§A4.10フェルマーの最終定理 n = 4

証明.$b$が偶数で$\gcd(a,b)=1$であるから、$a$は奇数である。$c^2=a^2+b^2$より、$c$も奇数であり、$b>0$より$c>a$である。$a,c$をともに割る素数があれば、$b^2=c^2-a^2$も割る。§A4.2 補題 2.1により、その素数は$b$を割り、$\gcd(a,b)=1$に反する。$1$より大きい公約数には素因子があるので、$\gcd(a,c)=1$である。

正整数$(c-a)/2$と$(c+a)/2$の共通素因数は、和$c$と差$a$を割る。したがって、この二つの正整数は互いに素である。また、$\left(\frac b2\right)^2=\frac{c-a}{2}\frac{c+a}{2}$である。§A4.2 定理 2.2により、右辺の各素因数は一方の因子だけに現れ、その指数は偶数である。よって、正整数$m,n$が存在して、$\frac{c+a}{2}=m^2,\qquad \frac{c-a}{2}=n^2$と書くことができる。$a>0$より$m>n$であり、和と差を取ると$a=m^2-n^2$、$c=m^2+n^2$を得る。$b^2=4m^2n^2$と$b>0$より$b=2mn$である。二つの因子が互いに素であることから$\gcd(m,n)=1$であり、$a$が奇数であることから$m,n$の偶奇は異なる。▨

証明.$x^4+y^4=z^2$に正整数解があると仮定し、§A3.10 定理 2.1の最小数原理により、第三成分$z$が最小の解$(x,y,z)$を取る。素数$\ell$が$x,y$をともに割るなら、$\ell^4\mid z^2$である。§A4.2 定理 2.2により、$z^2$に現れる$\ell$の指数は$z$に現れる指数の二倍であるので、$\ell^2\mid z$となる。すると$(x/\ell,y/\ell,z/\ell^2)$は同じ方程式の正整数解であり、$z/\ell^2<z$である。これは$z$の最小性に反するので、$\gcd(x,y)=1$である。$x,y$がともに奇数なら$z^2=x^4+y^4\equiv2\pmod4$となり、平方数の剰余が$0,1$であることに反する。したがって$x,y$のちょうど一方が偶数であり、必要なら入れ替えて$y$を偶数、$x$を奇数とする。

$\gcd(x^2,y^2)=1$であるので、補題 2.2により、$x^2=m^2-n^2,\qquad y^2=2mn,\qquad z=m^2+n^2$を満たす整数$m>n>0$が存在し、$m,n$は互いに素で、偶奇が異なる。$m$が偶数で$n$が奇数なら、$m^2-n^2\equiv3\pmod4$となり、$x^2\equiv1\pmod4$に反する。よって$m$は奇数、$n$は偶数である。

$x^2+n^2=m^2$である。$x,n$の共通素因数は$m^2$を割り、§A4.2 補題 2.1により$m$を割るので、$\gcd(m,n)=1$に反する。したがって$\gcd(x,n)=1$である。$n$が偶数であるから、補題 2.2により、$x=a^2-b^2,\qquad n=2ab,\qquad m=a^2+b^2$を満たす整数$a>b>0$が存在し、$a,b$は互いに素で、偶奇が異なる。

$y^2=2mn=4abm$と$y$が偶数であることから、$\left(\frac y2\right)^2=abm$である。$a,m$の共通素因数は$m-a^2=b^2$を割り、したがって$b$を割るので、$\gcd(a,b)=1$に反する。$b,m$の共通素因数も$m-b^2=a^2$を割り、したがって$a$を割るので、同じ互いに素の条件に反する。よって$a,b,m$はどの二つも互いに素である。§A4.2 定理 2.2により、積$abm$の各素因数は三因子のうち一つだけに現れ、その指数は偶数である。したがって、正整数$p,q,r$を用いて$a=p^2,\qquad b=q^2,\qquad m=r^2$と書くことができる。

$m=a^2+b^2$に代入すると$r^2=p^4+q^4$となるので、$(p,q,r)$は最初の方程式の正整数解である。一方、$r\le r^2=m\le m^2<m^2+n^2=z$であるので、新しい解の第三成分$r$は$z$より小さい。これは$z$が正整数解の第三成分の最小値であることに矛盾する。したがって、$x^4+y^4=z^2$に正整数解は存在しない。▨

証明.$x^4+y^4=z^4$に正整数解$(x,y,z)$があれば、$(x,y,z^2)$が定理 3.1に反する正整数解となる。また、$x^{4k}+y^{4k}=z^{4k}$に正整数解があれば、$(x^k,y^k,z^k)$が四乗の方程式の正整数解となるので、直前に示した非存在に反する。▨