§A4.9無限降下法

項目 (1)について、$x^2=3y^2$の正整数解が存在すると仮定し、$x$が最小の解$(x,y)$を取る。整数の平方の法$3$での剰余は$0,1$であるから、$x^2\equiv0\pmod3$より$3\mid x$である。正整数$u$を用いて$x=3u$と書き、代入すると$y^2=3u^2$を得る。したがって、$(y,u)$は同じ方程式の正整数解である。$x^2=3y^2$と$x,y>0$より$y<x$であり、$x$の最小性に反する。よって、$x^2=3y^2$に正整数解は存在しない。

$\sqrt3$が有理数ならば、正整数$x,y$を用いて$\sqrt3=x/y$と書くことができる。両辺を平方して$y^2$を掛けると$x^2=3y^2$となり、正整数解の非存在に反する。したがって、$\sqrt3$は無理数である。▨

項目 (2)について、§A4.10 定理 3.1の証明では、第三成分$z$が最小の正整数解$(x,y,z)$を取る。二度の原始ピタゴラス数の表示によって$z=m^2+n^2$、$m=a^2+b^2$を得て、$a=p^2$、$b=q^2$、$m=r^2$と書く。したがって、$p^4+q^4=r^2$であり、$(p,q,r)$が新しい正整数解となる。$m,n,r$が正整数であることから$r\le r^2=m\le m^2<m^2+n^2=z$となる。比較する量は第三成分であり、新しい解の$r$が元の解の$z$より小さい。▨

項目 (3)の約分には、共通因子で割った成分が正整数であり、もとの方程式を満たすことが必要である。たとえば、$F$が整数係数の斉次多項式で、次数が$k$であるとき、任意の正整数$d$に対して$F(dx,dy,dz)=d^kF(x,y,z)$が成り立つ。$F(x,y,z)=0$の正整数解の全成分を共通因子$d$で割ると、割った成分も同じ方程式を満たす。$d$を三成分の最大公約数とすれば、得られる三成分の最大公約数は$1$である。

$x^4+y^4=z^2$では、左辺と右辺の次数が異なるため、三成分を一様に割ることはできない。しかし、素数$p$が$x,y$をともに割るならば、$p^4\mid z^2$である。§A4.2 定理 2.2により、$z^2$の素因数$p$の指数は$z$の指数の二倍なので、$p^2\mid z$となる。よって、$(x/p,y/p,z/p^2)$は同じ方程式の正整数解である。$x,y$に共通素因数がある間、この操作を繰り返すと、第1成分が正整数のまま狭義減少するので、有限回で$\gcd(x,y)=1$の解に至る。

これに対して、$x^2-2y^2=1$の解の二成分を$d>1$で割ると、$(x/d)^2-2(y/d)^2=1/d^2$となる。割った成分が整数であったとしても、もとの方程式を満たさないため、この約分は許されない。▨

項目 (4)について、各段階の量$N_j$が正整数であり、$N_{j+1}<N_j$ならば、$N_{j+1}\le N_j-1$である。したがって、$j$回の降下の後には$N_j\le N_0-j$となり、$j=N_0$で正値を保つことができなくなる。

単に対象や解が無限個あることや、手順が無限に続くことは矛盾ではない。数列$1,2,3,\ldots$は正整数のまま無限に続くが、減少しない。数列$1,1/2,1/4,\ldots$は正の値を保ちながら狭義減少するが、整数値ではない。無限降下で矛盾を導くためには、量が正整数値を取り、各段階で狭義減少することが必要である。▨

$(0,0,0)$でない整数解$(x,y,z)$が存在すると仮定し、$M=\max\{|x|,|y|,|z|\}$が最小となるものを選ぶ。$M$は正整数である。方程式を法$2$で考えると$x$は偶数である。整数$u$を用いて$x=2u$と置き、両辺を$2$で割ると$4u^3+y^3+2z^3=0$となる。再び法$2$で考えると$y$は偶数である。整数$v$を用いて$y=2v$と置き、両辺を$2$で割ると$2u^3+4v^3+z^3=0$となるので、$z$も偶数である。したがって、$(x/2,y/2,z/2)$は整数の組であり、$(x/2)^3+2(y/2)^3+4(z/2)^3=\frac{x^3+2y^3+4z^3}{8}=0$より、もとの方程式を満たす。この組も$(0,0,0)$ではなく、絶対値の最大値は正整数$M/2$であり、$M/2<M$となる。これは$M$の最小性に矛盾するので、$(0,0,0)$でない整数解は存在しない。$(0,0,0)$は方程式を満たすので、求める整数解は$(0,0,0)$だけである。▨