一般固有空間 | 線形代数 II

1 核の増大列

定義 1.1. $K$ を可換体、 $V$ を有限次元 $K$ -線形空間、 $T\in\operatorname{End}_K(V)$ とし、 $n=\dim_KV$ と置く。 $\lambda\in K$ に対し

G_\lambda(T)=\ker(T-\lambda I)^n

を $\lambda$ に対応する一般固有空間 (generalized eigenspace) という。

補題 1.2. $K$ を可換体、 $V$ を $n$ 次元 $K$ -線形空間、 $N\in\operatorname{End}_K(V)$ とする。増大列

\ker N\subseteq\ker N^2\subseteq\cdots

について、 $\ker N^k=\ker N^{k+1}$ が一度成り立てば、それ以降の全ての核は等しい。特に、

\ker N^n=\ker N^{n+1}=\cdots

である。

証明. $\ker N^k=\ker N^{k+1}$ と仮定する。 $x\in\ker N^{k+2}$ なら $Nx\in\ker N^{k+1}=\ker N^k$ なので、 $N^{k+1}x=0$ である。したがって $x\in\ker N^{k+1}$ であり、逆の包含は常に成り立つから $\ker N^{k+1}=\ker N^{k+2}$ となる。この議論を繰り返せば、それ以降の核は全て等しい。

$\ker N^j\subsetneq\ker N^{j+1}$ であるたびに次元は少なくとも $1$ 増える。次元は $n$ 以下なので、 $n$ 番目までには等号が生じる。よって $\ker N^n$ 以降は一定である。▨

命題 1.3. $K$ を可換体、 $V$ を有限次元 $K$ -線形空間、 $T\in\operatorname{End}_K(V)$ 、 $\lambda\in K$ とする。各 $k\ge1$ に対して $\ker(T-\lambda I)^k$ は $T$ -不変である。したがって $G_\lambda(T)$ も $T$ -不変であり、 $T-\lambda I$ の $G_\lambda(T)$ への制限は冪零である。

証明. $T$ と $(T-\lambda I)^k$ は可換する。 $x\in\ker(T-\lambda I)^k$ なら

(T-\lambda I)^kTx=T(T-\lambda I)^kx=0

なので、 $Tx$ も同じ核に属する。特に $G_\lambda(T)$ は不変であり、その上では $(T-\lambda I)^n=0$ である。▨

2 固有値ごとの直和分解

定理 2.1. $K$ を可換体、 $V$ を有限次元 $K$ -線形空間、 $T\in\operatorname{End}_K(V)$ とする。 $T$ の特性多項式が

\chi_T(t)=\prod_{i=1}^r(t-\lambda_i)^{a_i}

と $K[t]$ で分解するとする。ここで $\lambda_1,\ldots,\lambda_r$ は相異なり、 $a_i\ge1$ である。このとき

V=G_{\lambda_1}(T)\oplus\cdots\oplus G_{\lambda_r}(T)

であり、

\dim_KG_{\lambda_i}(T)=a_i

が各 $i$ について成り立つ。

証明. 最小多項式は特性多項式を割り、§E3.22 定理 2.1により両者の根は一致するので、正整数 $e_i$ を用いて

m_T(t)=\prod_{i=1}^r(t-\lambda_i)^{e_i},\qquad 1\le e_i\le a_i

と書くことができる。§E3.23 定理 1.1により

V=\bigoplus_{i=1}^r\ker(T-\lambda_i I)^{e_i}.

この直和の第 $j$ 成分では $T=\lambda_jI+N_j$ と書け、 $N_j^{e_j}=0$ である。 $j\ne i$ なら

T-\lambda_iI=(\lambda_j-\lambda_i) \left(I+\frac{N_j}{\lambda_j-\lambda_i}\right)

であり、括弧内の逆写像は有限幾何級数で与えられる。したがって $T-\lambda_iI$ は第 $j$ 成分上で可逆である。一方、第 $i$ 成分上では $(T-\lambda_iI)^{e_i}=0$ である。よって $k\ge e_i$ に対して

\ker(T-\lambda_i I)^k=\ker(T-\lambda_i I)^{e_i}.

$e_i\le a_i\le n$ なので、右辺は $G_{\lambda_i}(T)$ である。これにより、表示した一般固有空間の直和分解を得る。

次元を求める。 $W_i=G_{\lambda_i}(T)$ 、 $N_i=(T-\lambda_i I)|_{W_i}$ と置くと $N_i$ は冪零である。冪零指数を $q$ とすれば

(I-sN_i)^{-1}=I+sN_i+\cdots+s^{q-1}N_i^{q-1}

が $K[s]$ 上で成り立つ。したがって $\det(I-sN_i)$ は $K[s]$ の単元であり、 $s=0$ での値が $1$ なので恒等的に $1$ である。 $d_i=\dim W_i$ とすると

\chi_{T|_{W_i}}(t) =\det\bigl((t-\lambda_i)I-N_i\bigr) =(t-\lambda_i)^{d_i}.

