§E7.13共役類と類等式

証明.$x,y\in G$に対して

であるため、$c_g$は群準同型である。また、

である。したがって、$c_{g^{-1}}$は$c_g$の逆写像であり、$c_g$は自己同型である。▨

証明. 単位元について$e\cdot x=x$である。また、

であるから、左作用の公理が成り立つ。

軌道は定義から

である。安定化群については、

であるから$\Stab{x}=C_G(x)$である。▨

証明.命題 2.1により、$C_G(x)$は共役作用の$x$における安定化群である。したがって§E7.10 命題 4.4により$C_G(x)\leq G$である。

単位元は$H$を保つ。$a,b\in N_G(H)$ならば、

である。よって$N_G(H)\leq G$である。

元$z$がすべての$x\in G$と可換することは、$z\in C_G(x)$がすべての$x\in G$について成り立つことと同値である。以上の同値関係から$Z(G)=\bigcap_{x\in G}C_G(x)$を得る。各$C_G(x)$は単位元を含み、積と逆元について閉じている。したがって、その交わり$Z(G)$も単位元を含み、積と逆元について閉じており、$G$の部分群である。$z\in Z(G)$、$g\in G$とすると$gz=zg$であるから

である。したがって$Z(G)\trianglelefteq G$である。各$h\in H$に対して$hHh^{-1}\subseteq H$と$h^{-1}Hh\subseteq H$が成り立つ。後者の両辺を$h$で共役すると$H\subseteq hHh^{-1}$を得るので、$hHh^{-1}=H$である。したがって、正規化群の定義により$H\subseteq N_G(H)$である。また、すべての$n\in N_G(H)$に対して$nHn^{-1}=H$が成り立つので、$H$は$N_G(H)$の正規部分群である。▨

証明. 左作用を備えた集合$S$の元$s$と$g,h\in G$に対し、$s\cdot g=g^{-1}s$と置くと

が成り立つ。逆に、右作用に対して$gs=s\cdot g^{-1}$と置くと、$1s=s$であり、

となる。逆元を二度取ると元に戻るので、二つの対応は互いに逆である。任意の$s\in S$と$g\in G$に対する等式$f(g^{-1}s)=g^{-1}f(s)$は、対応する右作用についての等式$f(s\cdot g)=f(s)\cdot g$である。$g^{-1}$は$G$全体を動くので、同変性の同値も従う。また、$g$と$g^{-1}$はともに$G$全体を動くので、各$s\in S$の左作用の軌道と対応する右作用の軌道は一致する。$gs=s$と$g^{-1}s=s$は同値なので、安定化群も一致する。

$aH=bH$ならば、ある$h\in H$が存在して$b=ah$である。したがって$Hb^{-1}=Hh^{-1}a^{-1}=Ha^{-1}$である。したがって$\iota_H$は代表元によらず定まる。同じ議論によって$Ha\mapsto a^{-1}H$も代表元によらず定まる。この写像は$\iota_H$の逆写像である。また、任意の$a,g\in G$に対して

である。

$S$を空でない推移的な右$G$集合とし、$s\in S$とする。(1)による左作用$gs=s\cdot g^{-1}$は推移的である。右作用の元$g$が$s$を固定することと$g^{-1}$が$s$を固定することは同値なので、この左作用における$s$の安定化群も$H$である。§E7.11 命題 1.3により、写像$G/H\to S$,$aH\mapsto s\cdot a^{-1}$は左作用について同変同型である。右作用へ移して$\iota_H^{-1}$と合成すると、同変同型$Hg\mapsto s\cdot g$を得る。逆に、§E7.11 命題 1.3により左乗法作用を備えた$G/H$は空でなく推移的であるから、左右の作用の対応と$\iota_H$により$H\backslash G$も空でなく推移的である。

(1)と(2)により、$H\backslash G$と$K\backslash G$が同変同型であることは、左$G$集合$G/H$と$G/K$が同変同型であるための必要十分条件である。§E7.11 系 2.2により、後者の同変同型が存在することは、$H,K$が共役であるための必要十分条件である。(3)と合わせると、主張された分類を得る。▨

証明.$n\in N_G(H)$とする。§E7.11 命題 2.1により、写像

は左作用について同変同型である。命題 4.1 (1)によって右作用へ移し、命題 4.1 (2)の同変同型を用いて合成すると、$\iota_H\circ f_{n^{-1}}\circ\iota_H^{-1}$は$Hg$を$Hng$へ送る。したがって、この合成は$\lambda_n$であり、$\lambda_n$は右作用について同変自己同型である。

任意の$n,m\in N_G(H)$と$g\in G$に対し、

である。また、$\lambda_n$が恒等写像ならば$Hn=\lambda_n(H)=H$であるから$n\in H$である。逆に$n\in H$ならば、すべての$g\in G$に対して$Hng=Hg$である。したがって$n\mapsto\lambda_n$は核が$H$である群準同型である。

