テンソルの全体はM ⊗ R N M\otimes_RN M ⊗ R N − ( m ⊗ n ) = ( − m ) ⊗ n -(m\otimes n)=(-m)\otimes n − ( m ⊗ n ) = ( − m ) ⊗ n ▨
例 11.3. k k k k 2 k^2 k 2 e 1 , e 2 e_1,e_2 e 1 , e 2
z = e 1 ⊗ e 1 + e 2 ⊗ e 2 ∈ k 2 ⊗ k k 2 z=e_1\otimes e_1+e_2\otimes e_2\in k^2\otimes_k k^2 z = e 1 ⊗ e 1 + e 2 ⊗ e 2 ∈ k 2 ⊗ k k 2 は一つの純テンソルではない。実際、定理 10.1 の同型k 2 ⊗ k k 2 ≅ k 2 ⊕ k 2 k^2\otimes_k k^2\cong k^2\oplus k^2 k 2 ⊗ k k 2 ≅ k 2 ⊕ k 2 z z z ( e 1 , e 2 ) (e_1,e_2) ( e 1 , e 2 ) z = ( a e 1 + b e 2 ) ⊗ y z=(ae_1+be_2)\otimes y z = ( a e 1 + b e 2 ) ⊗ y a y = e 1 ay=e_1 a y = e 1 b y = e 2 by=e_2 b y = e 2 a y = e 1 ≠ 0 ay=e_1\ne0 a y = e 1 = 0 a ≠ 0 a\ne0 a = 0 e 2 = ( b / a ) e 1 e_2=(b/a)e_1 e 2 = ( b / a ) e 1
命題 11.4. P P P b : M × N → P b\colon M\times N\to P b : M × N → P b ( m r , n ) = b ( m , r n ) b(mr,n)=b(m,rn) b ( m r , n ) = b ( m , r n )
b ~ ( m ⊗ n ) = b ( m , n ) \widetilde b(m\otimes n)=b(m,n) b ( m ⊗ n ) = b ( m , n ) を満たす加法群準同型b ~ : M ⊗ R N → P \widetilde b\colon M\otimes_RN\to P b : M ⊗ R N → P
証明. 一意性は命題 9.2 (2) による。純テンソルが加法群を生成し、二つの候補がともに加法的であれば、純テンソル上で一致することから全体で一致する。
命題 9.2 (1) により、テンソル積を定理 11.1 の( V , τ ) (V,\tau) ( V , τ ) b 0 : = b ∘ ( π × 1 N ) : F 0 × N → P b_0:=b\circ(\pi\times1_N)\colon F_0\times N\to P b 0 := b ∘ ( π × 1 N ) : F 0 × N → P π \pi π R R R b 0 b_0 b 0 b 0 ( x r , n ) = b 0 ( x , r n ) b_0(xr,n)=b_0(x,rn) b 0 ( x r , n ) = b 0 ( x , r n )
F 0 F_0 F 0 ( e x ) x ∈ X (e_x)_{x\in X} ( e x ) x ∈ X 定理 10.1 の記号のもとで
b ^ : F 0 ⊗ R N = ⨁ x ∈ X N ⟶ P , b ^ ( ( n x ) x ) : = ∑ x b 0 ( e x , n x ) \widehat b\colon F_0\otimes_RN=\bigoplus_{x\in X}N\longrightarrow P,
\qquad
\widehat b\bigl((n_x)_x\bigr):=\sum_{x}b_0(e_x,n_x) b : F 0 ⊗ R N = x ∈ X ⨁ N ⟶ P , b ( ( n x ) x ) := x ∑ b 0 ( e x , n x ) と定める。右辺は有限和であり、b ^ \widehat b b 解答 (13) の係数による計算は二変数についての加法性と平衡関係だけを用いるため、b ^ ( τ 0 ( x , n ) ) = b 0 ( x , n ) \widehat b(\tau_0(x,n))=b_0(x,n) b ( τ 0 ( x , n )) = b 0 ( x , n )
任意のy ∈ F 1 y\in F_1 y ∈ F 1 n ∈ N n\in N n ∈ N
b ^ ( ( u ⊗ 1 N ) ( τ 1 ( y , n ) ) ) = b ^ ( τ 0 ( u ( y ) , n ) ) = b 0 ( u ( y ) , n ) = b ( π ( u ( y ) ) , n ) = b ( 0 , n ) = 0 \widehat b\bigl((u\otimes1_N)(\tau_1(y,n))\bigr)
=\widehat b(\tau_0(u(y),n))
=b_0(u(y),n)
=b\bigl(\pi(u(y)),n\bigr)
=b(0,n)
=0 b ( ( u ⊗ 1 N ) ( τ 1 ( y , n )) ) = b ( τ 0 ( u ( y ) , n )) = b 0 ( u ( y ) , n ) = b ( π ( u ( y )) , n ) = b ( 0 , n ) = 0 である。命題 9.2 (2) によりτ 1 \tau_1 τ 1 F 1 ⊗ R N F_1\otimes_RN F 1 ⊗ R N b ^ \widehat b b im ( u ⊗ 1 N ) \operatorname{im}(u\otimes1_N) im ( u ⊗ 1 N ) b ^ \widehat b b b ~ : V → P \widetilde b\colon V\to P b : V → P b ~ ∘ q = b ^ \widetilde b\circ q=\widehat b b ∘ q = b m ∈ M m\in M m ∈ M x x x
b ~ ( m ⊗ n ) = b ~ ( q ( τ 0 ( x , n ) ) ) = b 0 ( x , n ) = b ( m , n ) \widetilde b(m\otimes n)
=\widetilde b\bigl(q(\tau_0(x,n))\bigr)
=b_0(x,n)
=b(m,n) b ( m ⊗ n ) = b ( q ( τ 0 ( x , n )) ) = b 0 ( x , n ) = b ( m , n ) である。▨
12 誘導写像と関手性 命題 12.1. M , M ′ M,M' M , M ′ R R R N , N ′ N,N' N , N ′ R R R S S S f : M → M ′ f\colon M\to M' f : M → M ′ R R R g : N → N ′ g\colon N\to N' g : N → N ′ R R R S S S
( f ⊗ R g ) ( m ⊗ n ) : = f ( m ) ⊗ g ( n ) (f\otimes_Rg)(m\otimes n):=f(m)\otimes g(n) ( f ⊗ R g ) ( m ⊗ n ) := f ( m ) ⊗ g ( n ) を満たす右S S S
f ⊗ R g : M ⊗ R N ⟶ M ′ ⊗ R N ′ f\otimes_Rg\colon M\otimes_RN\longrightarrow M'\otimes_RN' f ⊗ R g : M ⊗ R N ⟶ M ′ ⊗ R N ′ がただ一つ存在する。
さらに、適切な型をもつ写像f ′ , g ′ f',g' f ′ , g ′
id M ⊗ R id N = id M ⊗ R N , \operatorname{id}_M\otimes_R\operatorname{id}_N
=\operatorname{id}_{M\otimes_RN}, id M ⊗ R id N = id M ⊗ R N , ( f ′ ⊗ R g ′ ) ∘ ( f ⊗ R g ) = ( f ′ ∘ f ) ⊗ R ( g ′ ∘ g ) (f'\otimes_Rg')\circ(f\otimes_Rg)
=(f'\circ f)\otimes_R(g'\circ g) ( f ′ ⊗ R g ′ ) ∘ ( f ⊗ R g ) = ( f ′ ∘ f ) ⊗ R ( g ′ ∘ g ) が成り立つ。
固定した左R R R S S S N N N R R R f : M → M ′ f\colon M\to M' f : M → M ′ f ⊗ R id N f\otimes_R\operatorname{id}_N f ⊗ R id N f ⊗ R 1 N f\otimes_R1_N f ⊗ R 1 N
命題 12.2. R R R A A A R R R F F F R R R F F F x r o p : = r x x r^{\mathrm{op}}:=rx x r op := r x R o p R^{\mathrm{op}} R op A A A r o p a : = a r r^{\mathrm{op}}a:=ar r op a := a r R o p R^{\mathrm{op}} R op
σ A , F ( a ⊗ x ) : = x ⊗ a \sigma_{A,F}(a\otimes x):=x\otimes a σ A , F ( a ⊗ x ) := x ⊗ a はアーベル群の同型
σ A , F : A ⊗ R F → ≅ F ⊗ R o p A \sigma_{A,F}\colon A\otimes_RF
\xrightarrow{\ \cong\ }F\otimes_{R^{\mathrm{op}}}A σ A , F : A ⊗ R F ≅ F ⊗ R op A を定める。逆写像はx ⊗ a ↦ a ⊗ x x\otimes a\mapsto a\otimes x x ⊗ a ↦ a ⊗ x
右R R R u : A → A ′ u\colon A\to A' u : A → A ′ R R R v : F → F ′ v\colon F\to F' v : F → F ′
σ A ′ , F ′ ∘ ( u ⊗ R v ) = ( v ⊗ R o p u ) ∘ σ A , F \sigma_{A',F'}\circ(u\otimes_Rv)
=(v\otimes_{R^{\mathrm{op}}}u)\circ\sigma_{A,F} σ A ′ , F ′ ∘ ( u ⊗ R v ) = ( v ⊗ R op u ) ∘ σ A , F が成り立つ。すなわち、この同型は両変数について自然である。
証明. 写像( a , x ) ↦ x ⊗ a (a,x)\mapsto x\otimes a ( a , x ) ↦ x ⊗ a
( r x ) ⊗ a = ( x r o p ) ⊗ a = x ⊗ ( r o p a ) = x ⊗ a r (rx)\otimes a=(x r^{\mathrm{op}})\otimes a
=x\otimes(r^{\mathrm{op}}a)=x\otimes ar ( r x ) ⊗ a = ( x r op ) ⊗ a = x ⊗ ( r op a ) = x ⊗ a r によりR R R 命題 11.4 により、σ A , F \sigma_{A,F} σ A , F
逆向きの写像( x , a ) ↦ a ⊗ x (x,a)\mapsto a\otimes x ( x , a ) ↦ a ⊗ x
a ⊗ ( x r o p ) = a ⊗ r x = a r ⊗ x = ( r o p a ) ⊗ x a\otimes(x r^{\mathrm{op}})=a\otimes rx
=ar\otimes x=(r^{\mathrm{op}}a)\otimes x a ⊗ ( x r op ) = a ⊗ r x = a r ⊗ x = ( r op a ) ⊗ x によりR o p R^{\mathrm{op}} R op F ⊗ R o p A F\otimes_{R^{\mathrm{op}}}A F ⊗ R op A A ⊗ R F A\otimes_RF A ⊗ R F 命題 9.2 (2) により恒等写像である。
u , v u,v u , v R o p R^{\mathrm{op}} R op R o p R^{\mathrm{op}} R op 命題 12.1 により定まる。その両辺はa ⊗ x a\otimes x a ⊗ x v ( x ) ⊗ u ( a ) v(x)\otimes u(a) v ( x ) ⊗ u ( a ) ▨
13 単位同型 命題 13.1. 次の二つの同型が成り立つ。
任意の右R R R M M M λ M : M ⊗ R R → ≅ M , λ M ( m ⊗ r ) : = m r \lambda_M\colon M\otimes_RR\xrightarrow{\ \cong\ }M,
\qquad
\lambda_M(m\otimes r):=mr λ M : M ⊗ R R ≅ M , λ M ( m ⊗ r ) := m r R R R
任意の左R R R S S S N N N ρ N : R ⊗ R N → ≅ N , ρ N ( r ⊗ n ) : = r n \rho_N\colon R\otimes_RN\xrightarrow{\ \cong\ }N,
\qquad
\rho_N(r\otimes n):=rn ρ N : R ⊗ R N ≅ N , ρ N ( r ⊗ n ) := r n S S S
それぞれの逆写像は
m ⟼ m ⊗ 1 R , n ⟼ 1 R ⊗ n m\longmapsto m\otimes1_R,
\qquad
n\longmapsto1_R\otimes n m ⟼ m ⊗ 1 R , n ⟼ 1 R ⊗ n である。
14 三つの加群に対する結合同型 定理 14.1. R , S , T R,S,T R , S , T M M M R R R N N N R R R S S S L L L S S S T T T N ⊗ S L N\otimes_SL N ⊗ S L
r ( n ⊗ l ) : = ( r n ) ⊗ l r(n\otimes l):=(rn)\otimes l r ( n ⊗ l ) := ( r n ) ⊗ l によって左R R R R R R T T T N ⊗ S L N\otimes_SL N ⊗ S L R R R T T T
さらに、純テンソル上の式
α M , N , L ( ( m ⊗ n ) ⊗ l ) : = m ⊗ ( n ⊗ l ) \alpha_{M,N,L}((m\otimes n)\otimes l)
:=m\otimes(n\otimes l) α M , N , L (( m ⊗ n ) ⊗ l ) := m ⊗ ( n ⊗ l ) は右T T T
α M , N , L : ( M ⊗ R N ) ⊗ S L → ≅ M ⊗ R ( N ⊗ S L ) \alpha_{M,N,L}\colon
(M\otimes_RN)\otimes_SL
\xrightarrow{\ \cong\ }
M\otimes_R(N\otimes_SL) α M , N , L : ( M ⊗ R N ) ⊗ S L ≅ M ⊗ R ( N ⊗ S L ) を定める。
証明. 各r ∈ R r\in R r ∈ R ( n , l ) ↦ ( r n ) ⊗ l (n,l)\mapsto(rn)\otimes l ( n , l ) ↦ ( r n ) ⊗ l s ∈ S s\in S s ∈ S t ∈ T t\in T t ∈ T
( r ( n s ) ) ⊗ l = ( ( r n ) s ) ⊗ l = ( r n ) ⊗ ( s l ) , (r(ns))\otimes l
=((rn)s)\otimes l
=(rn)\otimes(sl), ( r ( n s )) ⊗ l = (( r n ) s ) ⊗ l = ( r n ) ⊗ ( s l ) , ( r n ) ⊗ ( l t ) = ( ( r n ) ⊗ l ) t (rn)\otimes(lt)=((rn)\otimes l)t ( r n ) ⊗ ( l t ) = (( r n ) ⊗ l ) t である。したがって、この写像はS S S T T T 定義 9.1 の普遍性によりN ⊗ S L N\otimes_SL N ⊗ S L T T T z = n ⊗ l z=n\otimes l z = n ⊗ l
( r + r ′ ) z = ( ( r + r ′ ) n ) ⊗ l = r z + r ′ z , ( r r ′ ) z = ( ( r r ′ ) n ) ⊗ l = r ( r ′ z ) , 1 R z = z \begin{aligned}
(r+r')z
&=((r+r')n)\otimes l
=rz+r'z,\\
(rr')z
&=((rr')n)\otimes l
=r(r'z),\\
1_Rz&=z
\end{aligned} ( r + r ′ ) z ( r r ′ ) z 1 R z = (( r + r ′ ) n ) ⊗ l = r z + r ′ z , = (( r r ′ ) n ) ⊗ l = r ( r ′ z ) , = z である。各r r r z ∈ N ⊗ S L z\in N\otimes_SL z ∈ N ⊗ S L
( r ( n ⊗ l ) ) t = ( ( r n ) ⊗ l ) t = ( r n ) ⊗ ( l t ) = r ( ( n ⊗ l ) t ) (r(n\otimes l))t
=((rn)\otimes l)t
=(rn)\otimes(lt)
=r((n\otimes l)t) ( r ( n ⊗ l )) t = (( r n ) ⊗ l ) t = ( r n ) ⊗ ( l t ) = r (( n ⊗ l ) t ) である。よってN ⊗ S L N\otimes_SL N ⊗ S L R R R T T T
Y : = M ⊗ R ( N ⊗ S L ) Y:=M\otimes_R(N\otimes_SL) Y := M ⊗ R ( N ⊗ S L ) l ∈ L l\in L l ∈ L
b l : M × N ⟶ Y , b l ( m , n ) : = m ⊗ ( n ⊗ l ) b_l\colon M\times N\longrightarrow Y,
\qquad
b_l(m,n):=m\otimes(n\otimes l) b l : M × N ⟶ Y , b l ( m , n ) := m ⊗ ( n ⊗ l ) と定める。この写像は二変数について加法的であり、
b l ( m r , n ) = m r ⊗ ( n ⊗ l ) = m ⊗ ( ( r n ) ⊗ l ) = b l ( m , r n ) b_l(mr,n)
=mr\otimes(n\otimes l)
=m\otimes((rn)\otimes l)
=b_l(m,rn) b l ( m r , n ) = m r ⊗ ( n ⊗ l ) = m ⊗ (( r n ) ⊗ l ) = b l ( m , r n ) である。命題 11.4 により、加法群準同型
θ l : M ⊗ R N ⟶ Y , θ l ( m ⊗ n ) = m ⊗ ( n ⊗ l ) \theta_l\colon M\otimes_RN\longrightarrow Y,
\qquad
\theta_l(m\otimes n)=m\otimes(n\otimes l) θ l : M ⊗ R N ⟶ Y , θ l ( m ⊗ n ) = m ⊗ ( n ⊗ l ) が定まる。
写像θ : ( M ⊗ R N ) × L → Y \theta\colon(M\otimes_RN)\times L\to Y θ : ( M ⊗ R N ) × L → Y θ ( x , l ) : = θ l ( x ) \theta(x,l):=\theta_l(x) θ ( x , l ) := θ l ( x )
θ ( ( m ⊗ n ) s , l ) = θ ( m ⊗ ( n s ) , l ) = m ⊗ ( ( n s ) ⊗ l ) = m ⊗ ( n ⊗ s l ) = θ ( m ⊗ n , s l ) , θ ( m ⊗ n , l t ) = m ⊗ ( n ⊗ l t ) = θ ( m ⊗ n , l ) t . \begin{aligned}
\theta((m\otimes n)s,l)
&=\theta(m\otimes(ns),l)\\
&=m\otimes((ns)\otimes l)\\
&=m\otimes(n\otimes sl)\\
&=\theta(m\otimes n,sl),\\
\theta(m\otimes n,lt)
&=m\otimes(n\otimes lt)\\
&=\theta(m\otimes n,l)t.
