数学汎典

§A5.14複比とその射影不変性

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複比とは、同一直線上の相異なる四点について、二つの符号つきの長さの比の商として定まる量であり、直線の外にある一点からの射影で四点を別の直線上へ写しても変わらない量です。

一点からの射影とは、二直線のどちらの上にもない点O\mathrm{O}を選び、一方の直線上の点X\mathrm{X}を、直線OX\mathrm{OX}ともう一方の直線との交点X′\mathrm{X}'へ移す操作です。この操作では、線分の長さは変わり、二つの線分の長さの比も変わります。それでも、四点から作った一つの量だけは変わりません。この記事では、その量を符号つきの長さの比（§A5.9 定義 1.1）によって定義し、変わらないことをメネラウスの定理（§A5.9 定理 3.1）によって証明します。

1 複比と射影不変性

主定理を述べるために、まず複比を定義します。

定義 1.1 (四点の複比). 同一直線上の相異なる四点A,B,C,D\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}について、二つの符号つきの長さの比の商

(A,B;C,D):=AC‾/CB‾AD‾/DB‾(\mathrm{A},\mathrm{B};\mathrm{C},\mathrm{D}) :=\frac{\overline{\mathrm{AC}}/\overline{\mathrm{CB}}} {\overline{\mathrm{AD}}/\overline{\mathrm{DB}}}

を、この四点の 複比 (cross ratio) という。直線に一つの向きを定め、その向きに増加する座標によってA,B,C,D\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}の座標をそれぞれa,b,c,da,b,c,dと書くと

(A,B;C,D)=(c−a)(d−b)(c−b)(d−a)(\mathrm{A},\mathrm{B};\mathrm{C},\mathrm{D}) =\frac{(c-a)(d-b)}{(c-b)(d-a)}

である。記号のセミコロンの左側(A,B)(\mathrm{A},\mathrm{B})と右側(C,D)(\mathrm{C},\mathrm{D})は、どちらも順序を含む。

四点が相異なるので、c−bc-bとd−ad-aはどちらも00ではなく、複比の値は定まります。分子のc−ac-aとd−bd-bも00ではないので、複比は00ではありません。さらに

(c−a)(d−b)−(c−b)(d−a)=(a−b)(c−d)(c-a)(d-b)-(c-b)(d-a)=(a-b)(c-d)

という恒等式が、両辺を展開することによって確かめられます。四点が相異なるので右辺は00ではなく、したがって複比は11でもありません。

定理 1.2 (複比の射影不変性). 相異なる二直線ℓ,ℓ′\ell,\ell'と、ℓ\ell上にもℓ′\ell'上にもない点O\mathrm{O}をとる。ℓ\ell上の相異なる四点A,B,C,D\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}について、四本の直線OA,OB,OC,OD\mathrm{OA},\mathrm{OB},\mathrm{OC},\mathrm{OD}がいずれもℓ′\ell'と交わるとし、その交点をそれぞれA′,B′,C′,D′\mathrm{A}',\mathrm{B}',\mathrm{C}',\mathrm{D}'とする。

このときA′,B′,C′,D′\mathrm{A}',\mathrm{B}',\mathrm{C}',\mathrm{D}'はℓ′\ell'上の相異なる四点であり、

(A,B;C,D)=(A′,B′;C′,D′)(\mathrm{A},\mathrm{B};\mathrm{C},\mathrm{D}) =(\mathrm{A}',\mathrm{B}';\mathrm{C}',\mathrm{D}')

が成り立つ。

下の図は、この配置を一つ描いたものです。D\mathrm{D}をℓ\ellに沿って動かすことができます。

図で確かめることができるのは、有限個の位置について値が一致することだけです。図を動かして値が一致して見えることは、すべての配置について複比が保たれることの証明ではありません。すべての配置についての証明は、以下で与えます。

2 射影の単射性と交点を含む複比

ℓ\ellとℓ′\ell'が交わる場合を扱います。以下、P\mathrm{P}をℓ\ellとℓ′\ell'の交点とします。

ℓ\ell上の点X\mathrm{X}に対して、直線OX\mathrm{OX}がℓ′\ell'と交わるとき、その交点をX′\mathrm{X}'と書き、X′\mathrm{X}'をX\mathrm{X}の像と呼びます。まず、像を取る操作が点を区別することを確かめます。

定理 2.1.O\mathrm{O}をℓ\ell上にもℓ′\ell'上にもない点とする。ℓ\ell上の相異なる二点が像をもつならば、二つの像も相異なる。また、ℓ\ell上の点X\mathrm{X}の像がP\mathrm{P}であることと、X=P\mathrm{X}=\mathrm{P}であることは同値である。

証明.ℓ\ell上の相異なる二点X,Y\mathrm{X},\mathrm{Y}の像が一致したとする。その共通の像をZ\mathrm{Z}とおくと、Z\mathrm{Z}は直線OX\mathrm{OX}上にも直線OY\mathrm{OY}上にもある。X≠Y\mathrm{X}\ne\mathrm{Y}でO\mathrm{O}がℓ\ell上にないので、OX\mathrm{OX}とOY\mathrm{OY}は相異なる二直線であり、共有点はO\mathrm{O}だけである。したがってZ=O\mathrm{Z}=\mathrm{O}となるが、Z\mathrm{Z}はℓ′\ell'上にあり、O\mathrm{O}はℓ′\ell'上にないので矛盾する。

