§E3.32非退化形式と随伴

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以下、KKを対合a↦a‾a\mapsto\overline aをもつ可換体とし、線形空間は全て有限次元KK-線形空間とする。正定値性を用いなくても、非退化な形式により線形空間と双対空間が対応させられ、線形写像の随伴が定められる。ただし、複素共役のような体の対合がある場合、この対応は線形ではなく半線形である。本記事では変数の規約を固定し、直交直和が成立するために必要な非退化性を明示する。

1 対合と半双線形形式

定義 1.1. 可換体KKの対合 (involution) とは、写像a↦a‾a\mapsto\overline aであって

a+b‾=a‾+b‾,ab‾=a‾ b‾,a‾‾=a,1‾=1\overline{a+b}=\overline a+\overline b,\qquad \overline{ab}=\overline a\,\overline b,\qquad \overline{\overline a}=a,\qquad \overline1=1

を満たすものをいう。恒等写像は任意の可換体の対合であり、複素共役はC\Cの対合である。

定義 1.2.VVを有限次元KK-線形空間とする。写像h:V×V→Kh:V\times V\to Kが半双線形形式 (sesquilinear form) であるとは、任意のx,x′,y,y′∈Vx,x',y,y'\in Vとa,b∈Ka,b\in Kに対して

h(ax+bx′,y)=a h(x,y)+b h(x′,y),h(ax+bx',y)=a\,h(x,y)+b\,h(x',y),h(x,ay+by′)=a‾ h(x,y)+b‾ h(x,y′)h(x,ay+by')=\overline a\,h(x,y)+\overline b\,h(x,y')

を満たすことをいう。本記事では第1変数を線形、第2変数を半線形とする。

さらに

h(y,x)=h(x,y)‾h(y,x)=\overline{h(x,y)}

を満たす半双線形形式をHermite 形式 (Hermitian form) という。

恒等対合の場合、半双線形形式は双線形形式であり、Hermite 条件は対称性に一致する。したがって、対称双線形形式は Hermite 形式の恒等対合の場合である。

定義 1.3.VVを有限次元KK-線形空間、h:V×V→Kh:V\times V\to Kを半双線形形式とする。hhが左非退化 (left nondegenerate) であるとは

h(x,y)=0が全ての y∈V について成立するなら x=0h(x,y)=0\quad\text{が全ての }y\in V\text{ について成立するなら }x=0

となることをいう。右非退化 (right nondegenerate) も二つの変数を入れ替えて定める。両方を満たすときhhは非退化 (nondegenerate) であるという。

命題 1.4.VVを有限次元KK-線形空間、h:V×V→Kh:V\times V\to Kを半双線形形式とする。hhが左非退化であることと右非退化であることは同値である。

証明. 基底B=(e1,…,en)\mathcal B=(e_1,\ldots,e_n)を選び、H=(h(ei,ej))i,jH=(h(e_i,e_j))_{i,j}とする。列ベクトルx,yx,yに対して

h(x,y)=xTH y‾h(x,y)=x^{\mathsf T}H\,\overline y

である。右退化ベクトルが存在することはHy‾=0H\overline y=0を満たす非零yyが存在することと同値であり、左退化ベクトルが存在することはxTH=0x^{\mathsf T}H=0を満たす非零xxが存在することと同値である。正方行列HHについて右核が零であること、左核が零であること、およびHHが可逆であることは同値である。また、対合は非零ベクトルを非零ベクトルへ移す。したがって左右の非退化性は同値である。▨

2 双対空間との半線形な対応

定理 2.1.VVを有限次元KK-線形空間とし、h:V×V→Kh:V\times V\to Kを非退化な半双線形形式とする。写像

ρh:V⟶V∨,ρh(y)(x)=h(x,y)\rho_h:V\longrightarrow V^\vee,\qquad \rho_h(y)(x)=h(x,y)

は加法的な全単射であり、

ρh(ay)=a‾ ρh(y)\rho_h(ay)=\overline a\,\rho_h(y)