\end{aligned} θ (( m ⊗ n ) s , l ) θ ( m ⊗ n , l t ) = θ ( m ⊗ ( n s ) , l ) = m ⊗ (( n s ) ⊗ l ) = m ⊗ ( n ⊗ s l ) = θ ( m ⊗ n , s l ) , = m ⊗ ( n ⊗ l t ) = θ ( m ⊗ n , l ) t . 純テンソルがM ⊗ R N M\otimes_RN M ⊗ R N x ∈ M ⊗ R N x\in M\otimes_RN x ∈ M ⊗ R N θ \theta θ T T T S S S 定義 9.1 の普遍性により右T T T
α M , N , L : ( M ⊗ R N ) ⊗ S L → Y \alpha_{M,N,L}\colon(M\otimes_RN)\otimes_SL\to Y α M , N , L : ( M ⊗ R N ) ⊗ S L → Y を誘導する。
X : = ( M ⊗ R N ) ⊗ S L X:=(M\otimes_RN)\otimes_SL X := ( M ⊗ R N ) ⊗ S L m ∈ M m\in M m ∈ M
c m : N × L ⟶ X , c m ( n , l ) : = ( m ⊗ n ) ⊗ l c_m\colon N\times L\longrightarrow X,
\qquad
c_m(n,l):=(m\otimes n)\otimes l c m : N × L ⟶ X , c m ( n , l ) := ( m ⊗ n ) ⊗ l と定める。この写像は二変数について加法的であり、
c m ( n s , l ) = ( ( m ⊗ n ) s ) ⊗ l = ( m ⊗ n ) ⊗ ( s l ) = c m ( n , s l ) , c_m(ns,l)
=((m\otimes n)s)\otimes l
=(m\otimes n)\otimes(sl)
=c_m(n,sl), c m ( n s , l ) = (( m ⊗ n ) s ) ⊗ l = ( m ⊗ n ) ⊗ ( s l ) = c m ( n , s l ) , c m ( n , l t ) = c m ( n , l ) t c_m(n,lt)=c_m(n,l)t c m ( n , l t ) = c m ( n , l ) t である。したがってc m c_m c m T T T S S S T T T
q m : N ⊗ S L ⟶ X , q m ( n ⊗ l ) = ( m ⊗ n ) ⊗ l q_m\colon N\otimes_SL\longrightarrow X,
\qquad
q_m(n\otimes l)=(m\otimes n)\otimes l q m : N ⊗ S L ⟶ X , q m ( n ⊗ l ) = ( m ⊗ n ) ⊗ l を誘導する。写像q : M × ( N ⊗ S L ) → X q\colon M\times(N\otimes_SL)\to X q : M × ( N ⊗ S L ) → X q ( m , z ) : = q m ( z ) q(m,z):=q_m(z) q ( m , z ) := q m ( z ) z = n ⊗ l z=n\otimes l z = n ⊗ l
q ( m r , n ⊗ l ) = ( ( m r ) ⊗ n ) ⊗ l = ( m ⊗ r n ) ⊗ l = q ( m , r ( n ⊗ l ) ) q(mr,n\otimes l)
=((mr)\otimes n)\otimes l
=(m\otimes rn)\otimes l
=q(m,r(n\otimes l)) q ( m r , n ⊗ l ) = (( m r ) ⊗ n ) ⊗ l = ( m ⊗ r n ) ⊗ l = q ( m , r ( n ⊗ l )) である。この等式はN ⊗ S L N\otimes_SL N ⊗ S L q q q T T T q q q T T T R R R T T T
β M , N , L : M ⊗ R ( N ⊗ S L ) ⟶ X \beta_{M,N,L}\colon
M\otimes_R(N\otimes_SL)\longrightarrow X β M , N , L : M ⊗ R ( N ⊗ S L ) ⟶ X を誘導する。
三つの元からなる純テンソル上で
( β M , N , L ∘ α M , N , L ) ( ( m ⊗ n ) ⊗ l ) = ( m ⊗ n ) ⊗ l , ( α M , N , L ∘ β M , N , L ) ( m ⊗ ( n ⊗ l ) ) = m ⊗ ( n ⊗ l ) \begin{aligned}
(\beta_{M,N,L}\circ\alpha_{M,N,L})((m\otimes n)\otimes l)
&=(m\otimes n)\otimes l,\\
(\alpha_{M,N,L}\circ\beta_{M,N,L})(m\otimes(n\otimes l))
&=m\otimes(n\otimes l)
\end{aligned} ( β M , N , L ∘ α M , N , L ) (( m ⊗ n ) ⊗ l ) ( α M , N , L ∘ β M , N , L ) ( m ⊗ ( n ⊗ l )) = ( m ⊗ n ) ⊗ l , = m ⊗ ( n ⊗ l ) である。両方の始域は表示した形の元によって加法群として生成されるため、二つの合成は恒等写像である。よってα M , N , L \alpha_{M,N,L} α M , N , L ▨
15 Hom–tensor 対応 定理 15.1 (Hom–tensor 対応). M M M R R R N N N R R R S S S P P P S S S 命題 8.1 の右R R R Hom S ( N , P ) \operatorname{Hom}_S(N,P) Hom S ( N , P )
Φ M , N , P : Hom S ( M ⊗ R N , P ) → ≅ Hom R ( M , Hom S ( N , P ) ) \Phi_{M,N,P}\colon
\operatorname{Hom}_S(M\otimes_RN,P)
\xrightarrow{\ \cong\ }
\operatorname{Hom}_R\bigl(M,\operatorname{Hom}_S(N,P)\bigr) Φ M , N , P : Hom S ( M ⊗ R N , P ) ≅ Hom R ( M , Hom S ( N , P ) ) が
( Φ M , N , P ( F ) ( m ) ) ( n ) : = F ( m ⊗ n ) \bigl(\Phi_{M,N,P}(F)(m)\bigr)(n):=F(m\otimes n) ( Φ M , N , P ( F ) ( m ) ) ( n ) := F ( m ⊗ n ) によって定まる。逆写像Ψ M , N , P \Psi_{M,N,P} Ψ M , N , P
Ψ M , N , P ( G ) ( m ⊗ n ) : = G ( m ) ( n ) \Psi_{M,N,P}(G)(m\otimes n):=G(m)(n) Ψ M , N , P ( G ) ( m ⊗ n ) := G ( m ) ( n ) によって定まる。
この対応は、次の三つの意味で写像と可換する。
右R R R a : M ′ → M a\colon M'\to M a : M ′ → M F : M ⊗ R N → P F\colon M\otimes_RN\to P F : M ⊗ R N → P Φ M ′ , N , P ( F ∘ ( a ⊗ R 1 N ) ) = Φ M , N , P ( F ) ∘ a . \Phi_{M',N,P}\bigl(F\circ(a\otimes_R1_N)\bigr)
=\Phi_{M,N,P}(F)\circ a. Φ M ′ , N , P ( F ∘ ( a ⊗ R 1 N ) ) = Φ M , N , P ( F ) ∘ a .
左R R R S S S g : N → N ′ g\colon N\to N' g : N → N ′ F : M ⊗ R N ′ → P F\colon M\otimes_RN'\to P F : M ⊗ R N ′ → P m ∈ M m\in M m ∈ M Φ M , N , P ( F ∘ ( 1 M ⊗ R g ) ) ( m ) = Φ M , N ′ , P ( F ) ( m ) ∘ g . \Phi_{M,N,P}\bigl(F\circ(1_M\otimes_Rg)\bigr)(m)
=\Phi_{M,N',P}(F)(m)\circ g. Φ M , N , P ( F ∘ ( 1 M ⊗ R g ) ) ( m ) = Φ M , N ′ , P ( F ) ( m ) ∘ g .
右S S S c : P → P ′ c\colon P\to P' c : P → P ′ F : M ⊗ R N → P F\colon M\otimes_RN\to P F : M ⊗ R N → P m ∈ M m\in M m ∈ M Φ M , N , P ′ ( c ∘ F ) ( m ) = c ∘ Φ M , N , P ( F ) ( m ) . \Phi_{M,N,P'}(c\circ F)(m)
=c\circ\Phi_{M,N,P}(F)(m). Φ M , N , P ′ ( c ∘ F ) ( m ) = c ∘ Φ M , N , P ( F ) ( m ) .
証明. τ \tau τ M ⊗ R N M\otimes_RN M ⊗ R N 定義 9.1 の普遍性は、写像
Θ : Hom S ( M ⊗ R N , P ) ⟶ Bal R S ( M , N ; P ) , Θ ( F ) : = F ∘ τ \Theta\colon\operatorname{Hom}_S(M\otimes_RN,P)
\longrightarrow\operatorname{Bal}_R^S(M,N;P),
\qquad
\Theta(F):=F\circ\tau Θ : Hom S ( M ⊗ R N , P ) ⟶ Bal R S ( M , N ; P ) , Θ ( F ) := F ∘ τ が全単射であることを述べている。Θ ( F + F ′ ) = Θ ( F ) + Θ ( F ′ ) \Theta(F+F')=\Theta(F)+\Theta(F') Θ ( F + F ′ ) = Θ ( F ) + Θ ( F ′ ) Θ \Theta Θ
命題 8.2 の同型Λ M , N , P \Lambda_{M,N,P} Λ M , N , P
Λ M , N , P ∘ Θ : Hom S ( M ⊗ R N , P ) → ≅ Hom R ( M , Hom S ( N , P ) ) \Lambda_{M,N,P}\circ\Theta\colon
\operatorname{Hom}_S(M\otimes_RN,P)
\xrightarrow{\ \cong\ }
\operatorname{Hom}_R\bigl(M,\operatorname{Hom}_S(N,P)\bigr) Λ M , N , P ∘ Θ : Hom S ( M ⊗ R N , P ) ≅ Hom R ( M , Hom S ( N , P ) ) を得る。任意のF F F m m m n n n
( ( Λ M , N , P ∘ Θ ) ( F ) ( m ) ) ( n ) = ( F ∘ τ ) ( m , n ) = F ( m ⊗ n ) \bigl((\Lambda_{M,N,P}\circ\Theta)(F)(m)\bigr)(n)
=(F\circ\tau)(m,n)
=F(m\otimes n) ( ( Λ M , N , P ∘ Θ ) ( F ) ( m ) ) ( n ) = ( F ∘ τ ) ( m , n ) = F ( m ⊗ n ) であるから、この合成は表示したΦ M , N , P \Phi_{M,N,P} Φ M , N , P Φ M , N , P \Phi_{M,N,P} Φ M , N , P
逆写像はΘ − 1 ∘ Λ M , N , P − 1 \Theta^{-1}\circ\Lambda_{M,N,P}^{-1} Θ − 1 ∘ Λ M , N , P − 1 G ∈ Hom R ( M , Hom S ( N , P ) ) G\in\operatorname{Hom}_R(M,\operatorname{Hom}_S(N,P)) G ∈ Hom R ( M , Hom S ( N , P )) Λ M , N , P − 1 ( G ) \Lambda_{M,N,P}^{-1}(G) Λ M , N , P − 1 ( G ) ( m , n ) ↦ G ( m ) ( n ) (m,n)\mapsto G(m)(n) ( m , n ) ↦ G ( m ) ( n ) Θ − 1 \Theta^{-1} Θ − 1 S S S
Ψ M , N , P ( G ) ( m ⊗ n ) = G ( m ) ( n ) \Psi_{M,N,P}(G)(m\otimes n)=G(m)(n) Ψ M , N , P ( G ) ( m ⊗ n ) = G ( m ) ( n ) を満たし、命題 9.2 (2) によりこの条件で一意に定まる。
主張 (1) を示す。任意のm ′ ∈ M ′ m'\in M' m ′ ∈ M ′ n ∈ N n\in N n ∈ N
F ( a ( m ′ ) ⊗ n ) F(a(m')\otimes n) F ( a ( m ′ ) ⊗ n ) という同じ値が得られる。主張 (2) を示す。任意のm ∈ M m\in M m ∈ M n ∈ N n\in N n ∈ N
F ( m ⊗ g ( n ) ) F(m\otimes g(n)) F ( m ⊗ g ( n )) という同じ値が得られる。なお、h ↦ h ∘ g h\mapsto h\circ g h ↦ h ∘ g Hom S ( N ′ , P ) \operatorname{Hom}_S(N',P) Hom S ( N ′ , P ) Hom S ( N , P ) \operatorname{Hom}_S(N,P) Hom S ( N , P ) R R R g ( r n ) = r g ( n ) g(rn)=rg(n) g ( r n ) = r g ( n )
( ( h ∘ g ) ⋅ r ) ( n ) = h ( g ( r n ) ) = h ( r g ( n ) ) = ( ( h ⋅ r ) ∘ g ) ( n ) ((h\circ g)\cdot r)(n)
=h(g(rn))
=h(rg(n))
=((h\cdot r)\circ g)(n) (( h ∘ g ) ⋅ r ) ( n ) = h ( g ( r n )) = h ( r g ( n )) = (( h ⋅ r ) ∘ g ) ( n ) となる。主張 (3) を示す。任意のm ∈ M m\in M m ∈ M n ∈ N n\in N n ∈ N
c ( F ( m ⊗ n ) ) c(F(m\otimes n)) c ( F ( m ⊗ n )) という同じ値が得られる。よって三つの等式が成り立つ。▨
命題 15.3. R R R A A A R R R D D D F F F R R R H : = Hom Z ( A , D ) H:=\Hom_\Z(A,D) H := Hom Z ( A , D )
( r h ) ( a ) : = h ( a r ) ( r ∈ R , h ∈ H , a ∈ A ) (rh)(a):=h(ar)
\qquad(r\in R,\ h\in H,\ a\in A) ( r h ) ( a ) := h ( a r ) ( r ∈ R , h ∈ H , a ∈ A ) による左R R R
Φ F : Hom Z ( A ⊗ R F , D ) → ≅ Hom R ( F , H ) , Φ F ( λ ) ( x ) ( a ) : = λ ( a ⊗ x ) \Phi_F\colon\Hom_\Z(A\otimes_RF,D)
\xrightarrow{\ \cong\ }\Hom_R(F,H),
\qquad
\Phi_F(\lambda)(x)(a):=\lambda(a\otimes x) Φ F : Hom Z ( A ⊗ R F , D ) ≅ Hom R ( F , H ) , Φ F ( λ ) ( x ) ( a ) := λ ( a ⊗ x ) が定まる。その逆写像は、v ∈ Hom R ( F , H ) v\in\Hom_R(F,H) v ∈ Hom R ( F , H )
Ψ F ( v ) ( a ⊗ x ) : = v ( x ) ( a ) \Psi_F(v)(a\otimes x):=v(x)(a) Ψ F ( v ) ( a ⊗ x ) := v ( x ) ( a ) によって定まる。
この同型はF F F R R R u : F → F ′ u\colon F\to F' u : F → F ′ λ : A ⊗ R F ′ → D \lambda\colon A\otimes_RF'\to D λ : A ⊗ R F ′ → D
Φ F ( λ ∘ ( 1 A ⊗ R u ) ) = Φ F ′ ( λ ) ∘ u \Phi_F\bigl(\lambda\circ(1_A\otimes_Ru)\bigr)
=\Phi_{F'}(\lambda)\circ u Φ F ( λ ∘ ( 1 A ⊗ R u ) ) = Φ F ′ ( λ ) ∘ u が成り立つ。
証明. A A A Z \Z Z R R R D D D Z \Z Z Z \Z Z §E6.2 定理 14.1 により表示した左R R R H H H
F F F R o p R^{\mathrm{op}} R op A A A R o p R^{\mathrm{op}} R op Z \Z Z 定理 15.1 を係数環R o p , Z R^{\mathrm{op}},\Z R op , Z
Hom Z ( F ⊗ R o p A , D ) ≅ Hom R o p ( F , H ) \Hom_\Z(F\otimes_{R^{\mathrm{op}}}A,D)
\cong\Hom_{R^{\mathrm{op}}}(F,H) Hom Z ( F ⊗ R op A , D ) ≅ Hom R op ( F , H ) を得る。この対応でH H H R o p R^{\mathrm{op}} R op
( h ⋅ r o p ) ( a ) = h ( r o p a ) = h ( a r ) = ( r h ) ( a ) (h\cdot r^{\mathrm{op}})(a)=h(r^{\mathrm{op}}a)=h(ar)=(rh)(a) ( h ⋅ r op ) ( a ) = h ( r op a ) = h ( a r ) = ( r h ) ( a ) である。したがって右辺は、主張の左R R R Hom R ( F , H ) \Hom_R(F,H) Hom R ( F , H )
命題 12.2 の逆写像との前合成を用いて、Φ F \Phi_F Φ F
Hom Z ( A ⊗ R F , D ) → λ ↦ λ ∘ σ A , F − 1 Hom Z ( F ⊗ R o p A , D ) → ≅ Hom R ( F , H ) \Hom_\Z(A\otimes_RF,D)
\xrightarrow{\ \lambda\mapsto\lambda\circ\sigma_{A,F}^{-1}\ }
\Hom_\Z(F\otimes_{R^{\mathrm{op}}}A,D)
\xrightarrow{\ \cong\ }\Hom_R(F,H) Hom Z ( A ⊗ R F , D ) λ ↦ λ ∘ σ A , F − 1 Hom Z ( F ⊗ R op A , D ) ≅ Hom R ( F , H ) として定める。x ∈ F x\in F x ∈ F a ∈ A a\in A a ∈ A λ ( a ⊗ x ) \lambda(a\otimes x) λ ( a ⊗ x ) v : F → H v\colon F\to H v : F → H b ( a , x ) : = v ( x ) ( a ) b(a,x):=v(x)(a) b ( a , x ) := v ( x ) ( a ) b b b
