数学汎典

§A5.7方べきの定理と根軸

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円と点の位置関係は、点から中心までの距離を半径と比べることで、外部・円周上・内部に分けることができます。しかし、この分け方だけでは、円と交わる直線に沿った長さどうしの関係は見えてきません。点の方べきは、点と円の位置関係を符号つきの一つの数で表す量です。円と直線、あるいは二つの円の関係を、長さの計算に置き換えて調べるための基本的な道具の一つとして、初等幾何学で広く用いられます。たとえば、円の外部にある一点から円に二本の直線を引くと、それぞれの直線と円の交点までの長さの積は、どちらの直線でも同じ値になります。この共通の値が、その点の円に対する方べきです。この記事では、方べきの定理と、二つの円から定まる根軸について解説します。

1 方べきの定理

定義 1.1 (方べき). 中心O\mathrm{O}、半径r>0r>0の円Γ\Gammaと平面上の点P\mathrm{P}に対し、

Pow⁡Γ(P):=PO2−r2\operatorname{Pow}_{\Gamma}(\mathrm{P}):=\mathrm{PO}^2-r^2

を、P\mathrm{P}のΓ\Gammaに対する方べき (power of a point) という。PO>r\mathrm{PO}>r、PO=r\mathrm{PO}=r、PO<r\mathrm{PO}<rであることを、それぞれP\mathrm{P}がΓ\Gammaの外部にある、Γ\Gamma上にある、Γ\Gammaの内部にあるという。方べきは、P\mathrm{P}が外部にあれば正、Γ\Gamma上にあれば00、内部にあれば負である。

定義 1.2 (符号つきの長さ). 直線ℓ\ellに向きを一つ定め、ℓ\ell上に点E\mathrm{E}をとる。ℓ\ell上の点X\mathrm{X}に対し、X\mathrm{X}がE\mathrm{E}から定めた向きの側にあればx(X)=EXx(\mathrm{X})=\mathrm{EX}、反対の側にあればx(X)=−EXx(\mathrm{X})=-\mathrm{EX}とし、x(E)=0x(\mathrm{E})=0とする。ℓ\ell上の2点X,Y\mathrm{X},\mathrm{Y}に対して

XY‾:=x(Y)−x(X)\overline{\mathrm{XY}}:=x(\mathrm{Y})-x(\mathrm{X})

を、X\mathrm{X}からY\mathrm{Y}への符号つきの長さ (signed length) という。

xxは、E\mathrm{E}を原点とし、定めた向きを正の向きとする数直線としてℓ\ellをみたときの目盛りです。したがって、ℓ\ell上の任意の2点X,Y\mathrm{X},\mathrm{Y}について∣XY‾∣=XY|\overline{\mathrm{XY}}|=\mathrm{XY}が成り立ち、XY‾\overline{\mathrm{XY}}はE\mathrm{E}の選び方によらず、X\mathrm{X}からY\mathrm{Y}へ進む向きが定めた向きと一致するとき正、逆のとき負になります。また、ℓ\ell上の3点X,Y,Z\mathrm{X},\mathrm{Y},\mathrm{Z}についてXY‾+YZ‾=XZ‾\overline{\mathrm{XY}}+\overline{\mathrm{YZ}}=\overline{\mathrm{XZ}}が成り立ちます。

定理 1.3 (割線の方べきの定理). 中心O\mathrm{O}、半径r>0r>0の円Γ\Gammaと点P\mathrm{P}をとり、P\mathrm{P}を通る直線ℓ\ellがΓ\Gammaと相異なる2点A,B\mathrm{A},\mathrm{B}で交わるとする。ℓ\ellにどちらの向きを定めて符号つきの長さをとっても

PA‾ PB‾=Pow⁡Γ(P)\overline{\mathrm{PA}}\,\overline{\mathrm{PB}}=\operatorname{Pow}_{\Gamma}(\mathrm{P})

が成り立つ。とくに、積PA‾ PB‾\overline{\mathrm{PA}}\,\overline{\mathrm{PB}}は、P\mathrm{P}を通ってΓ\Gammaと相異なる2点で交わる直線の選び方によらない。通常の長さで述べると、次が成り立つ。

  1. P\mathrm{P}がΓ\Gammaの外部にあれば、A,B\mathrm{A},\mathrm{B}はP\mathrm{P}を端点とする同じ半直線上にあり、PA⋅PB=Pow⁡Γ(P)=PO2−r2\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=\operatorname{Pow}_{\Gamma}(\mathrm{P})=\mathrm{PO}^2-r^2である。
  2. P\mathrm{P}がΓ\Gammaの内部にあれば、P\mathrm{P}は線分AB\mathrm{AB}上にあってA,B\mathrm{A},\mathrm{B}と異なり、PA⋅PB=−Pow⁡Γ(P)=r2−PO2\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=-\operatorname{Pow}_{\Gamma}(\mathrm{P})=r^2-\mathrm{PO}^2である。
  3. P\mathrm{P}がΓ\Gamma上にあれば、P\mathrm{P}はA,B\mathrm{A},\mathrm{B}のいずれかに一致する。

