§A4.17競技数学入門

証明.$30=2\cdot3\cdot5$と分解し、$p$を$2,3,5$のいずれかとする。$p\mid n$なら$p\mid n^5-n$である。$p\nmid n$なら、§A4.7 定理 1.1により$n^{p-1}\equiv1\pmod p$である。いずれの$p$についても$p-1\mid4$なので、$n^4\equiv1\pmod p$であり、$p\mid n(n^4-1)=n^5-n$となる。

$2,3,5$はどの二つも互いに素であるから、$30\mid n^5-n$である。▨

証明.$x$が偶数なら、整数$k$を用いて$x=2k$と書くことができるので$x^2=4k^2\equiv0\pmod4$である。$x$が奇数なら、整数$k$を用いて$x=2k+1$と書くことができるので

である。▨

証明.$p$は奇数なので、整数$k$を用いて$p=2k+1$と書くことができ、$p^2-1=4k(k+1)$である。$k(k+1)$は連続する二整数の積なので偶数であり、$8\mid p^2-1$、すなわち$p^2\equiv1\pmod8$である。

また、$p>3$は素数なので$3\nmid p$である。したがって$p\equiv\pm1\pmod3$であり、$p^2\equiv1\pmod3$である。$8$と$3$は互いに素であり、$8\mid p^2-1$と$3\mid p^2-1$がともに成り立つので、$24\mid p^2-1$である。よって$p^2\equiv1\pmod{24}$である。▨

証明.$a$と$b$の素因数分解を掛け合わせると、素数$p$の指数は$v_p(a)+v_p(b)$となる。§A4.2 定理 2.2の一意性から、$v_p(ab)=v_p(a)+v_p(b)$である。

正整数$c$により$n=c^2$と書くことができるなら、すべての素数$p$について$v_p(n)=2v_p(c)$は偶数である。逆に、すべての素数の指数が偶数であるとする。$n=1$なら$n=1^2$である。$n>1$の場合には、$n$の素因数分解に現れる相異なる素数を$p_1,\ldots,p_k$とすると、正整数$e_1,\ldots,e_k$を用いて$n=p_1^{2e_1}\cdots p_k^{2e_k}=\left(p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}\right)^2$と書くことができる。したがって$n$は平方数である。▨

証明. 素数$p$を任意に取る。$u$と$v$は互いに素なので、$v_p(u)$と$v_p(v)$の少なくとも一方は$0$である。一方、$uv$は平方数であるから

は偶数である。したがって$v_p(u)$と$v_p(v)$はともに偶数である。これはすべての素数$p$で成り立つので、$u$と$v$はそれぞれ平方数である。▨

証明.$x^2=2y^2$を満たす正整数解が存在すると仮定し、その中から$x$が最小となる解$(x,y)$を取る。$x^2$は偶数なので$x$は偶数であり、正整数$u=x/2$を用いて$x=2u$と書くことができる。すると

$4u^2=2y^2,\qquad y^2=2u^2$

となる。したがって、$(y,u)$は$Y^2=2U^2$を満たす正整数の組であり、元と同じ方程式の解である。また$x^2=2y^2>y^2$で$x,y>0$だから$y<x$である。新しい解$(y,u)$の第一成分は元の解の第一成分より小さく、$x$の最小性に反する。よって正整数解は存在しない。

もし$\sqrt2=x/y$と正整数$x,y$を用いて表すことができたなら$x^2=2y^2$となるので、$\sqrt2$は無理数である。この証明では分数を既約にする操作を用いず、正整数解の最小性だけを用いている。▨

証明.$x^4+y^4=z^2$を満たす正整数解が存在すると仮定し、その中から$z$が最小となる解$(x,y,z)$を取る。

素数$p$が$x$と$y$の両方を割ると仮定する。このとき$p^4\mid z^2$であるから、素因数の指数を比較すると$p^2\mid z$である。したがって$(x/p,y/p,z/p^2)$は正整数の組であり、