b ( a r , x ) = v ( x ) ( a r ) = ( r v ( x ) ) ( a ) = v ( r x ) ( a ) = b ( a , r x ) b(ar,x)=v(x)(ar)=(rv(x))(a)=v(rx)(a)=b(a,rx) b ( a r , x ) = v ( x ) ( a r ) = ( r v ( x )) ( a ) = v ( r x ) ( a ) = b ( a , r x ) である。命題 11.4 により、b b b Ψ F ( v ) \Psi_F(v) Ψ F ( v )
( Φ F ( Ψ F ( v ) ) ( x ) ) ( a ) = v ( x ) ( a ) , Ψ F ( Φ F ( λ ) ) ( a ⊗ x ) = λ ( a ⊗ x ) (\Phi_F(\Psi_F(v))(x))(a)=v(x)(a),
\qquad
\Psi_F(\Phi_F(\lambda))(a\otimes x)=\lambda(a\otimes x) ( Φ F ( Ψ F ( v )) ( x )) ( a ) = v ( x ) ( a ) , Ψ F ( Φ F ( λ )) ( a ⊗ x ) = λ ( a ⊗ x ) を満たす。純テンソルが加法群を生成することから、両対応は互いに逆である。
自然性の等式の両辺をx ∈ F x\in F x ∈ F a ∈ A a\in A a ∈ A λ ( a ⊗ u ( x ) ) \lambda(a\otimes u(x)) λ ( a ⊗ u ( x )) ▨
命題 15.4. 左R R R S S S N N N S S S c : P → P ′ c\colon P\to P' c : P → P ′
Hom S ( N , c ) : Hom S ( N , P ) ⟶ Hom S ( N , P ′ ) , h ⟼ c ∘ h \operatorname{Hom}_S(N,c)\colon
\operatorname{Hom}_S(N,P)\longrightarrow
\operatorname{Hom}_S(N,P'),
\qquad
h\longmapsto c\circ h Hom S ( N , c ) : Hom S ( N , P ) ⟶ Hom S ( N , P ′ ) , h ⟼ c ∘ h と定める。このとき、この写像は、命題命題 8.1 の右R R R R R R
Hom S ( N , 1 P ) = 1 Hom S ( N , P ) , \operatorname{Hom}_S(N,1_P)
=1_{\operatorname{Hom}_S(N,P)}, Hom S ( N , 1 P ) = 1 Hom S ( N , P ) , Hom S ( N , d ∘ c ) = Hom S ( N , d ) ∘ Hom S ( N , c ) \operatorname{Hom}_S(N,d\circ c)
=\operatorname{Hom}_S(N,d)\circ\operatorname{Hom}_S(N,c) Hom S ( N , d ∘ c ) = Hom S ( N , d ) ∘ Hom S ( N , c ) が成り立つ。したがってHom S ( N , − ) \operatorname{Hom}_S(N,-) Hom S ( N , − ) S S S S S S R R R R R R
証明. 合成c ∘ h c\circ h c ∘ h S S S r ∈ R r\in R r ∈ R n ∈ N n\in N n ∈ N
( Hom S ( N , c ) ( h ⋅ r ) ) ( n ) = c ( h ( r n ) ) = ( ( c ∘ h ) ⋅ r ) ( n ) \begin{aligned}
\bigl(\operatorname{Hom}_S(N,c)(h\cdot r)\bigr)(n)
&=c(h(rn))\\
&=\bigl((c\circ h)\cdot r\bigr)(n)
\end{aligned} ( Hom S ( N , c ) ( h ⋅ r ) ) ( n ) = c ( h ( r n )) = ( ( c ∘ h ) ⋅ r ) ( n ) であるため、Hom S ( N , c ) \operatorname{Hom}_S(N,c) Hom S ( N , c ) R R R h : N → P h\colon N\to P h : N → P 1 P ∘ h = h 1_P\circ h=h 1 P ∘ h = h ( d ∘ c ) ∘ h = d ∘ ( c ∘ h ) (d\circ c)\circ h=d\circ(c\circ h) ( d ∘ c ) ∘ h = d ∘ ( c ∘ h ) ▨
16 固定した双加群とのテンソル積 左R R R S S S N N N
命題 16.1. 対応
M ⟼ M ⊗ R N , ( f : M → M ′ ) ⟼ f ⊗ R 1 N M\longmapsto M\otimes_RN,
\qquad
(f\colon M\to M')\longmapsto
f\otimes_R1_N M ⟼ M ⊗ R N , ( f : M → M ′ ) ⟼ f ⊗ R 1 N は、右R R R S S S R R R
1 M ⊗ R 1 N = 1 M ⊗ R N , 1_M\otimes_R1_N=1_{M\otimes_RN}, 1 M ⊗ R 1 N = 1 M ⊗ R N , ( f ′ ⊗ R 1 N ) ∘ ( f ⊗ R 1 N ) = ( f ′ ∘ f ) ⊗ R 1 N (f'\otimes_R1_N)\circ(f\otimes_R1_N)
=(f'\circ f)\otimes_R1_N ( f ′ ⊗ R 1 N ) ∘ ( f ⊗ R 1 N ) = ( f ′ ∘ f ) ⊗ R 1 N である。
証明. 命題命題 12.1 の恒等写像と合成に関する等式でg = g ′ = 1 N g=g'=1_N g = g ′ = 1 N ▨
命題 16.2. 固定した左R R R S S S N N N 命題 16.1 の関手と命題命題 15.4 の関手の間には
− ⊗ R N ⊣ Hom S ( N , − ) -\otimes_RN\ \dashv\ \operatorname{Hom}_S(N,-) − ⊗ R N ⊣ Hom S ( N , − ) という随伴がある。ここで随伴とは、右R R R M M M S S S P P P
Hom S ( M ⊗ R N , P ) ≅ Hom R ( M , Hom S ( N , P ) ) \operatorname{Hom}_S(M\otimes_RN,P)
\cong
\operatorname{Hom}_R\bigl(M,\operatorname{Hom}_S(N,P)\bigr) Hom S ( M ⊗ R N , P ) ≅ Hom R ( M , Hom S ( N , P ) ) がM M M P P P
証明. 全単射は定理定理 15.1 のΦ M , N , P \Phi_{M,N,P} Φ M , N , P 定理 15.1 (1) は右R R R M M M 定理 15.1 (3) は右S S S P P P ▨
17 テンソル積と余極限 定理 17.1. R R R A A A R R R D D D I I I R R R
l i m → I ( A ⊗ R D i ) ⟶ A ⊗ R ( l i m → I D i ) , [ a ⊗ x ] ⟼ a ⊗ q i ( x ) \varinjlim_I(A\otimes_R D_i)\longrightarrow
A\otimes_R\left(\varinjlim_I D_i\right),
\qquad [a\otimes x]\longmapsto a\otimes q_i(x) I lim ( A ⊗ R D i ) ⟶ A ⊗ R ( I lim D i ) , [ a ⊗ x ] ⟼ a ⊗ q i ( x ) は同型である。ここでq i q_i q i D D D 1 A ⊗ D ( u ) 1_A\otimes D(u) 1 A ⊗ D ( u )
証明. C = l i m → I D i C=\varinjlim_I D_i C = lim I D i q i : D i → C q_i\colon D_i\to C q i : D i → C 1 A ⊗ q i 1_A\otimes q_i 1 A ⊗ q i ( A ⊗ R D i ) i (A\otimes_R D_i)_i ( A ⊗ R D i ) i A ⊗ R C A\otimes_R C A ⊗ R C
アーベル群X X X X X X ( g i ) i (g_i)_i ( g i ) i R R R H = Hom Z ( A , X ) H=\Hom_\Z(A,X) H = Hom Z ( A , X ) ( r h ) ( a ) = h ( a r ) (rh)(a)=h(ar) ( r h ) ( a ) = h ( a r ) 命題 15.3 により、各g i g_i g i R R R h i : D i → H h_i\colon D_i\to H h i : D i → H u : i → j u\colon i\to j u : i → j g j ( 1 A ⊗ D ( u ) ) = g i g_j(1_A\otimes D(u))=g_i g j ( 1 A ⊗ D ( u )) = g i h j D ( u ) = h i h_jD(u)=h_i h j D ( u ) = h i C C C i i i h q i = h i hq_i=h_i h q i = h i R R R h : C → H h\colon C\to H h : C → H
同じ対応をF = C F=C F = C h h h g : A ⊗ R C → X g\colon A\otimes_R C\to X g : A ⊗ R C → X q i q_i q i h q i = h i hq_i=h_i h q i = h i g ( 1 A ⊗ q i ) = g i g(1_A\otimes q_i)=g_i g ( 1 A ⊗ q i ) = g i g g g h q i = h i hq_i=h_i h q i = h i h h h g g g A ⊗ R C A\otimes_R C A ⊗ R C ( 1 A ⊗ q i ) i (1_A\otimes q_i)_i ( 1 A ⊗ q i ) i ( A ⊗ R D i ) i (A\otimes_R D_i)_i ( A ⊗ R D i ) i §E6.3 命題 2.5 をアーベル群の余極限に適用すると、主張の標準写像が同型であることを得る。▨
定理 17.2. R , S R,S R , S N N N R R R S S S D D D I I I R R R S S S
l i m → I ( D i ⊗ R N ) ⟶ ( l i m → I D i ) ⊗ R N , [ x ⊗ n ] ⟼ q i ( x ) ⊗ n \varinjlim_I(D_i\otimes_R N)\longrightarrow
\left(\varinjlim_I D_i\right)\otimes_R N,
\qquad [x\otimes n]\longmapsto q_i(x)\otimes n I lim ( D i ⊗ R N ) ⟶ ( I lim D i ) ⊗ R N , [ x ⊗ n ] ⟼ q i ( x ) ⊗ n は同型である。ここでq i q_i q i R R R
証明. C = l i m → I D i C=\varinjlim_I D_i C = lim I D i S S S P P P 定理 15.1 とその第一変数に関する自然性により、図式( D i ⊗ R N ) i (D_i\otimes_RN)_i ( D i ⊗ R N ) i P P P ( g i ) i (g_i)_i ( g i ) i D D D R R R Hom S ( N , P ) \Hom_S(N,P) Hom S ( N , P ) ( h i ) i (h_i)_i ( h i ) i C C C h : C → Hom S ( N , P ) h\colon C\to\Hom_S(N,P) h : C → Hom S ( N , P ) h i = h q i h_i=hq_i h i = h q i h h h S S S g : C ⊗ R N → P g\colon C\otimes_RN\to P g : C ⊗ R N → P g ( q i ⊗ 1 N ) = g i g(q_i\otimes1_N)=g_i g ( q i ⊗ 1 N ) = g i C ⊗ R N C\otimes_RN C ⊗ R N ( D i ⊗ R N ) i (D_i\otimes_RN)_i ( D i ⊗ R N ) i ▨
18 直和との可換性 命題 18.1. I , J I,J I , J R R R ( M i ) i ∈ I (M_i)_{i\in I} ( M i ) i ∈ I R R R S S S ( N j ) j ∈ J (N_j)_{j\in J} ( N j ) j ∈ J R R R M M M R R R S S S N N N S S S
( ⨁ i ∈ I M i ) ⊗ R N → ≅ ⨁ i ∈ I ( M i ⊗ R N ) , ( m i ) i ⊗ n ⟼ ( m i ⊗ n ) i , \left(\bigoplus_{i\in I}M_i\right)\otimes_RN
\xrightarrow{\ \cong\ }
\bigoplus_{i\in I}(M_i\otimes_RN),
\qquad
(m_i)_i\otimes n\longmapsto(m_i\otimes n)_i, ( i ∈ I ⨁ M i ) ⊗ R N ≅ i ∈ I ⨁ ( M i ⊗ R N ) , ( m i ) i ⊗ n ⟼ ( m i ⊗ n ) i , M ⊗ R ( ⨁ j ∈ J N j ) → ≅ ⨁ j ∈ J ( M ⊗ R N j ) , m ⊗ ( n j ) j ⟼ ( m ⊗ n j ) j . M\otimes_R\left(\bigoplus_{j\in J}N_j\right)
\xrightarrow{\ \cong\ }
\bigoplus_{j\in J}(M\otimes_RN_j),
\qquad
m\otimes(n_j)_j\longmapsto(m\otimes n_j)_j. M ⊗ R j ∈ J ⨁ N j ≅ j ∈ J ⨁ ( M ⊗ R N j ) , m ⊗ ( n j ) j ⟼ ( m ⊗ n j ) j . 第二の直和には成分ごとの左R R R S S S
証明. 離散小圏上の余極限は直和である。したがって第一の同型は定理 17.2 の逆同型である。構造写像との可換性から、直和の第i i i m i ⊗ n m_i\otimes n m i ⊗ n ι i ( m i ) ⊗ n \iota_i(m_i)\otimes n ι i ( m i ) ⊗ n
第二の同型は定理 17.1 を左R R R ( N j ) j ∈ J (N_j)_{j\in J} ( N j ) j ∈ J
⨁ j ( M ⊗ R N j ) ⟶ M ⊗ R ( ⨁ j N j ) \bigoplus_j(M\otimes_RN_j)\longrightarrow
M\otimes_R\bigl(\bigoplus_jN_j\bigr) j ⨁ ( M ⊗ R N j ) ⟶ M ⊗ R ( j ⨁ N j ) は、各成分では双加群の包含から誘導される1 M ⊗ κ j 1_M\otimes\kappa_j 1 M ⊗ κ j S S S S S S m ⊗ ( n j ) j = ∑ j m ⊗ κ j ( n j ) m\otimes(n_j)_j=\sum_jm\otimes\kappa_j(n_j) m ⊗ ( n j ) j = ∑ j m ⊗ κ j ( n j ) ▨
補題 18.2. R R R F F F R R R ( M i ) i ∈ I (M_i)_{i\in I} ( M i ) i ∈ I I I I R R R F = 0 F=0 F = 0
射影p i : ∏ j ∈ I M j → M i p_i:\prod_{j\in I}M_j\to M_i p i : ∏ j ∈ I M j → M i Φ : ( ∏ i ∈ I M i ) ⊗ R F ⟶ ∏ i ∈ I ( M i ⊗ R F ) , Φ ( ( m i ) i ∈ I ⊗ f ) = ( m i ⊗ f ) i ∈ I \Phi:\left(\prod_{i\in I}M_i\right)\otimes_R F
\longrightarrow\prod_{i\in I}(M_i\otimes_R F),\qquad
\Phi((m_i)_{i\in I}\otimes f)=(m_i\otimes f)_{i\in I} Φ : ( i ∈ I ∏ M i ) ⊗ R F ⟶ i ∈ I ∏ ( M i ⊗ R F ) , Φ (( m i ) i ∈ I ⊗ f ) = ( m i ⊗ f ) i ∈ I R R R
函手− ⊗ R F -\otimes_R F − ⊗ R F
19 テンソル積の右完全性 命題 19.1. 右R R R
M ′ → f M → g M ′ ′ ⟶ 0 M'\xrightarrow{\ f\ }M
\xrightarrow{\ g\ }M''
\longrightarrow0 M ′ f M g M ′′ ⟶ 0 と左R R R S S S N N N S S S
M ′ ⊗ R N → f ⊗ R 1 N M ⊗ R N → g ⊗ R 1 N M ′ ′ ⊗ R N ⟶ 0 M'\otimes_RN
\xrightarrow{\ f\otimes_R1_N\ }
M\otimes_RN
\xrightarrow{\ g\otimes_R1_N\ }
M''\otimes_RN
\longrightarrow0 M ′ ⊗ R N f ⊗ R 1 N M ⊗ R N g ⊗ R 1 N M ′′ ⊗ R N ⟶ 0 は完全である。したがって、固定したN N N
証明. 完全性によりg g g f , 0 : M ′ → M f,0\colon M'\to M f , 0 : M ′ → M 定理 17.2 をこの小図式へ適用すると、g ⊗ 1 N g\otimes1_N g ⊗ 1 N f ⊗ 1 N f\otimes1_N f ⊗ 1 N §E6.3 命題 3.2 (2) により
M ′ ′ ⊗ R N ≅ ( M ⊗ R N ) / im ( f ⊗ 1 N ) M''\otimes_RN\cong
(M\otimes_RN)/\im(f\otimes1_N) M ′′ ⊗ R N ≅ ( M ⊗ R N ) / im ( f ⊗ 1 N ) であり、この同型の下でg ⊗ 1 N g\otimes1_N g ⊗ 1 N g ⊗ 1 N g\otimes1_N g ⊗ 1 N im ( f ⊗ 1 N ) \im(f\otimes1_N) im ( f ⊗ 1 N ) ▨
例 19.3. R = S = Z R=S=\Z R = S = Z N : = Z / 2 Z N:=\Z/2\Z N := Z /2 Z
0 ⟶ Z → × 2 Z ⟶ Z / 2 Z ⟶ 0 0\longrightarrow\Z
\xrightarrow{\ \times2\ }
\Z
\longrightarrow\Z/2\Z
\longrightarrow0 0 ⟶ Z × 2 Z ⟶ Z /2 Z ⟶ 0 に− ⊗ Z N -\otimes_{\Z}N − ⊗ Z N 命題 13.1 により
Z ⊗ Z N ≅ N \Z\otimes_{\Z}N\cong N Z ⊗ Z N ≅ N であり、× 2 ⊗ 1 N \times2\otimes1_N × 2 ⊗ 1 N N N N × 2 \times2 × 2 2 n = 0 2n=0 2 n = 0 n ∈ N n\in N n ∈ N N ≠ 0 N\ne0 N = 0 N → N N\to N N → N − ⊗ Z N -\otimes_{\Z}N − ⊗ Z N