次に、X=P\mathrm{X}=\mathrm{P}ならば直線OP\mathrm{OP}とℓ′\ell'の交点はP\mathrm{P}であり（P\mathrm{P}はℓ′\ell'上にある）、像はP\mathrm{P}である。逆にX\mathrm{X}の像がP\mathrm{P}でX≠P\mathrm{X}\ne\mathrm{P}とすると、直線OX\mathrm{OX}はX\mathrm{X}とP\mathrm{P}というℓ\ell上の相異なる二点を含むのでℓ\ellに一致し、O\mathrm{O}がℓ\ell上にあることになって仮定に反する。▨

定理 2.2. 相異なる二直線ℓ,ℓ′\ell,\ell'が点P\mathrm{P}で交わり、点O\mathrm{O}はどちらの直線上にもないとする。ℓ\ell上の相異なる四点P,R,X,Y\mathrm{P},\mathrm{R},\mathrm{X},\mathrm{Y}について、直線OR,OX,OY\mathrm{OR},\mathrm{OX},\mathrm{OY}がいずれもℓ′\ell'と交わり、その交点をそれぞれR′,X′,Y′\mathrm{R}',\mathrm{X}',\mathrm{Y}'とする。このとき

(P,R;X,Y)=(P,R′;X′,Y′)(\mathrm{P},\mathrm{R};\mathrm{X},\mathrm{Y}) =(\mathrm{P},\mathrm{R}';\mathrm{X}',\mathrm{Y}')

が成り立つ。

証明.定理 2.1により、P,R′,X′,Y′\mathrm{P},\mathrm{R}',\mathrm{X}',\mathrm{Y}'は相異なる。P,R\mathrm{P},\mathrm{R}はℓ\ell上の相異なる点であり、R′\mathrm{R}'はℓ′\ell'上でP\mathrm{P}と異なるので、P,R,R′\mathrm{P},\mathrm{R},\mathrm{R}'は非退化三角形をなす。O\mathrm{O}はR,R′\mathrm{R},\mathrm{R}'と異なるから、

k=RO‾OR′‾k=\frac{\overline{\mathrm{RO}}}{\overline{\mathrm{OR}'}}

は定まり、k≠0k\ne0である。

直線OX\mathrm{OX}は三角形PRR′\mathrm{PRR}'の三辺を含む直線と、頂点とは異なるX,O,X′\mathrm{X},\mathrm{O},\mathrm{X}'で交わる。§A5.9 定理 3.1により、

kR′X′‾X′P‾PX‾XR‾=−1.k\frac{\overline{\mathrm{R}'\mathrm{X}'}}{\overline{\mathrm{X}'\mathrm{P}}} \frac{\overline{\mathrm{PX}}}{\overline{\mathrm{XR}}}=-1.

符号つきの長さの向きを分子と分母の両方で逆にすると、R′X′‾/X′P‾=X′R′‾/PX′‾\overline{\mathrm{R}'\mathrm{X}'}/\overline{\mathrm{X}'\mathrm{P}} =\overline{\mathrm{X}'\mathrm{R}'}/\overline{\mathrm{PX}'}である。したがって、

PX′‾X′R′‾=−kPX‾XR‾.\frac{\overline{\mathrm{PX}'}}{\overline{\mathrm{X}'\mathrm{R}'}} =-k\frac{\overline{\mathrm{PX}}}{\overline{\mathrm{XR}}}.

直線OY\mathrm{OY}も三辺を含む直線と頂点以外で交わるので、同じ定理から

PY′‾Y′R′‾=−kPY‾YR‾\frac{\overline{\mathrm{PY}'}}{\overline{\mathrm{Y}'\mathrm{R}'}} =-k\frac{\overline{\mathrm{PY}}}{\overline{\mathrm{YR}}}

を得る。両式の各比は00でないので、二式の商をとると共通の倍率−k-kが消え、

PX′‾/X′R′‾PY′‾/Y′R′‾=PX‾/XR‾PY‾/YR‾\frac{\overline{\mathrm{PX}'}/\overline{\mathrm{X}'\mathrm{R}'}} {\overline{\mathrm{PY}'}/\overline{\mathrm{Y}'\mathrm{R}'}} =\frac{\overline{\mathrm{PX}}/\overline{\mathrm{XR}}} {\overline{\mathrm{PY}}/\overline{\mathrm{YR}}}

となる。左辺は(P,R′;X′,Y′)(\mathrm{P},\mathrm{R}';\mathrm{X}',\mathrm{Y}')、右辺は(P,R;X,Y)(\mathrm{P},\mathrm{R};\mathrm{X},\mathrm{Y})である。▨

3 射影不変性の証明

証明.A,B,C,D\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}は相異なり、いずれも像をもつので、定理 2.1により像も相異なる。したがって、像の四点の複比も定まる。

ℓ\ellとℓ′\ell'が交わる場合、交点をP\mathrm{P}とする。P\mathrm{P}が四点A,B,C,D\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}のどれとも異なるならば、符号つきの長さの比を約分して

(P,B;C,D)(P,A;C,D)=PC‾/CB‾PD‾/DB‾PD‾/DA‾PC‾/CA‾=CA‾ DB‾CB‾ DA‾=(A,B;C,D)\begin{aligned} \frac{(\mathrm{P},\mathrm{B};\mathrm{C},\mathrm{D})} {(\mathrm{P},\mathrm{A};\mathrm{C},\mathrm{D})} &=\frac{\overline{\mathrm{PC}}/\overline{\mathrm{CB}}} {\overline{\mathrm{PD}}/\overline{\mathrm{DB}}} \frac{\overline{\mathrm{PD}}/\overline{\mathrm{DA}}} {\overline{\mathrm{PC}}/\overline{\mathrm{CA}}}\\ &=\frac{\overline{\mathrm{CA}}\,\overline{\mathrm{DB}}} {\overline{\mathrm{CB}}\,\overline{\mathrm{DA}}} =(\mathrm{A},\mathrm{B};\mathrm{C},\mathrm{D}) \end{aligned}

