2次曲線 | 図形と方程式

1 2次曲線と円錐曲線

2次曲線は、 $x,y$ の2次方程式で表される図形です。係数によって、点や二直線などへ退化する場合や、実数の点をもたず空集合となる場合があります。非退化な実曲線の代表は放物線、楕円（円を含みます）、双曲線です。これらの曲線は円錐を平面で切った断面として現れるので、円錐曲線とも呼ばれます。

2 放物線の距離条件と標準形

座標軸は互いに直交し、同じ単位長さを用います。曲線の軸を座標軸に合わせた方程式を標準形と呼びます。

定義 2.1 (放物線). 定点 $\mathrm F$ と、 $\mathrm F$ を通らない定直線 $l$ から等距離にある点の軌跡を放物線 (parabola) と呼ぶ。 $\mathrm F$ を焦点、 $l$ を準線と呼ぶ。

公式 2.2. 実数 $p\ne0$ に対して、焦点 $(p,0)$ と準線 $x=-p$ が定める放物線は

y^2=4px

である。頂点は $(0,0)$ 、対称の軸は $y=0$ である。 $p>0$ では右へ、 $p<0$ では左へ開く。

証明. 点 $(x,y)$ から焦点までの距離は $\sqrt{(x-p)^2+y^2}$ 、準線までの距離は§A2.5 公式 4.1により $|x+p|$ である。等距離の条件を二乗すると

(x-p)^2+y^2=(x+p)^2,\qquad y^2=4px

を得る。逆に最後の式を満たせば二つの距離の平方が等しくなり、両距離は非負なので距離も等しい。 $x=y^2/(4p)$ だから $x$ の符号は $p$ の符号と同じか $0$ であり、開く向きが決まる。 $y$ を $-y$ に替えても式は変わらず、軸上の点は原点だけである。▨

例 2.3. $(y-2)^2=-8(x-1)$ では $X=x-1,Y=y-2$ とおくと $Y^2=4pX$ 、 $p=-2$ となる。したがって頂点は $(1,2)$ 、焦点は $(-1,2)$ 、準線は $x=3$ 、軸は $y=2$ であり、左へ開く。座標軸を交換した $x^2=4py$ は、 $p\ne0$ のとき2次関数 $y=x^2/(4p)$ のグラフである。

3 楕円の距離条件と標準形

定義 3.1 (楕円). 相異なる二定点からの距離の和が、二定点間の距離より大きい定数に等しい点の軌跡を楕円 (ellipse) と呼ぶ。二定点を焦点と呼ぶ。

公式 3.2. 焦点 $(c,0),(-c,0)$ （ $c>0$ ）からの距離の和を $2a$ （ $a>c$ ）とすると、楕円の方程式は

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad b^2=a^2-c^2>0

である。中心は原点、長軸は $x$ 軸、短軸は $y$ 軸であり、軸との交点は $(\pm a,0),(0,\pm b)$ である。焦点に対応する準線は $x=\pm a^2/c$ である。

証明. $(x,y)$ から $(c,0),(-c,0)$ までの距離をそれぞれ $d_+,d_-$ とする。 $d_++d_-=2a$ なら、 $d_-=2a-d_+$ を二乗し、 $d_-^2-d_+^2=4cx$ を用いて

d_+=a-\frac{cx}{a}

を得る。この式を二乗すると

(x-c)^2+y^2=\left(a-\frac{cx}{a}\right)^2, \qquad \frac{a^2-c^2}{a^2}x^2+y^2=a^2-c^2

となり、標準形を得る。

逆に標準形を満たす任意の点では $|x|\le a$ である。したがって $a\pm cx/a\ge a-c>0$ であり、標準形から

d_+^2=\left(a-\frac{cx}{a}\right)^2,\qquad d_-^2=\left(a+\frac{cx}{a}\right)^2

を得るので、正の平方根をとると $d_++d_-=2a$ となる。さらに $x\le a<a^2/c$ なので

d_+=a-\frac{cx}{a}=\frac ca\left|x-\frac{a^2}{c}\right|.