直和に適合する基底では $T$ の行列はブロック対角形であるから

\chi_T(t)=\prod_{i=1}^r\chi_{T|_{W_i}}(t) =\prod_{i=1}^r(t-\lambda_i)^{d_i}.

相異なる一次因子の指数を比較して $d_i=a_i$ を得る。▨

一般固有空間への直和分解により、一般の作用素を固有値ごとの作用素へ分けることができる。各成分上の作用素は

T|_{G_\lambda(T)}=\lambda I+N_\lambda

と書くことができ、 $N_\lambda$ は冪零である。

3 計算例

例 3.1. $V=\C^3$ とし、

A= \begin{pmatrix} 2&1&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2 \end{pmatrix}

とする。固有値 $2$ の代数的重複度は $3$ である。一方、

A-2I= \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}

なので

\ker(A-2I)=\operatorname{span}(e_1,e_3)

は二次元である。しかし $(A-2I)^2=0$ であるから

G_2(A)=\ker(A-2I)^3=\C^3.

一般固有空間の次元は代数的重複度 $3$ と一致する。

例 3.2.

A= \begin{pmatrix} 2&1&0&0\\ 0&2&0&0\\ 0&0&2&0\\ 0&0&1&5 \end{pmatrix}

とする。特性多項式は $(t-2)^3(t-5)$ である。

f_1(t)=t-5,\qquad f_2(t)=(t-2)^3

に対し、

g_1(t)=\frac{-t^2+t-7}{27},\qquad g_2(t)=\frac1{27}

と置くと、直接展開することにより

g_1f_1+g_2f_2=1

を確認することができる。一次分解の射影作用素

P_1=g_1(A)f_1(A),\qquad P_2=g_2(A)f_2(A)

は

P_1= \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&-\frac13&0 \end{pmatrix}, \qquad P_2= \begin{pmatrix} 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&\frac13&1 \end{pmatrix}

となる。行列積を計算すると

P_1+P_2=I,\qquad P_i^2=P_i,\qquad P_1P_2=P_2P_1=0

である。さらに $\operatorname{rank}P_1=3$ 、 $\operatorname{rank}P_2=1$ なので、それぞれの像が $G_2(A)$ と $G_5(A)$ を与える。

4 演習

問題 4.1 (核の増大列の計算).

A=\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&0\\0&0&1&2\end{pmatrix}\in M_4(\Q)

とする。 $\chi_A$ を求め、すべての $k\geq1$ について $\dim\ker(A-I)^k$ を求めよ。さらに $G_1(A)$ と $G_2(A)$ の基底を求め、 $\Q^4=G_1(A)\oplus G_2(A)$ を確かめよ。

解答.

$tI-A$ は、第 $4$ 列が $(0,0,0,t-2)^{\mathsf T}$ であるから第 $4$ 列に沿って展開すると $(t-2)\det(tI_3-A')$ であり、 $A'$ は左上の $3\times3$ 上三角行列で対角成分がすべて $1$ である。したがって $\chi_A(t)=(t-1)^3(t-2)$ である。 $N=A-I$ と置くと

N=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\\0&0&1&1\end{pmatrix},\quad N^2=\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&1\end{pmatrix},\quad N^3=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&1\end{pmatrix}

である。 $Nx=(x_2,x_3,0,x_3+x_4)^{\mathsf T}=0$ は $x_2=x_3=x_4=0$ と同値であり、 $N^2x=(x_3,0,0,x_3+x_4)^{\mathsf T}=0$ は $x_3=x_4=0$ と同値であり、 $N^3x=0$ は $x_3+x_4=0$ と同値である。したがって

\ker N=\operatorname{span}(e_1),\quad\ker N^2=\operatorname{span}(e_1,e_2),\quad\ker N^3=\operatorname{span}(e_1,e_2,e_3-e_4)

であり、次元は $1,2,3$ である。 $N^3$ の第 $4$ 行 $(0,0,1,1)$ と $N$ の各行の積を計算すると $N^4=N\cdot N^3=N^3$ であるから $\ker N^4=\ker N^3$ であり、補題 1.2により $k\geq3$ ではすべて $\dim\ker N^k=3$ である。定義 1.1により $G_1(A)=\ker N^4=\operatorname{span}(e_1,e_2,e_3-e_4)$ である。

$(A-2I)x=(-x_1+x_2,\,-x_2+x_3,\,-x_3,\,x_3)^{\mathsf T}=0$ は $x_1=x_2=x_3=0$ と同値であるから $\ker(A-2I)=\operatorname{span}(e_4)$ である。定理 2.1により $\dim G_2(A)=4-\dim G_1(A)=1$ であり、 $\ker(A-2I)\subseteq G_2(A)$ から $G_2(A)=\operatorname{span}(e_4)$ である。四つのベクトル $e_1,e_2,e_3-e_4,e_4$ は $\Q^4$ の基底であるから、 $\Q^4=G_1(A)\oplus G_2(A)$ である。▨

§E3.26一般固有空間

1 核の増大列

2 固有値ごとの直和分解

3 計算例

4 演習

参考文献

前提記事