を得る。定理 2.2により、この商の分子と分母はともに射影で保たれる。像の四点もP\mathrm{P}と異なるので、ℓ′\ell'上で同じ等式を用いると、

(A,B;C,D)=(P,B′;C′,D′)(P,A′;C′,D′)=(A′,B′;C′,D′)(\mathrm{A},\mathrm{B};\mathrm{C},\mathrm{D}) =\frac{(\mathrm{P},\mathrm{B}';\mathrm{C}',\mathrm{D}')} {(\mathrm{P},\mathrm{A}';\mathrm{C}',\mathrm{D}')} =(\mathrm{A}',\mathrm{B}';\mathrm{C}',\mathrm{D}')

となる。

P\mathrm{P}が四点の一つならば、定義から従う

(A,B;C,D)=(C,D;A,B),(B,A;C,D)=1(A,B;C,D)(\mathrm{A},\mathrm{B};\mathrm{C},\mathrm{D}) =(\mathrm{C},\mathrm{D};\mathrm{A},\mathrm{B}),\qquad (\mathrm{B},\mathrm{A};\mathrm{C},\mathrm{D}) =\frac{1}{(\mathrm{A},\mathrm{B};\mathrm{C},\mathrm{D})}

を用い、P\mathrm{P}を最初の成分へ移す。P=B\mathrm{P}=\mathrm{B}ならば前の二成分を交換する。P=C\mathrm{P}=\mathrm{C}またはD\mathrm{D}ならば前後の二組を交換し、必要ならば前の二成分も交換する。像の四点にも同じ並べ替えを行う。最初の成分がP\mathrm{P}の場合には定理 2.2により複比が保たれ、複比は00でないので、並べ替えを元へ戻しても等式は保たれる。

ℓ\ellとℓ′\ell'が平行な場合、ℓ\ell上の点X\mathrm{X}を通る直線OX\mathrm{OX}はℓ\ellと平行でなく、したがってℓ′\ell'とも平行でない。よってℓ\ell上のすべての点が像をもつ。

ℓ\ell上に点X0\mathrm{X}_0を固定し、その像をX0′\mathrm{X}_0'とする。X0\mathrm{X}_0と異なる点X\mathrm{X}とその像X′\mathrm{X}'をとると、X0X∥X0′X′\mathrm{X}_0\mathrm{X}\parallel\mathrm{X}_0'\mathrm{X}'である。平行線の角より∠OX0X=∠OX0′X′\angle\mathrm{OX}_0\mathrm{X}=\angle\mathrm{OX}_0'\mathrm{X}'であり、∠X0OX\angle\mathrm{X}_0\mathrm{OX}と∠X0′OX′\angle\mathrm{X}_0'\mathrm{OX}'は同じ角または対頂角である。§A5.1 定理 3.1 (1)により、△OX0X∼△OX0′X′\triangle\mathrm{OX}_0\mathrm{X}\sim\triangle\mathrm{OX}_0'\mathrm{X}'である。対応する辺の比をとると、

OX′OX=OX0′OX0=X0′X′X0X\frac{\mathrm{OX}'}{\mathrm{OX}} =\frac{\mathrm{OX}_0'}{\mathrm{OX}_0} =\frac{\mathrm{X}_0'\mathrm{X}'}{\mathrm{X}_0\mathrm{X}}

となる。中央の値をt>0t>0とすると、ttはX\mathrm{X}に依存しない。基準点をX\mathrm{X}に替えても倍率はOX′/OX=t\mathrm{OX}'/\mathrm{OX}=tなので、任意の二点X,Y\mathrm{X},\mathrm{Y}についてX′Y′=t⋅XY\mathrm{X}'\mathrm{Y}'=t\cdot\mathrm{XY}である。

Y\mathrm{Y}が線分XZ\mathrm{XZ}の内部にあるならば、XY+YZ=XZ\mathrm{XY}+\mathrm{YZ}=\mathrm{XZ}の両辺をtt倍することにより、X′Y′+Y′Z′=X′Z′\mathrm{X}'\mathrm{Y}'+\mathrm{Y}'\mathrm{Z}'=\mathrm{X}'\mathrm{Z}'を得る。したがってY′\mathrm{Y}'も線分X′Z′\mathrm{X}'\mathrm{Z}'の内部にある。ℓ′\ell'の向きを適切に選べば、任意の二点について

X′Y′‾=t XY‾\overline{\mathrm{X}'\mathrm{Y}'}=t\,\overline{\mathrm{XY}}

が成り立つ。符号つきの長さの比では分子と分母のttが消えるので、AC‾/CB‾\overline{\mathrm{AC}}/\overline{\mathrm{CB}}とAD‾/DB‾\overline{\mathrm{AD}}/\overline{\mathrm{DB}}はともに保たれる。よって、この二つの比の商である複比も保たれる。▨

4 座標による別証明

定理 4.1. 一直線上の相異なる四点の座標をa,b,c,da,b,c,dとする。u≠0u\ne0と実数vvに対して座標をx↦ux+vx\mapsto ux+vで取り替えても、複比の値は変わらない。

