極線と極点、双対原理 | 初等幾何学

1 極線の定義と幾何的な位置

定義 1.1 (極線と極点). 円 $\Gamma:x^2+y^2=r^2$ （ $r>0$ ）に対し、 $P=(u,v)\ne(0,0)$ の極線 (polar line) を

\operatorname{pol}_{\Gamma}(P): ux+vy=r^2

とする。点 $P$ をこの直線の極点 (pole) という。

定理 1.2. 中心 $O=(0,0)$ 、半径 $r>0$ の円 $\Gamma$ と、点 $P\ne O$ をとる。半直線 $OP$ 上に $OP\cdot OH=r^2$ となる点 $H$ をとると、 $P$ の極線は $H$ を通り直線 $OP$ に垂直な直線であり、中心 $O$ からの距離は $r^2/OP$ である。

$P$ が円の外部にあるとき、極線は円と相異なる二点で交わる。 $P$ が円周上にあるとき、極線は $P$ を通り半径 $OP$ に垂直な直線である。 $P$ が円の内部にあるとき、極線と円は共有点をもたない。

証明. $P=(u,v)$ 、 $a=OP=\sqrt{u^2+v^2}>0$ とすると、 $H=(r^2u/a^2,r^2v/a^2)$ である。 $H$ は $ux+vy=r^2$ を満たし、この直線の法線ベクトル $(u,v)$ は直線 $OP$ の方向を表す。したがって極線は $H$ を通り直線 $OP$ に垂直であり、中心からの距離は $OH=r^2/OP$ である。

$OP>r$ 、 $OP=r$ 、 $OP<r$ の各場合に、 $OH<r$ 、 $OH=r$ 、 $OH>r$ となる。極線上の点 $X$ について、 $X\ne H$ ならば§A5.4 定理 1.1より $OX^2=OH^2+HX^2$ であり、 $X=H$ のときも同じ等式が成り立つ。 $OH<r$ のとき、円との共有点は $H$ の両側にある $HX=\sqrt{r^2-OH^2}$ を満たす二点である。 $OH=r$ のとき、共有点は $H$ だけであり、 $OP=r$ から $H=P$ である。 $OH>r$ のとき、すべての $X$ について $OX\geq OH>r$ であるので共有点はない。▨

注意 1.3. 円 $\Gamma:x^2+y^2=r^2$ （ $r>0$ ）に対する点 $P=(u,v)\ne(0,0)$ の方べきは、§A5.7 定義 1.1により $u^2+v^2-r^2$ である。点 $X=(x,y)$ が $P$ の極線上にある条件は、定義式から

u(x-u)+v(y-v)=-(u^2+v^2-r^2)

と書くこともできる。

2 ラ・イールの定理

定理 2.1. 円 $\Gamma:x^2+y^2=r^2$ （ $r>0$ ）と、原点でない有限点 $P=(u,v)$ 、 $Q=(s,t)$ に対し、上の定義による極線を考えると、

Q\in\operatorname{pol}_{\Gamma}(P) \quad\Longleftrightarrow\quad P\in\operatorname{pol}_{\Gamma}(Q).

外部点の場合、この極線は2本の接線の接点を結ぶ直線である。

証明. $Q$ が $P$ の極線上にあるとする。半直線 $OP$ 上に $OP\cdot OH=r^2$ となる点 $H$ をとる。

$O,P,Q$ が一直線上にある場合、定理 1.2より極線と直線 $OP$ の交点は $H$ であるので、 $Q=H$ である。 $OQ\cdot OP=r^2$ であり、 $P$ は半直線 $OQ$ 上にあるので、同じ定理より $P$ は $Q$ の極線上にある。

$O,P,Q$ が一直線上にない場合、 $QH\perp OP$ であり、 $H$ は半直線 $OP$ 上にあるので、 $\angle POQ$ は鋭角である。 $P$ から直線 $OQ$ へ下ろした垂線の足を $K$ とすると、 $K$ は半直線 $OQ$ 上にある。直角三角形 $OHQ$ と $OKP$ は、直角と $O$ における角がそれぞれ等しいので、§A5.1 定理 3.1 (1)により、この頂点の順序で相似である。したがって

