1 Jordan ブロック 定義 1.1. λ ∈ K \lambda\in K λ ∈ K m ≥ 1 m\ge1 m ≥ 1 λ \lambda λ m m m Jordan ブロック (Jordan block )
J m ( λ ) = ( λ 1 0 λ ⋱ ⋱ 1 0 λ ) = λ I m + J m ( 0 ) J_m(\lambda)=
\begin{pmatrix}
\lambda&1&&0\\
&\lambda&\ddots&\\
&&\ddots&1\\
0&&&\lambda
\end{pmatrix}
=\lambda I_m+J_m(0) J m ( λ ) = λ 0 1 λ ⋱ ⋱ 0 1 λ = λ I m + J m ( 0 ) と定める。Jordan ブロックを対角に並べたブロック対角行列をJordan 行列 (Jordan matrix )
2 存在と一意性 証明. 相異なる固有値をλ 1 , … , λ r \lambda_1,\ldots,\lambda_r λ 1 , … , λ r §E3.26 定理 2.1 により
V = G λ 1 ( T ) ⊕ ⋯ ⊕ G λ r ( T ) V=G_{\lambda_1}(T)\oplus\cdots\oplus G_{\lambda_r}(T) V = G λ 1 ( T ) ⊕ ⋯ ⊕ G λ r ( T ) である。各一般固有空間はT T T
N i = ( T − λ i I ) ∣ G λ i ( T ) N_i=(T-\lambda_iI)|_{G_{\lambda_i}(T)} N i = ( T − λ i I ) ∣ G λ i ( T ) は冪零である。§E3.29 定理 2.1 をN i N_i N i G λ i ( T ) G_{\lambda_i}(T) G λ i ( T ) N i N_i N i T ∣ G λ i ( T ) = λ i I + N i T|_{G_{\lambda_i}(T)}=\lambda_iI+N_i T ∣ G λ i ( T ) = λ i I + N i J m ( λ i ) J_m(\lambda_i) J m ( λ i )
各一般固有空間で得た基底を連結すると、直和分解によりV V V T T T T T T ▨
証明. 一つの Jordan 標準形を取る。固有値λ \lambda λ T − λ I T-\lambda I T − λ I λ \lambda λ
別の固有値μ ≠ λ \mu\ne\lambda μ = λ m m m
T − λ I = ( μ − λ ) I + J m ( 0 ) T-\lambda I=(\mu-\lambda)I+J_m(0) T − λ I = ( μ − λ ) I + J m ( 0 ) である。μ − λ ≠ 0 \mu-\lambda\ne0 μ − λ = 0
1 μ − λ ∑ q = 0 m − 1 ( − J m ( 0 ) μ − λ ) q \frac1{\mu-\lambda}
\sum_{q=0}^{m-1}
\left(-\frac{J_m(0)}{\mu-\lambda}\right)^q μ − λ 1 q = 0 ∑ m − 1 ( − μ − λ J m ( 0 ) ) q で与えられる。したがって、その任意の冪の核は零である。よってker ( T − λ I ) j \ker(T-\lambda I)^j ker ( T − λ I ) j λ \lambda λ
§E3.29 定理 3.1 をT − λ I T-\lambda I T − λ I
b j ( λ ) = ( κ j − κ j − 1 ) − ( κ j + 1 − κ j ) b_j(\lambda)
=(\kappa_j-\kappa_{j-1})-(\kappa_{j+1}-\kappa_j) b j ( λ ) = ( κ j − κ j − 1 ) − ( κ j + 1 − κ j ) を得る。各κ j ( λ ) \kappa_j(\lambda) κ j ( λ ) T T T T T T ▨
系 2.3. 固有値λ \lambda λ λ \lambda λ λ \lambda λ q λ q_\lambda q λ
m T ( t ) = ∏ λ ( t − λ ) q λ . m_T(t)=\prod_\lambda(t-\lambda)^{q_\lambda}. m T ( t ) = λ ∏ ( t − λ ) q λ . 証明. 大きさm m m J m ( λ ) J_m(\lambda) J m ( λ ) ( t − λ ) m (t-\lambda)^m ( t − λ ) m
J m ( λ ) − λ I = J m ( 0 ) J_m(\lambda)-\lambda I=J_m(0) J m ( λ ) − λ I = J m ( 0 ) m m m p p p
p ( t ) = ( t − λ ) q u ( t ) , u ( λ ) ≠ 0 p(t)=(t-\lambda)^q u(t),\qquad u(\lambda)\ne0 p ( t ) = ( t − λ ) q u ( t ) , u ( λ ) = 0 と書く。u ( J m ( λ ) ) u(J_m(\lambda)) u ( J m ( λ )) u ( λ ) u(\lambda) u ( λ )