右完全性を有限巡回群どうしのテンソル積の計算に適用すると、純テンソルの間の関係を一つずつ整理することなくテンソル積を求めることができる。
例 19.4. 完全列
Z → × 6 Z ⟶ Z / 6 Z ⟶ 0 \Z\xrightarrow{\ \times6\ }
\Z\longrightarrow\Z/6\Z
\longrightarrow0 Z × 6 Z ⟶ Z /6 Z ⟶ 0 に− ⊗ Z Z / 4 Z -\otimes_{\Z}\Z/4\Z − ⊗ Z Z /4 Z 命題 19.1 と単位同型により
Z / 4 Z → × 6 Z / 4 Z ⟶ ( Z / 6 Z ) ⊗ Z ( Z / 4 Z ) ⟶ 0 \Z/4\Z
\xrightarrow{\ \times6\ }
\Z/4\Z
\longrightarrow
(\Z/6\Z)\otimes_{\Z}(\Z/4\Z)
\longrightarrow0 Z /4 Z × 6 Z /4 Z ⟶ ( Z /6 Z ) ⊗ Z ( Z /4 Z ) ⟶ 0 は完全である。Z / 4 Z \Z/4\Z Z /4 Z × 6 = × 2 \times6=\times2 × 6 = × 2 2 Z / 4 Z 2\Z/4\Z 2 Z /4 Z
( Z / 6 Z ) ⊗ Z ( Z / 4 Z ) ≅ Z / 4 Z 2 Z / 4 Z ≅ Z / 2 Z (\Z/6\Z)\otimes_{\Z}(\Z/4\Z)
\cong
\frac{\Z/4\Z}{2\Z/4\Z}
\cong\Z/2\Z ( Z /6 Z ) ⊗ Z ( Z /4 Z ) ≅ 2 Z /4 Z Z /4 Z ≅ Z /2 Z となる。
20 可換環上の加群の局所化 A A A S ⊆ A S\subseteq A S ⊆ A 1 ∈ S 1\in S 1 ∈ S M M M A A A S − 1 A S^{-1}A S − 1 A §E6.5 定義 3.1 と§E6.5 補題 3.2 を用いる。加群の分数では、環の分数と同じく、零因子がある場合に共通の乗数を落とすことはできない。
定義 20.1. M × S M\times S M × S
( m , s ) ∼ ( n , t ) ⟺ ある u ∈ S に対して u ( t m − s n ) = 0 (m,s)\sim(n,t)
\quad\Longleftrightarrow\quad
\text{ある }u\in S\text{ に対して }u(tm-sn)=0 ( m , s ) ∼ ( n , t ) ⟺ ある u ∈ S に対して u ( t m − s n ) = 0 によって定める。( m , s ) (m,s) ( m , s ) m / s m/s m / s S − 1 M S^{-1}M S − 1 M
和とS − 1 A S^{-1}A S − 1 A
m s + n t : = t m + s n s t , a s m t : = a m s t \frac{m}{s}+\frac{n}{t}
:=\frac{tm+sn}{st},
\qquad
\frac{a}{s}\frac{m}{t}
:=\frac{am}{st} s m + t n := s t t m + s n , s a t m := s t am によって定める。この演算を入れたS − 1 A S^{-1}A S − 1 A S − 1 M S^{-1}M S − 1 M M M M S S S localization of a module at S )
命題 20.2. 定義定義 20.1 の関係は同値関係であり、表示した和とスカラー倍は well-defined である。これらの演算によりS − 1 M S^{-1}M S − 1 M S − 1 A S^{-1}A S − 1 A
さらに、任意のm ∈ M m\in M m ∈ M s ∈ S s\in S s ∈ S
m s = 0 ⟺ ある u ∈ S に対して u m = 0 \frac{m}{s}=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
\text{ある }u\in S\text{ に対して }um=0 s m = 0 ⟺ ある u ∈ S に対して u m = 0 が成り立つ。
証明. 反射律はu = 1 u=1 u = 1 − 1 -1 − 1 ( m , s ) ∼ ( n , t ) (m,s)\sim(n,t) ( m , s ) ∼ ( n , t ) ( n , t ) ∼ ( p , q ) (n,t)\sim(p,q) ( n , t ) ∼ ( p , q ) u , v ∈ S u,v\in S u , v ∈ S
u ( t m − s n ) = 0 , v ( q n − t p ) = 0 u(tm-sn)=0,
\qquad
v(qn-tp)=0 u ( t m − s n ) = 0 , v ( q n − tp ) = 0 である。A A A
u v t ( q m − s p ) = v q u ( t m − s n ) + u s v ( q n − t p ) = 0 uvt(qm-sp)
=vq\,u(tm-sn)+us\,v(qn-tp)
=0 uv t ( q m − s p ) = v q u ( t m − s n ) + u s v ( q n − tp ) = 0 となる。u v t ∈ S uvt\in S uv t ∈ S ( m , s ) ∼ ( p , q ) (m,s)\sim(p,q) ( m , s ) ∼ ( p , q ) ∼ \sim ∼
m / s = m ′ / s ′ m/s=m'/s' m / s = m ′ / s ′ n / t = n ′ / t ′ n/t=n'/t' n / t = n ′ / t ′ u , v ∈ S u,v\in S u , v ∈ S
u ( s ′ m − s m ′ ) = 0 , v ( t ′ n − t n ′ ) = 0 u(s'm-sm')=0,
\qquad
v(t'n-tn')=0 u ( s ′ m − s m ′ ) = 0 , v ( t ′ n − t n ′ ) = 0 である。二つの和の分子と分母を相等条件に代入すると、差は
( s ′ t ′ ) ( t m + s n ) − ( s t ) ( t ′ m ′ + s ′ n ′ ) = t t ′ ( s ′ m − s m ′ ) + s s ′ ( t ′ n − t n ′ ) \begin{aligned}
&(s't')(tm+sn)-(st)(t'm'+s'n')\\
&\qquad=tt'(s'm-sm')+ss'(t'n-tn')
\end{aligned} ( s ′ t ′ ) ( t m + s n ) − ( s t ) ( t ′ m ′ + s ′ n ′ ) = t t ′ ( s ′ m − s m ′ ) + s s ′ ( t ′ n − t n ′ ) となる。この差にu v uv uv
t m + s n s t = t ′ m ′ + s ′ n ′ s ′ t ′ \frac{tm+sn}{st}=\frac{t'm'+s'n'}{s't'} s t t m + s n = s ′ t ′ t ′ m ′ + s ′ n ′ である。
a / s = a ′ / s ′ a/s=a'/s' a / s = a ′ / s ′ u ∈ S u\in S u ∈ S u ( s ′ a − s a ′ ) = 0 u(s'a-sa')=0 u ( s ′ a − s a ′ ) = 0
u ( ( s ′ t ) ( a m ) − ( s t ) ( a ′ m ) ) = u t m ( s ′ a − s a ′ ) = 0 u\bigl((s't)(am)-(st)(a'm)\bigr)
=ut m(s'a-sa')=0 u ( ( s ′ t ) ( am ) − ( s t ) ( a ′ m ) ) = u t m ( s ′ a − s a ′ ) = 0 となり、a m / ( s t ) = a ′ m / ( s ′ t ) am/(st)=a'm/(s't) am / ( s t ) = a ′ m / ( s ′ t ) m / t = m ′ / t ′ m/t=m'/t' m / t = m ′ / t ′ v ∈ S v\in S v ∈ S v ( t ′ m − t m ′ ) = 0 v(t'm-tm')=0 v ( t ′ m − t m ′ ) = 0
v ( ( s t ′ ) ( a m ) − ( s t ) ( a m ′ ) ) = v s a ( t ′ m − t m ′ ) = 0 v\bigl((st')(am)-(st)(am')\bigr)
=vsa(t'm-tm')=0 v ( ( s t ′ ) ( am ) − ( s t ) ( a m ′ ) ) = v s a ( t ′ m − t m ′ ) = 0 となり、a m / ( s t ) = a m ′ / ( s t ′ ) am/(st)=am'/(st') am / ( s t ) = a m ′ / ( s t ′ )
加法の交換律と結合律は、代表元を共通分母へ移せばM M M
t u m + s u n + s t p s t u \frac{tu m+su n+st p}{stu} s t u t u m + s u n + s tp に等しい。零元は0 / 1 0/1 0/1 m / s m/s m / s ( − m ) / s (-m)/s ( − m ) / s
a s ( b t m u ) = a b m s t u = ( a s b t ) m u \frac{a}{s}\left(\frac{b}{t}\frac{m}{u}\right)
=\frac{abm}{stu}
=\left(\frac{a}{s}\frac{b}{t}\right)\frac{m}{u} s a ( t b u m ) = s t u abm = ( s a t b ) u m から従い、単位元は1 / 1 1/1 1/1 a , b ∈ A a,b\in A a , b ∈ A m , n ∈ M m,n\in M m , n ∈ M s , t , u , v ∈ S s,t,u,v\in S s , t , u , v ∈ S
a s ( m u + n v ) = a ( v m + u n ) s u v = a s m u + a s n v , ( a s + b t ) m u = ( t a + s b ) m s t u = a s m u + b t m u \begin{aligned}
\frac{a}{s}\left(\frac{m}{u}+\frac{n}{v}\right)
&=\frac{a(vm+un)}{suv}\\
&=\frac{a}{s}\frac{m}{u}+\frac{a}{s}\frac{n}{v},\\
\left(\frac{a}{s}+\frac{b}{t}\right)\frac{m}{u}
&=\frac{(ta+sb)m}{stu}\\
&=\frac{a}{s}\frac{m}{u}+\frac{b}{t}\frac{m}{u}
\end{aligned} s a ( u m + v n ) ( s a + t b ) u m = s uv a ( v m + u n ) = s a u m + s a v n , = s t u ( t a + s b ) m = s a u m + t b u m となる。したがってS − 1 M S^{-1}M S − 1 M S − 1 A S^{-1}A S − 1 A
最後に、m / s = 0 / 1 m/s=0/1 m / s = 0/1 u ∈ S u\in S u ∈ S
u ( 1 m − s 0 ) = u m = 0 u(1m-s0)=um=0 u ( 1 m − s 0 ) = u m = 0 となることと同値である。得られた同値条件が表示した零判定である。▨
命題 20.3. A A A f : M → N f\colon M\to N f : M → N
S − 1 f : S − 1 M ⟶ S − 1 N , ( S − 1 f ) ( m / s ) : = f ( m ) / s S^{-1}f\colon S^{-1}M\longrightarrow S^{-1}N,
\qquad
(S^{-1}f)(m/s):=f(m)/s S − 1 f : S − 1 M ⟶ S − 1 N , ( S − 1 f ) ( m / s ) := f ( m ) / s は well-defined なS − 1 A S^{-1}A S − 1 A
S − 1 ( 1 M ) = 1 S − 1 M , S − 1 ( g ∘ f ) = ( S − 1 g ) ∘ ( S − 1 f ) S^{-1}(1_M)=1_{S^{-1}M},
\qquad
S^{-1}(g\circ f)=(S^{-1}g)\circ(S^{-1}f) S − 1 ( 1 M ) = 1 S − 1 M , S − 1 ( g ∘ f ) = ( S − 1 g ) ∘ ( S − 1 f ) が成り立つ。
証明. m / s = n / t m/s=n/t m / s = n / t u ∈ S u\in S u ∈ S u ( t m − s n ) = 0 u(tm-sn)=0 u ( t m − s n ) = 0 f f f A A A
u ( t f ( m ) − s f ( n ) ) = f ( u ( t m − s n ) ) = 0 u(tf(m)-sf(n))
=f(u(tm-sn))
=0 u ( t f ( m ) − s f ( n )) = f ( u ( t m − s n )) = 0 となるため、f ( m ) / s = f ( n ) / t f(m)/s=f(n)/t f ( m ) / s = f ( n ) / t S − 1 f S^{-1}f S − 1 f S − 1 A S^{-1}A S − 1 A
f ( t m + s n ) = t f ( m ) + s f ( n ) , f ( a m ) = a f ( m ) f(tm+sn)=tf(m)+sf(n),
\qquad
f(am)=af(m) f ( t m + s n ) = t f ( m ) + s f ( n ) , f ( am ) = a f ( m ) から従う。恒等写像と合成に関する等式は各分数m / s m/s m / s ▨
命題 20.4. A A A M M M
ι M : M ⟶ S − 1 M , ι M ( m ) : = m 1 \iota_M\colon M\longrightarrow S^{-1}M,
\qquad
\iota_M(m):=\frac{m}{1} ι M : M ⟶ S − 1 M , ι M ( m ) := 1 m と定める。S − 1 M S^{-1}M S − 1 M §E6.5 命題 3.3 の環準同型ι S : A → S − 1 A \iota_S\colon A\to S^{-1}A ι S : A → S − 1 A A A A ι M \iota_M ι M A A A
さらに、任意のA A A f : M → N f\colon M\to N f : M → N
( S − 1 f ) ∘ ι M = ι N ∘ f (S^{-1}f)\circ\iota_M
=\iota_N\circ f ( S − 1 f ) ∘ ι M = ι N ∘ f が成り立つ。
証明. 分数の演算命題 20.2 で分母を1 1 1
ι M ( m + n ) = ι M ( m ) + ι M ( n ) , ι M ( a m ) = ι S ( a ) ι M ( m ) \iota_M(m+n)=\iota_M(m)+\iota_M(n),
\qquad
\iota_M(am)=\iota_S(a)\iota_M(m) ι M ( m + n ) = ι M ( m ) + ι M ( n ) , ι M ( am ) = ι S ( a ) ι M ( m ) となるので、ι M \iota_M ι M A A A m ∈ M m\in M m ∈ M
( ( S − 1 f ) ∘ ι M ) ( m ) = f ( m ) / 1 = ( ι N ∘ f ) ( m ) ((S^{-1}f)\circ\iota_M)(m)=f(m)/1=(\iota_N\circ f)(m) (( S − 1 f ) ∘ ι M ) ( m ) = f ( m ) /1 = ( ι N ∘ f ) ( m ) であるから、自然性の等式が成り立つ。▨
定理 20.6. S − 1 A S^{-1}A S − 1 A A → S − 1 A A\to S^{-1}A A → S − 1 A A A A A A A M M M A A A
Θ M : S − 1 A ⊗ A M → ≅ S − 1 M , Θ M ( a s ⊗ m ) : = a m s \Theta_M\colon S^{-1}A\otimes_AM
\xrightarrow{\ \cong\ }S^{-1}M,
\qquad
\Theta_M\left(\frac{a}{s}\otimes m\right):=\frac{am}{s} Θ M : S − 1 A ⊗ A M ≅ S − 1 M , Θ M ( s a ⊗ m ) := s am というS − 1 A S^{-1}A S − 1 A S − 1 A S^{-1}A S − 1 A
b t ( a s ⊗ m ) : = a b s t ⊗ m \frac{b}{t}\left(\frac{a}{s}\otimes m\right)
:=\frac{ab}{st}\otimes m t b ( s a ⊗ m ) := s t ab ⊗ m である。同型の逆写像は
Ξ M : S − 1 M ⟶ S − 1 A ⊗ A M , Ξ M ( m / s ) : = 1 s ⊗ m \Xi_M\colon S^{-1}M\longrightarrow S^{-1}A\otimes_AM,
\qquad
\Xi_M(m/s):=\frac1s\otimes m Ξ M : S − 1 M ⟶ S − 1 A ⊗ A M , Ξ M ( m / s ) := s 1 ⊗ m である。任意のA A A f : M → N f\colon M\to N f : M → N
Θ N ∘ ( 1 S − 1 A ⊗ A f ) = ( S − 1 f ) ∘ Θ M \Theta_N\circ(1_{S^{-1}A}\otimes_Af)
=(S^{-1}f)\circ\Theta_M Θ N ∘ ( 1 S − 1 A ⊗ A f ) = ( S − 1 f ) ∘ Θ M が成り立つ。
証明. A A A M M M A A A A A A b / t ∈ S − 1 A b/t\in S^{-1}A b / t ∈ S − 1 A x ↦ ( b / t ) x x\mapsto(b/t)x x ↦ ( b / t ) x A A A 命題 12.1 を第一因子に適用すると、表示した左S − 1 A S^{-1}A S − 1 A S − 1 A S^{-1}A S − 1 A
写像
S − 1 A × M ⟶ S − 1 M , ( a s , m ) ⟼ a m s S^{-1}A\times M\longrightarrow S^{-1}M,
\qquad
\left(\frac{a}{s},m\right)\longmapsto\frac{am}{s} S − 1 A × M ⟶ S − 1 M , ( s a , m ) ⟼ s am は二変数について加法的であり、任意のc ∈ A c\in A c ∈ A
a c s m = a ( c m ) s \frac{ac}{s}m=\frac{a(cm)}{s} s a c m = s a ( c m ) を満たす。したがってA A A 命題 11.4 からΘ M \Theta_M Θ M b / t ∈ S − 1 A b/t\in S^{-1}A b / t ∈ S − 1 A