\frac{OH}{OK}=\frac{OQ}{OP},\qquad OQ\cdot OK=OP\cdot OH=r^2

である。定理 1.2より、 $Q$ の極線は $K$ を通り直線 $OQ$ に垂直な直線であるので、 $P$ を通る。

$P$ と $Q$ を入れ替えて同じ議論を行うと、逆向きの含意も従う。外部点の接点についての主張は定理 3.1により従う。▨

内積を用いると、相反性を次のように示すこともできます。

証明. $Q\in\operatorname{pol}_{\Gamma}(P)$ は $us+vt=r^2$ と同値である。内積の対称性により、 $us+vt=r^2$ は $su+tv=r^2$ と同値であり、後者は $P\in\operatorname{pol}_{\Gamma}(Q)$ の条件である。外部点の接点についての主張は定理 3.1により従う。▨

定理 2.1の相反性をラ・イールの定理といいます。

図は接点と極線の関係を実演するものであり、相反性の証明ではありません。

3 外部点の二接線と接点弦

定理 3.1. 中心 $O=(0,0)$ 、半径 $r>0$ の円 $\Gamma$ の外部に点 $P$ をとる。 $P$ から $\Gamma$ へ引く接線はちょうど二本あり、その接点を $T_1,T_2$ とすると、極線 $\operatorname{pol}_{\Gamma}(P)$ は直線 $T_1T_2$ である。

証明. $d=OP$ とし、半直線 $OP$ 上に $OH=r^2/d$ となる点 $H$ をとる。 $d>r$ より $0<OH<r<OP$ である。 $H$ を通り直線 $OP$ に垂直な直線上で、 $H$ の両側に $HT_1=HT_2=\sqrt{r^2-OH^2}>0$ となる点をとる。§A5.4 定理 1.1より $OT_1=OT_2=r$ であり、二点は円周上にある。どちらの点 $T=T_1,T_2$ についても、直角三角形 $PHT$ に同じ定理を用いると

PT^2=(d-OH)^2+HT^2=d^2-2d\cdot OH+r^2=d^2-r^2

である。したがって $OT^2+PT^2=d^2=OP^2$ であり、三平方の定理の逆より $OT\perp PT$ である。§A5.6 定理 1.2により $PT_1,PT_2$ は接線である。二本が同じ直線ならば、その直線は円周上の相異なる二点 $T_1,T_2$ を含み、接線であることに反する。よって二本は相異なる。

$P$ から引いた任意の接線の接点を $U$ とする。§A5.6 定理 1.2より $OU\perp PU$ である。 $U$ から斜辺 $OP$ へ下ろした垂線の足を $K$ とすると、 $K$ は線分 $OP$ の内部にある。直角三角形 $OKU$ と $OUP$ は、直角と $O$ における角がそれぞれ等しいので、§A5.1 定理 3.1 (1)により相似である。したがって

\frac{OK}{OU}=\frac{OU}{OP},\qquad OP\cdot OK=OU^2=r^2

である。半直線 $OP$ 上で $OK=OH$ となるので $K=H$ である。三平方の定理より $HU^2=r^2-OH^2$ であり、 $U$ は $T_1,T_2$ のいずれかである。各接点における接線は§A5.6 定理 1.2によりただ一本であるので、 $P$ からの接線はこの二本に限られる。直線 $T_1T_2$ は $H$ を通り直線 $OP$ に垂直であるので、定理 1.2より $P$ の極線である。▨

二接点が極線上にあることは、内積を用いて示すこともできます。

証明. 接点 $T=(x,y)$ では半径 $OT$ と接線 $PT$ が垂直なので、

(T-P)\cdot T=0

である。 $|T|^2=r^2$ を代入すると $P\cdot T=r^2$ 、すなわち $ux+vy=r^2$ となる。二つの接点はいずれもこの直線上にあり、相異なる二点であるので、その接点を結ぶ直線が極線である。▨

注意 3.2. 中心 $O=(0,0)$ 、半径 $r>0$ の円の内部の点 $P$ から、円への実接線は存在しない。実際、接点 $T$ があれば $OT\perp PT$ であり、三平方の定理から $OP^2=r^2+PT^2\geq r^2$ となるが、内部点では $OP<r$ である。内部点 $P\ne O$ に対しても、定義式 $ux+vy=r^2$ は一本の直線を表す。

4 円周上の極線

系 4.1. 中心 $O=(0,0)$ 、半径 $r>0$ の円 $\Gamma$ の周上に点 $P$ をとる。 $P$ の極線は $P$ における $\Gamma$ の接線である。