p ( J m ( λ ) ) = 0 ⟺ J m ( 0 ) q = 0 ⟺ q ≥ m . p(J_m(\lambda))=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
J_m(0)^q=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
q\ge m. p ( J m ( λ )) = 0 ⟺ J m ( 0 ) q = 0 ⟺ q ≥ m . よって、λ \lambda λ ( t − λ ) (t-\lambda) ( t − λ ) q λ q_\lambda q λ ▨
系 2.4. T T T 1 1 1
証明. 全ブロックの大きさが1 1 1 T T T m T m_T m T §E3.22 定理 4.1 により重根をもたない一次因子の積である。系 2.3 により各固有値に対応する最大ブロックの大きさは1 1 1 1 1 1 ▨
3 核の次元による計算 例 3.1. 四次元で特性多項式が( t − 5 ) 4 (t-5)^4 ( t − 5 ) 4
4 , 3 + 1 , 2 + 2 , 2 + 1 + 1 , 1 + 1 + 1 + 1 4,\quad 3+1,\quad 2+2,\quad 2+1+1,\quad 1+1+1+1 4 , 3 + 1 , 2 + 2 , 2 + 1 + 1 , 1 + 1 + 1 + 1 の五通りがある。dim ker ( T − 5 I ) \dim\ker(T-5I) dim ker ( T − 5 I ) 1 , 2 , 2 , 3 , 4 1,2,2,3,4 1 , 2 , 2 , 3 , 4 3 + 1 3+1 3 + 1 2 + 2 2+2 2 + 2
dim ker ( T − 5 I ) 2 \dim\ker(T-5I)^2 dim ker ( T − 5 I ) 2 は3 + 1 3+1 3 + 1 min ( 2 , 3 ) + min ( 2 , 1 ) = 3 \min(2,3)+\min(2,1)=3 min ( 2 , 3 ) + min ( 2 , 1 ) = 3 2 + 2 2+2 2 + 2 min ( 2 , 2 ) + min ( 2 , 2 ) = 4 \min(2,2)+\min(2,2)=4 min ( 2 , 2 ) + min ( 2 , 2 ) = 4
例 3.2.
A = ( 5 1 0 0 0 5 0 0 0 0 5 0 1 0 0 5 ) , N = A − 5 I A=
\begin{pmatrix}
5&1&0&0\\
0&5&0&0\\
0&0&5&0\\
1&0&0&5
\end{pmatrix},
\qquad N=A-5I A = 5 0 0 1 1 5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 5 , N = A − 5 I とする。標準基底について
N e 2 = e 1 , N e 1 = e 4 , N e 4 = 0 , N e 3 = 0 Ne_2=e_1,\qquad Ne_1=e_4,\qquad Ne_4=0,\qquad Ne_3=0 N e 2 = e 1 , N e 1 = e 4 , N e 4 = 0 , N e 3 = 0 である。したがって
( e 4 , e 1 , e 2 ) , ( e 3 ) (e_4,e_1,e_2),\qquad(e_3) ( e 4 , e 1 , e 2 ) , ( e 3 ) は長さ3 3 3 1 1 1
P = ( e 4 e 1 e 2 e 3 ) = ( 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 ) P=(e_4\ e_1\ e_2\ e_3)
=
\begin{pmatrix}
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
1&0&0&0
\end{pmatrix} P = ( e 4 e 1 e 2 e 3 ) = 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 に対して
P − 1 A P = ( 5 1 0 0 0 5 1 0 0 0 5 0 0 0 0 5 ) = J 3 ( 5 ) ⊕ J 1 ( 5 ) . P^{-1}AP=
\begin{pmatrix}
5&1&0&0\\
0&5&1&0\\
0&0&5&0\\
0&0&0&5
\end{pmatrix}
=J_3(5)\oplus J_1(5). P − 1 A P = 5 0 0 0 1 5 0 0 0 1 5 0 0 0 0 5 = J 3 ( 5 ) ⊕ J 1 ( 5 ) . また、
dim ker N = 2 , dim ker N 2 = 3 , dim ker N 3 = 4 \dim\ker N=2,\qquad \dim\ker N^2=3,\qquad \dim\ker N^3=4 dim ker N = 2 , dim ker N 2 = 3 , dim ker N 3 = 4 である。階差2 , 1 , 1 , 0 2,1,1,0 2 , 1 , 1 , 0 1 1 1 3 3 3
4 演習 問題 4.1 (特性多項式・最小多項式・固有空間の次元で決まらない Jordan 標準形).