証明. 新しい座標をa′=ua+va'=ua+v、b′=ub+vb'=ub+v、c′=uc+vc'=uc+v、d′=ud+vd'=ud+vとする。任意の二点について

c′−a′=u(c−a),c′−b′=u(c−b),d′−b′=u(d−b),d′−a′=u(d−a)c'-a'=u(c-a),\qquad c'-b'=u(c-b),\qquad d'-b'=u(d-b),\qquad d'-a'=u(d-a)

である。複比の分子と分母には、この形の差が二つずつ現れるので、

u(c−a)⋅u(d−b)u(c−b)⋅u(d−a)=(c−a)(d−b)(c−b)(d−a)\frac{u(c-a)\cdot u(d-b)}{u(c-b)\cdot u(d-a)} =\frac{(c-a)(d-b)}{(c-b)(d-a)}

となる。よって原点の位置と単位の長さ、および向きの選び方によらない。▨

5 一点からの射影の座標式

定理 5.1.ℓ\ellとℓ′\ell'が点P\mathrm{P}で交わり、O\mathrm{O}はℓ\ell上にもℓ′\ell'上にもないとする。ℓ\ell上にP\mathrm{P}と異なり像をもつ点R\mathrm{R}を一つとり、その像をR′\mathrm{R}'とする。ℓ\ellとℓ′\ell'のそれぞれにP\mathrm{P}を原点とする座標を入れ、R\mathrm{R}の座標をrr、R′\mathrm{R}'の座標をr′r'とし、

k=RO‾OR′‾k=\frac{\overline{\mathrm{RO}}}{\overline{\mathrm{OR}'}}

とおく。このときr≠0r\ne0、r′≠0r'\ne0、k≠0k\ne0であり、ℓ\ell上の像をもつ任意の点X\mathrm{X}について、X\mathrm{X}の座標xxとその像X′\mathrm{X}'の座標x′x'は

(k+1)x−r≠0,x′=kr′x(k+1)x−r(k+1)x-r\ne0,\qquad x'=\frac{kr'x}{(k+1)x-r}

を満たす。

証明.R≠P\mathrm{R}\ne\mathrm{P}からr≠0r\ne0であり、定理 2.1によりR′≠P\mathrm{R}'\ne\mathrm{P}なのでr′≠0r'\ne0である。O\mathrm{O}はℓ\ell上にないのでO≠R\mathrm{O}\ne\mathrm{R}であり、RO‾≠0\overline{\mathrm{RO}}\ne0、したがってk≠0k\ne0である。

三点P,R,R′\mathrm{P},\mathrm{R},\mathrm{R}'は三角形をなす。実際、P\mathrm{P}とR\mathrm{R}はℓ\ell上の相異なる二点であり、R′\mathrm{R}'はℓ′\ell'上にあってP\mathrm{P}と異なるので、R′\mathrm{R}'はℓ\ell上にない。よって三点は一直線上にない。この三角形の三辺を含む直線は、辺PR\mathrm{PR}がℓ\ell、辺PR′\mathrm{PR}'がℓ′\ell'、辺RR′\mathrm{RR}'がO\mathrm{O}を通る直線である。

X≠P,R\mathrm{X}\ne\mathrm{P},\mathrm{R}の場合、X\mathrm{X}の像をX′\mathrm{X}'とすると、直線XX′\mathrm{XX}'はO\mathrm{O}を通る。この直線は、辺PR\mathrm{PR}を含むℓ\ellとX\mathrm{X}で、辺RR′\mathrm{RR}'とO\mathrm{O}で、辺PR′\mathrm{PR}'を含むℓ′\ell'とX′\mathrm{X}'で交わる。三つの交点はいずれも三角形の頂点と異なる。X≠P,R\mathrm{X}\ne\mathrm{P},\mathrm{R}であり、O\mathrm{O}はℓ\ell上にもℓ′\ell'上にもないのでO≠R,R′\mathrm{O}\ne\mathrm{R},\mathrm{R}'であり、定理 2.1によりX′≠P,R′\mathrm{X}'\ne\mathrm{P},\mathrm{R}'である。したがって△PRR′\triangle\mathrm{PRR}'にメネラウスの定理（§A5.9 定理 3.1）を用いて

RO‾OR′‾R′X′‾X′P‾PX‾XR‾=−1\frac{\overline{\mathrm{RO}}}{\overline{\mathrm{OR}'}} \frac{\overline{\mathrm{R}'\mathrm{X}'}}{\overline{\mathrm{X}'\mathrm{P}}} \frac{\overline{\mathrm{PX}}}{\overline{\mathrm{XR}}}=-1

を得る。座標で書くとPX‾/XR‾=x/(r−x)\overline{\mathrm{PX}}/\overline{\mathrm{XR}}=x/(r-x)であり、R′X′‾/X′P‾=(x′−r′)/(−x′)\overline{\mathrm{R}'\mathrm{X}'}/\overline{\mathrm{X}'\mathrm{P}}=(x'-r')/(-x')である。X≠P\mathrm{X}\ne\mathrm{P}からx≠0x\ne0、X′≠P\mathrm{X}'\ne\mathrm{P}からx′≠0x'\ne0なので、これらを代入して

k⋅r′−x′x′⋅xr−x=−1k\cdot\frac{r'-x'}{x'}\cdot\frac{x}{r-x}=-1

となる。両辺にx′(r−x)/xx'(r-x)/xを掛けると（x≠0x\ne0であり、X≠R\mathrm{X}\ne\mathrm{R}からr−x≠0r-x\ne0）

k(r′−x′)=−(r−x)x′x,すなわちr′x′=1−r−xkx=(k+1)x−rkxk(r'-x')=-\frac{(r-x)x'}{x}, \qquad\text{すなわち}\qquad \frac{r'}{x'}=1-\frac{r-x}{kx}=\frac{(k+1)x-r}{kx}