この図は、(1)と、この節の後半で証明する定理 1.5の内容を一つの配置で示すものであり、証明ではありません。

定理 1.4. 点Q\mathrm{Q}と直線ggをとり、Q\mathrm{Q}からggに下ろした垂線の足をF\mathrm{F}とする。ただし、Q\mathrm{Q}がgg上にあるときはF=Q\mathrm{F}=\mathrm{Q}とする。このとき、gg上の任意の点X\mathrm{X}について

QX2=QF2+FX2\mathrm{QX}^2=\mathrm{QF}^2+\mathrm{FX}^2

が成り立つ。

証明.X=F\mathrm{X}=\mathrm{F}のときはFX=0\mathrm{FX}=0であり、Q=F\mathrm{Q}=\mathrm{F}のときはQF=0\mathrm{QF}=0であるから、どちらの場合も両辺は一致する。X≠F\mathrm{X}\neq\mathrm{F}かつQ≠F\mathrm{Q}\neq\mathrm{F}のときは、Q\mathrm{Q}はgg上になく、三角形QFX\mathrm{QFX}はF\mathrm{F}における角が直角であるから、§A5.4 定理 1.1により等式が成り立つ。▨

定理 1.3の証明は次のとおりです。

証明.O\mathrm{O}からℓ\ellに下ろした垂線の足をM\mathrm{M}とする。ただし、O\mathrm{O}がℓ\ell上にあるときはM=O\mathrm{M}=\mathrm{O}とする。定理 1.4により、ℓ\ell上の任意の点X\mathrm{X}についてOX2=OM2+MX2\mathrm{OX}^2=\mathrm{OM}^2+\mathrm{MX}^2が成り立つ。

X=A\mathrm{X}=\mathrm{A}、X=B\mathrm{X}=\mathrm{B}とすると、OA=OB=r\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=rであるからMA2=MB2=r2−OM2\mathrm{MA}^2=\mathrm{MB}^2=r^2-\mathrm{OM}^2である。a=MAa=\mathrm{MA}とおくとMB=a\mathrm{MB}=aである。a=0a=0ならA=M=B\mathrm{A}=\mathrm{M}=\mathrm{B}となるので、A≠B\mathrm{A}\neq\mathrm{B}からa>0a>0である。

ℓ\ellに向きを定め、符号つきの長さをとる。∣MA‾∣=∣MB‾∣=a|\overline{\mathrm{MA}}|=|\overline{\mathrm{MB}}|=aであり、MB‾−MA‾=AB‾\overline{\mathrm{MB}}-\overline{\mathrm{MA}}=\overline{\mathrm{AB}}の絶対値はAB>0\mathrm{AB}>0であるからMB‾≠MA‾\overline{\mathrm{MB}}\neq\overline{\mathrm{MA}}である。よってMB‾=−MA‾\overline{\mathrm{MB}}=-\overline{\mathrm{MA}}であり、

PA‾ PB‾=(PM‾+MA‾)(PM‾−MA‾)=PM‾ 2−MA‾ 2=PM2−a2\overline{\mathrm{PA}}\,\overline{\mathrm{PB}} =(\overline{\mathrm{PM}}+\overline{\mathrm{MA}})(\overline{\mathrm{PM}}-\overline{\mathrm{MA}}) =\overline{\mathrm{PM}}^{\,2}-\overline{\mathrm{MA}}^{\,2} =\mathrm{PM}^2-a^2

となる。一方、X=P\mathrm{X}=\mathrm{P}とすると

Pow⁡Γ(P)=OM2+MP2−r2=MP2−a2\operatorname{Pow}_{\Gamma}(\mathrm{P})=\mathrm{OM}^2+\mathrm{MP}^2-r^2=\mathrm{MP}^2-a^2

である。したがってPA‾ PB‾=Pow⁡Γ(P)\overline{\mathrm{PA}}\,\overline{\mathrm{PB}}=\operatorname{Pow}_{\Gamma}(\mathrm{P})である。右辺はP\mathrm{P}とΓ\Gammaだけで定まるので、この積は直線ℓ\ellの選び方によらない。

定理 1.3 (1)を示す。Pow⁡Γ(P)>0\operatorname{Pow}_{\Gamma}(\mathrm{P})>0であるから、PA‾\overline{\mathrm{PA}}とPB‾\overline{\mathrm{PB}}はどちらも00でなく、同符号である。よってx(A)x(\mathrm{A})とx(B)x(\mathrm{B})はともにx(P)x(\mathrm{P})より大きいか、ともに小さく、A,B\mathrm{A},\mathrm{B}はP\mathrm{P}を端点とする同じ半直線上にある。またPA⋅PB=PA‾ PB‾=Pow⁡Γ(P)\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=\overline{\mathrm{PA}}\,\overline{\mathrm{PB}}=\operatorname{Pow}_{\Gamma}(\mathrm{P})である。