右辺の絶対値は準線 $x=a^2/c$ までの距離である。もう一つの焦点と準線も、 $x$ を $-x$ に替えた同じ式を満たす。軸と交点は標準形の対称性と $x=0,y=0$ の代入から得られる。▨

$a,b>0$ として同じ標準形を書いた場合、 $a>b$ なら横長で焦点は $(\pm\sqrt{a^2-b^2},0)$ 、 $a<b$ なら縦長で焦点は $(0,\pm\sqrt{b^2-a^2})$ です。縦長の楕円の長半径は $b$ であり、準線は $y=\pm b^2/\sqrt{b^2-a^2}$ です。 $a=b$ なら半径 $a$ の円となり、二つの焦点を一致させた距離和の条件として扱うことができます。

下の図は楕円です。 $a, b$ を動かすと、横長・縦長・円へと連続的に変わります。

例 3.3.

\frac{(x-1)^2}{25}+\frac{(y+2)^2}{9}=1

は中心 $(1,-2)$ 、長半径 $5$ 、短半径 $3$ の横長の楕円である。 $c=\sqrt{25-9}=4$ なので焦点は $(-3,-2),(5,-2)$ 、準線は $x=1\pm25/4$ となる。長軸は $y=-2$ 、短軸は $x=1$ であり、長軸上の頂点は $(-4,-2),(6,-2)$ 、短軸との交点は $(1,-5),(1,1)$ である。

4 双曲線の距離条件と標準形

定義 4.1 (双曲線). 相異なる二定点からの距離の差の絶対値が、 $0$ より大きく二定点間の距離より小さい定数に等しい点の軌跡を双曲線 (hyperbola) と呼ぶ。二定点を焦点と呼ぶ。

公式 4.2. 焦点 $(c,0),(-c,0)$ （ $c>0$ ）からの距離の差の絶対値を $2a$ （ $0<a<c$ ）とし、 $b=\sqrt{c^2-a^2}>0$ とおく。この双曲線の方程式は

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad b^2=c^2-a^2>0

である。中心は原点、頂点は $(\pm a,0)$ 、対称の軸は座標軸、焦点に対応する準線は $x=\pm a^2/c$ 、漸近線は $y=\pm(b/a)x$ である。右の枝は $x\ge a$ 、左の枝は $x\le-a$ にある。

証明. 距離を $d_+,d_-$ とし、まず $d_--d_+=2a$ の場合をとる。 $d_-=d_++2a$ を二乗すると

4cx=4ad_++4a^2,\qquad d_+=\frac{cx}{a}-a.

さらに二乗して整理すると

(x-c)^2+y^2=\left(\frac{cx}{a}-a\right)^2, \qquad \frac{c^2-a^2}{a^2}x^2-y^2=c^2-a^2

となる。最初の式から $x>0$ 、標準形から $|x|\ge a$ なので、この場合は右の枝である。 $d_+-d_-=2a$ の場合は $x$ を $-x$ に替えた左の枝になる。

逆に標準形上で $x\ge a$ の点をとると、 $cx/a-a\ge c-a>0$ である。標準形から

d_+^2=\left(\frac{cx}{a}-a\right)^2,\qquad d_-^2=\left(\frac{cx}{a}+a\right)^2

となり、平方根の符号を確定して $d_--d_+=2a$ を得る。 $x\le-a$ では $x$ の符号を反転することで $d_+-d_-=2a$ を得る。したがって距離の差の絶対値と標準形は同値である。全体で $d_+=|cx/a-a|=(c/a)|x-a^2/c|$ となるので準線も得られる。

漸近線については、 $b>0$ なので標準形から $|y|=(b/a)\sqrt{x^2-a^2}$ を得る。この式により

\frac ba|x|-|y|=\frac{ab}{|x|+\sqrt{x^2-a^2}}

となり、 $|x|$ が増大すると差は $0$ に近づく。 $x,y$ の符号に応じて、曲線は $y=\pm(b/a)x$ に近づく。▨

例 4.3. $(x-2)^2/9-(y+1)^2/16=1$ では中心は $(2,-1)$ 、 $a=3,b=4,c=5$ である。頂点は $(-1,-1),(5,-1)$ 、焦点は $(-3,-1),(7,-1)$ 、準線は $x=2\pm9/5$ 、漸近線は $y+1=\pm(4/3)(x-2)$ となる。座標軸を交換した $y^2/a^2-x^2/b^2=1$ は上下に開き、焦点は $(0,\pm\sqrt{a^2+b^2})$ となる。

