1 Jordan 鎖 定義 1.1. ℓ ≥ 1 \ell\ge1 ℓ ≥ 1 冪零 Jordan ブロック (nilpotent Jordan block )
J ℓ ( 0 ) = ( 0 1 0 0 ⋱ ⋱ 1 0 0 ) J_\ell(0)=
\begin{pmatrix}
0&1&&0\\
&0&\ddots&\\
&&\ddots&1\\
0&&&0
\end{pmatrix} J ℓ ( 0 ) = 0 0 1 0 ⋱ ⋱ 0 1 0 と定める。
冪零作用素N N N ( v 1 , … , v ℓ ) (v_1,\ldots,v_\ell) ( v 1 , … , v ℓ )
N v 1 = 0 , N v j = v j − 1 ( 2 ≤ j ≤ ℓ ) Nv_1=0,\qquad Nv_j=v_{j-1}\quad(2\le j\le\ell) N v 1 = 0 , N v j = v j − 1 ( 2 ≤ j ≤ ℓ ) を満たすとき、この列を長さℓ \ell ℓ Jordan 鎖 (Jordan chain )J ℓ ( 0 ) J_\ell(0) J ℓ ( 0 )
Jordan 鎖の定義から、v ℓ v_\ell v ℓ N N N v ℓ − 1 , … , v 1 , 0 v_{\ell-1},\ldots,v_1,0 v ℓ − 1 , … , v 1 , 0 N ℓ − 1 v ℓ = v 1 N^{\ell-1}v_\ell=v_1 N ℓ − 1 v ℓ = v 1 N ℓ v ℓ = 0 N^\ell v_\ell=0 N ℓ v ℓ = 0 v 1 ≠ 0 v_1\ne0 v 1 = 0
2 Jordan 鎖の存在 定理 2.1. 有限次元線形空間V V V N N N V V V N N N
J ℓ 1 ( 0 ) ⊕ ⋯ ⊕ J ℓ p ( 0 ) J_{\ell_1}(0)\oplus\cdots\oplus J_{\ell_p}(0) J ℓ 1 ( 0 ) ⊕ ⋯ ⊕ J ℓ p ( 0 ) となる。
証明. n = dim V n=\dim V n = dim V n = 0 n=0 n = 0 N = 0 N=0 N = 0 1 1 1
N ≠ 0 N\ne0 N = 0 W = im N W=\operatorname{im}N W = im N N N N N q N^q N q N q N^q N q V ≠ 0 V\ne0 V = 0 ker N ≠ 0 \ker N\ne0 ker N = 0 dim W < n \dim W<n dim W < n W W W N N N N ∣ W N|_W N ∣ W W W W
( w i , 1 , … , w i , ℓ i ) ( 1 ≤ i ≤ p ) (w_{i,1},\ldots,w_{i,\ell_i})\qquad(1\le i\le p) ( w i , 1 , … , w i , ℓ i ) ( 1 ≤ i ≤ p ) を連結した基底が存在する。
w i , ℓ i ∈ W = im N w_{i,\ell_i}\in W=\operatorname{im}N w i , ℓ i ∈ W = im N N v i = w i , ℓ i Nv_i=w_{i,\ell_i} N v i = w i , ℓ i v i ∈ V v_i\in V v i ∈ V
( w i , 1 , … , w i , ℓ i , v i ) (w_{i,1},\ldots,w_{i,\ell_i},v_i) ( w i , 1 , … , w i , ℓ i , v i ) は Jordan 鎖の作用関係を満たす。これらの列を合わせたときの一次独立性は以下で示す。各w i , 1 w_{i,1} w i , 1 ker N \ker N ker N W W W
w 1 , 1 , … , w p , 1 , z 1 , … , z q w_{1,1},\ldots,w_{p,1},z_1,\ldots,z_q w 1 , 1 , … , w p , 1 , z 1 , … , z q がker N \ker N ker N
全ての延長した鎖とz 1 , … , z q z_1,\ldots,z_q z 1 , … , z q
dim W + p + q = dim W + dim ker N = n \dim W+p+q
=\dim W+\dim\ker N