定理 1.3 (2)を示す。Pow⁡Γ(P)<0\operatorname{Pow}_{\Gamma}(\mathrm{P})<0であるから、PA‾\overline{\mathrm{PA}}とPB‾\overline{\mathrm{PB}}は異符号であり、x(P)x(\mathrm{P})はx(A)x(\mathrm{A})とx(B)x(\mathrm{B})の間にある。よってP\mathrm{P}は線分AB\mathrm{AB}上にあってA,B\mathrm{A},\mathrm{B}と異なり、PA⋅PB=−PA‾ PB‾=−Pow⁡Γ(P)\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=-\overline{\mathrm{PA}}\,\overline{\mathrm{PB}}=-\operatorname{Pow}_{\Gamma}(\mathrm{P})である。

定理 1.3 (3)を示す。Pow⁡Γ(P)=0\operatorname{Pow}_{\Gamma}(\mathrm{P})=0であるからPA‾ PB‾=0\overline{\mathrm{PA}}\,\overline{\mathrm{PB}}=0であり、PA‾=0\overline{\mathrm{PA}}=0またはPB‾=0\overline{\mathrm{PB}}=0、すなわちP=A\mathrm{P}=\mathrm{A}またはP=B\mathrm{P}=\mathrm{B}である。▨

定理 1.5 (接線の方べきの定理). 中心O\mathrm{O}、半径r>0r>0の円Γ\Gammaと点P\mathrm{P}をとり、P\mathrm{P}を通る直線ttがΓ\Gammaに点T\mathrm{T}で接するとする。このとき

PT2=Pow⁡Γ(P)=PO2−r2\mathrm{PT}^2=\operatorname{Pow}_{\Gamma}(\mathrm{P})=\mathrm{PO}^2-r^2

が成り立つ。したがって、P\mathrm{P}を通る直線がΓ\Gammaと相異なる2点A,B\mathrm{A},\mathrm{B}で交わるときPT2=PA‾ PB‾\mathrm{PT}^2=\overline{\mathrm{PA}}\,\overline{\mathrm{PB}}であり、P\mathrm{P}がΓ\Gammaの外部にあればPT2=PA⋅PB\mathrm{PT}^2=\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}である。また、P\mathrm{P}を通る直線t′t'がΓ\Gammaに点T′\mathrm{T}'で接するならば、PT=PT′\mathrm{PT}=\mathrm{PT}'である。

証明.§A5.6 定理 1.2によりOT⊥t\mathrm{OT}\perp tであり、OT=r>0\mathrm{OT}=r>0であるから、T\mathrm{T}はO\mathrm{O}からttに下ろした垂線の足である。定理 1.4をtt上の点P\mathrm{P}に用いるとPO2=OT2+TP2=r2+PT2\mathrm{PO}^2=\mathrm{OT}^2+\mathrm{TP}^2=r^2+\mathrm{PT}^2となり、PT2=PO2−r2\mathrm{PT}^2=\mathrm{PO}^2-r^2を得る。

P\mathrm{P}を通る直線がΓ\Gammaと相異なる2点A,B\mathrm{A},\mathrm{B}で交わるとき、定理 1.3によりPA‾ PB‾=Pow⁡Γ(P)=PT2\overline{\mathrm{PA}}\,\overline{\mathrm{PB}}=\operatorname{Pow}_{\Gamma}(\mathrm{P})=\mathrm{PT}^2であり、P\mathrm{P}が外部にあれば定理 1.3 (1)によりPA⋅PB=Pow⁡Γ(P)=PT2\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=\operatorname{Pow}_{\Gamma}(\mathrm{P})=\mathrm{PT}^2である。この定理の最初の等式はt′t'とT′\mathrm{T}'についても成り立つので、PT′2=Pow⁡Γ(P)=PT2\mathrm{PT}'^2=\operatorname{Pow}_{\Gamma}(\mathrm{P})=\mathrm{PT}^2であり、長さは負でないのでPT=PT′\mathrm{PT}=\mathrm{PT}'である。▨

定理 1.6 (方べきの定理とその逆). 相異なる2直線ℓ,ℓ′\ell,\ell'が点P\mathrm{P}で交わるとする。ℓ\ell上にP\mathrm{P}と異なる相異なる2点A,B\mathrm{A},\mathrm{B}を、ℓ′\ell'上にP\mathrm{P}と異なる相異なる2点C,D\mathrm{C},\mathrm{D}をとり、ℓ\ellとℓ′\ell'にそれぞれ向きを定めて符号つきの長さをとる。このとき、4点A,B,C,D\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}が同一円周上にあるための必要十分条件は

PA‾ PB‾=PC‾ PD‾\overline{\mathrm{PA}}\,\overline{\mathrm{PB}}=\overline{\mathrm{PC}}\,\overline{\mathrm{PD}}

