§E3.23一次分解

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自己準同型TTの最小多項式が互いに素な因子の積へ分かれるとき、TTが作用する線形空間も、各因子の冪にTTを代入した作用素の核へ直和分解される。分解を与える射影作用素は、因子間の Bézout の等式から自己準同型の多項式として構成される。係数体上で既約な因子が一次式であるとは限らないため、各成分を固有空間と同一視してはならない。

1 多項式射影の構成

定理 1.1.T:V→VT:V\to Vの最小多項式を

mT(t)=∏i=1rmi(t),mi(t)=fi(t)aim_T(t)=\prod_{i=1}^{r}m_i(t),\qquad m_i(t)=f_i(t)^{a_i}

とする。ただしf1,…,frf_1,\ldots,f_rは相異なるモニック既約多項式、ai≥1a_i\ge1とする。このとき

V=⨁i=1rVi,Vi=ker⁡mi(T)V=\bigoplus_{i=1}^{r}V_i,\qquad V_i=\ker m_i(T)

である。各ViV_iはTT-不変である。

証明.qi=mT/miq_i=m_T/m_iとおく。mim_iとqiq_iは互いに素なので、Bézout の等式により

uiqi+vimi=1u_iq_i+v_im_i=1

となるui,vi∈K[t]u_i,v_i\in K[t]が存在する。ei=uiqie_i=u_iq_i、Pi=ei(T)P_i=e_i(T)とおく。eie_iはj≠ij\ne iの全てのmjm_jで割り切れ、ei≡1(modmi)e_i\equiv1\pmod{m_i}を満たす。

まず∑iPi=I\sum_iP_i=Iを示す。固定したkkについて、ek≡1(modmk)e_k\equiv1\pmod{m_k}であり、i≠ki\ne kならei≡0(modmk)e_i\equiv0\pmod{m_k}である。したがって∑iei−1\sum_ie_i-1は全てのmkm_kで割り切れる。mkm_kは二つずつ互いに素なので、その積mTm_Tが∑iei−1\sum_ie_i-1を割る。作用素へ評価しmT(T)=0m_T(T)=0を用いると

∑iPi=I\sum_iP_i=I

を得る。

次にim⁡Pi=Vi\operatorname{im}P_i=V_iを示す。

mi(T)Pi=mi(T)ui(T)qi(T)=ui(T)mT(T)=0m_i(T)P_i=m_i(T)u_i(T)q_i(T)=u_i(T)m_T(T)=0

なのでim⁡Pi⊆Vi\operatorname{im}P_i\subseteq V_iである。一方、x∈Vix\in V_iならei=1−vimie_i=1-v_im_iから

Pix=x−vi(T)mi(T)x=xP_ix=x-v_i(T)m_i(T)x=x

となる。よってVi⊆im⁡PiV_i\subseteq\operatorname{im}P_iである。

任意のx∈Vx\in Vはx=∑iPixx=\sum_iP_ixと書け、各Pix∈ViP_ix\in V_iなのでV=∑iViV=\sum_iV_iである。この和が直和であることを示す。i≠ji\ne jのとき、eieje_ie_jは全てのmkm_kで割り切れるためPiPj=0P_iP_j=0である。またPiP_iはViV_i上で恒等写像なのでPi2=PiP_i^2=P_iである。∑ixi=0\sum_ix_i=0、xi∈Vix_i\in V_iとし、両辺にPkP_kを施すとxk=0x_k=0を得る。したがって和は直和である。

最後にViV_iは多項式作用素mi(T)m_i(T)の核なので、§E3.19 命題 2.1によりTT-不変である。▨

定義 1.2.定理 1.1のViV_iをfif_iに対応する一次成分 (primary component) といい、PiP_iを一次射影 (primary projector) という。

命題 1.3. 一次射影は

Pi2=Pi,PiPj=0 (i≠j),∑iPi=I,TPi=PiTP_i^2=P_i,\qquad P_iP_j=0\ (i\ne j),\qquad \sum_iP_i=I,\qquad TP_i=P_iT

を満たす。また

im⁡Pi=Vi,ker⁡Pi=⨁j≠iVj\operatorname{im}P_i=V_i,\qquad \ker P_i=\bigoplus_{j\ne i}V_j

である。

証明. 最初の三式と像の等式は定理 1.1の証明で示した。Pi=ei(T)P_i=e_i(T)はTTの多項式なのでTTと可換する。直和分解x=∑jxjx=\sum_jx_jに対してPix=xiP_i x=x_iであるから、Pix=0P_ix=0であるための必要十分条件はxi=0x_i=0である。したがって核は他の成分の直和である。▨

命題 1.4. 制限作用素Ti=T∣ViT_i=T|_{V_i}の最小多項式はmi=fiaim_i=f_i^{a_i}である。

証明.mi(T)m_i(T)はViV_i上で零なのでmTi∣mim_{T_i}\mid m_iである。直和分解に関するTTの最小多項式は、各制限の最小多項式の最小公倍多項式である。実際、多項式ppがTTを零化するための必要十分条件は、全てのViV_i上の制限を零化することである。したがって

mT=lcm⁡(mT1,…,mTr).m_T=\operatorname{lcm}(m_{T_1},\ldots,m_{T_r}).