証明. $OP=r$ であるので、半直線 $OP$ 上で $OP\cdot OH=r^2$ を満たす点は $H=P$ である。定理 1.2より極線は $P$ を通り直線 $OP$ に垂直な直線であり、§A5.6 定理 1.2より $P$ における接線である。▨

座標から接線の法線ベクトルを確認することもできます。

証明. 円周上の $P=(u,v)$ では $u^2+v^2=r^2$ である。点 $P$ は $ux+vy=r^2$ を満たし、この直線の法線ベクトルは $(u,v)$ である。したがって極線は $P$ を通り半径 $OP$ に垂直であり、§A5.6 定理 1.2より接線である。▨

5 有限点と直線の双対

定理 5.1. 中心 $O=(0,0)$ 、半径 $r>0$ の円 $\Gamma$ に対し、 $O$ を通らない直線 $m$ には、 $m$ を極線とする有限点がただ一つ存在する。 $O$ を通る直線には有限の極点は存在しない。

$O$ と異なる相異なる三点 $P,Q,R$ が、 $O$ を通らない一本の直線上にあることと、三点の極線が一つの有限点を共有することは同値である。三点が $O$ を通る一本の直線上にある場合には、三点の極線は相異なる平行線である。

証明. $m$ が $O$ を通らないとする。 $O$ から $m$ へ下ろした垂線の足を $H$ とすると、 $H\ne O$ である。半直線 $OH$ 上に $OH\cdot OS=r^2$ となる点 $S$ をとる。定理 1.2より、 $S$ の極線は $H$ を通り直線 $OH$ に垂直な直線であり、 $m$ に一致する。逆に $m$ が点 $S'$ の極線であるならば、同じ定理より、 $O$ から $m$ への垂足 $H$ は半直線 $OS'$ 上にあり、 $OS'\cdot OH=r^2$ である。したがって $S'$ は半直線 $OH$ 上の距離 $r^2/OH$ の点であり、 $S'=S$ である。どの極線も中心からの距離が正であるので、 $O$ を通る直線は極線にならない。

$P,Q,R$ が $O$ を通らない直線 $m$ 上にあるとし、 $m$ の極点を $S$ とする。定理 2.1の相反性より、 $S$ は三点の極線のすべてに属する。逆に三点の極線が有限点 $S$ を共有するならば、極線は $O$ を通らないので $S\ne O$ である。相反性より $P,Q,R$ は $S$ の極線上にあり、この直線は $O$ を通らない。

$O,P,Q,R$ が一直線上にあるとする。定理 1.2より、三点の極線はすべて直線 $OP$ に垂直である。二本が一致すると、極点の一意性から対応する二点が一致し、三点が相異なることに反する。したがって三本は相異なる平行線である。▨

注意 5.2. 中心 $O=(0,0)$ 、半径 $r>0$ の円に対し、 $O$ と異なる相異なる二点 $P,Q$ の極線が有限点 $S$ で交わるとする。極線は $O$ を含まないので $S\ne O$ であり、相反性より $S$ の極線は直線 $PQ$ である。逆に直線 $PQ$ が $O$ を通らないならば、その極点 $S$ は相反性より二つの極線の交点である。直線 $PQ$ が $O$ を通る場合、二つの極線は相異なる平行線であり、有限の交点はない。

問題 5.3. 中心 $O=(0,0)$ 、半径 $r>0$ の円 $\Gamma$ と、 $O$ と異なる相異なる二点 $A,B$ が与えられている。 $\Gamma$ に関する極線が $A,B$ の両方を通る点 $P$ をすべて求め、その存在条件を示せ。

解答.

求める極線は直線 $AB$ に限られる。 $O$ が直線 $AB$ 上にある場合、定理 5.1より解は存在しない。 $O$ が直線 $AB$ 上にない場合、 $O$ から直線 $AB$ へ下ろした垂線の足を $H$ とする。半直線 $OH$ 上で $OP=r^2/OH$ を満たす点が唯一の解である。定理 1.2より、この点の極線は直線 $AB$ である。▨

§A5.16極線と極点、双対原理

1 極線の定義と幾何的な位置

2 ラ・イールの定理

3 外部点の二接線と接点弦

4 円周上の極線

5 有限点と直線の双対

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