である。

証明. 必要性を示す。4点が円Γ\Gammaの上にあるとする。ℓ\ellはΓ\Gammaと相異なる2点A,B\mathrm{A},\mathrm{B}で交わり、ℓ′\ell'はΓ\Gammaと相異なる2点C,D\mathrm{C},\mathrm{D}で交わるので、定理 1.3によりPA‾ PB‾=Pow⁡Γ(P)=PC‾ PD‾\overline{\mathrm{PA}}\,\overline{\mathrm{PB}}=\operatorname{Pow}_{\Gamma}(\mathrm{P})=\overline{\mathrm{PC}}\,\overline{\mathrm{PD}}である。

十分性を示す。PA‾ PB‾=PC‾ PD‾\overline{\mathrm{PA}}\,\overline{\mathrm{PB}}=\overline{\mathrm{PC}}\,\overline{\mathrm{PD}}とする。ℓ\ellとℓ′\ell'の共有点はP\mathrm{P}だけであり、C\mathrm{C}はℓ′\ell'上のP\mathrm{P}と異なる点であるから、C\mathrm{C}はℓ\ell上にない。よってA,B,C\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}は一直線上になく、§A5.6 定理 2.1によりA,B,C\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}を通る円Γ\Gammaが存在する。Γ\Gammaの中心をO\mathrm{O}、半径をrrとする。定理 1.3をℓ\ellに用いるとPow⁡Γ(P)=PA‾ PB‾=PC‾ PD‾\operatorname{Pow}_{\Gamma}(\mathrm{P})=\overline{\mathrm{PA}}\,\overline{\mathrm{PB}}=\overline{\mathrm{PC}}\,\overline{\mathrm{PD}}である。

O\mathrm{O}からℓ′\ell'に下ろした垂線の足をM\mathrm{M}とする。ただし、O\mathrm{O}がℓ′\ell'上にあるときはM=O\mathrm{M}=\mathrm{O}とする。定理 1.4により、ℓ′\ell'上の任意の点X\mathrm{X}についてOX2=OM2+MX2\mathrm{OX}^2=\mathrm{OM}^2+\mathrm{MX}^2が成り立つ。X=C\mathrm{X}=\mathrm{C}とするとMC2=r2−OM2\mathrm{MC}^2=r^2-\mathrm{OM}^2であり、X=P\mathrm{X}=\mathrm{P}とするとPow⁡Γ(P)=OM2+MP2−r2=MP2−MC2\operatorname{Pow}_{\Gamma}(\mathrm{P})=\mathrm{OM}^2+\mathrm{MP}^2-r^2=\mathrm{MP}^2-\mathrm{MC}^2である。u=PM‾u=\overline{\mathrm{PM}}、c=MC‾c=\overline{\mathrm{MC}}、d=MD‾d=\overline{\mathrm{MD}}とおくと、u2=MP2u^2=\mathrm{MP}^2、c2=MC2c^2=\mathrm{MC}^2であり、PC‾=u+c\overline{\mathrm{PC}}=u+c、PD‾=u+d\overline{\mathrm{PD}}=u+dであるから

(u+c)(u+d)=PC‾ PD‾=Pow⁡Γ(P)=u2−c2=(u+c)(u−c)(u+c)(u+d)=\overline{\mathrm{PC}}\,\overline{\mathrm{PD}}=\operatorname{Pow}_{\Gamma}(\mathrm{P})=u^2-c^2=(u+c)(u-c)

である。C≠P\mathrm{C}\neq\mathrm{P}よりu+c=PC‾≠0u+c=\overline{\mathrm{PC}}\neq0であるからu+d=u−cu+d=u-c、すなわちMD‾=−MC‾\overline{\mathrm{MD}}=-\overline{\mathrm{MC}}である。よってMD=MC\mathrm{MD}=\mathrm{MC}であり、X=D\mathrm{X}=\mathrm{D}とするとOD2=OM2+MD2=OM2+MC2=r2\mathrm{OD}^2=\mathrm{OM}^2+\mathrm{MD}^2=\mathrm{OM}^2+\mathrm{MC}^2=r^2である。したがってD\mathrm{D}はΓ\Gammaの上にあり、 4点A,B,C,D\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}はΓ\Gammaの上にある。▨

注意 1.7.定理 1.6の条件を、符号を落とした等式PA⋅PB=PC⋅PD\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=\mathrm{PC}\cdot\mathrm{PD}に置き換えると、4点は同一円周上にあるとは限らない。座標平面上でP=(0,0)\mathrm{P}=(0,0)、A=(−1,0)\mathrm{A}=(-1,0)、B=(1,0)\mathrm{B}=(1,0)、C=(0,12)\mathrm{C}=(0,\tfrac12)、D=(0,2)\mathrm{D}=(0,2)とすると、PA⋅PB=1=PC⋅PD\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=1=\mathrm{PC}\cdot\mathrm{PD}である。xx軸とyy軸に正の向きを定めるとPA‾ PB‾=−1\overline{\mathrm{PA}}\,\overline{\mathrm{PB}}=-1、PC‾ PD‾=1\overline{\mathrm{PC}}\,\overline{\mathrm{PD}}=1であるから、定理 1.6により4点は同一円周上にない。P\mathrm{P}はA\mathrm{A}とB\mathrm{B}の間にあるが、C\mathrm{C}とD\mathrm{D}の間にはない。