mTim_{T_i}はfif_iの冪であり、その指数がaia_iより小さければ、右辺におけるfif_iの指数もaia_iより小さくなり、mT=∏ifiaim_T=\prod_i f_i^{a_i}に反する。よってmTi=mim_{T_i}=m_iである。▨

2 一次因子でない成分

例 2.1.V=R4V=\R^4とし、ある基底に関するTTの行列を

(11000100000−10010)\begin{pmatrix} 1&1&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&-1\\ 0&0&1&0 \end{pmatrix}

とする。最小多項式は

mT(t)=(t−1)2(t2+1)m_T(t)=(t-1)^2(t^2+1)

である。m1=(t−1)2m_1=(t-1)^2、m2=t2+1m_2=t^2+1はR[t]\R[t]で互いに素である。

e1(t)=(1−t2)(t2+1)e_1(t)=\left(1-\frac t2\right)(t^2+1)

とおくとe1≡1(mod(t−1)2)e_1\equiv1\pmod{(t-1)^2}かつe1≡0(modt2+1)e_1\equiv0\pmod{t^2+1}である。e2=1−e1e_2=1-e_1とすれば、Pi=ei(T)P_i=e_i(T)が二つの一次射影になる。

V1=ker⁡(T−I)2V_1=\ker(T-I)^2は最初の二基底ベクトルが張り、V2=ker⁡(T2+I)V_2=\ker(T^2+I)は後の二基底ベクトルが張る。t2+1t^2+1は実数上で既約なので、V2V_2は実固有値に対応する成分ではない。係数を複素数へ拡大した後に初めてt2+1=(t−i)(t+i)t^2+1=(t-i)(t+i)と分かれ、さらに二つの固有値成分へ分解される。

3 演習

問題 3.1 (三次行列の一次射影).

A=(210020013)∈M3(Q)A=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&1&3\end{pmatrix}\in M_3(\Q)

とする。AAの最小多項式mAm_Aを求め、定理 1.1の Bézout の等式から一次射影P1,P2P_1,P_2をAAの多項式として構成して行列として計算せよ。さらに、一次成分V1=ker⁡(A−2I)2V_1=\ker(A-2I)^2、V2=ker⁡(A−3I)V_2=\ker(A-3I)の基底を求め、P1,P2P_1,P_2の像と一致することを確かめよ。

解答.

tI−AtI-Aは第一列に沿って余因子展開するとχA(t)=(t−2)((t−2)(t−3)−0)=(t−2)2(t−3)\chi_A(t)=(t-2)\bigl((t-2)(t-3)-0\bigr)=(t-2)^2(t-3)である。§E3.21 定理 2.1と§E3.22 命題 1.2によりmAm_AはχA\chi_Aのモニックな約元であり、候補は11、t−2t-2、t−3t-3、(t−2)2(t-2)^2、(t−2)(t−3)(t-2)(t-3)、χA\chi_Aである。

(A−2I)2=(000000011),(A−2I)(A−3I)=(0−10000000)(A-2I)^2=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&1&1\end{pmatrix},\qquad (A-2I)(A-3I)=\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}

はともに零でなく、A−2IA-2I、A−3IA-3I、IIも零でないから、mA=χA=(t−2)2(t−3)m_A=\chi_A=(t-2)^2(t-3)である。

m1=(t−2)2m_1=(t-2)^2、m2=t−3m_2=t-3と置く。(t−2)2=(t−1)(t−3)+1(t-2)^2=(t-1)(t-3)+1であるから、Bézout の等式

−(t−1)(t−3)+(t−2)2=1-(t-1)(t-3)+(t-2)^2=1

を得る。e1=−(t−1)(t−3)e_1=-(t-1)(t-3)はm2m_2で割り切れてe1≡1(modm1)e_1\equiv1\pmod{m_1}を満たし、e2=(t−2)2e_2=(t-2)^2はm1m_1で割り切れてe2≡1(modm2)e_2\equiv1\pmod{m_2}を満たす。したがって

P1=−(A−I)(A−3I)=(1000100−10),P2=(A−2I)2=(000000011)P_1=-(A-I)(A-3I)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-1&0\end{pmatrix},\qquad P_2=(A-2I)^2=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}

である。直接の計算によりP12=P1P_1^2=P_1、P22=P2P_2^2=P_2、P1P2=0P_1P_2=0、P1+P2=IP_1+P_2=Iが確かめられる。

(A−2I)2x=0(A-2I)^2x=0はx2+x3=0x_2+x_3=0と同値であるから、V1V_1の基底としてe1e_1、e2−e3e_2-e_3をとることができる。(A−3I)x=(−x1+x2, −x2, x2)T=0(A-3I)x=(-x_1+x_2,\,-x_2,\,x_2)^{\mathsf T}=0はx1=x2=0x_1=x_2=0と同値であるから、V2=Qe3V_2=\mathbb Qe_3である。P1P_1の列はe1e_1、e2−e3e_2-e_3、00であるからim⁡P1=V1\operatorname{im}P_1=V_1であり、P2P_2の列は00、e3e_3、e3e_3であるからim⁡P2=V2\operatorname{im}P_2=V_2である。これは命題 1.3と一致する。▨

参考文献

  1. Kenneth Hoffman and Ray Kunze, Linear Algebra, 2nd ed., Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1971.一次分解定理と多項式射影を参考にした。
  2. Steven Roman, Advanced Linear Algebra, 3rd ed., Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 2008.互いに素な多項式に対応する核分解を参考にした。

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