を満たす。したがって、ρh\rho_hは対合に関して半線形である。対合が恒等写像である場合、ρh\rho_hは線形同型になる。

証明方針は、第1変数の線形性からρh(y)\rho_h(y)が双対ベクトルであることを確認し、右非退化性と有限次元性から単射と全射を順に導くことである。

証明. 固定したyyに対し、x↦h(x,y)x\mapsto h(x,y)は線形なのでρh(y)∈V∨\rho_h(y)\in V^\veeである。第2変数の半線形性から

ρh(ay+by′)=a‾ ρh(y)+b‾ ρh(y′)\rho_h(ay+by')=\overline a\,\rho_h(y)+\overline b\,\rho_h(y')

を得る。ρh(y)=0\rho_h(y)=0ならh(x,y)=0h(x,y)=0が全てのxxについて成立するので、右非退化性からy=0y=0である。よってρh\rho_hは単射である。対合による半線形写像も一次独立性を保ち、dim⁡V=dim⁡V∨<∞\dim V=\dim V^\vee<\inftyであるから、ρh\rho_hは全射である。▨

複素共役を対合とする場合、ρh\rho_hは反線形である。非退化形式がVVとV∨V^\veeを対応させるという表現は、この反線形性を省略して線形同型を主張するものではない。

3 随伴と等長写像

定理 3.1.V,WV,Wを有限次元KK-線形空間とし、それぞれに非退化半双線形形式hV:V×V→Kh_V:V\times V\to K、hW:W×W→Kh_W:W\times W\to Kが与えられているとする。任意の線形写像T:V→WT:V\to Wに対し、一意な線形写像T∗:W→VT^*:W\to Vが存在して

hW(Tx,y)=hV(x,T∗y)(x∈V, y∈W)h_W(Tx,y)=h_V(x,T^*y) \qquad(x\in V,\ y\in W)

を満たす。

証明方針は、双対写像T∨:W∨→V∨T^\vee:W^\vee\to V^\veeを、半線形全単射ρhW\rho_{h_W}とρhV−1\rho_{h_V}^{-1}の間に挟むことである。二つの半線形写像を合成するため、得られる写像は線形になる。

証明.

T∗=ρhV−1∘T∨∘ρhWT^*=\rho_{h_V}^{-1}\circ T^\vee\circ\rho_{h_W}

と定める。各ρ\rhoは定理 2.1により半線形全単射であり、T∨T^\veeは線形である。a∈Ka\in Kとy∈Wy\in Wに対して

ρhW(ay)=a‾ ρhW(y)\rho_{h_W}(ay)=\overline a\,\rho_{h_W}(y)

であり、ρhV−1\rho_{h_V}^{-1}も半線形なので、二回の対合によってT∗(ay)=aT∗yT^*(ay)=aT^*yとなる。加法性も同様であり、T∗T^*は線形である。

定義から

ρhV(T∗y)=T∨(ρhW(y)).\rho_{h_V}(T^*y)=T^\vee(\rho_{h_W}(y)).

両辺をxxで評価すると

hV(x,T∗y)=ρhW(y)(Tx)=hW(Tx,y)h_V(x,T^*y)=\rho_{h_W}(y)(Tx)=h_W(Tx,y)

を得る。一意性について、S:W→VS:W\to Vも同じ等式を満たすならhV(x,(T∗−S)y)=0h_V(x,(T^*-S)y)=0が全てのxxについて成立する。右非退化性により(T∗−S)y=0(T^*-S)y=0であり、任意のyyに対して成り立つのでS=T∗S=T^*である。▨

命題 3.2.U,V,WU,V,Wを有限次元KK-線形空間とし、それぞれに非退化半双線形形式hU:U×U→Kh_U:U\times U\to K、hV:V×V→Kh_V:V\times V\to K、hW:W×W→Kh_W:W\times W\to Kが与えられ、これらは全て Hermite 形式であるとする。線形写像R,T:U→VR,T:U\to Vとa,b∈Ka,b\in Kに対して