P\mathrm{P}がA\mathrm{A}とB\mathrm{B}の間にもC\mathrm{C}とD\mathrm{D}の間にもあるとき、およびP\mathrm{P}がどちらの間にもないときは、二つの符号つきの積は同符号であるから、PA⋅PB=PC⋅PD\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=\mathrm{PC}\cdot\mathrm{PD}から定理 1.6の等式が従う。

2 根軸

定義 2.1 (根軸). 中心が相異なる2円Γ1,Γ2\Gamma_1,\Gamma_2に対し、Pow⁡Γ1(P)=Pow⁡Γ2(P)\operatorname{Pow}_{\Gamma_1}(\mathrm{P})=\operatorname{Pow}_{\Gamma_2}(\mathrm{P})を満たす点P\mathrm{P}の全体を、Γ1\Gamma_1とΓ2\Gamma_2の根軸 (radical axis) という。

定理 2.2. 相異なる2円Γ1,Γ2\Gamma_1,\Gamma_2の中心と半径を、それぞれO1,r1\mathrm{O}_1,r_1とO2,r2\mathrm{O}_2,r_2とする（r1,r2>0r_1,r_2>0）。

  1. O1≠O2\mathrm{O}_1\neq\mathrm{O}_2ならば、直線O1O2\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2上にO1H2−O2H2=r12−r22\mathrm{O}_1\mathrm{H}^2-\mathrm{O}_2\mathrm{H}^2=r_1^2-r_2^2を満たす点H\mathrm{H}がただ一つ存在し、Γ1\Gamma_1とΓ2\Gamma_2の根軸は、H\mathrm{H}を通り直線O1O2\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2に垂直な直線である。
  2. O1=O2\mathrm{O}_1=\mathrm{O}_2ならば、Pow⁡Γ1(P)=Pow⁡Γ2(P)\operatorname{Pow}_{\Gamma_1}(\mathrm{P})=\operatorname{Pow}_{\Gamma_2}(\mathrm{P})を満たす点P\mathrm{P}は存在しない。

証明.(2)を示す。O=O1=O2\mathrm{O}=\mathrm{O}_1=\mathrm{O}_2とおく。Γ1\Gamma_1とΓ2\Gamma_2は中心が一致する相異なる円であるからr1≠r2r_1\neq r_2である。任意の点P\mathrm{P}について

Pow⁡Γ1(P)−Pow⁡Γ2(P)=(PO2−r12)−(PO2−r22)=r22−r12≠0\operatorname{Pow}_{\Gamma_1}(\mathrm{P})-\operatorname{Pow}_{\Gamma_2}(\mathrm{P}) =(\mathrm{PO}^2-r_1^2)-(\mathrm{PO}^2-r_2^2) =r_2^2-r_1^2\neq0

である。

(1)を示す。直線O1O2\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2をmmとし、mmにO1\mathrm{O}_1からO2\mathrm{O}_2へ進む向きを定めて符号つきの長さをとる。d=O1O2>0d=\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2>0とおくとO1O2‾=d\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2}=dである。mm上の点X\mathrm{X}についてO2X‾=O2O1‾+O1X‾=O1X‾−d\overline{\mathrm{O}_2\mathrm{X}}=\overline{\mathrm{O}_2\mathrm{O}_1}+\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{X}}=\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{X}}-dであるから

O1X2−O2X2=O1X‾ 2−(O1X‾−d)2=2d O1X‾−d2\mathrm{O}_1\mathrm{X}^2-\mathrm{O}_2\mathrm{X}^2 =\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{X}}^{\,2}-(\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{X}}-d)^2 =2d\,\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{X}}-d^2

となる。したがって、mm上の点X\mathrm{X}がO1X2−O2X2=r12−r22\mathrm{O}_1\mathrm{X}^2-\mathrm{O}_2\mathrm{X}^2=r_1^2-r_2^2を満たすことは

O1X‾=d2+r12−r222d\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{X}}=\frac{d^2+r_1^2-r_2^2}{2d}

と同値である。数直線上でO1\mathrm{O}_1からの符号つきの長さがこの値になる点はただ一つであるから、条件を満たすmm上の点H\mathrm{H}はただ一つ存在する。

任意の点P\mathrm{P}をとり、P\mathrm{P}からmmに下ろした垂線の足をK\mathrm{K}とする。ただし、P\mathrm{P}がmm上にあるときはK=P\mathrm{K}=\mathrm{P}とする。i=1,2i=1,2について、定理 1.4をmm上の点Oi\mathrm{O}_iに用いるとOiP2=OiK2+KP2\mathrm{O}_i\mathrm{P}^2=\mathrm{O}_i\mathrm{K}^2+\mathrm{KP}^2である。よって