=n dim W + p + q = dim W + dim ker N = n である。この列が一次独立であることを示す。延長した鎖とz s z_s z s N N N z s z_s z s w i , 1 w_{i,1} w i , 1 W W W
{ w i , j : 1 ≤ i ≤ p , 1 ≤ j ≤ ℓ i } \{w_{i,j}:1\le i\le p,\ 1\le j\le\ell_i\} { w i , j : 1 ≤ i ≤ p , 1 ≤ j ≤ ℓ i } になる。したがって、各v i v_i v i w i , j ( j ≥ 2 ) w_{i,j}\ (j\ge2) w i , j ( j ≥ 2 ) w i , 1 w_{i,1} w i , 1 z s z_s z s ker N \ker N ker N n n n V V V ▨
3 核の増大列と一意性 定理 3.1. κ j = dim ker N j \kappa_j=\dim\ker N^j κ j = dim ker N j κ 0 = 0 \kappa_0=0 κ 0 = 0 j j j b j b_j b j j ≥ 1 j\ge1 j ≥ 1
b j = ( κ j − κ j − 1 ) − ( κ j + 1 − κ j ) b_j=(\kappa_j-\kappa_{j-1})-(\kappa_{j+1}-\kappa_j) b j = ( κ j − κ j − 1 ) − ( κ j + 1 − κ j ) である。したがって、ブロックの大きさの多重集合はN N N
証明. 大きさm m m j ≥ 1 j\ge1 j ≥ 1
dim ker J m ( 0 ) j = min ( j , m ) \dim\ker J_m(0)^j=\min(j,m) dim ker J m ( 0 ) j = min ( j , m ) である。実際、j < m j<m j < m J m ( 0 ) j J_m(0)^j J m ( 0 ) j v 1 , … , v j v_1,\ldots,v_j v 1 , … , v j v j + 1 , … , v m v_{j+1},\ldots,v_m v j + 1 , … , v m v 1 , … , v m − j v_1,\ldots,v_{m-j} v 1 , … , v m − j span { v 1 , … , v j } \operatorname{span}\{v_1,\ldots,v_j\} span { v 1 , … , v j } j j j j ≥ m j\ge m j ≥ m J m ( 0 ) m = 0 J_m(0)^m=0 J m ( 0 ) m = 0 J m ( 0 ) j = 0 J_m(0)^j=0 J m ( 0 ) j = 0 m m m
ブロック直和では核も直和になるため、ブロックの大きさをm 1 , … , m p m_1,\ldots,m_p m 1 , … , m p
κ j = ∑ k = 1 p min ( j , m k ) . \kappa_j=\sum_{k=1}^p\min(j,m_k). κ j = k = 1 ∑ p min ( j , m k ) . したがって
κ j − κ j − 1 = # { k : m k ≥ j } . \kappa_j-\kappa_{j-1}
=\#\{k:m_k\ge j\}. κ j − κ j − 1 = # { k : m k ≥ j } . これは大きさがj j j j j j j + 1 j+1 j + 1 j j j N N N ▨
4 核の次元からの復元 例 4.1. 八次元空間上の冪零作用素について
κ 0 , κ 1 , κ 2 , κ 3 , κ 4 , κ 5 = 0 , 4 , 6 , 7 , 8 , 8 \kappa_0,\kappa_1,\kappa_2,\kappa_3,\kappa_4,\kappa_5
=0,4,6,7,8,8 κ 0 , κ 1 , κ 2 , κ 3 , κ 4 , κ 5 = 0 , 4 , 6 , 7 , 8 , 8 であるとする。階差
r j = κ j − κ j − 1 r_j=\kappa_j-\kappa_{j-1} r j = κ j − κ j − 1 は4 , 2 , 1 , 1 , 0 4,2,1,1,0 4 , 2 , 1 , 1 , 0 r j r_j r j j j j
