§E3.4線形写像の像と核

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線形写像は線形空間の加法とスカラー倍を保つ写像である。核は零ベクトルへ送られるベクトル全体の集合であり、像は実際に値として現れるベクトル全体の集合である。核と像は、いずれも線形写像そのものから定まり、その定義に基底を必要としない。表現行列は、定義域と終域に順序付き基底を選んだ後に初めて定まる。

1 線形写像と部分空間

定義 1.1.V,WV,WをKK上の線形空間とする。写像T:V→WT:V\to Wが、任意のu,v∈Vu,v\in Vとa,b∈Ka,b\in Kに対して

T(au+bv)=aT(u)+bT(v)T(au+bv)=aT(u)+bT(v)

を満たすとき、TTを線形写像 (linear map) という。線形写像が単射かつ全射であるとき、TTを線形同型 (linear isomorphism) という。V=WV=Wのとき、線形写像T:V→VT:V\to Vを自己準同型 (endomorphism) という。

命題 1.2. 線形写像T:V→WT:V\to Wが全単射なら、集合としての逆写像T−1:W→VT^{-1}:W\to Vも線形である。

証明.y1,y2∈Wy_1,y_2\in Wとa,b∈Ka,b\in Kを取り、xi=T−1(yi)x_i=T^{-1}(y_i)とする。線形性からT(ax1+bx2)=ay1+by2T(ax_1+bx_2)=ay_1+by_2である。逆写像の定義により

T−1(ay1+by2)=ax1+bx2=aT−1(y1)+bT−1(y2)T^{-1}(ay_1+by_2)=ax_1+bx_2=aT^{-1}(y_1)+bT^{-1}(y_2)

となる。▨

定義 1.3. 線形写像T:V→WT:V\to Wに対し、

im⁡T={T(v):v∈V}⊆W,ker⁡T={v∈V:T(v)=0W}⊆V\operatorname{im}T=\{T(v):v\in V\}\subseteq W,\qquad \ker T=\{v\in V:T(v)=0_W\}\subseteq V

をそれぞれTTの像 (image) と核 (kernel) という。

命題 1.4.im⁡T\operatorname{im}TはWWの部分空間であり、ker⁡T\ker TはVVの部分空間である。

証明.y1=T(v1),y2=T(v2)∈im⁡Ty_1=T(v_1),y_2=T(v_2)\in\operatorname{im}Tとa,b∈Ka,b\in Kに対し、ay1+by2=T(av1+bv2)∈im⁡Tay_1+by_2=T(av_1+bv_2)\in\operatorname{im}Tである。像はT(0V)=0WT(0_V)=0_Wを含むので空ではなく、§E3.2 命題 1.5により部分空間である。

v1,v2∈ker⁡Tv_1,v_2\in\ker Tに対してT(av1+bv2)=aT(v1)+bT(v2)=0WT(av_1+bv_2)=aT(v_1)+bT(v_2)=0_Wであるから、av1+bv2∈ker⁡Tav_1+bv_2\in\ker Tである。核も0V0_Vを含むので、同じ判定法により部分空間である。▨

命題 1.5. 線形写像T:V→WT:V\to Wについて次が成り立つ。

  1. TTが単射であることとker⁡T={0V}\ker T=\{0_V\}は同値である。
  2. TTが全射であることとim⁡T=W\operatorname{im}T=Wは同値である。

証明.主張 (1)を示す。TTが単射でv∈ker⁡Tv\in\ker TならT(v)=0W=T(0V)T(v)=0_W=T(0_V)であるからv=0Vv=0_Vとなる。逆にker⁡T={0V}\ker T=\{0_V\}とし、T(u)=T(v)T(u)=T(v)とする。線形性からT(u−v)=0WT(u-v)=0_Wなのでu−v=0Vu-v=0_V、したがってu=vu=vである。