Pow⁡Γ1(P)−Pow⁡Γ2(P)=(O1K2−O2K2)−(r12−r22)\operatorname{Pow}_{\Gamma_1}(\mathrm{P})-\operatorname{Pow}_{\Gamma_2}(\mathrm{P}) =(\mathrm{O}_1\mathrm{K}^2-\mathrm{O}_2\mathrm{K}^2)-(r_1^2-r_2^2)

であり、P\mathrm{P}が根軸上にあることはO1K2−O2K2=r12−r22\mathrm{O}_1\mathrm{K}^2-\mathrm{O}_2\mathrm{K}^2=r_1^2-r_2^2と同値である。K\mathrm{K}はmm上の点であるから、H\mathrm{H}の一意性により、この等式はK=H\mathrm{K}=\mathrm{H}と同値である。H\mathrm{H}を通りmmに垂直な直線をnnとする。P\mathrm{P}がnn上にあれば、P\mathrm{P}からmmに下ろした垂線の足はH\mathrm{H}である。逆にK=H\mathrm{K}=\mathrm{H}なら、P=H\mathrm{P}=\mathrm{H}であるか、直線PH\mathrm{PH}がmmに垂直であるので、P\mathrm{P}はnn上にある。よって、P\mathrm{P}が根軸上にあることはP\mathrm{P}がnn上にあることと同値であり、根軸はnnに一致する。▨

証明 (座標による別証明).(1)を示す。d=O1O2>0d=\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2>0とし、O1=(0,0)\mathrm{O}_1=(0,0)、O2=(d,0)\mathrm{O}_2=(d,0)となる座標をとる。点P=(x,y)\mathrm{P}=(x,y)について、2点間の距離の公式から

Pow⁡Γ1(P)−Pow⁡Γ2(P)=(x2+y2−r12)−((x−d)2+y2−r22)=2dx−d2−r12+r22\operatorname{Pow}_{\Gamma_1}(\mathrm{P})-\operatorname{Pow}_{\Gamma_2}(\mathrm{P}) =(x^2+y^2-r_1^2)-\bigl((x-d)^2+y^2-r_2^2\bigr) =2dx-d^2-r_1^2+r_2^2

である。h=d2+r12−r222dh=\dfrac{d^2+r_1^2-r_2^2}{2d}とおくと、P\mathrm{P}が根軸上にあることはx=hx=hと同値であり、根軸はxx軸すなわち直線O1O2\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2に垂直な直線x=hx=hである。xx軸上の点(s,0)(s,0)についてO1\mathrm{O}_1とO2\mathrm{O}_2までの距離の2乗の差はs2−(s−d)2=2ds−d2s^2-(s-d)^2=2ds-d^2であり、この差がr12−r22r_1^2-r_2^2に等しいのはs=hs=hのときに限る。したがって、根軸とxx軸の交点(h,0)(h,0)がH\mathrm{H}である。▨

定理 2.3. 相異なる2円Γ1,Γ2\Gamma_1,\Gamma_2が相異なる2点X,Y\mathrm{X},\mathrm{Y}で交わるとする。このとき、2円の中心は相異なり、Γ1\Gamma_1とΓ2\Gamma_2の根軸は直線XY\mathrm{XY}である。また、直線XY\mathrm{XY}上にあって線分XY\mathrm{XY}上にない点P\mathrm{P}は2円の外部にあり、P\mathrm{P}を通る直線がΓ1\Gamma_1に点T1\mathrm{T}_1で接し、P\mathrm{P}を通る直線がΓ2\Gamma_2に点T2\mathrm{T}_2で接するならば、PT1=PT2\mathrm{PT}_1=\mathrm{PT}_2である。

証明.X\mathrm{X}とY\mathrm{Y}はどちらの円の上にもあるので、2円に対する方べきはどちらも00で等しい。したがって定理 2.2 (2)により 2円の中心は相異なり、定理 2.2 (1)により根軸は直線である。根軸は相異なる2点X,Y\mathrm{X},\mathrm{Y}を含むので、直線XY\mathrm{XY}に一致する。

直線XY\mathrm{XY}上にあって線分XY\mathrm{XY}上にない点P\mathrm{P}をとる。X,Y\mathrm{X},\mathrm{Y}はP\mathrm{P}と異なり、P\mathrm{P}を端点とする同じ半直線上にあるので、PX‾\overline{\mathrm{PX}}とPY‾\overline{\mathrm{PY}}は同符号である。定理 1.3をΓ1\Gamma_1と直線XY\mathrm{XY}に用いるとPow⁡Γ1(P)=PX‾ PY‾=PX⋅PY>0\operatorname{Pow}_{\Gamma_1}(\mathrm{P})=\overline{\mathrm{PX}}\,\overline{\mathrm{PY}}=\mathrm{PX}\cdot\mathrm{PY}>0である。P\mathrm{P}は根軸上にあるのでPow⁡Γ2(P)=Pow⁡Γ1(P)>0\operatorname{Pow}_{\Gamma_2}(\mathrm{P})=\operatorname{Pow}_{\Gamma_1}(\mathrm{P})>0であり、P\mathrm{P}は2円の外部にある。P\mathrm{P}を通る直線がΓ1\Gamma_1に点T1\mathrm{T}_1で接し、P\mathrm{P}を通る直線がΓ2\Gamma_2に点T2\mathrm{T}_2で接するならば、定理 1.5によりPT1 2=PX⋅PY=PT2 2\mathrm{PT}_1^{\,2}=\mathrm{PX}\cdot\mathrm{PY}=\mathrm{PT}_2^{\,2}であり、PT1=PT2\mathrm{PT}_1=\mathrm{PT}_2である。▨