(aR+bT)∗=a‾ R∗+b‾ T∗(aR+bT)^*=\overline a\,R^*+\overline b\,T^*

である。線形写像T:U→VT:U\to V、S:V→WS:V\to Wに対して

(ST)∗=T∗S∗(ST)^*=T^*S^*

であり、さらに

(T∗)∗=T,IU∗=IU(T^*)^*=T,\qquad I_U^*=I_U

が成り立つ。

証明. 任意のx∈Ux\in Uとy∈Vy\in Vに対して、第1変数の線形性と随伴の定義から

hV((aR+bT)x,y)=a hV(Rx,y)+b hV(Tx,y)=a hU(x,R∗y)+b hU(x,T∗y)=hU(x,(a‾ R∗+b‾ T∗)y).\begin{aligned} h_V((aR+bT)x,y) &=a\,h_V(Rx,y)+b\,h_V(Tx,y)\\ &=a\,h_U(x,R^*y)+b\,h_U(x,T^*y)\\ &=h_U\bigl(x,(\overline a\,R^*+\overline b\,T^*)y\bigr). \end{aligned}

最後の等式では第2変数の半線形性と対合を用いた。随伴の一意性により、反線形加法則を得る。

任意のx∈Ux\in Uとz∈Wz\in Wに対して

hW(STx,z)=hV(Tx,S∗z)=hU(x,T∗S∗z)h_W(STx,z)=h_V(Tx,S^*z)=h_U(x,T^*S^*z)

である。随伴の一意性から(ST)∗=T∗S∗(ST)^*=T^*S^*を得る。恒等写像についてもhU(IUx,y)=hU(x,IUy)h_U(I_Ux,y)=h_U(x,I_Uy)と一意性からIU∗=IUI_U^*=I_Uを得る。

二重随伴について、x∈Ux\in Uとy∈Vy\in Vに対して Hermite 対称性を二回用いると

hU(T∗y,x)=hU(x,T∗y)‾=hV(Tx,y)‾=hV(y,Tx).\begin{aligned} h_U(T^*y,x) &=\overline{h_U(x,T^*y)} =\overline{h_V(Tx,y)} =h_V(y,Tx). \end{aligned}

したがってTTはT∗:V→UT^*:V\to Uの随伴であり、随伴の一意性から(T∗)∗=T(T^*)^*=Tを得る。▨

一般の非対称な非退化半双線形形式では、二重随伴の等式(T∗)∗=T(T^*)^*=Tは必ずしも成り立たない。

定義 3.3.V,WV,Wを有限次元KK-線形空間とし、半双線形形式hV:V×V→Kh_V:V\times V\to K、hW:W×W→Kh_W:W\times W\to Kが与えられているとする。線形写像U:V→WU:V\to Wが

hW(Ux,Uy)=hV(x,y)(x,y∈V)h_W(Ux,Uy)=h_V(x,y) \qquad(x,y\in V)

を満たすとき、UUを等長写像 (isometry) という。

命題 3.4.V,WV,Wを有限次元KK-線形空間とし、非退化半双線形形式hV:V×V→Kh_V:V\times V\to K、hW:W×W→Kh_W:W\times W\to Kが与えられているとする。線形写像U:V→WU:V\to Wが等長写像であることと

U∗U=IVU^*U=I_V

は同値である。したがって等長写像は単射である。さらにdim⁡V=dim⁡W\dim V=\dim WならUUは同型であり、U∗=U−1U^*=U^{-1}である。

証明. 任意のx,y∈Vx,y\in Vに対して

hW(Ux,Uy)=hV(x,U∗Uy)h_W(Ux,Uy)=h_V(x,U^*Uy)

である。これがhV(x,y)h_V(x,y)に等しいことと、右非退化性によりU∗Uy=yU^*Uy=yとなることは同値である。U∗U=IVU^*U=I_VならUx=0Ux=0からx=U∗Ux=0x=U^*Ux=0となるのでUUは単射である。有限次元で両空間の次元が等しければUUは全射でもあり、U∗U=IVU^*U=I_VからU∗=U−1U^*=U^{-1}を得る。▨

