§E3.28同時三角化と同時対角化

最終更新

自己準同型の集合が与えられたとき、その全ての元を一つの基底に関して同時に上三角行列で表すことができるかどうかを考える。各元が三角化可能であっても、そのような基底は一般には存在しない。一方、元どうしが可換であれば、各元の特性多項式が係数体上で一次因子の積へ分解することが同時三角化可能性と同値になり、各元が対角化可能であることが同時対角化可能性と同値になる。どちらの証明も、可換な作用素が互いの固有空間を保つことに基づく。

1 同時三角化可能性と共通の不変な完全旗

定義 1.1.KKを可換体、VVを有限次元KK-線形空間とし、S⊆End⁡K(V)\mathcal S\subseteq\End_K(V)を自己準同型の集合とする。S\mathcal Sの任意の二元S,TS,TがST=TSST=TSを満たすとき、S\mathcal Sは可換 (commuting) であるという。部分空間W⊆VW\subseteq Vが全てのT∈ST\in\mathcal SについてT(W)⊆WT(W)\subseteq Wを満たすとき、WWをS\mathcal S-不変部分空間 (S\mathcal S-invariant subspace) という。零でないv∈Vv\in Vが全てのT∈ST\in\mathcal Sの固有ベクトルであるとき、vvをS\mathcal Sの共通の固有ベクトル (common eigenvector) という。固有値はTTごとに異なってよい。全てのT∈ST\in\mathcal Sの表現行列が上三角行列になるVVの基底が存在するとき、S\mathcal Sは同時三角化可能 (simultaneously triangularizable) であるという。全てのT∈ST\in\mathcal Sの表現行列が対角行列になるVVの基底が存在するとき、S\mathcal Sは同時対角化可能 (simultaneously diagonalizable) であるという。行列の集合A⊆Mn(K)\mathcal A\subseteq M_n(K)については、A∈AA\in\mathcal Aが定めるKnK^n上の自己準同型x↦Axx\mapsto Axの集合に対して同じ語を用いる。

命題 1.2.KKを可換体、VVをnn次元KK-線形空間、S⊆End⁡K(V)\mathcal S\subseteq\End_K(V)とする。このとき、S\mathcal Sが同時三角化可能であるための必要十分条件は、各VjV_jがS\mathcal S-不変部分空間である完全旗

0=V0⊂V1⊂⋯⊂Vn=V0=V_0\subset V_1\subset\cdots\subset V_n=V

が存在することである。

証明. 必要性を示す。基底(v1,…,vn)(v_1,\ldots,v_n)に関して全てのT∈ST\in\mathcal Sの表現行列が上三角行列であるとし、Vj=span⁡(v1,…,vj)V_j=\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_j)と置く。(Vj)0≤j≤n(V_j)_{0\le j\le n}は完全旗である。§E3.27 命題 1.2を各T∈ST\in\mathcal Sに適用すると、全てのjjについてT(Vj)⊆VjT(V_j)\subseteq V_jが成り立つ。したがって各VjV_jはS\mathcal S-不変部分空間である。

十分性を示す。各VjV_jがS\mathcal S-不変部分空間である完全旗(Vj)0≤j≤n(V_j)_{0\le j\le n}に対し、1≤j≤n1\le j\le nについてvj∈Vj∖Vj−1v_j\in V_j\setminus V_{j-1}を取る。jjについての帰納法によりspan⁡(v1,…,vj)=Vj\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_j)=V_jが成り立つ。実際、span⁡(v1,…,vj−1)=Vj−1\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_{j-1})=V_{j-1}とvj∉Vj−1v_j\notin V_{j-1}から、span⁡(v1,…,vj)\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_j)はVjV_jに含まれるjj次元部分空間であり、dim⁡Vj=j\dim V_j=jによりVjV_jに一致する。特に(v1,…,vn)(v_1,\ldots,v_n)はVVの基底である。§E3.27 命題 1.2を各T∈ST\in\mathcal Sに適用すると、この基底に関するTTの表現行列は上三角行列である。▨

2 可換な作用素と固有ベクトル

補題 2.1.KKを可換体、VVを有限次元KK-線形空間とし、S,T∈End⁡K(V)S,T\in\End_K(V)がST=TSST=TSを満たすとする。このとき任意のp∈K[t]p\in K[t]について、ker⁡p(T)\ker p(T)とim⁡p(T)\im p(T)はSS-不変部分空間である。特に、任意のλ∈K\lambda\in Kについてker⁡(T−λI)\ker(T-\lambda I)はSS-不変部分空間である。