3 演習

問題 3.1. 中心O\mathrm{O}の円Γ\Gammaの外部の点P\mathrm{P}を通る2本の直線が、Γ\Gammaにそれぞれ相異なる点T,T′\mathrm{T},\mathrm{T}'で接するとする。直線OP\mathrm{OP}は線分TT′\mathrm{TT}'の垂直二等分線であることを証明せよ。

解答.

P\mathrm{P}は直線TT′\mathrm{TT}'上にない。実際、P\mathrm{P}が直線TT′\mathrm{TT}'上にあれば、P≠T\mathrm{P}\neq\mathrm{T}より直線PT\mathrm{PT}は直線TT′\mathrm{TT}'に一致してT′\mathrm{T}'を通る。直線PT\mathrm{PT}がT′\mathrm{T}'を通ることは、直線PT\mathrm{PT}がΓ\GammaとT\mathrm{T}だけを共有することと両立しない。

線分TT′\mathrm{TT}'の中点をN\mathrm{N}とし、N\mathrm{N}を通って直線TT′\mathrm{TT}'に垂直な直線をnnとする。定理 1.5によりPT=PT′\mathrm{PT}=\mathrm{PT}'であり、NT=NT′\mathrm{NT}=\mathrm{NT}'、辺PN\mathrm{PN}は共通であるから、三角形PNT\mathrm{PNT}と三角形PNT′\mathrm{PNT}'は3辺がそれぞれ等しく、合同である。よって∠PNT=∠PNT′\angle\mathrm{PNT}=\angle\mathrm{PNT}'である。N\mathrm{N}はT\mathrm{T}とT′\mathrm{T}'の間にあるので、この2角の和は180∘180^\circであり、どちらも90∘90^\circである。すなわちPN⊥TT′\mathrm{PN}\perp\mathrm{TT}'であり、P\mathrm{P}はnn上にある。

O\mathrm{O}もnn上にある。O=N\mathrm{O}=\mathrm{N}のときは、nnがN\mathrm{N}を通るのでO\mathrm{O}はnn上にある。O≠N\mathrm{O}\neq\mathrm{N}のときは、O\mathrm{O}は直線TT′\mathrm{TT}'上にない。実際、OT=OT′\mathrm{OT}=\mathrm{OT}'であり、直線TT′\mathrm{TT}'上でT\mathrm{T}とT′\mathrm{T}'から等距離にある点はN\mathrm{N}だけであるので、O\mathrm{O}が直線TT′\mathrm{TT}'上にあればO=N\mathrm{O}=\mathrm{N}となる。したがって、OT=OT′\mathrm{OT}=\mathrm{OT}'、NT=NT′\mathrm{NT}=\mathrm{NT}'、辺ON\mathrm{ON}が共通であることから、三角形ONT\mathrm{ONT}と三角形ONT′\mathrm{ONT}'は合同であり、∠ONT=∠ONT′\angle\mathrm{ONT}=\angle\mathrm{ONT}'である。この2角の和は180∘180^\circであるから、どちらも90∘90^\circであり、O\mathrm{O}はnn上にある。

P\mathrm{P}はΓ\Gammaの外部にあるのでO≠P\mathrm{O}\neq\mathrm{P}であり、直線OP\mathrm{OP}はnn、すなわち線分TT′\mathrm{TT}'の垂直二等分線に一致する。▨

問題 3.2. 中心が相異なる2円Γ1,Γ2\Gamma_1,\Gamma_2と直線ttがあり、ttはΓ1\Gamma_1に点T1\mathrm{T}_1で、Γ2\Gamma_2に点T2\mathrm{T}_2で接し、T1≠T2\mathrm{T}_1\neq\mathrm{T}_2であるとする。線分T1T2\mathrm{T}_1\mathrm{T}_2の中点N\mathrm{N}はΓ1\Gamma_1とΓ2\Gamma_2の根軸上にあることを証明せよ。また、Γ1\Gamma_1とΓ2\Gamma_2が相異なる2点X,Y\mathrm{X},\mathrm{Y}で交わるとき、直線XY\mathrm{XY}はN\mathrm{N}を通ることを証明せよ。

解答.