Θ M ( b t ( a s ⊗ m ) ) = a b m s t = b t Θ M ( a s ⊗ m ) \Theta_M\left(\frac{b}{t}\left(\frac{a}{s}\otimes m\right)\right)
=\frac{abm}{st}
=\frac{b}{t}\Theta_M\left(\frac{a}{s}\otimes m\right) Θ M ( t b ( s a ⊗ m ) ) = s t abm = t b Θ M ( s a ⊗ m ) であるため、Θ M \Theta_M Θ M S − 1 A S^{-1}A S − 1 A
m / s = n / t m/s=n/t m / s = n / t u ∈ S u\in S u ∈ S u ( t m − s n ) = 0 u(tm-sn)=0 u ( t m − s n ) = 0
1 s ⊗ m − 1 t ⊗ n = 1 s t ⊗ ( t m − s n ) = 1 u s t ⊗ u ( t m − s n ) = 0 \begin{aligned}
\frac1s\otimes m-\frac1t\otimes n
&=\frac1{st}\otimes(tm-sn)\\
&=\frac1{ust}\otimes u(tm-sn)\\
&=0
\end{aligned} s 1 ⊗ m − t 1 ⊗ n = s t 1 ⊗ ( t m − s n ) = u s t 1 ⊗ u ( t m − s n ) = 0 となる。第一の等号では1 / s = t / ( s t ) 1/s=t/(st) 1/ s = t / ( s t ) 1 / t = s / ( s t ) 1/t=s/(st) 1/ t = s / ( s t ) Ξ M \Xi_M Ξ M
Ξ M ( m s + n t ) = 1 s t ⊗ ( t m + s n ) = 1 s ⊗ m + 1 t ⊗ n \begin{aligned}
\Xi_M\left(\frac{m}{s}+\frac{n}{t}\right)
&=\frac1{st}\otimes(tm+sn)\\
&=\frac1s\otimes m+\frac1t\otimes n
\end{aligned} Ξ M ( s m + t n ) = s t 1 ⊗ ( t m + s n ) = s 1 ⊗ m + t 1 ⊗ n から従う。また、a / s ∈ S − 1 A a/s\in S^{-1}A a / s ∈ S − 1 A m / t ∈ S − 1 M m/t\in S^{-1}M m / t ∈ S − 1 M
Ξ M ( a s m t ) = 1 s t ⊗ a m = a s t ⊗ m = a s ( 1 t ⊗ m ) \begin{aligned}
\Xi_M\left(\frac{a}{s}\frac{m}{t}\right)
&=\frac1{st}\otimes am\\
&=\frac{a}{st}\otimes m\\
&=\frac{a}{s}\left(\frac1t\otimes m\right)
\end{aligned} Ξ M ( s a t m ) = s t 1 ⊗ am = s t a ⊗ m = s a ( t 1 ⊗ m ) である。よってΞ M \Xi_M Ξ M S − 1 A S^{-1}A S − 1 A
任意のm / s ∈ S − 1 M m/s\in S^{-1}M m / s ∈ S − 1 M
( Θ M ∘ Ξ M ) ( m / s ) = m / s (\Theta_M\circ\Xi_M)(m/s)=m/s ( Θ M ∘ Ξ M ) ( m / s ) = m / s である。また、純テンソル上で
( Ξ M ∘ Θ M ) ( a s ⊗ m ) = 1 s ⊗ a m = a s ⊗ m \begin{aligned}
(\Xi_M\circ\Theta_M)\left(\frac{a}{s}\otimes m\right)
&=\frac1s\otimes am\\
&=\frac{a}{s}\otimes m
\end{aligned} ( Ξ M ∘ Θ M ) ( s a ⊗ m ) = s 1 ⊗ am = s a ⊗ m である。よってΘ M \Theta_M Θ M Ξ M \Xi_M Ξ M
A A A A A A f : M → N f\colon M\to N f : M → N A A A A A A 命題 12.1 により1 S − 1 A ⊗ A f 1_{S^{-1}A}\otimes_Af 1 S − 1 A ⊗ A f ( a / s ) ⊗ m (a/s)\otimes m ( a / s ) ⊗ m
( Θ N ∘ ( 1 S − 1 A ⊗ A f ) ) ( a s ⊗ m ) = Θ N ( a s ⊗ f ( m ) ) = a f ( m ) s , ( ( S − 1 f ) ∘ Θ M ) ( a s ⊗ m ) = ( S − 1 f ) ( a m s ) = f ( a m ) s = a f ( m ) s \begin{aligned}
\bigl(\Theta_N\circ(1_{S^{-1}A}\otimes_Af)\bigr)
\left(\frac{a}{s}\otimes m\right)
&=\Theta_N\left(\frac{a}{s}\otimes f(m)\right)\\
&=\frac{af(m)}s,\\
\bigl((S^{-1}f)\circ\Theta_M\bigr)
\left(\frac{a}{s}\otimes m\right)
&=(S^{-1}f)\left(\frac{am}s\right)\\
&=\frac{f(am)}s
=\frac{af(m)}s
\end{aligned} ( Θ N ∘ ( 1 S − 1 A ⊗ A f ) ) ( s a ⊗ m ) ( ( S − 1 f ) ∘ Θ M ) ( s a ⊗ m ) = Θ N ( s a ⊗ f ( m ) ) = s a f ( m ) , = ( S − 1 f ) ( s am ) = s f ( am ) = s a f ( m ) となる。純テンソルは加法群を生成するため、二つの写像は一致する。▨
命題 20.7. A A A
M ′ → f M → g M ′ ′ M'\xrightarrow{\ f\ }M\xrightarrow{\ g\ }M'' M ′ f M g M ′′ に対して、S − 1 A S^{-1}A S − 1 A
S − 1 M ′ → S − 1 f S − 1 M → S − 1 g S − 1 M ′ ′ S^{-1}M'
\xrightarrow{\ S^{-1}f\ }
S^{-1}M
\xrightarrow{\ S^{-1}g\ }
S^{-1}M'' S − 1 M ′ S − 1 f S − 1 M S − 1 g S − 1 M ′′ は完全である。したがって、加群の局所化は短完全列を短完全列へ移す。
証明. g ∘ f = 0 g\circ f=0 g ∘ f = 0 命題 20.3 の関手性により
( S − 1 g ) ∘ ( S − 1 f ) = S − 1 ( g ∘ f ) = 0 (S^{-1}g)\circ(S^{-1}f)=S^{-1}(g\circ f)=0 ( S − 1 g ) ∘ ( S − 1 f ) = S − 1 ( g ∘ f ) = 0 である。よって
im ( S − 1 f ) ⊆ ker ( S − 1 g ) \operatorname{im}(S^{-1}f)\subseteq\ker(S^{-1}g) im ( S − 1 f ) ⊆ ker ( S − 1 g ) である。
m / s ∈ ker ( S − 1 g ) m/s\in\ker(S^{-1}g) m / s ∈ ker ( S − 1 g ) g ( m ) / s = 0 g(m)/s=0 g ( m ) / s = 0 命題 20.2 の零判定により、あるu ∈ S u\in S u ∈ S
u g ( m ) = g ( u m ) = 0 ug(m)=g(um)=0 ug ( m ) = g ( u m ) = 0 である。もとの列がM M M u m ∈ ker g = im f um\in\ker g=\operatorname{im}f u m ∈ ker g = im f m ′ ∈ M ′ m'\in M' m ′ ∈ M ′ f ( m ′ ) = u m f(m')=um f ( m ′ ) = u m
( S − 1 f ) ( m ′ u s ) = f ( m ′ ) u s = u m u s = m s (S^{-1}f)\left(\frac{m'}{us}\right)
=\frac{f(m')}{us}
=\frac{um}{us}
=\frac{m}{s} ( S − 1 f ) ( u s m ′ ) = u s f ( m ′ ) = u s u m = s m である。よってm / s ∈ im ( S − 1 f ) m/s\in\operatorname{im}(S^{-1}f) m / s ∈ im ( S − 1 f ) S − 1 M S^{-1}M S − 1 M
完全列の任意の連続する三項へ同じ議論を適用すると、すべての中間項で完全性が保たれる。短完全列の左端の単射性は0 → M ′ 0\to M' 0 → M ′ M → M ′ ′ → 0 M\to M''\to0 M → M ′′ → 0 ▨
定義 20.9.
R R R K = Frac ( R ) K=\operatorname{Frac}(R) K = Frac ( R ) M M M R R R rank R M = dim K ( M ⊗ R K ) \operatorname{rank}_R M=\dim_K(M\otimes_R K) rank R M = dim K ( M ⊗ R K ) M M M 階数 (rank ) 命題 20.10. R R R
0 ⟶ L → u M → v N ⟶ 0 0\longrightarrow L\xrightarrow{u}M\xrightarrow{v}N\longrightarrow0 0 ⟶ L u M v N ⟶ 0 を有限生成R R R
rank R M = rank R L + rank R N \operatorname{rank}_R M
=\operatorname{rank}_R L+\operatorname{rank}_R N rank R M = rank R L + rank R N が成り立つ。
証明. S = R ∖ { 0 } S=R\setminus\{0\} S = R ∖ { 0 } K = Frac ( R ) = S − 1 R K=\operatorname{Frac}(R)=S^{-1}R K = Frac ( R ) = S − 1 R 命題 20.7 と定理 20.6 により、K K K
0 ⟶ L ⊗ R K → u ⊗ id K M ⊗ R K → v ⊗ id K N ⊗ R K ⟶ 0 0\longrightarrow L\otimes_R K
\xrightarrow{u\otimes\id_K}M\otimes_R K
\xrightarrow{v\otimes\id_K}N\otimes_R K\longrightarrow0 0 ⟶ L ⊗ R K u ⊗ id K M ⊗ R K v ⊗ id K N ⊗ R K ⟶ 0 は完全である。各加群A ∈ { L , M , N } A\in\{L,M,N\} A ∈ { L , M , N } a 1 , … , a t a_1,\ldots,a_t a 1 , … , a t a 1 ⊗ 1 , … , a t ⊗ 1 a_1\otimes1,\ldots,a_t\otimes1 a 1 ⊗ 1 , … , a t ⊗ 1 A ⊗ R K A\otimes_R K A ⊗ R K K K K a = ∑ j = 1 t r j a j a=\sum_{j=1}^t r_ja_j a = ∑ j = 1 t r j a j c ∈ K c\in K c ∈ K
a ⊗ c = ∑ j = 1 t ( r j c ) ( a j ⊗ 1 ) a\otimes c=\sum_{j=1}^t(r_jc)(a_j\otimes1) a ⊗ c = j = 1 ∑ t ( r j c ) ( a j ⊗ 1 ) である。テンソル積の任意の元は純テンソルの有限和であるから、三つのK K K §E3.9 定理 2.1 を適用すると
dim K ( M ⊗ R K ) = dim K ( L ⊗ R K ) + dim K ( N ⊗ R K ) \dim_K(M\otimes_R K)
=\dim_K(L\otimes_R K)+\dim_K(N\otimes_R K) dim K ( M ⊗ R K ) = dim K ( L ⊗ R K ) + dim K ( N ⊗ R K ) を得る。▨
21 局所化のフィルター余極限表示 例 21.1. R R R S ⊆ R S\subseteq R S ⊆ R 1 ∈ S 1\in S 1 ∈ S M M M R R R
I = { ν : S → N ≥ 0 ∣ ν の台は有限 } I=\{\nu\colon S\to\N\mid\nu\text{ の台は有限}\} I = { ν : S → N ≥ 0 ∣ ν の台は有限 } を成分ごとの大小で順序づける。二元の成分ごとの最大値が共通の上界であるから、I I I s ν = ∏ s ∈ S s ν ( s ) s^\nu=\prod_{s\in S}s^{\nu(s)} s ν = ∏ s ∈ S s ν ( s ) ν \nu ν M M M M ν M_\nu M ν ν ≤ μ \nu\le\mu ν ≤ μ m ↦ s μ − ν m m\mapsto s^{\mu-\nu}m m ↦ s μ − ν m
l i m → ν ∈ I M ν ≅ S − 1 M , [ m ∈ M ν ] ⟼ m s ν \varinjlim_{\nu\in I}M_\nu\cong S^{-1}M,
\qquad [m\in M_\nu]\longmapsto\frac{m}{s^\nu} ν ∈ I lim M ν ≅ S − 1 M , [ m ∈ M ν ] ⟼ s ν m という標準同型が成り立つ。0 ∈ S 0\in S 0 ∈ S
実際、分数の写像M ν → S − 1 M M_\nu\to S^{-1}M M ν → S − 1 M m / s m/s m / s s s s 1 1 1 e s e_s e s m / s ν = 0 m/s^\nu=0 m / s ν = 0 命題 20.2 の零判定によって、あるt ∈ S t\in S t ∈ S t m = 0 tm=0 t m = 0 ν + e t \nu+e_t ν + e t t t t m m m
遷移写像は単射であるとは限らない。たとえばR = Z R=\Z R = Z S = { 2 n ∣ n ∈ N ≥ 0 } S=\{2^n\mid n\in\N\} S = { 2 n ∣ n ∈ N ≥ 0 } M = Z / 2 Z M=\Z/2\Z M = Z /2 Z 2 2 2
22 演習 問題 22.1 (テンソル積と局所化の確認). 次の各問に答えよ。
平衡写像のなすアーベル群Bal R S ( M , N ; P ) \operatorname{Bal}_R^S(M,N;P) Bal R S ( M , N ; P ) Hom R ( M , Hom S ( N , P ) ) \operatorname{Hom}_R(M,\operatorname{Hom}_S(N,P)) Hom R ( M , Hom S ( N , P )) b ( m r , n ) = b ( m , r n ) b(mr,n)=b(m,rn) b ( m r , n ) = b ( m , r n ) Hom S ( N , P ) \operatorname{Hom}_S(N,P) Hom S ( N , P ) R R R
命題 13.1 の証明を完成させよ。二つの単位同型とその逆写像の well-defined 性と線形性を示し、両方の合成が恒等写像であることを証明せよ。N N N R R R S S S P P P S S S ( h ⋅ r ) ( n ) = h ( r n ) (h\cdot r)(n)=h(rn) ( h ⋅ r ) ( n ) = h ( r n ) Hom S ( N , P ) \operatorname{Hom}_S(N,P) Hom S ( N , P ) R R R h ⋅ r h\cdot r h ⋅ r S S S Hom–tensor 対応の逆写像を作る際に、G : M → Hom S ( N , P ) G\colon M\to\operatorname{Hom}_S(N,P) G : M → Hom S ( N , P ) b G ( m , n ) = G ( m ) ( n ) b_G(m,n)=G(m)(n) b G ( m , n ) = G ( m ) ( n ) R R R m , n m,n m , n g = gcd ( m , n ) g=\gcd(m,n) g = g cd( m , n ) R = S = Z R=S=\Z R = S = Z M = Z / m Z M=\Z/m\Z M = Z / m Z N = Z N=\Z N = Z P = Z / n Z P=\Z/n\Z P = Z / n Z Z / g Z \Z/g\Z Z / g Z Φ \Phi Φ Ψ \Psi Ψ 定理 15.1 の三つの自然性を元ごとに確認せよ。
命題命題 19.1 の完全列について、m ′ ′ ∈ M ′ ′ m''\in M'' m ′′ ∈ M ′′ m ∈ M m\in M m ∈ M [ m ⊗ n ] [m\otimes n] [ m ⊗ n ] ( M ⊗ R N ) / im ( f ⊗ R 1 N ) (M\otimes_RN)/\operatorname{im}(f\otimes_R1_N) ( M ⊗ R N ) / im ( f ⊗ R 1 N ) M ′ ′ ⊗ R N M''\otimes_RN M ′′ ⊗ R N Z \Z Z × 2 : Z → Z \times2\colon\Z\to\Z × 2 : Z → Z − ⊗ Z Z / 2 Z -\otimes_{\Z}\Z/2\Z − ⊗ Z Z /2 Z
A A A S ⊆ A S\subseteq A S ⊆ A m / s = n / t m/s=n/t m / s = n / t 1 s ⊗ m = 1 t ⊗ n \frac1s\otimes m=\frac1t\otimes n s 1 ⊗ m = t 1 ⊗ n S − 1 A ⊗ A M S^{-1}A\otimes_AM S − 1 A ⊗ A M 定理 20.6 の逆写像の well-defined 性を示せ。 完全列M ′ → f M → g M ′ ′ M'\xrightarrow fM\xrightarrow gM'' M ′ f M g M ′′ m / s ∈ ker ( S − 1 g ) m/s\in\ker(S^{-1}g) m / s ∈ ker ( S − 1 g ) m / s m/s m / s S − 1 f S^{-1}f S − 1 f
命題 12.1 の証明を完成させよ。f : M → M ′ f\colon M\to M' f : M → M ′ g : N → N ′ g\colon N\to N' g : N → N ′ f ⊗ R g f\otimes_Rg f ⊗ R g N N N − ⊗ R N -\otimes_RN − ⊗ R N M R M_R M R R N S {}_RN_S R N S S L T {}_SL_T S L T ( M ⊗ R N ) ⊗ S L ⟶ M ⊗ R ( N ⊗ S L ) (M\otimes_RN)\otimes_SL\longrightarrow M\otimes_R(N\otimes_SL) ( M ⊗ R N ) ⊗ S L ⟶ M ⊗ R ( N ⊗ S L ) 任意の集合I I I ( ⨁ i ∈ I M i ) ⊗ R N ≅ ⨁ i ∈ I ( M i ⊗ R N ) \left(\bigoplus_{i\in I}M_i\right)\otimes_RN