証明.ST=TSST=TSから、jjについての帰納法により全てのj≥0j\ge0についてSTj=TjSST^j=T^jSが成り立つ。p(t)=∑jajtjp(t)=\sum_ja_jt^jとするとp(T)=∑jajTjp(T)=\sum_ja_jT^jであるから、線形結合を取るとSp(T)=p(T)SSp(T)=p(T)Sを得る。v∈ker⁡p(T)v\in\ker p(T)ならばp(T)(Sv)=S(p(T)v)=0p(T)(Sv)=S(p(T)v)=0であるから、Sv∈ker⁡p(T)Sv\in\ker p(T)である。y=p(T)v∈im⁡p(T)y=p(T)v\in\im p(T)ならばSy=p(T)(Sv)∈im⁡p(T)Sy=p(T)(Sv)\in\im p(T)である。最後の主張はp(t)=t−λp(t)=t-\lambdaの場合である。▨

補題 2.2.KKを可換体、VVを有限次元KK-線形空間、T∈End⁡K(V)T\in\End_K(V)とする。c∈K∖{0}c\in K\setminus\{0\}とλ1,…,λm∈K\lambda_1,\ldots,\lambda_m\in Kについて、多項式

p(t)=c∏i=1m(t−λi)p(t)=c\prod_{i=1}^m(t-\lambda_i)

がp(T)=0p(T)=0を満たすとする。このとき、零でない任意のTT-不変部分空間WWはTTの固有ベクトルを含み、その固有値はλ1,…,λm\lambda_1,\ldots,\lambda_mのいずれかに等しい。

証明.WWはTT-不変部分空間であるから、各T−λiIT-\lambda_iIはWWをWWへ写す。Ri:W→WR_i:W\to WをT−λiIT-\lambda_iIのWWへの制限とする。§E3.18 定理 1.2によりp(T)=c(T−λ1I)⋯(T−λmI)p(T)=c(T-\lambda_1I)\cdots(T-\lambda_mI)であるから、p(T)=0p(T)=0をWWへ制限してccで割るとR1⋯Rm=0R_1\cdots R_m=0を得る。全てのRiR_iが単射であると仮定すると、合成R1⋯RmR_1\cdots R_mも単射である（m=0m=0のときは恒等写像である）。W≠0W\ne0であるから単射なR1⋯RmR_1\cdots R_mは零写像でなく、R1⋯Rm=0R_1\cdots R_m=0と両立しない。したがって、単射でないRiR_iが存在する。ker⁡Ri\ker R_iの零でない元wwはWWに属し、Tw=λiwTw=\lambda_iwを満たす。▨

命題 2.3.KKを可換体、VVを有限次元KK-線形空間とし、S⊆End⁡K(V)\mathcal S\subseteq\End_K(V)を可換な集合とする。各T∈ST\in\mathcal Sについて、K[t]K[t]で一次因子の積へ分解する零でない多項式pTp_TであってpT(T)=0p_T(T)=0を満たすものが存在するとする。このとき、零でない任意のS\mathcal S-不変部分空間はS\mathcal Sの共通の固有ベクトルを含む。

証明.UUを零でないS\mathcal S-不変部分空間とする。UUに含まれる零でないS\mathcal S-不変部分空間のうち、次元が最小であるものWWを取る。UU自身がこの条件を満たすので、WWは存在する。T∈ST\in\mathcal Sを任意に取る。WWはTT-不変部分空間であるから、補題 2.2により、

Wλ=W∩ker⁡(T−λI)W_\lambda=W\cap\ker(T-\lambda I)

が零でないλ∈K\lambda\in Kが存在する。S∈SS\in\mathcal Sとすると、補題 2.1によりker⁡(T−λI)\ker(T-\lambda I)はSS-不変部分空間であり、WWもSS-不変部分空間であるから、WλW_\lambdaはSS-不変部分空間である。したがってWλW_\lambdaはWWに含まれる零でないS\mathcal S-不変部分空間であり、WWの次元の最小性からWλ=WW_\lambda=Wである。すなわち、WWの全ての元wwについてTw=λwTw=\lambda wが成り立つ。T∈ST\in\mathcal Sは任意であったから、WWの零でない元はS\mathcal Sの共通の固有ベクトルである。▨

