係数拡大 | 線形代数 II

1 線形空間と線形写像の係数拡大

定義 1.1. $L/K$ を体拡大、 $V$ を $K$ 上の線形空間とする。

V_L=L\otimes_KV

とおき、

c\,(a\otimes v)=(ca)\otimes v\qquad(c,a\in L,\ v\in V)

によって $L$ のスカラー倍を定める。 $V_L$ を $V$ の $L$ への係数拡大 (extension of scalars) という。標準写像 (canonical map) を

\eta_V:V\to V_L,\qquad v\mapsto1\otimes v

と書く。

命題 1.2. 上のスカラー倍はテンソルの表示に依存せず定まり、 $V_L$ を $L$ 上の線形空間にする。標準写像 $\eta_V$ は $K$ -線形である。

証明. 固定した $c\in L$ に対し、 $L\times V\to L\otimes_KV$ 、 $(a,v)\mapsto ca\otimes v$ は $K$ -双線形である。テンソル積の普遍性により $m_c:L\otimes_KV\to L\otimes_KV$ という $K$ -線形写像を定める。 $m_c(z)$ を $cz$ と書く。純テンソル上で $m_c m_d=m_{cd}$ 、 $m_{c+d}=m_c+m_d$ 、 $m_1=\operatorname{id}$ が成り立ち、純テンソルは全体を生成するのでこれらの等式は全体で成り立つ。したがって $V_L$ は $L$ 上の線形空間である。 $\eta_V(av+bu)=1\otimes(av+bu)=a(1\otimes v)+b(1\otimes u)$ が $a,b\in K$ について成り立つので $K$ -線形である。▨

命題 1.3. $K$ -線形写像 $T:V\to W$ に対し、

T_L=\operatorname{id}_L\otimes T:V_L\to W_L,\qquad T_L(a\otimes v)=a\otimes T(v)

は $L$ -線形である。さらに

(S\circ T)_L=S_L\circ T_L,\qquad (\operatorname{id}_V)_L=\operatorname{id}_{V_L}

が成り立つ。

証明.§E3.11 命題 3.1により $K$ -線形写像 $T_L$ が定まる。 $c,a\in L$ に対して $T_L(c(a\otimes v))=T_L(ca\otimes v)=ca\otimes T(v) =cT_L(a\otimes v)$ なので、純テンソル上で $L$ -線形性が成り立つ。加法と純テンソルによる生成から全体で $L$ -線形である。合成と恒等写像の式は§E3.11 命題 3.1の対応する式から従う。▨

2 基底、次元、完全列

定理 2.1. $B$ が $V$ の $K$ -基底なら

\{1\otimes b:b\in B\}

は $V_L$ の $L$ -基底である。したがって基数の等式

\dim_LV_L=\dim_KV

が成り立つ。

証明. 任意の純テンソル $a\otimes v$ で $v=\sum_{j=1}^mc_jb_j$ と書くと

a\otimes v=\sum_{j=1}^m(ac_j)(1\otimes b_j)

である。純テンソルが $V_L$ を生成するので、 $1\otimes b$ の全体は $L$ 上で $V_L$ を生成する。

有限個の相異なる $b_1,\ldots,b_m\in B$ について $\sum_ja_j(1\otimes b_j)=0$ とする。各 $k$ について、基底 $B$ の $b_k$ 成分を取り出す $K$ -線形汎関数 $\varphi_k:V\to K$ を取る。写像

\operatorname{id}_L\otimes\varphi_k:L\otimes_KV\to L\otimes_KK\cong L

を等式に施すと $a_k=0$ を得る。したがって $1\otimes b$ の全体は $L$ 上で一次独立であり、基底である。基底の濃度が同じなので次元の等式を得る。▨

定理 2.2. $K$ 上の短完全列

0\longrightarrow U\xrightarrow{i}V\xrightarrow{p}W\longrightarrow0

に係数拡大を施した

0\longrightarrow U_L\xrightarrow{i_L}V_L\xrightarrow{p_L}W_L\longrightarrow0

は $L$ 上の短完全列である。

証明.§E3.16 定理 1.1を、 $K$ 上の線形空間 $X=L$ に対して適用すると、表示した列は $K$ -線形写像の列として短完全である。命題 1.3により各写像は $L$ -線形である。像と核は集合として同じなので、 $L$ -線形写像の列としても完全である。▨