\cong\bigoplus_{i\in I}(M_i\otimes_RN) ( i ∈ I ⨁ M i ) ⊗ R N ≅ i ∈ I ⨁ ( M i ⊗ R N )
加群の局所化に用いる関係の推移律を、二つの関係を消す乗数から証明せよ。また、分数の和とS − 1 A S^{-1}A S − 1 A
A A A f : M → N f\colon M\to N f : M → N S − 1 f S^{-1}f S − 1 f S − 1 A S^{-1}A S − 1 A ι M ( m ) = m / 1 \iota_M(m)=m/1 ι M ( m ) = m /1 A A A ( S − 1 f ) ∘ ι M = ι N ∘ f (S^{-1}f)\circ\iota_M=\iota_N\circ f ( S − 1 f ) ∘ ι M = ι N ∘ f F F F ( e x ) x ∈ X (e_x)_{x\in X} ( e x ) x ∈ X R R R τ F ( m , n ) = ( a m ( x ) n ) x \tau_F(m,n)=(a_m(x)n)_x τ F ( m , n ) = ( a m ( x ) n ) x a m r ( x ) = a m ( x ) r a_{mr}(x)=a_m(x)r a m r ( x ) = a m ( x ) r τ F ( e x , n ) \tau_F(e_x,n) τ F ( e x , n ) x x x b ~ ( ( n x ) x ) = ∑ x b ( e x , n x ) \widetilde b\bigl((n_x)_x\bigr)=\sum_xb(e_x,n_x) b ( ( n x ) x ) = ∑ x b ( e x , n x ) M M M F 1 → u F 0 → π M → 0 F_1\xrightarrow uF_0\xrightarrow\pi M\to0 F 1 u F 0 π M → 0 V = coker ( u ⊗ 1 N ) V=\operatorname{coker}(u\otimes1_N) V = coker ( u ⊗ 1 N ) τ ( m , n ) = q ( τ 0 ( x , n ) ) \tau(m,n)=q(\tau_0(x,n)) τ ( m , n ) = q ( τ 0 ( x , n )) x x x 系 5.1 を二回（右S S S R R R Hom S ( V , P ) \operatorname{Hom}_S(V,P) Hom S ( V , P ) Bal R S ( M , N ; P ) \operatorname{Bal}_R^S(M,N;P) Bal R S ( M , N ; P ) G ↦ G ∘ τ G\mapsto G\circ\tau G ↦ G ∘ τ 解答 (演習の解答).
平衡写像b b b Λ ( b ) ( m ) : = b ( m , − ) \Lambda(b)(m):=b(m,-) Λ ( b ) ( m ) := b ( m , − ) b ( m , n s ) = b ( m , n ) s b(m,ns)=b(m,n)s b ( m , n s ) = b ( m , n ) s Λ ( b ) ( m ) ∈ Hom S ( N , P ) \Lambda(b)(m)\in\operatorname{Hom}_S(N,P) Λ ( b ) ( m ) ∈ Hom S ( N , P ) Λ ( b ) \Lambda(b) Λ ( b )
( Λ ( b ) ( m r ) ) ( n ) = b ( m r , n ) = b ( m , r n ) = ( Λ ( b ) ( m ) ⋅ r ) ( n ) \bigl(\Lambda(b)(mr)\bigr)(n)=b(mr,n)=b(m,rn)=\bigl(\Lambda(b)(m)\cdot r\bigr)(n) ( Λ ( b ) ( m r ) ) ( n ) = b ( m r , n ) = b ( m , r n ) = ( Λ ( b ) ( m ) ⋅ r ) ( n ) が、平衡関係とHom S ( N , P ) \operatorname{Hom}_S(N,P) Hom S ( N , P ) R R R G G G b G ( m , n ) : = G ( m ) ( n ) b_G(m,n):=G(m)(n) b G ( m , n ) := G ( m ) ( n ) ( V , τ ) (V,\tau) ( V , τ ) ( V ′ , τ ′ ) (V',\tau') ( V ′ , τ ′ ) θ : V → V ′ \theta\colon V\to V' θ : V → V ′ θ ′ : V ′ → V \theta'\colon V'\to V θ ′ : V ′ → V ( θ ′ ∘ θ ) ∘ τ = τ = 1 V ∘ τ (\theta'\circ\theta)\circ\tau=\tau=1_V\circ\tau ( θ ′ ∘ θ ) ∘ τ = τ = 1 V ∘ τ θ ′ ∘ θ = 1 V \theta'\circ\theta=1_V θ ′ ∘ θ = 1 V θ ∘ θ ′ = 1 V ′ \theta\circ\theta'=1_{V'} θ ∘ θ ′ = 1 V ′ τ \tau τ S S S V 0 V_0 V 0 σ \sigma σ φ : V → V 0 \varphi\colon V\to V_0 φ : V → V 0 j j j j ∘ φ = 1 V j\circ\varphi=1_V j ∘ φ = 1 V j j j V 0 = V V_0=V V 0 = V
写像b : M × R → M b\colon M\times R\to M b : M × R → M b ( m , r ) : = m r b(m,r):=mr b ( m , r ) := m r b b b a , r , s ∈ R a,r,s\in R a , r , s ∈ R
b ( m a , r ) = ( m a ) r = m ( a r ) = b ( m , a r ) , b ( m , r s ) = m ( r s ) = ( m r ) s = b ( m , r ) s b(ma,r)=(ma)r=m(ar)=b(m,ar),\qquad
b(m,rs)=m(rs)=(mr)s=b(m,r)s b ( ma , r ) = ( ma ) r = m ( a r ) = b ( m , a r ) , b ( m , r s ) = m ( r s ) = ( m r ) s = b ( m , r ) s である。テンソル積の普遍性から、λ M ( m ⊗ r ) = m r \lambda_M(m\otimes r)=mr λ M ( m ⊗ r ) = m r R R R λ M : M ⊗ R R → M \lambda_M\colon M\otimes_RR\to M λ M : M ⊗ R R → M η M : M → M ⊗ R R \eta_M\colon M\to M\otimes_RR η M : M → M ⊗ R R η M ( m ) : = m ⊗ 1 R \eta_M(m):=m\otimes1_R η M ( m ) := m ⊗ 1 R η M \eta_M η M
η M ( m r ) = m r ⊗ 1 R = m ⊗ r = ( m ⊗ 1 R ) r \eta_M(mr)=mr\otimes1_R=m\otimes r=(m\otimes1_R)r η M ( m r ) = m r ⊗ 1 R = m ⊗ r = ( m ⊗ 1 R ) r により右R R R m ∈ M m\in M m ∈ M ( λ M η M ) ( m ) = m 1 R = m (\lambda_M\eta_M)(m)=m1_R=m ( λ M η M ) ( m ) = m 1 R = m
( η M λ M ) ( m ⊗ r ) = m r ⊗ 1 R = m ⊗ r (\eta_M\lambda_M)(m\otimes r)=mr\otimes1_R=m\otimes r ( η M λ M ) ( m ⊗ r ) = m r ⊗ 1 R = m ⊗ r である。純テンソルは加法群を生成するため、η M λ M \eta_M\lambda_M η M λ M
写像c : R × N → N c\colon R\times N\to N c : R × N → N c ( r , n ) : = r n c(r,n):=rn c ( r , n ) := r n c c c r , a ∈ R r,a\in R r , a ∈ R s ∈ S s\in S s ∈ S
c ( r a , n ) = ( r a ) n = r ( a n ) = c ( r , a n ) , c ( r , n s ) = r ( n s ) = ( r n ) s = c ( r , n ) s c(ra,n)=(ra)n=r(an)=c(r,an),\qquad
c(r,ns)=r(ns)=(rn)s=c(r,n)s c ( r a , n ) = ( r a ) n = r ( an ) = c ( r , an ) , c ( r , n s ) = r ( n s ) = ( r n ) s = c ( r , n ) s である。普遍性から、ρ N ( r ⊗ n ) = r n \rho_N(r\otimes n)=rn ρ N ( r ⊗ n ) = r n S S S ρ N : R ⊗ R N → N \rho_N\colon R\otimes_RN\to N ρ N : R ⊗ R N → N η N : N → R ⊗ R N \eta_N\colon N\to R\otimes_RN η N : N → R ⊗ R N η N ( n ) : = 1 R ⊗ n \eta_N(n):=1_R\otimes n η N ( n ) := 1 R ⊗ n η N \eta_N η N η N ( n s ) = 1 R ⊗ n s = ( 1 R ⊗ n ) s \eta_N(ns)=1_R\otimes ns=(1_R\otimes n)s η N ( n s ) = 1 R ⊗ n s = ( 1 R ⊗ n ) s S S S n ∈ N n\in N n ∈ N ( ρ N η N ) ( n ) = 1 R n = n (\rho_N\eta_N)(n)=1_Rn=n ( ρ N η N ) ( n ) = 1 R n = n
( η N ρ N ) ( r ⊗ n ) = 1 R ⊗ r n = r ⊗ n (\eta_N\rho_N)(r\otimes n)=1_R\otimes rn=r\otimes n ( η N ρ N ) ( r ⊗ n ) = 1 R ⊗ r n = r ⊗ n である。純テンソルの生成性からη N ρ N \eta_N\rho_N η N ρ N
双加群の作用の可換性とh h h S S S
( h ⋅ r ) ( n s ) = h ( r ( n s ) ) = h ( ( r n ) s ) = h ( r n ) s (h\cdot r)(ns)=h(r(ns))=h((rn)s)=h(rn)s ( h ⋅ r ) ( n s ) = h ( r ( n s )) = h (( r n ) s ) = h ( r n ) s となる。したがってh ⋅ r h\cdot r h ⋅ r S S S
( ( h ⋅ r 1 ) ⋅ r 2 ) ( n ) = h ( ( r 1 r 2 ) n ) ((h\cdot r_1)\cdot r_2)(n)=h((r_1r_2)n) (( h ⋅ r 1 ) ⋅ r 2 ) ( n ) = h (( r 1 r 2 ) n ) であるため、右作用の結合律が成り立つ。加法と単位元に関する公理は点ごとに従う。
G G G R R R (3) の作用の定義から
b G ( m r , n ) = G ( m r ) ( n ) = ( G ( m ) ⋅ r ) ( n ) = G ( m ) ( r n ) = b G ( m , r n ) b_G(mr,n)=G(mr)(n)=(G(m)\cdot r)(n)=G(m)(rn)=b_G(m,rn) b G ( m r , n ) = G ( m r ) ( n ) = ( G ( m ) ⋅ r ) ( n ) = G ( m ) ( r n ) = b G ( m , r n ) となる。任意のG , m , n G,m,n G , m , n
( ( Φ ∘ Ψ ) ( G ) ( m ) ) ( n ) = G ( m ) ( n ) ((\Phi\circ\Psi)(G)(m))(n)=G(m)(n) (( Φ ∘ Ψ ) ( G ) ( m )) ( n ) = G ( m ) ( n ) であり、任意のF F F
( Ψ ∘ Φ ) ( F ) ( m ⊗ n ) = F ( m ⊗ n ) (\Psi\circ\Phi)(F)(m\otimes n)=F(m\otimes n) ( Ψ ∘ Φ ) ( F ) ( m ⊗ n ) = F ( m ⊗ n ) であるため、二つの写像は互いに逆である。M M M N N N P P P F ( a ( m ′ ) ⊗ n ) F(a(m')\otimes n) F ( a ( m ′ ) ⊗ n ) F ( m ⊗ b ( n ) ) F(m\otimes b(n)) F ( m ⊗ b ( n )) c ( F ( m ⊗ n ) ) c(F(m\otimes n)) c ( F ( m ⊗ n ))
具体例では、命題 13.1 によりZ / m Z ⊗ Z Z ≅ Z / m Z \Z/m\Z\otimes_{\Z}\Z\cong\Z/m\Z Z / m Z ⊗ Z Z ≅ Z / m Z h ↦ h ( 1 ) h\mapsto h(1) h ↦ h ( 1 ) Hom Z ( Z , Z / n Z ) ≅ Z / n Z \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z,\Z/n\Z)\cong\Z/n\Z Hom Z ( Z , Z / n Z ) ≅ Z / n Z Hom Z ( Z / m Z , Z / n Z ) \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z/m\Z,\Z/n\Z) Hom Z ( Z / m Z , Z / n Z ) Z \Z Z f : Z / m Z → Z / n Z f\colon\Z/m\Z\to\Z/n\Z f : Z / m Z → Z / n Z f ( 1 ) = a + n Z f(1)=a+n\Z f ( 1 ) = a + n Z a a a m a ∈ n Z ma\in n\Z ma ∈ n Z m = g m ′ m=gm' m = g m ′ n = g n ′ n=gn' n = g n ′ gcd ( m ′ , n ′ ) = 1 \gcd(m',n')=1 g cd( m ′ , n ′ ) = 1 n ∣ m a n\mid ma n ∣ ma n ′ ∣ m ′ a n'\mid m'a n ′ ∣ m ′ a n ′ ∣ a n'\mid a n ′ ∣ a f ↦ f ( 1 ) f\mapsto f(1) f ↦ f ( 1 ) Hom Z ( Z / m Z , Z / n Z ) \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z/m\Z,\Z/n\Z) Hom Z ( Z / m Z , Z / n Z ) n ′ Z / n Z n'\Z/n\Z n ′ Z / n Z n ′ Z / n Z n'\Z/n\Z n ′ Z / n Z n ′ + n Z n'+n\Z n ′ + n Z n / n ′ = g n/n'=g n / n ′ = g Z / g Z \Z/g\Z Z / g Z
二つの持ち上げm 1 , m 2 m_1,m_2 m 1 , m 2 m 1 − m 2 ∈ ker g = im f m_1-m_2\in\ker g=\operatorname{im}f m 1 − m 2 ∈ ker g = im f m 1 − m 2 = f ( m ′ ) m_1-m_2=f(m') m 1 − m 2 = f ( m ′ )
[ m 1 ⊗ n ] − [ m 2 ⊗ n ] = [ f ( m ′ ) ⊗ n ] = 0 [m_1\otimes n]-[m_2\otimes n]=[f(m')\otimes n]=0 [ m 1 ⊗ n ] − [ m 2 ⊗ n ] = [ f ( m ′ ) ⊗ n ] = 0 となる。したがってb ( m ′ ′ , n ) : = [ m ⊗ n ] b(m'',n):=[m\otimes n] b ( m ′′ , n ) := [ m ⊗ n ] b b b g ( m ) = m ′ ′ g(m)=m'' g ( m ) = m ′′ g ( m r ) = m ′ ′ r g(mr)=m''r g ( m r ) = m ′′ r
b ( m ′ ′ r , n ) = [ m r ⊗ n ] = [ m ⊗ r n ] = b ( m ′ ′ , r n ) b(m''r,n)=[mr\otimes n]=[m\otimes rn]=b(m'',rn) b ( m ′′ r , n ) = [ m r ⊗ n ] = [ m ⊗ r n ] = b ( m ′′ , r n ) である。また、s ∈ S s\in S s ∈ S b ( m ′ ′ , n s ) = [ m ⊗ n s ] = [ m ⊗ n ] s b(m'',ns)=[m\otimes ns]=[m\otimes n]s b ( m ′′ , n s ) = [ m ⊗ n s ] = [ m ⊗ n ] s b b b M ′ ′ ⊗ R N M''\otimes_RN M ′′ ⊗ R N S S S S S S g ⊗ R 1 N g\otimes_R1_N g ⊗ R 1 N im ( f ⊗ R 1 N ) \operatorname{im}(f\otimes_R1_N) im ( f ⊗ R 1 N ) [ m ⊗ n ] [m\otimes n] [ m ⊗ n ] g ( m ) ⊗ n g(m)\otimes n g ( m ) ⊗ n m ′ ′ ⊗ n m''\otimes n m ′′ ⊗ n [ m ⊗ n ] [m\otimes n] [ m ⊗ n ] Z ⊗ Z Z / 2 Z ≅ Z / 2 Z \Z\otimes_{\Z}\Z/2\Z\cong\Z/2\Z Z ⊗ Z Z /2 Z ≅ Z /2 Z × 2 ⊗ 1 \times2\otimes1 × 2 ⊗ 1 Z / 2 Z \Z/2\Z Z /2 Z × 2 \times2 × 2
m / s = n / t m/s=n/t m / s = n / t u ∈ S u\in S u ∈ S u ( t m − s n ) = 0 u(tm-sn)=0 u ( t m − s n ) = 0
1 s ⊗ m − 1 t ⊗ n = 1 s t ⊗ ( t m − s n ) = 1 u s t ⊗ u ( t m − s n ) = 0 \frac1s\otimes m-\frac1t\otimes n
=\frac1{st}\otimes(tm-sn)
=\frac1{ust}\otimes u(tm-sn)
=0 s 1 ⊗ m − t 1 ⊗ n = s t 1 ⊗ ( t m − s n ) = u s t 1 ⊗ u ( t m − s n ) = 0 となる。よってm / s ↦ ( 1 / s ) ⊗ m m/s\mapsto(1/s)\otimes m m / s ↦ ( 1/ s ) ⊗ m
g ( m ) / s = 0 g(m)/s=0 g ( m ) / s = 0 u ∈ S u\in S u ∈ S g ( u m ) = 0 g(um)=0 g ( u m ) = 0 u m = f ( m ′ ) um=f(m') u m = f ( m ′ ) m ′ ∈ M ′ m'\in M' m ′ ∈ M ′