b 1 = 4 − 2 = 2 , b 2 = 2 − 1 = 1 , b 3 = 1 − 1 = 0 , b 4 = 1 − 0 = 1. b_1=4-2=2,\quad
b_2=2-1=1,\quad
b_3=1-1=0,\quad
b_4=1-0=1. b 1 = 4 − 2 = 2 , b 2 = 2 − 1 = 1 , b 3 = 1 − 1 = 0 , b 4 = 1 − 0 = 1. したがって、ブロックの大きさは4 , 2 , 1 , 1 4,2,1,1 4 , 2 , 1 , 1 8 8 8
例 4.2. 八次元空間の基底を
e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , f 1 , f 2 , g 1 , g 2 e_1,e_2,e_3,e_4,\ f_1,f_2,\ g_1,g_2 e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , f 1 , f 2 , g 1 , g 2 とし、
N e 1 = 0 , N e j = e j − 1 ( 2 ≤ j ≤ 4 ) , Ne_1=0,\quad Ne_j=e_{j-1}\ (2\le j\le4), N e 1 = 0 , N e j = e j − 1 ( 2 ≤ j ≤ 4 ) , N f 1 = N g 1 = 0 , N f 2 = f 1 , N g 2 = g 1 Nf_1=Ng_1=0,\qquad Nf_2=f_1,\qquad Ng_2=g_1 N f 1 = N g 1 = 0 , N f 2 = f 1 , N g 2 = g 1 と定める。Jordan 鎖の長さは4 , 2 , 2 4,2,2 4 , 2 , 2 N j N^j N j min ( j , ℓ ) \min(j,\ell) min ( j , ℓ )
dim ker N j = { 0 j = 0 , 3 j = 1 , 6 j = 2 , 7 j = 3 , 8 j ≥ 4. \dim\ker N^j=
\begin{cases}
0&j=0,\\
3&j=1,\\
6&j=2,\\
7&j=3,\\
8&j\ge4.
\end{cases} dim ker N j = ⎩ ⎨ ⎧ 0 3 6 7 8 j = 0 , j = 1 , j = 2 , j = 3 , j ≥ 4. 階差は3 , 3 , 1 , 1 , 0 3,3,1,1,0 3 , 3 , 1 , 1 , 0
b 1 = 0 , b 2 = 2 , b 3 = 0 , b 4 = 1 b_1=0,\qquad b_2=2,\qquad b_3=0,\qquad b_4=1 b 1 = 0 , b 2 = 2 , b 3 = 0 , b 4 = 1 となる。核の次元列から、最初に与えた大きさ4 , 2 , 2 4,2,2 4 , 2 , 2
5 演習 問題 5.1 (五次の冪零行列の Jordan 鎖).
N = ( 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 ) ∈ M 5 ( Q ) N=\begin{pmatrix}0&1&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&1&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}\in M_5(\Q) N = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ∈ M 5 ( Q ) とする。κ j = dim ker N j \kappa_j=\dim\ker N^j κ j = dim ker N j j ≥ 0 j\geq0 j ≥ 0 定理 3.1 によって Jordan ブロックの大きさを決定せよ。さらに、Jordan 鎖からなるQ 5 \Q^5 Q 5 N N N