3 テンソル構成との両立

定理 3.1. $K$ 上の線形空間 $V,W$ に対し、

\Theta:(V\otimes_KW)_L\longrightarrow V_L\otimes_LW_L,

\Theta\bigl(a\otimes(v\otimes w)\bigr) =(a\otimes v)\otimes(1\otimes w)

は標準的な $L$ -線形同型である。

証明. 右辺の式は $a,v,w$ について必要な $K$ -線形関係を満たすので、テンソル積の普遍性を順に適用して $L$ -線形写像 $\Theta$ が定められる。逆向きには

\Psi\bigl((a\otimes v)\otimes(b\otimes w)\bigr) =ab\otimes(v\otimes w)

と定める。この式は各変数について $K$ -双線形であり、さらに

\Psi\bigl((ca\otimes v)\otimes(b\otimes w)\bigr) =cab\otimes(v\otimes w) =\Psi\bigl((a\otimes v)\otimes(cb\otimes w)\bigr)

なので、 $L$ 上のテンソル積の平衡関係と両立する。したがって $\Psi$ は表示に依存せず定まる $L$ -線形写像を定める。純テンソル上で

\Psi\Theta\bigl(a\otimes(v\otimes w)\bigr)=a\otimes(v\otimes w)

かつ

\Theta\Psi\bigl((a\otimes v)\otimes(b\otimes w)\bigr) =(ab\otimes v)\otimes(1\otimes w) =(a\otimes v)\otimes(b\otimes w)

である。純テンソルが各空間を生成するので、 $\Theta$ と $\Psi$ は相互に逆である。▨

定理 3.2. 各 $r\ge0$ について、次の標準的な $L$ -線形同型がある。

\begin{aligned} L\otimes_K\operatorname{Sym}^r_K(V) &\cong\operatorname{Sym}^r_L(V_L),\\ L\otimes_K\bigwedge\nolimits_K^rV &\cong\bigwedge\nolimits_L^r(V_L). \end{aligned}

第一の同型は $a\otimes(v_1\cdots v_r)\mapsto a(1\otimes v_1)\cdots(1\otimes v_r)$ 、第二の同型は楔積を用いた同じ式で定まる。

証明. 表示式は対称性または交代性と両立するため、それぞれの普遍性により $L$ -線形写像が定められる。 $V$ の $K$ -基底を $(e_i)$ とすると、定理 2.1により $(1\otimes e_i)$ は $V_L$ の $L$ -基底である。対称冪の単項式基底は同じ指数列によって対応し、外冪の基底は同じ昇順添字によって対応する。表示した写像はそれぞれ基底を基底へ送るので同型である。定義式は基底を用いないため、同型自体は基底の選択に依存しない。▨

4 有限次元双対との両立

定理 4.1. $V$ が有限次元なら、

\Gamma:L\otimes_KV^\vee\longrightarrow(V_L)^{\vee_L},

\Gamma(a\otimes\varphi)(b\otimes v)=ab\,\varphi(v)

は標準的な $L$ -線形同型である。

証明. 右辺は $(a,\varphi)$ および $(b,v)$ についてテンソル積の関係と両立し、固定した $a\otimes\varphi$ に対して $b\otimes v$ の $L$ -線形汎関数を定める。したがって $\Gamma$ は表示に依存せず定まり、 $L$ -線形である。 $V$ の基底を $(e_1,\ldots,e_n)$ 、双対基底を $(e^1,\ldots,e^n)$ とする。 $1\otimes e^i$ の像は $V_L$ の基底 $(1\otimes e_j)$ に対して