3 可換な集合の同時三角化

定理 3.1.KKを可換体、VVを有限次元KK-線形空間とし、S⊆End⁡K(V)\mathcal S\subseteq\End_K(V)を可換な集合とする。このとき、次の条件は同値である。

  1. S\mathcal Sは同時三角化可能である。
  2. 全てのT∈ST\in\mathcal Sについて、χT(t)\chi_T(t)はK[t]K[t]で一次因子の積へ分解する。
  3. 全てのT∈ST\in\mathcal Sについて、K[t]K[t]で一次因子の積へ分解する零でない多項式pTp_TであってpT(T)=0p_T(T)=0を満たすものが存在する。

証明.(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。各T∈ST\in\mathcal Sは三角化可能であるから、§E3.27 定理 2.1によりχT\chi_Tは一次因子の積へ分解する。

(2)⇒\Rightarrow(3)を示す。χT\chi_Tはモニックであるから零でなく、§E3.21 定理 2.1によりχT(T)=0\chi_T(T)=0である。したがってpT=χTp_T=\chi_Tと置けばよい。

(3)⇒\Rightarrow(1)をn=dim⁡Vn=\dim Vについての帰納法で示す。n=0n=0のときは、空の基底に関して全てのT∈ST\in\mathcal Sの表現行列が上三角行列である。n>0n>0とする。命題 2.3をVV自身に適用してS\mathcal Sの共通の固有ベクトルv1v_1を取り、V1=Kv1V_1=Kv_1と置く。V1V_1はS\mathcal S-不変部分空間である。π:V→V/V1\pi:V\to V/V_1を標準射影とし、T∈ST\in\mathcal SのV/V1V/V_1上の商作用素をT‾\overline Tと書く。§E3.19 命題 1.3によりπT=T‾π\pi T=\overline T\piである。S,T∈SS,T\in\mathcal Sについて

S‾ T‾π=πST=πTS=T‾ S‾π\overline S\,\overline T\pi=\pi ST=\pi TS=\overline T\,\overline S\pi

であり、π\piは全射であるからS‾ T‾=T‾ S‾\overline S\,\overline T=\overline T\,\overline Sである。また、πT=T‾π\pi T=\overline T\piから全てのj≥0j\ge0についてπTj=T‾jπ\pi T^j=\overline T^j\piが成り立ち、線形結合を取るとπpT(T)=pT(T‾)π\pi p_T(T)=p_T(\overline T)\piを得る。左辺は零であり、π\piは全射であるからpT(T‾)=0p_T(\overline T)=0である。したがって

S‾={T‾:T∈S}\overline{\mathcal S}=\{\overline T:T\in\mathcal S\}

は(n−1)(n-1)次元のV/V1V/V_1上の可換な集合であって主張 (3)を満たす。帰納法の仮定によりS‾\overline{\mathcal S}は同時三角化可能であり、命題 1.2により、各UjU_jがS‾\overline{\mathcal S}-不変部分空間であるV/V1V/V_1の完全旗

0=U0⊂U1⊂⋯⊂Un−1=V/V10=U_0\subset U_1\subset\cdots\subset U_{n-1}=V/V_1

が存在する。0≤j≤n−10\le j\le n-1についてVj+1=π−1(Uj)V_{j+1}=\pi^{-1}(U_j)と置き、V0=0V_0=0と置く。j=0j=0のときπ−1(U0)=ker⁡π=Kv1\pi^{-1}(U_0)=\ker\pi=Kv_1であるから、この定義は最初に定めたV1V_1と一致する。π\piは全射でker⁡π=V1\ker\pi=V_1であるからdim⁡Vj+1=dim⁡Uj+1=j+1\dim V_{j+1}=\dim U_j+1=j+1であり、0=V0⊂V1⊂⋯⊂Vn=V0=V_0\subset V_1\subset\cdots\subset V_n=Vは完全旗である。x∈Vj+1x\in V_{j+1}とT∈ST\in\mathcal Sについてπ(Tx)=T‾π(x)∈Uj\pi(Tx)=\overline T\pi(x)\in U_jであるから、Tx∈Vj+1Tx\in V_{j+1}である。したがって各VjV_jはS\mathcal S-不変部分空間であり、命題 1.2によりS\mathcal Sは同時三角化可能である。▨