4 直交補空間

定義 4.1.VVを有限次元KK-線形空間、h:V×V→Kh:V\times V\to Kを半双線形形式とし、W⊆VW\subseteq Vを部分空間とする。第2変数側の直交補空間 (orthogonal complement) を

W⊥={v∈V∣h(w,v)=0 が全ての w∈W について成立する}W^\perp=\{v\in V\mid h(w,v)=0\ \text{が全ての }w\in W\text{ について成立する}\}

と定める。Hermite 形式ではh(w,v)=0h(w,v)=0とh(v,w)=0h(v,w)=0が同値なので、左右の直交補空間は一致する。

定理 4.2.VVを有限次元KK-線形空間、h:V×V→Kh:V\times V\to Kを非退化半双線形形式とし、W⊆VW\subseteq Vを部分空間とする。このとき

dim⁡W⊥=dim⁡V−dim⁡W.\dim W^\perp=\dim V-\dim W.

さらに、制限h∣W×Wh|_{W\times W}が非退化であることと

V=W⊕W⊥V=W\oplus W^\perp

であることは同値である。

証明方針は、VVからW∨W^\veeへの制限付き双対対応の核をW⊥W^\perpと同定して次元を求め、W∩W⊥W\cap W^\perpを制限形式の右退化部分と同定することである。

証明. 写像

Φ:V⟶W∨,Φ(v)(w)=h(w,v)\Phi:V\longrightarrow W^\vee,\qquad \Phi(v)(w)=h(w,v)

を考える。Φ\Phiは半線形であり、その核は定義からW⊥W^\perpである。定理 2.1のρh:V→V∨\rho_h:V\to V^\veeは全射であり、任意のWW上の線形汎関数は基底を延長することによってVV上の線形汎関数へ延長することができる。したがってV∨→W∨V^\vee\to W^\veeという制限写像は全射であり、そのρh\rho_hとの合成であるΦ\Phiも全射である。半線形写像に対する階数・退化次数の等式は、係数へ対合を施せば通常の線形写像の場合へ帰着するので、

dim⁡V=dim⁡W⊥+dim⁡W∨=dim⁡W⊥+dim⁡W\dim V=\dim W^\perp+\dim W^\vee =\dim W^\perp+\dim W

を得る。

W∩W⊥W\cap W^\perpは

{v∈W∣h(w,v)=0 が全ての w∈W について成立する}\{v\in W\mid h(w,v)=0\ \text{が全ての }w\in W\text{ について成立する}\}

であり、制限形式の右退化部分に等しい。有限次元における左右の同値性から、制限形式が非退化であることとW∩W⊥={0}W\cap W^\perp=\{0\}は同値である。次元式と合わせると、この条件はV=W⊕W⊥V=W\oplus W^\perpと同値である。▨

非退化性をVV全体だけに仮定しても、任意の部分空間WWについてV=W⊕W⊥V=W\oplus W^\perpが成り立つとは限らない。例えばR2\R^2上の対称双線形形式

h(x,y)=x1y1−x2y2h(x,y)=x_1y_1-x_2y_2

は非退化であるが、W=span⁡{(1,1)}W=\operatorname{span}\{(1,1)\}のときW=W⊥W=W^\perpである。制限形式は零であるため、V=W⊕W⊥V=W\oplus W^\perpは成立しない。

5 pp進体との境界

例 5.1.pp進体Qp\Q_pに恒等対合を入れ、11次元空間V=QpV=\Q_p上で

h(x,y)=xyh(x,y)=xy

と定める。h(x,y)=0h(x,y)=0が全てのyyについて成立するなら、y=1y=1としてx=0x=0を得るので、hhは非退化な対称双線形形式である。

この例は正定値内積空間とは呼ばない。正定値性には実数の順序と両立する不等式が必要であるが、pp進付値によりそのような順序は与えられない。本記事で用いるのは非退化性だけであり、Qp\Q_pの整数環や局所体としての構造は用いない。