を満たす。さらに$z/p^2<z$であり、$z$の最小性に反する。よって$\gcd(x,y)=1$である。

$(x^2)^2+(y^2)^2=z^2$は、$\gcd(x^2,y^2)=1$を満たすピタゴラス数である。$x,y$は両方偶数ではない。両方奇数なら$z^2\equiv1+1\equiv2\pmod4$となり、例 1.2に反する。よって$x,y$の一方だけが偶数である。必要なら$x,y$を入れ替え、$x$を偶数、$y$を奇数とする。

§A4.10 補題 2.2より、互いに素で偶奇の異なる正整数$m>n>0$があって

$x^2=2mn,\qquad y^2=m^2-n^2,\qquad z=m^2+n^2$

と書くことができる。$m$が偶数で$n$が奇数なら$m^2-n^2\equiv3\pmod4$となるが、$y$は奇数なので$y^2\equiv1\pmod4$である。したがって$m$は奇数で、$n$は偶数である。

$n$は偶数なので、正整数$w$を用いて$n=2w$と書く。$x^2=2mn=4mw$より

$\left(\frac{x}{2}\right)^2=mw$

である。$w\mid n$と$\gcd(m,n)=1$から$\gcd(m,w)=1$である。補題 2.3を適用すると$m$と$w$はそれぞれ平方数である。したがって、正整数$u,v$を用いて

$m=u^2,\qquad n=2v^2$

と書くことができる。$m$は奇数なので$u$も奇数である。$\gcd(m,n)=1$と$m=u^2,n=2v^2$から$\gcd(u,v)=1$である。$m>n$より$u^2-2v^2>0$である。$m=u^2,n=2v^2$を$y^2=m^2-n^2$へ代入すると

$y^2=u^4-4v^4=(u^2-2v^2)(u^2+2v^2)$

となる。二つの因子はともに奇数である。二つの因子を割る素数$d$があると仮定すると、$d$は和$2u^2$と差$4v^2$を割る。$d$は奇数なので$d\mid u^2$かつ$d\mid v^2$である。§A4.2 補題 2.1により、$d$は$u,v$をともに割る。これは$\gcd(u,v)=1$に反する。よって二つの因子は互いに素である。積は平方数$y^2$なので、補題 2.3により、正整数$r,s$を用いて

$u^2-2v^2=r^2,\qquad u^2+2v^2=s^2$

と書くことができる。$r^2$と$s^2$は互いに素なので、$r$と$s$も互いに素である。$u$が奇数なので$r,s$はともに奇数である。また$s>r>0$である。差を取ると

$s^2-r^2=4v^2$

である。$s+r$と$s-r$はともに正の偶数なので

$\frac{s+r}{2}\cdot\frac{s-r}{2}=v^2$

が成り立つ。

さらに$(s+r)/2$と$(s-r)/2$をともに割る整数は$s$と$r$をともに割るので、この二つの正整数も互いに素である。積は平方数$v^2$なので、補題 2.3により、正整数$p,q$を用いて

$\frac{s+r}{2}=p^2,\qquad \frac{s-r}{2}=q^2$

と書くことができる。すると$s=p^2+q^2$、$r=p^2-q^2$であり、$s^2+r^2=(u^2+2v^2)+(u^2-2v^2)=2u^2$から

$u^2=\frac{s^2+r^2}{2}=p^4+q^4$

となる。したがって$(p,q,u)$は正整数の組であり、元と同じ方程式$X^4+Y^4=Z^2$を満たす。

$m=u^2$と$n>0$より

$u\le u^2=m\le m^2<m^2+n^2=z$

なので$u<z$である。新しい正整数解$(p,q,u)$の第三成分が$z$より小さいことは、$z$の最小性に反する。したがって、$x^4+y^4=z^2$を満たす正整数解は存在しない。▨