を得る。左辺は00でないので(k+1)x−r≠0(k+1)x-r\ne0であり、逆数をとって整理するとx′=kr′x/((k+1)x−r)x'=kr'x/((k+1)x-r)となる。

X=P\mathrm{X}=\mathrm{P}の場合、定理 2.1により像はP\mathrm{P}であるからx=x′=0x=x'=0である。このとき(k+1)⋅0−r=−r≠0(k+1)\cdot0-r=-r\ne0であり、公式の右辺も00になるので、関係式は成り立つ。

X=R\mathrm{X}=\mathrm{R}の場合、x=rx=r、x′=r′x'=r'である。(k+1)r−r=kr≠0(k+1)r-r=kr\ne0であり、公式の右辺はkr′r/(kr)=r′kr'r/(kr)=r'となるので、関係式は成り立つ。▨

この関係式は、xxの一次式をxxの一次式で割った形をしています。長さの比が保たれるのであればx′x'はxxの一次式になるはずですが、分母にxxが現れるので、そうはなりません。次の節で、この分母が四点の複比では消えることを示します。

6 一次分数式による複比の不変性

証明.A,B,C,D\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}は相異なり、いずれも像をもつので、定理 2.1によりA′,B′,C′,D′\mathrm{A}',\mathrm{B}',\mathrm{C}',\mathrm{D}'も相異なる。したがって右辺の複比も定まる。

ℓ\ellとℓ′\ell'が交わる場合、交点をP\mathrm{P}とする。四点は相異なるので、P\mathrm{P}と一致するものは多くとも一つである。そこで四点のうちP\mathrm{P}と異なるものを一つ選び、それを定理 5.1のR\mathrm{R}として用いる。ℓ\ellとℓ′\ell'のそれぞれにP\mathrm{P}を原点とする座標を入れ、A,B,C,D\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}の座標をa,b,c,da,b,c,d、その像の座標をa′,b′,c′,d′a',b',c',d'とする。

定理 5.1により、これらの座標は

x′=kr′x(k+1)x−rx'=\frac{kr'x}{(k+1)x-r}

を満たす。x,yx,yをℓ\ell上の像をもつ二点の座標とし、D(x)=(k+1)x−rD(x)=(k+1)x-rとおくと、D(x)≠0D(x)\ne0、D(y)≠0D(y)\ne0であり

x′−y′=kr′(xD(x)−yD(y))=kr′⋅xD(y)−yD(x)D(x)D(y)=kr′⋅x{(k+1)y−r}−y{(k+1)x−r}D(x)D(y)=−krr′(x−y)D(x)D(y)\begin{aligned} x'-y' &=kr'\left(\frac{x}{D(x)}-\frac{y}{D(y)}\right) =kr'\cdot\frac{xD(y)-yD(x)}{D(x)D(y)}\\ &=kr'\cdot\frac{x\{(k+1)y-r\}-y\{(k+1)x-r\}}{D(x)D(y)} =\frac{-krr'(x-y)}{D(x)D(y)} \end{aligned}

となる。μ=−krr′\mu=-krr'とおくとμ≠0\mu\ne0であり、任意の二点について

x′−y′=μ(x−y)D(x)D(y)x'-y'=\frac{\mu(x-y)}{D(x)D(y)}

が成り立つ。この式を複比の四つの差へ適用すると

(A′,B′;C′,D′)=(c′−a′)(d′−b′)(c′−b′)(d′−a′)=μ(c−a)D(c)D(a)⋅μ(d−b)D(d)D(b)μ(c−b)D(c)D(b)⋅μ(d−a)D(d)D(a)(\mathrm{A}',\mathrm{B}';\mathrm{C}',\mathrm{D}') =\frac{(c'-a')(d'-b')}{(c'-b')(d'-a')} =\frac{\dfrac{\mu(c-a)}{D(c)D(a)}\cdot\dfrac{\mu(d-b)}{D(d)D(b)}} {\dfrac{\mu(c-b)}{D(c)D(b)}\cdot\dfrac{\mu(d-a)}{D(d)D(a)}}

となる。分子と分母の両方にμ2\mu^2とD(a)D(b)D(c)D(d)D(a)D(b)D(c)D(d)がちょうど一度ずつ現れるので、これらはすべて約分で消え、

(A′,B′;C′,D′)=(c−a)(d−b)(c−b)(d−a)=(A,B;C,D)(\mathrm{A}',\mathrm{B}';\mathrm{C}',\mathrm{D}') =\frac{(c-a)(d-b)}{(c-b)(d-a)} =(\mathrm{A},\mathrm{B};\mathrm{C},\mathrm{D})

を得る。ここで用いた座標はP\mathrm{P}を原点とする特別なものであるが、複比の値は座標の取り方によらない（定理 4.1）ので、この等式は座標の選び方に依存しない。平行な場合は、主証明で示したとおり、符号つきの長さがすべて共通の非零倍率で変わるため、複比は保たれる。▨