主張 (2)は全射の定義を、値として現れる元の集合がWW全体であると言い換えたものである。▨

例 1.6.D:K[t]≤3→K[t]≤2D:K[t]_{\le3}\to K[t]_{\le2}をD(p)=p′D(p)=p'で定める。ただしKKの標数は00とする。D(a+bt+ct2+dt3)=b+2ct+3dt2D(a+bt+ct^2+dt^3)=b+2ct+3dt^2なのでDDは線形である。D(p)=0D(p)=0となるのはb=c=d=0b=c=d=0の場合に限るからker⁡D=K⋅1\ker D=K\cdot1である。また任意のr+st+ut2r+st+ut^2はD(rt+s2t2+u3t3)D(rt+\frac{s}{2}t^2+\frac{u}{3}t^3)に等しいのでim⁡D=K[t]≤2\operatorname{im}D=K[t]_{\le2}である。標数が22または33なら係数22または33が零になるため、核と像はこの記述とは異なる。

2 表現行列

定義 2.1.V,WV,Wを有限次元とし、B=(v1,…,vn)\mathcal B=(v_1,\ldots,v_n)をVVの順序付き基底、C=(w1,…,wm)\mathcal C=(w_1,\ldots,w_m)をWWの順序付き基底とする。線形写像T:V→WT:V\to Wに対し、jj番目の列が[T(vj)]C[T(v_j)]_{\mathcal C}であるm×nm\times n表現行列 (matrix representation) を[T]C←B[T]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}と書く。

命題 2.2.A=[T]C←BA=[T]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}とすると、任意のv∈Vv\in Vについて

[T(v)]C=A[v]B[T(v)]_{\mathcal C}=A[v]_{\mathcal B}

が成り立つ。逆に、任意のm×nm\times n行列AAは、固定したB,C\mathcal B,\mathcal Cに関してただ一つの線形写像T:V→WT:V\to Wを表す。

証明.[v]B=(x1,…,xn)T[v]_{\mathcal B}=(x_1,\ldots,x_n)^{\mathsf T}とする。線形性からT(v)=∑jxjT(vj)T(v)=\sum_jx_jT(v_j)である。座標写像も線形なので

[T(v)]C=∑jxj[T(vj)]C=A[v]B.[T(v)]_{\mathcal C}=\sum_jx_j[T(v_j)]_{\mathcal C}=A[v]_{\mathcal B}.

逆にAAの第jj列をaj∈Kma_j\in K^mとし、T(vj)=[ ]C−1(aj)T(v_j)=[\ ]_{\mathcal C}^{-1}(a_j)と指定する。この指定は基底上の値を与えるので、ただ一つの線形写像へ拡張される。その表現行列は定義からAAである。▨

表現行列は線形写像と同じ対象ではない。同じ線形写像でも、定義域または終域の基底を変更すると表現行列が変わる。次の命題では、その変化が明示される。

定理 2.3.B=(v1,…,vn)\mathcal B=(v_1,\ldots,v_n)、B′=(v1′,…,vn′)\mathcal B'=(v'_1,\ldots,v'_n)をVVの順序付き基底、C=(w1,…,wm)\mathcal C=(w_1,\ldots,w_m)、C′=(w1′,…,wm′)\mathcal C'=(w'_1,\ldots,w'_m)をWWの順序付き基底とする。PPの第jj列を[vj′]B[v'_j]_{\mathcal B}、QQの第ii列を[wi′]C[w'_i]_{\mathcal C}とする。このとき

[T]C′←B′=Q−1[T]C←BP[T]_{\mathcal C'\leftarrow\mathcal B'} =Q^{-1}[T]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}P

が成り立つ。

証明.A=[T]C←BA=[T]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}、A′=[T]C′←B′A'=[T]_{\mathcal C'\leftarrow\mathcal B'}とする。§E3.2 命題 2.7により[v]B=P[v]B′[v]_{\mathcal B}=P[v]_{\mathcal B'}および[T(v)]C=Q[T(v)]C′[T(v)]_{\mathcal C}=Q[T(v)]_{\mathcal C'}である。一方、命題 2.2により[T(v)]C=A[v]B[T(v)]_{\mathcal C}=A[v]_{\mathcal B}と[T(v)]C′=A′[v]B′[T(v)]_{\mathcal C'}=A'[v]_{\mathcal B'}である。したがって任意のvvについて