( S − 1 f ) ( m ′ / ( u s ) ) = u m / ( u s ) = m / s (S^{-1}f)(m'/(us))=um/(us)=m/s ( S − 1 f ) ( m ′ / ( u s )) = u m / ( u s ) = m / s である。したがってm / s ∈ im ( S − 1 f ) m/s\in\operatorname{im}(S^{-1}f) m / s ∈ im ( S − 1 f )
f : M → M ′ f\colon M\to M' f : M → M ′ R R R g : N → N ′ g\colon N\to N' g : N → N ′ R R R S S S b : M × N → M ′ ⊗ R N ′ b\colon M\times N\to M'\otimes_RN' b : M × N → M ′ ⊗ R N ′ b ( m , n ) : = f ( m ) ⊗ g ( n ) b(m,n):=f(m)\otimes g(n) b ( m , n ) := f ( m ) ⊗ g ( n ) f , g f,g f , g b b b r ∈ R r\in R r ∈ R s ∈ S s\in S s ∈ S
b ( m r , n ) = f ( m ) r ⊗ g ( n ) = f ( m ) ⊗ r g ( n ) = b ( m , r n ) , b ( m , n s ) = f ( m ) ⊗ ( g ( n ) s ) = ( f ( m ) ⊗ g ( n ) ) s = b ( m , n ) s \begin{aligned}
b(mr,n)&=f(m)r\otimes g(n)
=f(m)\otimes rg(n)=b(m,rn),\\
b(m,ns)&=f(m)\otimes(g(n)s)
=(f(m)\otimes g(n))s=b(m,n)s
\end{aligned} b ( m r , n ) b ( m , n s ) = f ( m ) r ⊗ g ( n ) = f ( m ) ⊗ r g ( n ) = b ( m , r n ) , = f ( m ) ⊗ ( g ( n ) s ) = ( f ( m ) ⊗ g ( n )) s = b ( m , n ) s を満たす。したがってb b b b ( m , n ) b(m,n) b ( m , n ) m ⊗ n m\otimes n m ⊗ n S S S f ⊗ R g f\otimes_Rg f ⊗ R g
id M ⊗ R id N \id_M\otimes_R\id_N id M ⊗ R id N m ⊗ n m\otimes n m ⊗ n m ⊗ n m\otimes n m ⊗ n f ′ : M ′ → M ′ ′ f'\colon M'\to M'' f ′ : M ′ → M ′′ R R R g ′ : N ′ → N ′ ′ g'\colon N'\to N'' g ′ : N ′ → N ′′ R R R S S S
( ( f ′ ⊗ R g ′ ) ∘ ( f ⊗ R g ) ) ( m ⊗ n ) = ( f ′ ∘ f ) ( m ) ⊗ ( g ′ ∘ g ) ( n ) ((f'\otimes_Rg')\circ(f\otimes_Rg))(m\otimes n)
=(f'\circ f)(m)\otimes(g'\circ g)(n) (( f ′ ⊗ R g ′ ) ∘ ( f ⊗ R g )) ( m ⊗ n ) = ( f ′ ∘ f ) ( m ) ⊗ ( g ′ ∘ g ) ( n ) である。純テンソルは加法群を生成するため、恒等写像と合成に関する両等式が成り立つ。g = id N g=\id_N g = id N g ′ = id N g'=\id_N g ′ = id N M ↦ M ⊗ R N M\mapsto M\otimes_RN M ↦ M ⊗ R N f ↦ f ⊗ R id N f\mapsto f\otimes_R\id_N f ↦ f ⊗ R id N R R R S S S
順方向を
( m ⊗ n ) ⊗ l ⟼ m ⊗ ( n ⊗ l ) (m\otimes n)\otimes l\longmapsto m\otimes(n\otimes l) ( m ⊗ n ) ⊗ l ⟼ m ⊗ ( n ⊗ l ) によって定め、逆方向をm ⊗ ( n ⊗ l ) ↦ ( m ⊗ n ) ⊗ l m\otimes(n\otimes l)\mapsto(m\otimes n)\otimes l m ⊗ ( n ⊗ l ) ↦ ( m ⊗ n ) ⊗ l S S S
( m ⊗ n s ) ⊗ l = ( m ⊗ n ) ⊗ s l (m\otimes ns)\otimes l=(m\otimes n)\otimes sl ( m ⊗ n s ) ⊗ l = ( m ⊗ n ) ⊗ s l から従い、逆方向のR R R
( m r ⊗ n ) ⊗ l = ( m ⊗ r n ) ⊗ l (mr\otimes n)\otimes l=(m\otimes rn)\otimes l ( m r ⊗ n ) ⊗ l = ( m ⊗ r n ) ⊗ l から従う。右T T T
順方向を
( m i ) i ⊗ n ⟼ ( m i ⊗ n ) i (m_i)_i\otimes n\longmapsto(m_i\otimes n)_i ( m i ) i ⊗ n ⟼ ( m i ⊗ n ) i と定める。( m i ) i (m_i)_i ( m i ) i ι i \iota_i ι i
( x i ) i ⟼ ∑ i ( ι i ⊗ 1 N ) ( x i ) (x_i)_i\longmapsto\sum_i(\iota_i\otimes1_N)(x_i) ( x i ) i ⟼ i ∑ ( ι i ⊗ 1 N ) ( x i ) と定める。有限台により和は有限和であり、純テンソルと標準成分上で二つの合成は恒等写像になる。第二変数では( n j ) j (n_j)_j ( n j ) j m ⊗ ( n j ) j ↦ ( m ⊗ n j ) j m\otimes(n_j)_j\mapsto(m\otimes n_j)_j m ⊗ ( n j ) j ↦ ( m ⊗ n j ) j κ j \kappa_j κ j 1 M ⊗ κ j 1_M\otimes\kappa_j 1 M ⊗ κ j
( m , s ) ∼ ( n , t ) (m,s)\sim(n,t) ( m , s ) ∼ ( n , t ) ( n , t ) ∼ ( p , q ) (n,t)\sim(p,q) ( n , t ) ∼ ( p , q ) u , v ∈ S u,v\in S u , v ∈ S
u v t ( q m − s p ) = v q u ( t m − s n ) + u s v ( q n − t p ) = 0 uvt(qm-sp)=vq\,u(tm-sn)+us\,v(qn-tp)=0 uv t ( q m − s p ) = v q u ( t m − s n ) + u s v ( q n − tp ) = 0 であるため、推移律が成り立つ。和については、二組の代表元の相等を消す乗数をu , v u,v u , v
t t ′ ( s ′ m − s m ′ ) + s s ′ ( t ′ n − t n ′ ) tt'(s'm-sm')+ss'(t'n-tn') t t ′ ( s ′ m − s m ′ ) + s s ′ ( t ′ n − t n ′ ) となり、u v uv uv t m ( s ′ a − s a ′ ) tm(s'a-sa') t m ( s ′ a − s a ′ ) s a ( t ′ m − t m ′ ) sa(t'm-tm') s a ( t ′ m − t m ′ )
相等条件を満たすu ∈ S u\in S u ∈ S u ( t m − s n ) = 0 u(tm-sn)=0 u ( t m − s n ) = 0 f f f
u ( t f ( m ) − s f ( n ) ) = f ( u ( t m − s n ) ) = 0 u(tf(m)-sf(n))=f(u(tm-sn))=0 u ( t f ( m ) − s f ( n )) = f ( u ( t m − s n )) = 0 となるため、S − 1 f S^{-1}f S − 1 f S − 1 A S^{-1}A S − 1 A f ( a m ) = a f ( m ) f(am)=af(m) f ( am ) = a f ( m ) m / s m/s m / s
ι M ( m + n ) = ι M ( m ) + ι M ( n ) , ι M ( a m ) = ι S ( a ) ι M ( m ) \iota_M(m+n)=\iota_M(m)+\iota_M(n),
\qquad
\iota_M(am)=\iota_S(a)\iota_M(m) ι M ( m + n ) = ι M ( m ) + ι M ( n ) , ι M ( am ) = ι S ( a ) ι M ( m ) であるためι M \iota_M ι M A A A m m m f ( m ) / 1 f(m)/1 f ( m ) /1
( S − 1 f ) ∘ ι M = ι N ∘ f (S^{-1}f)\circ\iota_M=\iota_N\circ f ( S − 1 f ) ∘ ι M = ι N ∘ f が成り立つ。
a m a_m a m τ F ( m , n ) = ( a m ( x ) n ) x \tau_F(m,n)=(a_m(x)n)_x τ F ( m , n ) = ( a m ( x ) n ) x a m + m ′ = a m + a m ′ a_{m+m'}=a_m+a_{m'} a m + m ′ = a m + a m ′ m r = ∑ x e x ( a m ( x ) r ) mr=\sum_xe_x(a_m(x)r) m r = ∑ x e x ( a m ( x ) r ) a m r ( x ) = a m ( x ) r a_{mr}(x)=a_m(x)r a m r ( x ) = a m ( x ) r
τ F ( m + m ′ , n ) = ( ( a m ( x ) + a m ′ ( x ) ) n ) x = τ F ( m , n ) + τ F ( m ′ , n ) , \tau_F(m+m',n)=\bigl((a_m(x)+a_{m'}(x))n\bigr)_x=\tau_F(m,n)+\tau_F(m',n), τ F ( m + m ′ , n ) = ( ( a m ( x ) + a m ′ ( x )) n ) x = τ F ( m , n ) + τ F ( m ′ , n ) , τ F ( m , n + n ′ ) = ( a m ( x ) ( n + n ′ ) ) x = τ F ( m , n ) + τ F ( m , n ′ ) \tau_F(m,n+n')=\bigl(a_m(x)(n+n')\bigr)_x=\tau_F(m,n)+\tau_F(m,n') τ F ( m , n + n ′ ) = ( a m ( x ) ( n + n ′ ) ) x = τ F ( m , n ) + τ F ( m , n ′ ) となる。また、
τ F ( m r , n ) = ( ( a m ( x ) r ) n ) x = ( a m ( x ) ( r n ) ) x = τ F ( m , r n ) \tau_F(mr,n)=\bigl((a_m(x)r)n\bigr)_x=\bigl(a_m(x)(rn)\bigr)_x=\tau_F(m,rn) τ F ( m r , n ) = ( ( a m ( x ) r ) n ) x = ( a m ( x ) ( r n ) ) x = τ F ( m , r n ) であり、τ F ( m , n s ) = ( a m ( x ) ( n s ) ) x = ( ( a m ( x ) n ) s ) x = τ F ( m , n ) s \tau_F(m,ns)=\bigl(a_m(x)(ns)\bigr)_x=\bigl((a_m(x)n)s\bigr)_x=\tau_F(m,n)s τ F ( m , n s ) = ( a m ( x ) ( n s ) ) x = ( ( a m ( x ) n ) s ) x = τ F ( m , n ) s ( r n ) s = r ( n s ) (rn)s=r(ns) ( r n ) s = r ( n s ) a e x a_{e_x} a e x x x x 1 R 1_R 1 R 0 0 0 τ F ( e x , n ) = ι x ( n ) \tau_F(e_x,n)=\iota_x(n) τ F ( e x , n ) = ι x ( n ) ι x ( n x ) \iota_x(n_x) ι x ( n x ) τ F \tau_F τ F V F V_F V F
平衡写像b : F × N → P b\colon F\times N\to P b : F × N → P b ~ ( ( n x ) x ) : = ∑ x b ( e x , n x ) \widetilde b((n_x)_x):=\sum_xb(e_x,n_x) b (( n x ) x ) := ∑ x b ( e x , n x ) b b b b ~ \widetilde b b b ( e x , n x s ) = b ( e x , n x ) s b(e_x,n_xs)=b(e_x,n_x)s b ( e x , n x s ) = b ( e x , n x ) s b ~ \widetilde b b S S S
b ~ ( τ F ( m , n ) ) = ∑ x b ( e x , a m ( x ) n ) = ∑ x b ( e x a m ( x ) , n ) = b ( ∑ x e x a m ( x ) , n ) = b ( m , n ) \widetilde b(\tau_F(m,n))
=\sum_x b(e_x,a_m(x)n)
=\sum_x b(e_xa_m(x),n)
=b\left(\sum_xe_xa_m(x),n\right)
=b(m,n) b ( τ F ( m , n )) = x ∑ b ( e x , a m ( x ) n ) = x ∑ b ( e x a m ( x ) , n ) = b ( x ∑ e x a m ( x ) , n ) = b ( m , n ) である。τ F \tau_F τ F b ~ ∘ τ F = b \widetilde b\circ\tau_F=b b ∘ τ F = b
π ( x ) = π ( x ′ ) \pi(x)=\pi(x') π ( x ) = π ( x ′ ) x − x ′ ∈ ker π = im u x-x'\in\ker\pi=\operatorname{im}u x − x ′ ∈ ker π = im u x − x ′ = u ( y ) x-x'=u(y) x − x ′ = u ( y )
τ 0 ( x , n ) − τ 0 ( x ′ , n ) = τ 0 ( u ( y ) , n ) = ( u ⊗ 1 N ) ( τ 1 ( y , n ) ) \tau_0(x,n)-\tau_0(x',n)=\tau_0(u(y),n)=(u\otimes1_N)(\tau_1(y,n)) τ 0 ( x , n ) − τ 0 ( x ′ , n ) = τ 0 ( u ( y ) , n ) = ( u ⊗ 1 N ) ( τ 1 ( y , n )) がim ( u ⊗ 1 N ) \operatorname{im}(u\otimes1_N) im ( u ⊗ 1 N ) q q q S S S q ∗ q^* q ∗ Hom S ( V , P ) \operatorname{Hom}_S(V,P) Hom S ( V , P ) ker ( u ⊗ 1 N ) ∗ \ker(u\otimes1_N)^* ker ( u ⊗ 1 N ) ∗ ker ( u ⊗ 1 N ) ∗ \ker(u\otimes1_N)^* ker ( u ⊗ 1 N ) ∗ ker u ∗ \ker u^* ker u ∗ R R R π ∗ \pi^* π ∗ Hom R ( M , Hom S ( N , P ) ) \operatorname{Hom}_R(M,\operatorname{Hom}_S(N,P)) Hom R ( M , Hom S ( N , P )) ker u ∗ \ker u^* ker u ∗ G G G b b b Λ M , N , P ( b ) ∘ π = Ξ 0 ( G ∘ q ) \Lambda_{M,N,P}(b)\circ\pi=\Xi_0(G\circ q) Λ M , N , P ( b ) ∘ π = Ξ 0 ( G ∘ q ) m m m x x x b ( m , n ) = G ( q ( τ 0 ( x , n ) ) ) = G ( τ ( m , n ) ) b(m,n)=G(q(\tau_0(x,n)))=G(\tau(m,n)) b ( m , n ) = G ( q ( τ 0 ( x , n ))) = G ( τ ( m , n )) b = G ∘ τ b=G\circ\tau b = G ∘ τ
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問題 22.2 (Hom の左完全性の確認). 次の各問に答えよ。
一般の非可換環上で( r ⋅ f ) ( m ) = r f ( m ) (r\cdot f)(m)=rf(m) ( r ⋅ f ) ( m ) = r f ( m ) Hom R ( M , N ) \operatorname{Hom}_R(M,N) Hom R ( M , N ) R R R 例 1.1 の行列で直接確認せよ。
命題 2.2 の証明を完成させよ。固定したP P P u ∗ ( φ ) = u ∘ φ u_*(\varphi)=u\circ\varphi u ∗ ( φ ) = u ∘ φ 命題 3.2 の証明を完成させよ。固定したN N N u ∗ ( ψ ) = ψ ∘ u u^*(\psi)=\psi\circ u u ∗ ( ψ ) = ψ ∘ u i ( a ) = ( a , 0 ) i(a)=(a,0) i ( a ) = ( a , 0 ) p ( a , b ) = b p(a,b)=b p ( a , b ) = b 0 → Z → i Z 2 → p Z → 0 0\to\Z\xrightarrow{i}\Z^2\xrightarrow{p}\Z\to0 0 → Z i Z 2 p Z → 0 Hom Z ( Z , − ) \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z,-) Hom Z ( Z , − ) 前問の短完全列にHom Z ( − , Z ) \operatorname{Hom}_{\Z}(-,\Z) Hom Z ( − , Z )
例 6.2 の短完全列について、共変なq ∗ q_* q ∗ ( × n ) ∗ (\times n)^* ( × n ) ∗ 全射p : A → B p\colon A\to B p : A → B p ∗ : Hom R ( P , A ) → Hom R ( P , B ) p_*\colon\operatorname{Hom}_R(P,A)\to\operatorname{Hom}_R(P,B) p ∗ : Hom R ( P , A ) → Hom R ( P , B )
Z → × 6 Z → q Z / 6 Z → 0 \Z\xrightarrow{\times6}\Z\xrightarrow{q}\Z/6\Z\to0 Z × 6 Z q Z /6 Z → 0 系 5.1 をN = Z / 12 Z N=\Z/12\Z N = Z /12 Z q ∗ q^* q ∗ ( × 6 ) ∗ (\times6)^* ( × 6 ) ∗ 解答 (演習の解答).