7 射影で変わる長さの比

長さの比が変わることは、次の例で確かめることができます。

例 7.1. 座標平面でℓ\ellをxx軸、ℓ′\ell'をyy軸、O\mathrm{O}を点(1,1)(1,1)とする。O\mathrm{O}はどちらの直線上にもない。ℓ\ell上の点(x,0)(x,0)（ただしx≠1x\ne1）に対して、直線O(x,0)\mathrm{O}(x,0)とyy軸の交点のyy座標はx/(x−1)x/(x-1)である。

ℓ\ell上にA(−1,0)\mathrm{A}(-1,0)、B(0,0)\mathrm{B}(0,0)、C(2,0)\mathrm{C}(2,0)、D(3,0)\mathrm{D}(3,0)をとると、像のyy座標はそれぞれ12\tfrac12、00、22、32\tfrac32である。xx座標とyy座標をそれぞれℓ\ellとℓ′\ell'の座標として用いると

(A,B;C,D)=(2+1)(3−0)(2−0)(3+1)=98,(A′,B′;C′,D′)=(2−12)(32−0)(2−0)(32−12)=98(\mathrm{A},\mathrm{B};\mathrm{C},\mathrm{D})=\frac{(2+1)(3-0)}{(2-0)(3+1)}=\frac98, \qquad (\mathrm{A}',\mathrm{B}';\mathrm{C}',\mathrm{D}') =\frac{\left(2-\tfrac12\right)\left(\tfrac32-0\right)} {(2-0)\left(\tfrac32-\tfrac12\right)}=\frac98

となって一致する。一方、三点だけから作る符号つきの長さの比は

AB‾BC‾=0−(−1)2−0=12,A′B′‾B′C′‾=0−122−0=−14\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{BC}}}=\frac{0-(-1)}{2-0}=\frac12, \qquad \frac{\overline{\mathrm{A}'\mathrm{B}'}}{\overline{\mathrm{B}'\mathrm{C}'}} =\frac{0-\tfrac12}{2-0}=-\frac14

であり、一致しない。この配置ではB\mathrm{B}が二直線の交点に一致しており、その像はB\mathrm{B}自身である。

8 点の順序を変えたとき

複比の記号は四点の名前を並べた順序を含みます。λ=(A,B;C,D)\lambda=(\mathrm{A},\mathrm{B};\mathrm{C},\mathrm{D})とおくと、並べ替えて得られる値は次の六つです。

順序値(A,B;C,D)λ(A,B;D,C)1/λ(A,C;B,D)1−λ(A,C;D,B)1/(1−λ)(A,D;B,C)(λ−1)/λ(A,D;C,B)λ/(λ−1)\begin{array}{c|c} \text{順序} & \text{値}\\ \hline (\mathrm{A},\mathrm{B};\mathrm{C},\mathrm{D}) & \lambda\\ (\mathrm{A},\mathrm{B};\mathrm{D},\mathrm{C}) & 1/\lambda\\ (\mathrm{A},\mathrm{C};\mathrm{B},\mathrm{D}) & 1-\lambda\\ (\mathrm{A},\mathrm{C};\mathrm{D},\mathrm{B}) & 1/(1-\lambda)\\ (\mathrm{A},\mathrm{D};\mathrm{B},\mathrm{C}) & (\lambda-1)/\lambda\\ (\mathrm{A},\mathrm{D};\mathrm{C},\mathrm{B}) & \lambda/(\lambda-1) \end{array}

定理 8.1. 相異なる四点に対して、複比の四つの引数を任意に並べ替えて得られる値は、上の表の六つの値のいずれかである。とくに、記号の第1成分と第2成分を交換しても、第3成分と第4成分を交換しても値は1/λ1/\lambdaになり、第2成分と第3成分を交換すると値は1−λ1-\lambdaになる。

証明. 座標をa,b,c,da,b,c,dとし、λ=(c−a)(d−b)/{(c−b)(d−a)}\lambda=(c-a)(d-b)/\{(c-b)(d-a)\}とする。

第3成分と第4成分の交換では、ccとddを入れ替えるので

(A,B;D,C)=(d−a)(c−b)(d−b)(c−a)=1λ(\mathrm{A},\mathrm{B};\mathrm{D},\mathrm{C})=\frac{(d-a)(c-b)}{(d-b)(c-a)}=\frac1\lambda

となる。第1成分と第2成分の交換では、aaとbbを入れ替えるので、同じく(B,A;C,D)=1/λ(\mathrm{B},\mathrm{A};\mathrm{C},\mathrm{D})=1/\lambdaである。

第2成分と第3成分の交換では、bbとccを入れ替えるので

(A,C;B,D)=(b−a)(d−c)(b−c)(d−a)=(a−b)(d−c)(c−b)(d−a)(\mathrm{A},\mathrm{C};\mathrm{B},\mathrm{D})=\frac{(b-a)(d-c)}{(b-c)(d-a)} =\frac{(a-b)(d-c)}{(c-b)(d-a)}

である。一方、この記事の冒頭で確かめた恒等式(c−a)(d−b)−(c−b)(d−a)=(a−b)(c−d)(c-a)(d-b)-(c-b)(d-a)=(a-b)(c-d)の両辺に−1-1を掛けた形により

1−λ=(c−b)(d−a)−(c−a)(d−b)(c−b)(d−a)=(a−b)(d−c)(c−b)(d−a)1-\lambda=\frac{(c-b)(d-a)-(c-a)(d-b)}{(c-b)(d-a)} =\frac{(a-b)(d-c)}{(c-b)(d-a)}