系 3.2.KKを代数閉体、VVを有限次元KK-線形空間とする。このとき、End⁡K(V)\End_K(V)の可換な部分集合は同時三角化可能である。

証明. 可換な部分集合S\mathcal Sの各元TTは、§E3.27 系 2.2により三角化可能であり、§E3.27 定理 2.1によりχT\chi_Tは一次因子の積へ分解する。定理 3.1を適用する。▨

例 3.3.KKを可換体とし、M3(K)M_3(K)において(k,l)(k,l)成分だけが11で他の成分が00である行列をEklE_{kl}と書く。

N={aI3+bE21+cE31:a,b,c∈K}\mathcal N=\{aI_3+bE_{21}+cE_{31}:a,b,c\in K\}

と置く。E21E31=E31E21=0E_{21}E_{31}=E_{31}E_{21}=0であるからN\mathcal Nは可換である。aI3+bE21+cE31aI_3+bE_{21}+cE_{31}は下三角行列であり、その特性多項式は(t−a)3(t-a)^3であるから、定理 3.1によりN\mathcal Nは同時三角化可能である。

x=(x1,x2,x3)Tx=(x_1,x_2,x_3)^{\mathsf T}について

(aI3+bE21+cE31)x=ax+x1(be2+ce3)(aI_3+bE_{21}+cE_{31})x=ax+x_1(be_2+ce_3)

である。x1=0x_1=0を満たす零でないxxはN\mathcal Nの共通の固有ベクトルである。逆に、共通の固有ベクトルxxはE21∈NE_{21}\in\mathcal Nの固有ベクトルであり、E21E_{21}の特性多項式はt3t^3であるから、§E3.20 命題 3.1によりE21x=x1e2=0E_{21}x=x_1e_2=0、すなわちx1=0x_1=0である。したがって、共通の固有ベクトルは零とあわせて二次元の部分空間Ke2+Ke3Ke_2+Ke_3をなす。

定理 3.1の証明と同じく、共通の固有ベクトルv1=e3v_1=e_3を取り、V1=Ke3V_1=Ke_3と置く。K3/V1K^3/V_1において、E21E_{21}の商作用素はe1+V1e_1+V_1をe2+V1e_2+V_1へ、e2+V1e_2+V_1を零へ写し、E31E_{31}の商作用素はe1+V1e_1+V_1とe2+V1e_2+V_1をともに零へ写す。したがってe2+V1e_2+V_1は商作用素の集合の共通の固有ベクトルであり、V2=Ke3+Ke2V_2=Ke_3+Ke_2と置くと、0⊂V1⊂V2⊂K30\subset V_1\subset V_2\subset K^3は各VjV_jがN\mathcal N-不変部分空間である完全旗である。この旗に対応する基底(e3,e2,e1)(e_3,e_2,e_1)に関して、E21E_{21}とE31E_{31}の表現行列はそれぞれE23E_{23}とE13E_{13}であり、aI3+bE21+cE31aI_3+bE_{21}+cE_{31}の表現行列は上三角行列aI3+bE23+cE13aI_3+bE_{23}+cE_{13}である。

命題 3.4.KKを可換体、VVをnn次元KK-線形空間とし、S⊆End⁡K(V)\mathcal S\subseteq\End_K(V)を同時三角化可能な集合とする。このとき、任意のS,T∈SS,T\in\mathcal Sについて(ST−TS)n=0(ST-TS)^n=0が成り立つ。

証明. 演習とする。問題 5.1の解答が証明を与える。▨

例 3.5.KKを可換体とし、M2(K)M_2(K)の行列

E11=(1000),E12=(0100),E21=(0010)E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\qquad E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}

を考える。E11E_{11}とE12E_{12}はいずれも上三角行列であるから、{E11,E12}\{E_{11},E_{12}\}は同時三角化可能である。一方、E11E12=E12E_{11}E_{12}=E_{12}かつE12E11=0E_{12}E_{11}=0であるから、{E11,E12}\{E_{11},E_{12}\}は可換でない。したがって、同時三角化可能な集合は可換であるとは限らない。