5 距離条件の退化

例 5.1. 焦点を $\mathrm F=(-2,0),\mathrm F'=(2,0)$ とする。距離の和を焦点間距離 $4$ にとると、三角不等式の等号条件から軌跡は線分 $\mathrm{FF'}$ となる。和を $3$ にとれば三角不等式に反するので空集合である。距離の差を $0$ にとれば等距離の条件となり、軌跡は垂直二等分線 $x=0$ である。焦点が準線上にある場合の等距離条件も非退化な放物線ではなく、焦点を通り準線に垂直な直線になる。

問題 5.2. 二点 $\mathrm F_+=(2,0)$ 、 $\mathrm F_-=(-2,0)$ からの距離の差の絶対値が $4$ となる点の軌跡を求めよ。距離差を $2a$ とする双曲線の方程式の分母を払うと

(4-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(4-a^2)\qquad(0<a<2)

となる。この式に $a=2$ を代入して得た方程式と、求めた軌跡との違いを述べよ。

解答.

点 $(x,y)$ から $\mathrm F_+,\mathrm F_-$ までの距離をそれぞれ $d_+,d_-$ とする。 $d_--d_+=4$ の場合には、 $d_-=d_++4$ を二乗すると

8x=d_-^2-d_+^2=8d_++16

となる。したがって $d_+=x-2\ge0$ であり、 $x\ge2$ である。さらに $d_+^2=(x-2)^2+y^2=(x-2)^2$ より $y=0$ を得る。逆に $y=0,x\ge2$ なら $d_+=x-2,d_-=x+2$ なので、距離差は $4$ である。 $d_+-d_-=4$ の場合には、 $d_+=d_-+4$ を二乗すると $-8x=8d_-+16$ となる。したがって $d_-=-x-2\ge0$ から $x\le-2$ を得る。 $d_-^2=(x+2)^2+y^2=(-x-2)^2$ なので $y=0$ である。逆に $y=0,x\le-2$ なら $d_+=2-x,d_-=-x-2$ なので、距離差は $4$ である。

したがって求める軌跡は

\{(x,0):x\ge2\}\ \cup\ \{(x,0):x\le-2\}

であり、二つの焦点から外側へ延びる二つの半直線である。端点である二つの焦点も軌跡に含まれる。分母を払った式に $a=2$ を代入すると $y=0$ となるが、直線 $y=0$ 全体は軌跡ではない。たとえば原点では距離差が $0$ である。 $0<a<2$ の範囲で導いた方程式へ境界値を代入するだけでは、元の距離条件に含まれる $|x|\ge2$ を保持することができない。▨

6 焦点と離心率

定義 6.1 (離心率). 楕円の長半径を $a$ 、中心から焦点までの距離を $c$ とすると、その離心率 (eccentricity) は $e=c/a$ （ $0\le e<1$ ）である。双曲線の標準形 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ では $c=\sqrt{a^2+b^2}$ として $e=c/a>1$ と定める。放物線の離心率は $e=1$ である。

楕円では $e=0$ が円に対応し、長半径を固定すると $e$ が $1$ に近づくほど短半径 $b=a\sqrt{1-e^2}$ が小さくなります。各標準形で求めた準線を用いると、焦点からの距離を準線までの距離で割った比も $e$ になります。

焦点と、焦点を通らない準線を固定し、この距離比を正の定数 $e$ とする条件は、 $0<e<1$ では楕円、 $e=1$ では放物線、 $e>1$ では双曲線を表します。たとえば焦点 $(d,0)$ 、準線 $x=0$ （ $d>0$ ）では、距離条件を二乗すると

(x-d)^2+y^2=e^2x^2,\qquad (1-e^2)x^2-2dx+y^2+d^2=0.