であるから、(A,C;B,D)=1−λ(\mathrm{A},\mathrm{C};\mathrm{B},\mathrm{D})=1-\lambdaである。

四つの成分の任意の並べ替えは、隣り合う成分の交換を繰り返して得られる。いま示したとおり、隣り合う成分の交換はλ↦1/λ\lambda\mapsto1/\lambdaまたはλ↦1−λ\lambda\mapsto1-\lambdaのいずれかを起こす。この二つの操作を繰り返してλ\lambdaから得られる値は

λ,1λ,1−λ,11−λ,λ−1λ,λλ−1\lambda,\quad\frac1\lambda,\quad1-\lambda,\quad\frac1{1-\lambda}, \quad\frac{\lambda-1}{\lambda},\quad\frac{\lambda}{\lambda-1}

の六つであり、この六つの集合は二つの操作のどちらでも自分自身へ移る。実際、λ↦1/λ\lambda\mapsto1/\lambdaは第1と第2、第3と第4、第5と第6を入れ替え、λ↦1−λ\lambda\mapsto1-\lambdaは第1と第3、第2と第5、第4と第6を入れ替える。よって並べ替えて得られる値は表の六つに尽きる。▨

同じ四点でも、順序を変えると値が変わることがあります。例えばλ=4/3\lambda=4/3のとき(A,C;B,D)=−1/3(\mathrm{A},\mathrm{C};\mathrm{B},\mathrm{D})=-1/3です。問題文の複比の順序をそのまま写し、途中で点を並べ替えたときは、表のどの行を使ったのかを記録してください。

9 別の見方：同次座標と行列による証明

主定理では、四点とその像がすべて有限の位置にあることを仮定しています。直線に無限遠点を一つ加えると、直線OX\mathrm{OX}がℓ′\ell'と平行な場合も、その無限遠点への対応として扱うことができます。同次座標と行列を用いて、無限遠点を含む配置でも複比が保たれることを示します。

定義 9.1 (実射影直線).R2\R^2の00でないベクトルを、00でない実数倍の違いだけ同一視して得られる集合

P1(R)={[x:y]∣(x,y)≠(0,0), [x:y]=[λx:λy] (λ≠0)}\mathbb{P}^{1}(\R) =\{[x:y]\mid(x,y)\ne(0,0),\ [x:y]=[\lambda x:\lambda y]\ (\lambda\ne0)\}

を 実射影直線 (real projective line) という。y≠0y\ne0の点[x:y][x:y]を、座標x/yx/yをもつ直線上の点と同一視し、[1:0][1:0]を 無限遠点 (point at infinity) と呼んで∞\inftyと書く。二点P=[xP:yP]P=[x_P:y_P]、Q=[xQ:yQ]Q=[x_Q:y_Q]に対して

[P,Q]:=xPyQ−yPxQ[P,Q]:=x_Py_Q-y_Px_Q

と書く。この値は代表ベクトルの選び方によって定数倍だけ変わる。

定義 9.2 (実射影直線上の複比). 実射影直線上の相異なる四点P,Q,R,SP,Q,R,Sに対して

(P,Q;R,S):=[R,P][S,Q][R,Q][S,P](P,Q;R,S):=\frac{[R,P][S,Q]}{[R,Q][S,P]}

と定め、この値を 実射影直線上の複比 (projective cross ratio) という。四点が相異なるとき分母は00でないので、この値は定まる。また、分子と分母には各点の代表ベクトルがちょうど一度ずつ現れるので、値は代表ベクトルの選び方によらない。

代表ベクトルを[x:1][x:1]と選ぶと[P,Q]=xP−xQ[P,Q]=x_P-x_Qです。したがって四点が有限の座標a,b,c,da,b,c,dをもつときは

(A,B;C,D)=[C,A][D,B][C,B][D,A]=(c−a)(d−b)(c−b)(d−a)(\mathrm{A},\mathrm{B};\mathrm{C},\mathrm{D}) =\frac{[\mathrm{C},\mathrm{A}][\mathrm{D},\mathrm{B}]} {[\mathrm{C},\mathrm{B}][\mathrm{D},\mathrm{A}]} =\frac{(c-a)(d-b)}{(c-b)(d-a)}

となり、定義 1.1と同じ値になります。無限遠点を含む場合は、無限大を代入するのではなく、この行列式の形の定義をそのまま使います。例えば他の三点が有限の座標a,b,ca,b,cをもつときは、∞=[1:0]\infty=[1:0]を代入して

(A,B;C,∞)=c−ac−b(\mathrm{A},\mathrm{B};\mathrm{C},\infty)=\frac{c-a}{c-b}

が得られます。

定義 9.3 (実射影直線の射影変換). 可逆な実2×22\times2行列MMに対して

TM([p])=[Mp]T_M([p])=[Mp]

と定める写像を、実射影直線の 射影変換 (projective transformation of a line) という。M=(αβγδ)M=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\\gamma&\delta\end{pmatrix}のとき、有限の座標xxはγx+δ≠0\gamma x+\delta\ne0ならば

x⟼αx+βγx+δx\longmapsto\frac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta}

へ移り、γx+δ=0\gamma x+\delta=0ならば無限遠点へ移る。

定理 5.1の関係式x′=kr′x/{(k+1)x−r}x'=kr'x/\{(k+1)x-r\}は、この形をしています。対応する行列は

M=(kr′0k+1−r),det⁡M=−kr′r≠0M=\begin{pmatrix}kr'&0\\k+1&-r\end{pmatrix}, \qquad \det M=-kr'r\ne0