E12E_{12}とE21E_{21}の特性多項式はともにt2t^2であるから、§E3.27 定理 2.1によりE12E_{12}とE21E_{21}はそれぞれ三角化可能であり、§E3.20 命題 3.1によりどちらの固有値も00だけである。したがって、E12E_{12}の固有ベクトルはker⁡E12=Ke1\ker E_{12}=Ke_1の零でない元であり、E21E_{21}の固有ベクトルはker⁡E21=Ke2\ker E_{21}=Ke_2の零でない元である。Ke1∩Ke2=0Ke_1\cap Ke_2=0であるから、{E12,E21}\{E_{12},E_{21}\}は共通の固有ベクトルをもたない。{E12,E21}\{E_{12},E_{21}\}が同時三角化可能であるとすると、命題 1.2により、各VjV_jが{E12,E21}\{E_{12},E_{21}\}-不変部分空間であるK2K^2の完全旗0=V0⊂V1⊂V2=K20=V_0\subset V_1\subset V_2=K^2が存在する。V1V_1は一次元であるから、V1V_1の零でない元は共通の固有ベクトルであり、共通の固有ベクトルが存在しないことに反する。したがって{E12,E21}\{E_{12},E_{21}\}は同時三角化可能でない。交換子

E12E21−E21E12=(100−1)E_{12}E_{21}-E_{21}E_{12}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

の平方は単位行列I2I_2であり、零でない。したがって、命題 3.4によっても{E12,E21}\{E_{12},E_{21}\}は同時三角化可能でない。

{E12,E21}\{E_{12},E_{21}\}は可換でなく、各元の特性多項式は一次因子の積へ分解するが、同時三角化可能でない。したがって、定理 3.1から可換性の仮定を外すことはできない。

4 同時対角化

補題 4.1.KKを可換体、VVを有限次元KK-線形空間、T∈End⁡K(V)T\in\End_K(V)とし、r≥1r\ge1と相異なるμ1,…,μr∈K\mu_1,\ldots,\mu_r\in Kについて

(T−μ1I)⋯(T−μrI)=0(T-\mu_1I)\cdots(T-\mu_rI)=0

が成り立つとする。このとき、VVの任意のTT-不変部分空間WWについて

W=⨁j=1r(W∩ker⁡(T−μjI))W=\bigoplus_{j=1}^r\bigl(W\cap\ker(T-\mu_jI)\bigr)

が成り立ち、TTのWWへの制限T∣WT|_Wは対角化可能である。

証明.p(t)=∏k=1r(t−μk)p(t)=\prod_{k=1}^r(t-\mu_k)とし、1≤j≤r1\le j\le rについて

ej(t)=∏k≠jt−μkμj−μk∈K[t]e_j(t)=\prod_{k\ne j}\frac{t-\mu_k}{\mu_j-\mu_k}\in K[t]

と置く。ej(μk)e_j(\mu_k)はj=kj=kのとき11、j≠kj\ne kのとき00である。∑jej(t)−1\sum_je_j(t)-1は次数がrr未満で相異なるrr個の根μ1,…,μr\mu_1,\ldots,\mu_rをもつので、零多項式である。また、(t−μj)ej(t)(t-\mu_j)e_j(t)はp(t)p(t)の定数倍である。§E3.18 定理 1.2によりTTを代入すると、p(T)=0p(T)=0から

∑j=1rej(T)=I,(T−μjI)ej(T)=0(1≤j≤r)\sum_{j=1}^re_j(T)=I,\qquad (T-\mu_jI)e_j(T)=0\quad(1\le j\le r)

を得る。WWはTT-不変部分空間であるから、§E3.18 命題 3.4によりej(T)W⊆We_j(T)W\subseteq Wである。したがって、w∈Ww\in Wについてw=∑jej(T)ww=\sum_je_j(T)wであり、ej(T)w∈W∩ker⁡(T−μjI)e_j(T)w\in W\cap\ker(T-\mu_jI)である。よってWWは部分空間W∩ker⁡(T−μjI)W\cap\ker(T-\mu_jI)（1≤j≤r1\le j\le r）の和に等しい。wj∈W∩ker⁡(T−μjI)w_j\in W\cap\ker(T-\mu_jI)が∑jwj=0\sum_jw_j=0を満たすとする。Twj=μjwjTw_j=\mu_jw_jから、全てのj,kj,kについてek(T)wj=ek(μj)wje_k(T)w_j=e_k(\mu_j)w_jである。したがって、各kkについて∑jwj=0\sum_jw_j=0にek(T)e_k(T)を施すとwk=0w_k=0を得る。したがって、この和は直和である。各直和成分の基底を合わせると、T∣WT|_Wの固有ベクトルからなるWWの基底が得られるので、T∣WT|_Wは対角化可能である。▨