七次元の線形空間上の冪零作用素N 1 , N 2 N_1,N_2 N 1 , N 2 3 , 3 , 1 3,3,1 3 , 3 , 1 3 , 2 , 2 3,2,2 3 , 2 , 2 N 1 N_1 N 1 N 2 N_2 N 2 dim ker \dim\ker dim ker
三次元の線形空間上の自己準同型T , S T,S T , S χ T = χ S \chi_T=\chi_S χ T = χ S m T = m S m_T=m_S m T = m S T T T S S S
解答. (1) を示す。大きさm m m dim ker J m ( 0 ) j = min ( j , m ) \dim\ker J_m(0)^j=\min(j,m) dim ker J m ( 0 ) j = min ( j , m ) m 1 , … , m s m_1,\ldots,m_s m 1 , … , m s dim ker N j = ∑ i min ( j , m i ) \dim\ker N^j=\sum_i\min(j,m_i) dim ker N j = ∑ i min ( j , m i ) 系 2.3 により、N 1 , N 2 N_1,N_2 N 1 , N 2 0 0 0 7 7 7 3 3 3 χ N 1 = χ N 2 = t 7 \chi_{N_1}=\chi_{N_2}=t^7 χ N 1 = χ N 2 = t 7 m N 1 = m N 2 = t 3 m_{N_1}=m_{N_2}=t^3 m N 1 = m N 2 = t 3 dim ker N 1 = dim ker N 2 = 3 \dim\ker N_1=\dim\ker N_2=3 dim ker N 1 = dim ker N 2 = 3
dim ker N 1 2 = 2 + 2 + 1 = 5 , dim ker N 2 2 = 2 + 2 + 2 = 6 \dim\ker N_1^2=2+2+1=5,\qquad\dim\ker N_2^2=2+2+2=6 dim ker N 1 2 = 2 + 2 + 1 = 5 , dim ker N 2 2 = 2 + 2 + 2 = 6 である。相似な作用素の冪の核の次元は等しいから、N 1 N_1 N 1 N 2 N_2 N 2
(2) を示す。系 2.3 により、各固有値λ \lambda λ χ \chi χ ( t − λ ) (t-\lambda) ( t − λ ) a a a m m m q q q a ≤ 3 a\leq3 a ≤ 3 a a a q q q ( a , q ) = ( 1 , 1 ) (a,q)=(1,1) ( a , q ) = ( 1 , 1 ) { 1 } \{1\} { 1 } ( 2 , 2 ) (2,2) ( 2 , 2 ) { 2 } \{2\} { 2 } ( 2 , 1 ) (2,1) ( 2 , 1 ) { 1 , 1 } \{1,1\} { 1 , 1 } ( 3 , 3 ) (3,3) ( 3 , 3 ) { 3 } \{3\} { 3 } ( 3 , 2 ) (3,2) ( 3 , 2 ) { 2 , 1 } \{2,1\} { 2 , 1 } ( 3 , 1 ) (3,1) ( 3 , 1 ) { 1 , 1 , 1 } \{1,1,1\} { 1 , 1 , 1 } χ \chi χ m m m T T T S S S 定理 2.2 と合わせると、このときT T T S S S ▨