$e=1$ では $y^2=2d(x-d/2)$ となります。 $e\ne1$ では $A=1-e^2$ とおき、平方完成すると

A\left(x-\frac dA\right)^2+y^2=\frac{d^2e^2}{A}

となります。 $0<e<1$ では $A>0$ なので、正の右辺で割ると二つの平方の和が $1$ となります。 $e>1$ では $B=e^2-1>0$ とおいて符号を変えると、 $B(x+d/B)^2-y^2=d^2e^2/B$ となり、双曲線の標準形を得ます。

注意 6.2. 焦点と準線を固定して $e=0$ とすると、軌跡は焦点の一点となり、円にはならない。長半径 $a$ を固定した楕円で $e\to0$ とすると、 $c=ae\to0$ 、 $b\to a$ 、準線の位置 $a/e$ は無限遠へ去り、円を得る。一方、長半径を固定して $e\to1$ とすると $b\to0$ であり、楕円は線分へ退化する。焦点 $(d,0)$ と準線 $x=0$ を固定する距離比の族では、 $e=1$ の式が放物線となる。離心率だけでは、極限でどの図形を得るかは決まらない。

注意 6.3. 正の分母を用いた $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ は楕円、 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ は左右に開く双曲線である。平行移動した式では $X=x-h,Y=y-k$ と置いて標準形へ戻す。焦点・頂点・軸・準線・漸近線も、同じ平行移動を行って読み取る。

閑話休題：離心率を使った軌道のモデル 太陽を一つの焦点とする楕円軌道は、ケプラーの第一法則に対応するモデルです。離心率を与えると、長半径と短半径の比、焦点から近日点・遠日点までの距離の比を計算することができます。

次の値を軌道の近似モデルの入力とします。

天体	離心率 $e$	モデルの楕円の形
金星	0.0068	円に近い
地球	0.0167	円に近い
火星	0.0934	地球のモデルより長短の差が大きい
水星	0.206	表中の惑星では長短の差が最も大きい
ハレー彗星	0.967	細長い

地球の値では $b/a=\sqrt{1-0.0167^2}\simeq0.99986$ であり、長半径に対する短半径の減少は約 $0.014\%$ です。火星を $e=0.093$ と近似すると、近日点距離は $a-c=a(1-e)$ 、遠日点距離は $a+c=a(1+e)$ なので

\frac{\text{遠日点距離}}{\text{近日点距離}}=\frac{1+e}{1-e}=\frac{1.093}{0.907}\simeq1.21.

日射量が距離の2乗に反比例するモデルでは、近日点と遠日点の日射量の比は約 $1.21^2\simeq1.45$ です。この計算だけでは気温や砂嵐の規模までは決まりません。自転軸の傾きを火星では約 $25^\circ$ 、地球では約 $23.4^\circ$ とし、火星の南半球の夏が近日点付近にあるとするモデルでは、距離による日射の増加と軸の傾きによる季節の変化が重なります。

ケプラーの第二法則に対応する面積速度一定のモデルでは、近日点付近での運動が遠日点付近より速くなります。そのため、近日点側と遠日点側では同じ角の範囲を進む時間が異なります。地球の北半球の夏を遠日点付近に置くモデルでも、この時間差が季節の長さに影響します。地球の離心率が長い時間尺度で変化することを扱うミランコビッチ・サイクルでは、離心率の変化と軸の向きの変化などを合わせて日射を調べます。離心率を $0$ から $0.06$ の間で変える近似や、火星の公転周期を約687日、ハレー彗星を約76年とする近似も、図形だけでなく時間尺度を与えるモデルの例です。

水星が公転を2周する間に自転を3回行うという $3:2$ の関係を用います。公転と自転が同じ向きなら、太陽に対する回転はその差の1回であり、太陽が同じ向きに戻る平均の周期は公転2周期です。

距離の2乗に反比例する引力の下での理想化した軌道モデルでは、 $e<1$ の楕円軌道は閉じ、 $e=1$ の放物線軌道と $e>1$ の双曲線軌道は閉じません。放物線・双曲線の場合には、公転の周期はありません。近日点距離を正の一定値 $q$ に保つ楕円族では $a=q/(1-e)$ なので、 $e\to1$ のとき $a$ が増大し、同じ引力の下で周期も増大します。長半径を固定する幾何的な極限とは条件が異なります。恒星間天体オウムアムアの軌道を $e\simeq1.2$ とする近似モデルは双曲線に属します。これらの数値はモデルの入力であり、観測値を利用する際には時点と軌道モデルに対応する一次資料を確認する必要があります。

§A2.142次曲線