定理 4.2.KKを可換体、VVを有限次元KK-線形空間、S⊆End⁡K(V)\mathcal S\subseteq\End_K(V)とする。このとき、S\mathcal Sが同時対角化可能であるための必要十分条件は、S\mathcal Sが可換であり、全てのT∈ST\in\mathcal Sが対角化可能であることである。

証明. 必要性を示す。S\mathcal Sの全ての元の表現行列が対角行列になる基底を取ると、各T∈ST\in\mathcal Sは対角化可能である。S,T∈SS,T\in\mathcal Sについて、STSTとTSTSの表現行列はSSとTTの表現行列の二通りの積であり、対角行列どうしは可換であるから、ST=TSST=TSである。

十分性をn=dim⁡Vn=\dim Vについての帰納法で示す。全てのT∈ST\in\mathcal Sが恒等写像のスカラー倍であれば、VVの任意の基底に関して全てのT∈ST\in\mathcal Sの表現行列は対角行列である。n=0n=0のときはこの場合にあたる。そうでなければ、恒等写像のスカラー倍でないT0∈ST_0\in\mathcal Sが存在し、V≠0V\ne0である。

T∈ST\in\mathcal Sを任意に取り、TTの相異なる固有値の全体をμ1,…,μr\mu_1,\ldots,\mu_rとする。TTは対角化可能であるから、TTの固有ベクトルからなるVVの基底が存在する。この基底の各元は、互いに可換な因子の積(T−μ1I)⋯(T−μrI)(T-\mu_1I)\cdots(T-\mu_rI)によって零へ写るので、(T−μ1I)⋯(T−μrI)=0(T-\mu_1I)\cdots(T-\mu_rI)=0である。V≠0V\ne0であるからr≥1r\ge1であり、TTは補題 4.1の仮定を満たす。

T0T_0の相異なる固有値の全体をλ1,…,λs\lambda_1,\ldots,\lambda_s、Ej=ker⁡(T0−λjI)E_j=\ker(T_0-\lambda_jI)とする。補題 4.1をT0T_0とW=VW=Vに適用するとV=⨁j=1sEjV=\bigoplus_{j=1}^sE_jである。各EjE_jは固有空間であるから零でなく、s=1s=1ならばT0=λ1IT_0=\lambda_1Iとなるのでs≥2s\ge2である。したがって、全てのjjについてdim⁡Ej<n\dim E_j<nである。補題 2.1により、各EjE_jはS\mathcal S-不変部分空間である。T∈ST\in\mathcal Sと1≤j≤s1\le j\le sについて、補題 4.1をTTとW=EjW=E_jに適用するとT∣EjT|_{E_j}は対角化可能であり、{T∣Ej:T∈S}\{T|_{E_j}:T\in\mathcal S\}は可換である。帰納法の仮定により、EjE_jの基底Bj\mathcal B_jであって、全てのT∈ST\in\mathcal SについてT∣EjT|_{E_j}の表現行列が対角行列になるものが存在する。B1,…,Bs\mathcal B_1,\ldots,\mathcal B_sを順に並べたものはVVの基底であり、その各元はS\mathcal Sの共通の固有ベクトルである。したがって、この基底に関して全てのT∈ST\in\mathcal Sの表現行列は対角行列である。▨

例 4.3.

J=(0−110),C={aI2+bJ:a,b∈R}⊆M2(R)J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},\qquad \mathcal C=\{aI_2+bJ:a,b\in\R\}\subseteq M_2(\R)

と置く。C\mathcal Cの元はいずれもJJの多項式であるから、C\mathcal Cは可換である。JJの特性多項式t2+1t^2+1はR\Rに根をもたないのでR[t]\R[t]で一次因子の積へ分解せず、定理 3.1によりC\mathcal CはR\R上で同時三角化可能でない。

C\mathcal CをM2(C)M_2(\C)の部分集合とみなす。

v=(1−i),w=(1i)v=\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix},\qquad w=\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}