$F\in\operatorname{Aut}_G(H\backslash G)$を取り、$F(H)=Hn$を満たす$n\in G$を選ぶ。命題 4.1 (1)と命題 4.1 (2)により、写像

は左作用について同変同型であり、$\widetilde F(H)=n^{-1}H$である。§E7.11 命題 2.1を$\widetilde F$に適用すると、$nHn^{-1}\subseteq H$と、すべての$a\in G$に対する等式$\widetilde F(aH)=an^{-1}H$を得る。元の右作用へ戻すと、すべての$g\in G$に対して$F(Hg)=Hng$である。

§E7.11 補題 1.2により、逆写像$\widetilde F^{-1}=\iota_H^{-1}\circ F^{-1}\circ\iota_H$は左作用について同変である。$\widetilde F(nH)=H$であるから、$\widetilde F^{-1}(H)=nH$である。§E7.11 命題 2.1を$\widetilde F^{-1}$に適用すると、$n^{-1}Hn\subseteq H$を得る。両辺を$n$で共役すると$H\subseteq nHn^{-1}$であり、先の包含と合わせて$nHn^{-1}=H$となる。したがって$n\in N_G(H)$である。よって$F=\lambda_n$であり、準同型$n\mapsto\lambda_n$は全射である。§E7.8 定理 1.1により、商群からの写像$nH\mapsto\lambda_n$は群同型である。▨

証明. 共役作用の軌道は共役類であるから、共役類全体は$G$を分割する。$z\in Z(G)$ならば、すべての$g\in G$に対して$gzg^{-1}=z$である。したがって$\operatorname{Cl}_G(z)=\{z\}$である。中心の元からなる一点共役類を合わせた要素数は$|Z(G)|$である。

中心の外側の共役類は$\operatorname{Cl}_G(x_1),\ldots,\operatorname{Cl}_G(x_r)$である。§E7.10 定理 4.5と命題 2.1により、

である。共役類による分割の各部分の要素数を足せば主張を得る。▨

証明.$R,Q\in I^+$とし、$Q$が軸$\ell$のまわりの回転であるとする。共役$RQR^{-1}$は軸$R(\ell)$のまわりの回転であり、回転角の絶対値を保つ。したがって、表の異なる行に属する回転が共役になることはない。

向かい合う二頂点、二面、二辺が定める軸の本数は、それぞれ

である。頂点軸上には四つの非自明な回転があり、回転角の絶対値によって$2\pi/5$と$4\pi/5$の二組に分かれる。面軸上には二つの非自明な回転があり、辺軸上には一つの半回転がある。よって各行の元の個数は表の右端の値になる。

$I^+$は同じ種類の軸に可移的に作用し、各軸の両端を交換する回転によって角度$\theta$の回転と角度$-\theta$の回転が共役になる。したがって、表の各行は一つの共役類である。五つの大きさの和は$60$なので、表は$I^+$の全元を尽くす。同種の軸に対する可移性と軸の両端を交換する回転の存在は次の注意で外部文献へ委ねる。□

証明.$|G|=p^n$（$n\geq1$）とする。中心の外側から取った共役類代表元を$x_i$とする。各中心化群$C_G(x_i)$は$G$の部分群であるから、§E7.6 定理 2.1により、その位数は$p$の冪である。$x_i\notin Z(G)$であるため$C_G(x_i)\neq G$であり、

は$p$で割り切れる。

類等式

を$p$を法として見ると、

を得る。単位元$e$は$Z(G)$に属するから$|Z(G)|\geq1$である。$|Z(G)|$は$p$の倍数であるため$|Z(G)|\geq p$となり、$Z(G)$は非自明である。▨

証明. 集合

を考える。最初の$p-1$個の成分を任意に選ぶと、最後の成分は

と一意に定まる。したがって

であり、$p\mid |G|$から$p\mid |X|$が従う。

写像$T\colon X\to X$を

と定める。積が$e$である組を巡回移動したとき、

であるから、$T$は$X$を保つ。また、各成分を$p$回巡回移動すると元の組に戻るため、

である。位数$p$の巡回群$C_p=\langle r\rangle$に対し、$r\mapsto T$は準同型$C_p\to\operatorname{Sym}(X)$を定める。したがって

によって$C_p$の$X$への作用が定まる。

§E7.10 定理 4.5により、この作用の各軌道の大きさは$1$または$p$である。したがって、$|X|$と一点軌道の個数は$p$を法として合同である。一点軌道は

という形の組であり、この組が$X$に属する条件は$x^p=e$である。ゆえに

である。単位元$e$はこの集合に属するから、この集合は少なくとも$p$個の元を含む。よって$x\neq e$かつ$x^p=e$を満たす元$x$が存在する。

$x\neq e$かつ$x^p=e$であるから、§E7.2 命題 4.2により、$x$の位数は$p$の正の約数であり、$p$は素数である。したがって$x$の位数は$p$である。▨