f f f R R R ( r ⋅ f ) ( s m ) = r s f ( m ) (r\cdot f)(sm)=rsf(m) ( r ⋅ f ) ( s m ) = r s f ( m ) s ( r ⋅ f ) ( m ) = s r f ( m ) s(r\cdot f)(m)=srf(m) s ( r ⋅ f ) ( m ) = sr f ( m ) R = Mat 2 × 2 ( k ) R=\operatorname{Mat}_{2\times2}(k) R = Mat 2 × 2 ( k ) f = id R f=\operatorname{id}_R f = id R r = p r=p r = p s = q s=q s = q m = 1 R m=1_R m = 1 R p q pq pq q p qp q p R R R u ∗ ( φ + ψ ) = u ∘ ( φ + ψ ) = u ∘ φ + u ∘ ψ u_*(\varphi+\psi)=u\circ(\varphi+\psi)=u\circ\varphi+u\circ\psi u ∗ ( φ + ψ ) = u ∘ ( φ + ψ ) = u ∘ φ + u ∘ ψ ( id A ) ∗ ( φ ) = φ (\operatorname{id}_A)_*(\varphi)=\varphi ( id A ) ∗ ( φ ) = φ A → u B → v C A\xrightarrow{u}B\xrightarrow{v}C A u B v C ( v ∘ u ) ∗ ( φ ) = v ∘ ( u ∘ φ ) = v ∗ ( u ∗ ( φ ) ) (v\circ u)_*(\varphi)=v\circ(u\circ\varphi)=v_*(u_*(\varphi)) ( v ∘ u ) ∗ ( φ ) = v ∘ ( u ∘ φ ) = v ∗ ( u ∗ ( φ )) φ , ψ ∈ Hom R ( B , N ) \varphi,\psi\in\Hom_R(B,N) φ , ψ ∈ Hom R ( B , N ) u ∗ ( φ + ψ ) = ( φ + ψ ) ∘ u = φ ∘ u + ψ ∘ u u^*(\varphi+\psi)=(\varphi+\psi)\circ u=\varphi\circ u+\psi\circ u u ∗ ( φ + ψ ) = ( φ + ψ ) ∘ u = φ ∘ u + ψ ∘ u u ∗ ( 0 ) = 0 u^*(0)=0 u ∗ ( 0 ) = 0 u ∗ u^* u ∗ φ ∈ Hom R ( A , N ) \varphi\in\Hom_R(A,N) φ ∈ Hom R ( A , N ) ( id A ) ∗ ( φ ) = φ ∘ id A = φ (\id_A)^*(\varphi)=\varphi\circ\id_A=\varphi ( id A ) ∗ ( φ ) = φ ∘ id A = φ A → u B → v C A\xrightarrow{u}B\xrightarrow{v}C A u B v C θ ∈ Hom R ( C , N ) \theta\in\Hom_R(C,N) θ ∈ Hom R ( C , N ) ( v ∘ u ) ∗ ( θ ) = θ ∘ ( v ∘ u ) = ( θ ∘ v ) ∘ u = u ∗ ( v ∗ ( θ ) ) (v\circ u)^*(\theta)=\theta\circ(v\circ u)=(\theta\circ v)\circ u=u^*(v^*(\theta)) ( v ∘ u ) ∗ ( θ ) = θ ∘ ( v ∘ u ) = ( θ ∘ v ) ∘ u = u ∗ ( v ∗ ( θ )) P = Z P=\Z P = Z 0 → Z → i Z 2 → p Z → 0 0\to\Z\xrightarrow{i}\Z^2\xrightarrow{p}\Z\to0 0 → Z i Z 2 p Z → 0 i ( a ) = ( a , 0 ) i(a)=(a,0) i ( a ) = ( a , 0 ) p ( a , b ) = b p(a,b)=b p ( a , b ) = b Z \Z Z 1 1 1 i ∗ ( a ) = ( a , 0 ) i_*(a)=(a,0) i ∗ ( a ) = ( a , 0 ) p ∗ ( a , b ) = b p_*(a,b)=b p ∗ ( a , b ) = b i ∗ i_* i ∗ ker p ∗ = { ( a , 0 ) : a ∈ Z } = im i ∗ \ker p_*=\{(a,0):a\in\Z\}=\operatorname{im}i_* ker p ∗ = {( a , 0 ) : a ∈ Z } = im i ∗ N = Z N=\Z N = Z p ∗ : Hom Z ( Z , Z ) → Hom Z ( Z 2 , Z ) p^*\colon\operatorname{Hom}_{\Z}(\Z,\Z)\to\operatorname{Hom}_{\Z}(\Z^2,\Z) p ∗ : Hom Z ( Z , Z ) → Hom Z ( Z 2 , Z ) c ↦ ( ( a , b ) ↦ c b ) c\mapsto((a,b)\mapsto cb) c ↦ (( a , b ) ↦ c b ) i ∗ i^* i ∗ ( ( a , b ) ↦ x a + y b ) ↦ ( a ↦ x a ) ((a,b)\mapsto xa+yb)\mapsto(a\mapsto xa) (( a , b ) ↦ x a + y b ) ↦ ( a ↦ x a ) p ∗ p^* p ∗ x = 0 x=0 x = 0 ker i ∗ \ker i^* ker i ∗ Hom Z ( Z / n Z , Z ) = 0 \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z/n\Z,\Z)=0 Hom Z ( Z / n Z , Z ) = 0 Hom Z ( Z / n Z , Z / n Z ) \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z/n\Z,\Z/n\Z) Hom Z ( Z / n Z , Z / n Z ) q ∗ q_* q ∗ Hom Z ( Z , Z ) ≅ Z \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z,\Z)\cong\Z Hom Z ( Z , Z ) ≅ Z ( × n ) ∗ (\times n)^* ( × n ) ∗ a ↦ n a a\mapsto na a ↦ na n ≥ 2 n\ge2 n ≥ 2 p ∗ p_* p ∗ α : P → B \alpha\colon P\to B α : P → B p ∘ α ~ = α p\circ\widetilde\alpha=\alpha p ∘ α = α α ~ : P → A \widetilde\alpha\colon P\to A α : P → A Hom Z ( Z , Z / 12 Z ) \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z,\Z/12\Z) Hom Z ( Z , Z /12 Z ) 1 1 1 Z / 12 Z \Z/12\Z Z /12 Z ( × 6 ) ∗ (\times6)^* ( × 6 ) ∗ x ↦ 6 x x\mapsto6x x ↦ 6 x { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } \{0,2,4,6,8,10\} { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } Z / 6 Z \Z/6\Z Z /6 Z Z / 12 Z \Z/12\Z Z /12 Z 1 + 6 Z 1+6\Z 1 + 6 Z 6 x = 0 6x=0 6 x = 0 q ∗ q^* q ∗ ker ( × 6 ) ∗ \ker(\times6)^* ker ( × 6 ) ∗ ▨
解答. 短完全列0 → A → B → C → 0 0\to A\to B\to C\to0 0 → A → B → C → 0 例 21.1 の同じ有向集合I I I s μ − ν s^{\mu-\nu} s μ − ν §E6.9 定理 9.1 によって余極限の列は短完全である。分数の写像はm ↦ f ( m ) m\mapsto f(m) m ↦ f ( m ) 0 → S − 1 A → S − 1 B → S − 1 C → 0 0\to S^{-1}A\to S^{-1}B\to S^{-1}C\to0 0 → S − 1 A → S − 1 B → S − 1 C → 0 ▨
問題 22.4. 補題 18.2 を証明せよ。有限階数の基底を選んでテンソル積を有限直和に同定し、直積との標準写像が同型であることと、完全列を保つことを示せ。空の族と階数零の場合も扱え。
解答. R R R F F F R R R e 1 , … , e n e_1,\ldots,e_n e 1 , … , e n 命題 18.1 と命題 13.1 により、任意のR R R A A A
θ A : A ⊕ n ⟶ A ⊗ R F , ( a 1 , … , a n ) ⟼ ∑ k = 1 n a k ⊗ e k \theta_A:A^{\oplus n}\longrightarrow A\otimes_R F,\qquad
(a_1,\ldots,a_n)\longmapsto\sum_{k=1}^n a_k\otimes e_k θ A : A ⊕ n ⟶ A ⊗ R F , ( a 1 , … , a n ) ⟼ k = 1 ∑ n a k ⊗ e k は同型である。任意のR R R h : A → B h:A\to B h : A → B
( h ⊗ id F ) θ A = θ B h ⊕ n (h\otimes\id_F)\theta_A=\theta_Bh^{\oplus n} ( h ⊗ id F ) θ A = θ B h ⊕ n が成り立つ。
( M i ) i ∈ I (M_i)_{i\in I} ( M i ) i ∈ I R R R n n n
ρ : ( ∏ i ∈ I M i ) ⊕ n ⟶ ∏ i ∈ I M i ⊕ n , ( ( m i 1 ) i ∈ I , … , ( m i n ) i ∈ I ) ⟼ ( ( m i 1 , … , m i n ) ) i ∈ I \rho:\left(\prod_{i\in I}M_i\right)^{\oplus n}
\longrightarrow\prod_{i\in I}M_i^{\oplus n},\qquad
\bigl((m_{i1})_{i\in I},\ldots,(m_{in})_{i\in I}\bigr)
\longmapsto\bigl((m_{i1},\ldots,m_{in})\bigr)_{i\in I} ρ : ( i ∈ I ∏ M i ) ⊕ n ⟶ i ∈ I ∏ M i ⊕ n , ( ( m i 1 ) i ∈ I , … , ( m in ) i ∈ I ) ⟼ ( ( m i 1 , … , m in ) ) i ∈ I は同型である。逆写像は各成分k k k ( m i k ) i ∈ I (m_{ik})_{i\in I} ( m ik ) i ∈ I ( ( m i 1 ) i , … , ( m i n ) i ) ((m_{i1})_i,\ldots,(m_{in})_i) (( m i 1 ) i , … , ( m in ) i ) Φ θ ∏ i M i \Phi\theta_{\prod_iM_i} Φ θ ∏ i M i ( ∏ i θ M i ) ρ (\prod_i\theta_{M_i})\rho ( ∏ i θ M i ) ρ i i i ∑ k = 1 n m i k ⊗ e k \sum_{k=1}^n m_{ik}\otimes e_k ∑ k = 1 n m ik ⊗ e k
Φ = ( ∏ i θ M i ) ρ θ ∏ i M i − 1 \Phi=(\prod_i\theta_{M_i})\rho\theta_{\prod_iM_i}^{-1} Φ = ( i ∏ θ M i ) ρ θ ∏ i M i − 1 は同型である。I = ∅ I=\emptyset I = ∅ Φ \Phi Φ n = 0 n=0 n = 0 F = 0 F=0 F = 0 A ⊕ 0 = 0 A^{\oplus0}=0 A ⊕ 0 = 0
L → u M → v N L\xrightarrow{u}M\xrightarrow{v}N L u M v N M M M R R R θ L , θ M , θ N \theta_L,\theta_M,\theta_N θ L , θ M , θ N u ⊕ n , v ⊕ n u^{\oplus n},v^{\oplus n} u ⊕ n , v ⊕ n ( m 1 , … , m n ) ∈ M ⊕ n (m_1,\ldots,m_n)\in M^{\oplus n} ( m 1 , … , m n ) ∈ M ⊕ n ker ( v ⊕ n ) \ker(v^{\oplus n}) ker ( v ⊕ n ) k k k m k ∈ ker v = \imu m_k\in\ker v=\imu m k ∈ ker v = \imu k k k u ( ℓ k ) = m k u(\ell_k)=m_k u ( ℓ k ) = m k ℓ k ∈ L \ell_k\in L ℓ k ∈ L
( m 1 , … , m n ) = u ⊕ n ( ℓ 1 , … , ℓ n ) (m_1,\ldots,m_n)=u^{\oplus n}(\ell_1,\ldots,\ell_n) ( m 1 , … , m n ) = u ⊕ n ( ℓ 1 , … , ℓ n ) となる。逆の包含はv u = 0 vu=0 v u = 0
ker ( v ⊕ n ) = im ( u ⊕ n ) \ker(v^{\oplus n})=\im(u^{\oplus n}) ker ( v ⊕ n ) = im ( u ⊕ n ) である。完全列の各項にこの等式を適用すると、− ⊗ R F -\otimes_R F − ⊗ R F n = 0 n=0 n = 0 ▨