はJv=ivJv=ivとJw=−iwJw=-iwを満たすので、P=(v w)∈GL⁡2(C)P=(v\ w)\in\GL_2(\C)と置くと、全てのa,b∈Ra,b\in\Rについて

P−1(aI2+bJ)P=(a+bi00a−bi)P^{-1}(aI_2+bJ)P=\begin{pmatrix}a+bi&0\\0&a-bi\end{pmatrix}

である。したがって、無限集合C\mathcal CはC\C上で一つの行列PPによって同時対角化される。

注意 4.4. 係数体がC\Cであり、VVが有限次元複素内積空間である場合には、二つずつ可換な正規作用素の有限族は、正規直交基底によって同時対角化される。この事実は §E3.38 有限次元スペクトル定理 で証明する。

5 演習

問題 5.1 (同時三角化可能な集合の交換子).命題 3.4の証明を完成させよ。

解答.

VVの基底(v1,…,vn)(v_1,\ldots,v_n)に関して全てのT∈ST\in\mathcal Sの表現行列が上三角行列であるとし、Vj=span⁡(v1,…,vj)V_j=\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_j)（0≤j≤n0\le j\le n）と置く。S,T∈SS,T\in\mathcal Sの表現行列をA=(akl)A=(a_{kl})、B=(bkl)B=(b_{kl})とする。上三角行列の積は上三角行列であり、その(j,j)(j,j)成分は

(AB)jj=∑kajkbkj=ajjbjj(AB)_{jj}=\sum_{k}a_{jk}b_{kj}=a_{jj}b_{jj}

である。k<jk<jではajk=0a_{jk}=0、k>jk>jではbkj=0b_{kj}=0だからである。同様に(BA)jj=bjjajj(BA)_{jj}=b_{jj}a_{jj}である。したがってN=ST−TSN=ST-TSの表現行列AB−BAAB-BAは対角成分が零の上三角行列であり、全てのjjについてN(vj)∈Vj−1N(v_j)\in V_{j-1}が成り立つ。VjV_jの元はv1,…,vjv_1,\ldots,v_jの線形結合であるから、N(Vj)⊆Vj−1N(V_j)\subseteq V_{j-1}（1≤j≤n1\le j\le n）である。これを繰り返し用いると

Nn(V)=Nn(Vn)⊆V0=0N^n(V)=N^n(V_n)\subseteq V_0=0

を得る。よって(ST−TS)n=0(ST-TS)^n=0である。▨

問題 5.2 (可換な行列の和と積の固有値).KKを代数閉体とし、A,B∈Mn(K)A,B\in M_n(K)がAB=BAAB=BAを満たすとする。AAの固有値を重複度を込めて並べた列λ1,…,λn\lambda_1,\ldots,\lambda_nと、BBの固有値を重複度を込めて並べた列μ1,…,μn\mu_1,\ldots,\mu_nを適切な順序で選ぶと

χA+B(t)=∏j=1n(t−(λj+μj)),χAB(t)=∏j=1n(t−λjμj)\chi_{A+B}(t)=\prod_{j=1}^n\bigl(t-(\lambda_j+\mu_j)\bigr),\qquad \chi_{AB}(t)=\prod_{j=1}^n(t-\lambda_j\mu_j)

が成り立つことを示せ。また、可換でないE12E_{12}とE21E_{21}（例 3.5の行列）については、どのように並べても二つの等式がいずれも成り立たないことを示せ。

解答.

系 3.2により{A,B}\{A,B\}は同時三角化可能であり、P−1APP^{-1}APとP−1BPP^{-1}BPがともに上三角行列になるP∈GL⁡n(K)P\in\GL_n(K)が存在する。それぞれの対角成分をλ1,…,λn\lambda_1,\ldots,\lambda_nとμ1,…,μn\mu_1,\ldots,\mu_nとする。§E3.27 系 2.3により、これらは重複度を込めたAAとBBの固有値の列である。上三角行列C=(ckl)C=(c_{kl})、D=(dkl)D=(d_{kl})の和と積は上三角行列であり、(C+D)jj=cjj+djj(C+D)_{jj}=c_{jj}+d_{jj}かつ(CD)jj=∑kcjkdkj=cjjdjj(CD)_{jj}=\sum_kc_{jk}d_{kj}=c_{jj}d_{jj}である。