6 演習

問題 6.1 (不定値な Hermite 形式の直交補空間と随伴).V=C2V=\C^2上のh(x,y)=x1y1‾−x2y2‾h(x,y)=x_1\overline{y_1}-x_2\overline{y_2}を考える。hhが非退化 Hermite 形式であることを示せ。W=C(1,1)W=\C(1,1)とW′=Ce1W'=\mathbb Ce_1についてW⊥W^\perpとW′⊥W'^\perpを求め、V=W⊕W⊥V=W\oplus W^\perpは成り立たないがV=W′⊕W′⊥V=W'\oplus W'^\perpは成り立つことを示せ。さらに、T(x1,x2)=(x2,0)T(x_1,x_2)=(x_2,0)のhhに関する随伴T∗T^*を求め、標準内積に関する随伴と異なることを確かめよ。

解答.

第1変数について線形、第2変数について半線形であることは式から従い、h(y,x)=y1x1‾−y2x2‾=h(x,y)‾h(y,x)=y_1\overline{x_1}-y_2\overline{x_2}=\overline{h(x,y)}であるからhhは Hermite 形式である。h(x,e1)=x1h(x,e_1)=x_1、h(x,e2)=−x2h(x,e_2)=-x_2であるから、すべてのyyについてh(x,y)=0h(x,y)=0ならばx=0x=0である。Hermite 性から右非退化性も同様に従い、hhは非退化である。

v∈W⊥v\in W^\perpはh((1,1),v)=v1‾−v2‾=0h((1,1),v)=\overline{v_1}-\overline{v_2}=0、すなわちv1=v2v_1=v_2と同値であるからW⊥=C(1,1)=WW^\perp=\C(1,1)=Wである。したがってW∩W⊥=W≠0W\cap W^\perp=W\neq0であり、V=W⊕W⊥V=W\oplus W^\perpは成り立たない。これはh((1,1),(1,1))=1−1=0h((1,1),(1,1))=1-1=0によりh∣W×Wh|_{W\times W}が零、したがって退化していることと定理 4.2に合致する。一方、v∈W′⊥v\in W'^\perpはh(e1,v)=v1‾=0h(e_1,v)=\overline{v_1}=0と同値であるからW′⊥=Ce2W'^\perp=\mathbb Ce_2であり、V=Ce1⊕Ce2=W′⊕W′⊥V=\mathbb Ce_1\oplus\mathbb Ce_2=W'\oplus W'^\perpである。

定理 3.1のT∗T^*を求める。h(Tx,y)=x2y1‾h(Tx,y)=x_2\overline{y_1}である。S(y1,y2)=(0,−y1)S(y_1,y_2)=(0,-y_1)と置くとh(x,Sy)=x1⋅0−x2(−y1)‾=x2y1‾h(x,Sy)=x_1\cdot0-x_2\overline{(-y_1)}=x_2\overline{y_1}であるから、一意性によりT∗=ST^*=S、すなわちT∗(y1,y2)=(0,−y1)T^*(y_1,y_2)=(0,-y_1)である。標準内積⟨x,y⟩=x1y1‾+x2y2‾\langle x,y\rangle=x_1\overline{y_1}+x_2\overline{y_2}については⟨Tx,y⟩=x2y1‾=⟨x,(0,y1)⟩\langle Tx,y\rangle=x_2\overline{y_1}=\langle x,(0,y_1)\rangleであるから随伴は(y1,y2)↦(0,y1)(y_1,y_2)\mapsto(0,y_1)であり、二つの随伴はe1e_1の像−e2-e_2とe2e_2で異なる。▨

参考文献

  1. Steven Roman, Advanced Linear Algebra, 3rd ed., Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 2008.非退化形式、随伴、および直交補空間の有限次元理論を参考にした。
  2. T. Y. Lam, Introduction to Quadratic Forms over Fields, Graduate Studies in Mathematics 67, American Mathematical Society, Providence, 2005.恒等対合の場合と非順序体上の形式との境界を参考にした。

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