N\mathrm{N}はtt上にあり、ttはΓ1\Gamma_1にT1\mathrm{T}_1で接するので、定理 1.5によりNT1 2=Pow⁡Γ1(N)\mathrm{NT}_1^{\,2}=\operatorname{Pow}_{\Gamma_1}(\mathrm{N})である。同じ定理をttとΓ2\Gamma_2に用いるとNT2 2=Pow⁡Γ2(N)\mathrm{NT}_2^{\,2}=\operatorname{Pow}_{\Gamma_2}(\mathrm{N})である。N\mathrm{N}は線分T1T2\mathrm{T}_1\mathrm{T}_2の中点であるからNT1=NT2\mathrm{NT}_1=\mathrm{NT}_2であり、Pow⁡Γ1(N)=Pow⁡Γ2(N)\operatorname{Pow}_{\Gamma_1}(\mathrm{N})=\operatorname{Pow}_{\Gamma_2}(\mathrm{N})を得る。よってN\mathrm{N}は根軸上にある。

Γ1\Gamma_1とΓ2\Gamma_2が相異なる2点X,Y\mathrm{X},\mathrm{Y}で交わるとき、定理 2.3により根軸は直線XY\mathrm{XY}である。したがって、N\mathrm{N}は直線XY\mathrm{XY}上にある。▨

問題 3.3. 中心O1,O2\mathrm{O}_1,\mathrm{O}_2が相異なり、半径がそれぞれr1,r2>0r_1,r_2>0である二円Γ1,Γ2\Gamma_1,\Gamma_2をとる。根軸をnnとし、nnと直線O1O2\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2の交点をH\mathrm{H}とする。k=Pow⁡Γ1(H)k=\operatorname{Pow}_{\Gamma_1}(\mathrm{H})とおく。

nn上の任意の点P\mathrm{P}について、二円に対する共通の方べきがHP2+k\mathrm{HP}^2+kであることを示せ。この等式を用いて、二円の共有点の個数をkkの符号によって分類せよ。さらに、d=O1O2d=\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2とおき、共有点の個数をd,r1,r2d,r_1,r_2の大小関係によって表せ。

解答.

定理 2.2 (1)により、根軸は直線O1O2\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2に垂直である。定理 1.4により、nn上の点P\mathrm{P}について

Pow⁡Γ1(P)=O1H2+HP2−r12=HP2+k\operatorname{Pow}_{\Gamma_1}(\mathrm{P}) =\mathrm{O}_1\mathrm{H}^2+\mathrm{HP}^2-r_1^2 =\mathrm{HP}^2+k

である。根軸の定義により、Γ2\Gamma_2に対する方べきも同じ値である。

二円の共有点は根軸上にあり、両方の方べきが00である。逆に、根軸上で共通の方べきが00である点は両方の円周上にある。したがって共有点は、nn上でHP2=−k\mathrm{HP}^2=-kを満たす点と一致する。

k<0k<0のとき、H\mathrm{H}からnnの両方向へ距離−k\sqrt{-k}だけ離れた二点が共有点である。k=0k=0のとき、共有点はH\mathrm{H}だけである。k>0k>0のとき、共有点は存在しない。特に、k>0k>0の場合も根軸自体は存在し、その全体が両円の外部にある。

直線O1O2\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2の向きをO1\mathrm{O}_1からO2\mathrm{O}_2へ定め、h=O1H‾h=\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{H}}とする。H\mathrm{H}における方べきが等しいので、h2−r12=(h−d)2−r22h^2-r_1^2=(h-d)^2-r_2^2であり、

h=d2+r12−r222dh=\frac{d^2+r_1^2-r_2^2}{2d}

を得る。よって

k=h2−r12=(d2+r12−r22)2−4d2r124d2=(d2−(r1+r2)2)(d2−(r1−r2)2)4d2.\begin{aligned} k&=h^2-r_1^2\\ &=\frac{(d^2+r_1^2-r_2^2)^2-4d^2r_1^2}{4d^2}\\ &=\frac{\bigl(d^2-(r_1+r_2)^2\bigr)\bigl(d^2-(r_1-r_2)^2\bigr)}{4d^2}. \end{aligned}

d>0d>0かつr1+r2>∣r1−r2∣r_1+r_2>|r_1-r_2|であるから、k<0k<0となるのは∣r1−r2∣<d<r1+r2|r_1-r_2|<d<r_1+r_2の場合に限る。k=0k=0となるのはd=r1+r2d=r_1+r_2またはd=∣r1−r2∣d=|r_1-r_2|の場合であり、残りの場合はk>0k>0である。したがって、二円は∣r1−r2∣<d<r1+r2|r_1-r_2|<d<r_1+r_2なら二点を共有し、d=r1+r2d=r_1+r_2またはd=∣r1−r2∣d=|r_1-r_2|なら一点を共有する。d>r1+r2d>r_1+r_2または0<d<∣r1−r2∣0<d<|r_1-r_2|なら共有点をもたない。半径が等しい場合には、d=∣r1−r2∣=0d=|r_1-r_2|=0は中心が相異なるという仮定により除かれている。▨

前提記事