§E3.7完全列と分裂

(1)を示す。$s$を切断とすると$p\circ(s-s_0)=\operatorname{id}_W-\operatorname{id}_W=0$であるから、$\operatorname{im}(s-s_0)\subseteq\ker p=\operatorname{im}i$である。$i$は単射であるから、各$w\in W$について$i(\varphi(w))=(s-s_0)(w)$を満たす$\varphi(w)\in U$がただ一つ存在し、$i$の線形性と単射性から$\varphi$は線形である。したがって$s=s_0+i\circ\varphi$であり、$i$の単射性から$\varphi$は$s$から一意に定まる。逆に$\varphi\in\operatorname{Hom}_K(W,U)$について$p\circ(s_0+i\circ\varphi)=\operatorname{id}_W+(p\circ i)\circ\varphi=\operatorname{id}_W$であるから、$s_0+i\circ\varphi$は切断である。よって切断全体は$\operatorname{Hom}_K(W,U)$と一対一に対応する。$K=\mathbb F_q$のとき、基底を選ぶと$\operatorname{Hom}_K(W,U)$は$m\times n$行列全体と一対一に対応するから、その元の個数は$q^{mn}$であり、切断の個数も$q^{mn}$である。

(2)を示す。切断$s$について$p\circ(\operatorname{id}_V-s\circ p)=p-p=0$であるから、前段と同じく$i\circ r_s=\operatorname{id}_V-s\circ p$を満たす線形写像$r_s:V\to U$がただ一つ存在する。$p\circ i=0$から$i\circ r_s\circ i=i-s\circ p\circ i=i$であり、$i$の単射性から$r_s\circ i=\operatorname{id}_U$である。よって$r_s$は左逆写像である。

逆に左逆写像$r$をとる。$w\in W$に対して$p(v)=w$を満たす$v\in V$を選び、$s_r(w)=v-i(r(v))$と定める。$p(v)=p(v')$ならば$v-v'=i(u)$（$u\in U$）と書けて、$(v-i(r(v)))-(v'-i(r(v')))=i(u)-i(r(i(u)))=0$であるから、$s_r(w)$は$v$の選択に依存しない。この独立性と$p,i,r$の線形性から$s_r$は線形であり、$p(s_r(w))=w-p(i(r(v)))=w$であるから$s_r$は切断である。定義から$s_r\circ p=\operatorname{id}_V-i\circ r$が成り立つ。

二つの対応が互いに逆であることを示す。$i\circ r_{s_r}=\operatorname{id}_V-s_r\circ p=i\circ r$であり、$i$は単射であるから$r_{s_r}=r$である。また$s_{r_s}\circ p=\operatorname{id}_V-i\circ r_s=s\circ p$であり、$p$は全射であるから$s_{r_s}=s$である。したがって$s\mapsto r_s$は全単射である。▨