解答. N x = ( x 2 + x 4 , x 3 , 0 , x 3 + x 5 , 0 ) T Nx=(x_2+x_4,\,x_3,\,0,\,x_3+x_5,\,0)^{\mathsf T} N x = ( x 2 + x 4 , x 3 , 0 , x 3 + x 5 , 0 ) T N x = 0 Nx=0 N x = 0 x 3 = 0 x_3=0 x 3 = 0 x 2 = − x 4 x_2=-x_4 x 2 = − x 4 x 5 = − x 3 = 0 x_5=-x_3=0 x 5 = − x 3 = 0 κ 1 = 2 \kappa_1=2 κ 1 = 2 N 2 x = N ( N x ) = ( x 3 + ( x 3 + x 5 ) , 0 , 0 , 0 , 0 ) T = ( 2 x 3 + x 5 , 0 , 0 , 0 , 0 ) T N^2x=N(Nx)=(x_3+(x_3+x_5),0,0,0,0)^{\mathsf T}=(2x_3+x_5,0,0,0,0)^{\mathsf T} N 2 x = N ( N x ) = ( x 3 + ( x 3 + x 5 ) , 0 , 0 , 0 , 0 ) T = ( 2 x 3 + x 5 , 0 , 0 , 0 , 0 ) T κ 2 = 4 \kappa_2=4 κ 2 = 4 N 3 x = N ( N 2 x ) = 0 N^3x=N(N^2x)=0 N 3 x = N ( N 2 x ) = 0 κ j = 5 \kappa_j=5 κ j = 5 j ≥ 3 j\geq3 j ≥ 3 r j = κ j − κ j − 1 r_j=\kappa_j-\kappa_{j-1} r j = κ j − κ j − 1 r 1 = 2 r_1=2 r 1 = 2 r 2 = 2 r_2=2 r 2 = 2 r 3 = 1 r_3=1 r 3 = 1 r j = 0 r_j=0 r j = 0 j ≥ 4 j\geq4 j ≥ 4
b 1 = r 1 − r 2 = 0 , b 2 = r 2 − r 3 = 1 , b 3 = r 3 − r 4 = 1 b_1=r_1-r_2=0,\qquad b_2=r_2-r_3=1,\qquad b_3=r_3-r_4=1 b 1 = r 1 − r 2 = 0 , b 2 = r 2 − r 3 = 1 , b 3 = r 3 − r 4 = 1 であり、ブロックの大きさは3 , 2 3,2 3 , 2 3 3 3
v = e 3 v=e_3 v = e 3 N v = e 2 + e 4 Nv=e_2+e_4 N v = e 2 + e 4 N 2 v = 2 e 1 ≠ 0 N^2v=2e_1\neq0 N 2 v = 2 e 1 = 0 N 3 v = 0 N^3v=0 N 3 v = 0 w = e 3 − 2 e 5 w=e_3-2e_5 w = e 3 − 2 e 5 N 2 w N^2w N 2 w 2 ⋅ 1 + ( − 2 ) = 0 2\cdot1+(-2)=0 2 ⋅ 1 + ( − 2 ) = 0 N 2 w = 0 N^2w=0 N 2 w = 0 N w = e 2 − e 4 ≠ 0 Nw=e_2-e_4\neq0 N w = e 2 − e 4 = 0
N 2 v = 2 e 1 , N v = e 2 + e 4 , v = e 3 , N w = e 2 − e 4 , w = e 3 − 2 e 5 N^2v=2e_1,\quad Nv=e_2+e_4,\quad v=e_3,\quad Nw=e_2-e_4,\quad w=e_3-2e_5 N 2 v = 2 e 1 , N v = e 2 + e 4 , v = e 3 , N w = e 2 − e 4 , w = e 3 − 2 e 5 は一次独立である。実際、一次結合a ⋅ 2 e 1 + b ( e 2 + e 4 ) + c e 3 + d ( e 2 − e 4 ) + f ( e 3 − 2 e 5 ) = 0 a\cdot2e_1+b(e_2+e_4)+ce_3+d(e_2-e_4)+f(e_3-2e_5)=0 a ⋅ 2 e 1 + b ( e 2 + e 4 ) + c e 3 + d ( e 2 − e 4 ) + f ( e 3 − 2 e 5 ) = 0 e 5 e_5 e 5 f = 0 f=0 f = 0 e 3 e_3 e 3 c = 0 c=0 c = 0 e 2 e_2 e 2 e 4 e_4 e 4 b + d = 0 b+d=0 b + d = 0 b − d = 0 b-d=0 b − d = 0 b = d = 0 b=d=0 b = d = 0 e 1 e_1 e 1 a = 0 a=0 a = 0 N N N
( 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix} 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 である。▨