です。つまり、一点からの射影は、二直線にP\mathrm{P}を原点とする座標を入れると、可逆な2×22\times2行列により定まる射影変換として表されます。次の定理では、この形の写像が複比を保つことが、無限遠点を含めて一度に示されます。

定理 9.4. 相異なる四点P,Q,R,S∈P1(R)P,Q,R,S\in\mathbb{P}^{1}(\R)と可逆な実2×22\times2行列MMに対して

(TM(P),TM(Q);TM(R),TM(S))=(P,Q;R,S)(T_M(P),T_M(Q);T_M(R),T_M(S))=(P,Q;R,S)

が成り立つ。有限の点が無限遠点へ移る場合も、この等式に含まれる。

証明. 各点の00でない代表ベクトルをp,q,r,sp,q,r,sとする。MMは可逆なので、Mp,Mq,Mr,MsMp,Mq,Mr,Msはいずれも00でなく、相異なる四点を表す。実際、[Mp]=[Mq][Mp]=[Mq]ならMpMpとMqMqが比例し、M−1M^{-1}を掛けてppとqqが比例するので[p]=[q][p]=[q]となる。

二つの列ベクトルを並べた2×22\times2行列の行列式について、積の行列式の性質から

[Mr,Mp]=det⁡(MrMp)=det⁡M⋅det⁡(rp)=det⁡M⋅[R,P][Mr,Mp]=\det\begin{pmatrix}Mr&Mp\end{pmatrix} =\det M\cdot\det\begin{pmatrix}r&p\end{pmatrix}=\det M\cdot[R,P]

が成り立つ。同様に[Ms,Mq]=det⁡M⋅[S,Q][Ms,Mq]=\det M\cdot[S,Q]、[Mr,Mq]=det⁡M⋅[R,Q][Mr,Mq]=\det M\cdot[R,Q]、[Ms,Mp]=det⁡M⋅[S,P][Ms,Mp]=\det M\cdot[S,P]である。したがって

(TM(P),TM(Q);TM(R),TM(S))=det⁡M⋅[R,P]⋅det⁡M⋅[S,Q]det⁡M⋅[R,Q]⋅det⁡M⋅[S,P]=[R,P][S,Q][R,Q][S,P](T_M(P),T_M(Q);T_M(R),T_M(S)) =\frac{\det M\cdot[R,P]\cdot\det M\cdot[S,Q]} {\det M\cdot[R,Q]\cdot\det M\cdot[S,P]} =\frac{[R,P][S,Q]}{[R,Q][S,P]}

となり、右辺は(P,Q;R,S)(P,Q;R,S)である。この計算は有限の座標を一度も仮定していないので、四点や像のどれかが∞=[1:0]\infty=[1:0]である場合もそのまま含む。▨

この別の見方によって、主定理では除いていた配置、すなわち直線OX\mathrm{OX}がℓ′\ell'と平行になる配置も扱うことができます。その配置ではX\mathrm{X}の像をℓ′\ell'の無限遠点と定めればよく、上の等式がそのまま成り立ちます。

10 退化する配置

複比と射影不変性は、次の配置では成り立たないか、または定義されません。どの配置が除かれているかを確かめてから使ってください。

注意 10.1 (複比が定まらない配置と、除いた配置). 四点のうちに一致するものがある配置は、複比の定義の対象外である。ただし、点が一致しても、座標の有理式が実数値をもつことはある。例えばa=b=0,c=1,d=2a=b=0,c=1,d=2ならば

(c−a)(d−b)(c−b)(d−a)=1\frac{(c-a)(d-b)}{(c-b)(d-a)}=1

である。一方、a=da=dまたはb=cb=cならば分母が00になる。これらの配置へ、約分した式の値を用いて複比の定義域を広げることはしない。

中心O\mathrm{O}がℓ\ell上またはℓ′\ell'上にある配置は、主定理の仮定から除かれている。O\mathrm{O}がℓ\ell上にある場合、X=O\mathrm{X}=\mathrm{O}では直線OX\mathrm{OX}は定まらない。X≠O\mathrm{X}\ne\mathrm{O}では直線OX\mathrm{OX}はℓ\ellであり、ℓ\ellとℓ′\ell'が交わるならば像はすべてその交点となり、平行ならば有限な像はない。O\mathrm{O}がℓ′\ell'上にあり、X≠O\mathrm{X}\ne\mathrm{O}である場合、X∈ℓ∩ℓ′\mathrm{X}\in\ell\cap\ell'ならば直線OX\mathrm{OX}はℓ′\ell'と一致するので、交点は一意に定まらない。X∉ℓ′\mathrm{X}\notin\ell'ならば直線OX\mathrm{OX}とℓ′\ell'の交点はO\mathrm{O}だけであり、像はO\mathrm{O}となる。

直線OX\mathrm{OX}がℓ′\ell'と平行であると、X\mathrm{X}の像は有限の位置にない。主定理ではこの配置が仮定から除かれている。同次座標による扱いでは、この場合の像を無限遠点と定めることによって、複比の不変性を示すことができる。

一方、四点のうちの一つがℓ\ellとℓ′\ell'の交点P\mathrm{P}に一致する配置と、ℓ\ellとℓ′\ell'が平行である配置は、退化ではない。前者は像もP\mathrm{P}であり、後者は射影が相似の写像になる。どちらも主定理の仮定を満たす。

参考文献

  1. H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, 2nd ed., Springer, New York, 1987.

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