QA′[v]B′=AP[v]B′QA'[v]_{\mathcal B'}=AP[v]_{\mathcal B'}

となる。[v]B′[v]_{\mathcal B'}はKnK^n全体を動くのでQA′=APQA'=APであり、A′=Q−1APA'=Q^{-1}APを得る。▨

自己準同型T:V→VT:V\to Vで定義域と終域に同じ基底を用い、同じ基底変更を行う場合にはQ=PQ=Pとなる。この場合の変換A↦P−1APA\mapsto P^{-1}APを相似変換という。核、像、単射性、全射性はTTから定まるのに対して、表現行列の成分は基底に依存する。

3 演習

問題 3.1 (微分写像の表現行列と基底の取り替え).KKの標数を00とし、例 1.6のD:K[t]≤3→K[t]≤2D:K[t]_{\le3}\to K[t]_{\le2}を考える。B=(1,t,t2,t3)\mathcal B=(1,t,t^2,t^3)、C=(1,t,t2)\mathcal C=(1,t,t^2)とし、B′=(1,1+t,(1+t)2,(1+t)3)\mathcal B'=(1,1+t,(1+t)^2,(1+t)^3)、C′=(1,1+t,(1+t)2)\mathcal C'=(1,1+t,(1+t)^2)と置く。A=[D]C←BA=[D]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}、[D]C←B′[D]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B'}および[D]C′←B′[D]_{\mathcal C'\leftarrow\mathcal B'}を定義から直接求め、定理 2.3の式[D]C′←B′=Q−1AP[D]_{\mathcal C'\leftarrow\mathcal B'}=Q^{-1}APが成り立つことを確かめよ。

解答.

D(1)=0D(1)=0、D(t)=1D(t)=1、D(t2)=2tD(t^2)=2t、D(t3)=3t2D(t^3)=3t^2であるから

A=(010000200003)A=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}

である。D((1+t)k)=k(1+t)k−1D((1+t)^k)=k(1+t)^{k-1}であり、C\mathcal Cによる座標はD(1)=0D(1)=0、D(1+t)=1D(1+t)=1、D((1+t)2)=2+2tD((1+t)^2)=2+2t、D((1+t)3)=3+6t+3t2D((1+t)^3)=3+6t+3t^2であるから

[D]C←B′=(012300260003),[D]C′←B′=(010000200003)[D]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B'}=\begin{pmatrix}0&1&2&3\\0&0&2&6\\0&0&0&3\end{pmatrix},\qquad [D]_{\mathcal C'\leftarrow\mathcal B'}=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}

である。後者はD((1+t)k)=k(1+t)k−1D((1+t)^k)=k(1+t)^{k-1}をC′\mathcal C'で読んだものである。

定理 2.3のPPの列は[(1+t)k]B[(1+t)^k]_{\mathcal B}、QQの列は[(1+t)k]C[(1+t)^k]_{\mathcal C}であるから、二項展開により

P=(1111012300130001),Q=(111012001),Q−1=(1−1101−2001)P=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&3\\0&0&1&3\\0&0&0&1\end{pmatrix},\qquad Q=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad Q^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}

である。QQ−1=IQQ^{-1}=Iは直接の積で確かめられる。APAPは[D]C←B′[D]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B'}に等しく、

Q−1AP=(1−1101−2001)(012300260003)=(010000200003)Q^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&2&3\\0&0&2&6\\0&0&0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}

であるから、[D]C′←B′=Q−1AP[D]_{\mathcal C'\leftarrow\mathcal B'}=Q^{-1}APが成り立つ。▨

参考文献

  1. Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2024.線形写像、核、像、基底による行列表示を参考にした。
  2. Steven Roman, Advanced Linear Algebra, 3rd ed., Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 2008.基底を選ばない写像と基底変換による行列表示を参考にした。

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