P−1(A+B)P=P−1AP+P−1BP,P−1ABP=(P−1AP)(P−1BP)P^{-1}(A+B)P=P^{-1}AP+P^{-1}BP,\qquad P^{-1}ABP=(P^{-1}AP)(P^{-1}BP)

であるから、P−1(A+B)PP^{-1}(A+B)PとP−1ABPP^{-1}ABPはそれぞれ対角成分λj+μj\lambda_j+\mu_jとλjμj\lambda_j\mu_jをもつ上三角行列である。§E3.27 系 2.3により、これらの対角成分は重複度を込めたχA+B\chi_{A+B}とχAB\chi_{AB}の根である。特性多項式はモニックで次数nnであるから、二つの等式が成り立つ。

E12E_{12}とE21E_{21}の特性多項式はともにt2t^2であるから、固有値の列はどちらも0,00,0であり、二つの等式の右辺はどのように並べてもt2t^2である。一方、

E12+E21=(0110),E12E21=(1000)E_{12}+E_{21}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad E_{12}E_{21}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}

の特性多項式はそれぞれt2−1t^2-1とt2−tt^2-tであり、どちらもt2t^2と異なる。▨

問題 5.3 (相異なる固有値をもつ作用素と可換な作用素).KKを可換体、VVをnn次元KK-線形空間とし、n≥1n\ge1とする。T∈End⁡K(V)T\in\End_K(V)が相異なるnn個の固有値λ1,…,λn∈K\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in Kをもつとする。S∈End⁡K(V)S\in\End_K(V)がST=TSST=TSを満たすならば、S=p(T)S=p(T)を満たすp∈K[t]p\in K[t]が存在することを示せ。

解答.

§E3.20 命題 3.1により、λ1,…,λn\lambda_1,\ldots,\lambda_nは次数nnのモニック多項式χT\chi_Tの相異なる根である。χT(t)−∏i(t−λi)\chi_T(t)-\prod_i(t-\lambda_i)は次数がnn未満で相異なるnn個の根をもつので零多項式であり、χT(t)=∏i(t−λi)\chi_T(t)=\prod_i(t-\lambda_i)である。§E3.21 定理 2.1により(T−λ1I)⋯(T−λnI)=0(T-\lambda_1I)\cdots(T-\lambda_nI)=0であるから、補題 4.1をW=VW=Vに適用すると

V=⨁i=1nker⁡(T−λiI)V=\bigoplus_{i=1}^n\ker(T-\lambda_iI)

を得る。各直和成分は固有空間であるから零でなく、dim⁡V=n\dim V=nであるから、各ker⁡(T−λiI)\ker(T-\lambda_iI)は一次元である。零でないvi∈ker⁡(T−λiI)v_i\in\ker(T-\lambda_iI)を取ると、(v1,…,vn)(v_1,\ldots,v_n)はVVの基底である。

補題 2.1によりker⁡(T−λiI)=Kvi\ker(T-\lambda_iI)=Kv_iはSS-不変部分空間であるから、Svi=siviSv_i=s_iv_iを満たすsi∈Ks_i\in Kが存在する。

ek(t)=∏i≠kt−λiλk−λi(1≤k≤n),p=∑k=1nskeke_k(t)=\prod_{i\ne k}\frac{t-\lambda_i}{\lambda_k-\lambda_i}\qquad(1\le k\le n),\qquad p=\sum_{k=1}^ns_ke_k

と置く。Tjvi=λijviT^jv_i=\lambda_i^jv_iから、任意のq∈K[t]q\in K[t]についてq(T)vi=q(λi)viq(T)v_i=q(\lambda_i)v_iである。ek(λi)e_k(\lambda_i)はi=ki=kのとき11、i≠ki\ne kのとき00であるから

p(T)vi=p(λi)vi=sivi=Svip(T)v_i=p(\lambda_i)v_i=s_iv_i=Sv_i

である。p(T)p(T)とSSは基底(v1,…,vn)(v_1,\ldots,v_n)の上で一致するので、S=p(T)S=p(T)である。▨

参考文献

  1. Kenneth Hoffman and Ray Kunze, Linear Algebra, 2nd ed., Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1971.可換な作用素の族の同時三角化と同時対角化の定式化を参考にした。
  2. Roger A. Horn and Charles R. Johnson, Matrix Analysis, 2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge, 2013.可換な行列の族が共通の固有ベクトルをもつことの証明と同時対角化の扱いを参考にした。

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