\Gamma(1\otimes e^i)(1\otimes e_j)=\delta_{ij}

を満たす。したがって $\Gamma$ は係数拡大した双対基底を $V_L$ の双対基底へ送り、同型である。▨

有限次元性を外すと、 $L\otimes_KV^\vee$ の元は有限個の $K$ -線形汎関数の $L$ -一次結合に限られるが、 $(V_L)^{\vee_L}$ にはそのような一次結合では表されない汎関数が存在する場合がある。そのため双対との同型には有限次元性が必要である。

例 4.2. $K=\R$ 、 $L=\C$ 、 $V=\R^2$ とする。 $V_{\C}=\C\otimes_{\R}\R^2$ は $1\otimes e_1,1\otimes e_2$ を複素基底にもつので、複素線形空間として $\C^2$ と同型である。 $\dim_{\C}V_{\C}=2=\dim_{\R}V$ である。ただし $V_{\C}$ を実線形空間として見ると次元は $4$ であり、どの係数体について次元を取るかを区別する必要がある。

5 演習

問題 5.1 (係数拡大と階数). $L/K$ を体の拡大、 $T:V\to W$ を有限次元 $K$ -線形空間の間の $K$ -線形写像とする。包含写像 $j:\ker T\to V$ について $\ker T_L=j_L\bigl((\ker T)_L\bigr)$ であり、 $\dim_L\operatorname{im}T_L=\dim_K\operatorname{im}T$ であることを示せ。これを用いて、 $A\in M_{m\times n}(\Q)$ の連立方程式 $Ax=0$ が $\R^n$ に零でない解をもつならば $\Q^n$ にも零でない解をもつことを示せ。

解答.

$T':V\to\operatorname{im}T$ を終域を像に制限した写像、 $k:\operatorname{im}T\to W$ を包含写像とすると $T=k\circ T'$ であり、命題 1.3により $T_L=k_L\circ T'_L$ である。短完全列

0\to\ker T\xrightarrow{j}V\xrightarrow{T'}\operatorname{im}T\to0,\qquad 0\to\operatorname{im}T\xrightarrow{k}W\to W/\operatorname{im}T\to0

に定理 2.2を適用すると、 $0\to(\ker T)_L\xrightarrow{j_L}V_L\xrightarrow{T'_L}(\operatorname{im}T)_L\to0$ は完全であり、 $k_L$ は単射である。 $k_L$ の単射性から $\ker T_L=\ker T'_L=\operatorname{im}j_L=j_L((\ker T)_L)$ であり、 $T'_L$ の全射性から $\operatorname{im}T_L=k_L((\operatorname{im}T)_L)$ は $(\operatorname{im}T)_L$ と同型である。定理 2.1により $\dim_L(\operatorname{im}T)_L=\dim_K\operatorname{im}T$ であるから、 $\dim_L\operatorname{im}T_L=\dim_K\operatorname{im}T$ である。

$K=\Q$ 、 $L=\R$ 、 $V=\Q^n$ 、 $W=\Q^m$ とし、 $T$ を $A$ の左乗法とする。定理 2.1により $V_{\R}$ 、 $W_{\R}$ は $1\otimes e_i$ を基底にもち、 $T_{\R}$ のこれらの基底に関する表現行列は $A$ であるから、 $T_{\R}$ は $\R^n\to\R^m$ への $A$ の左乗法と同一視される。短完全列 $0\to\ker S\to X\to\operatorname{im}S\to0$ は§E3.7 定理 2.3により分裂するから、有限次元の線形写像 $S:X\to Y$ について $\dim X=\dim\ker S+\dim\operatorname{im}S$ である。 $Ax=0$ が $\R^n$ に零でない解をもてば $\ker T_{\R}\neq0$ であり、 $\dim_{\R}\operatorname{im}T_{\R}<n$ である。前段により $\dim_{\Q}\operatorname{im}T<n$ であるから $\ker T\neq0$ 、すなわち $Ax=0$ は $\Q^n$ に零でない解をもつ。▨

§E3.17係数拡大

1 線形空間と線形写像の係数拡大

2 基底、次元、完全列

3 テンソル構成との両立

4 有限次元双対との両立

5 演習

参考文献

前提記事