§E3.12テンソル冪と置換作用

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以下、KKを可換体とし、全ての線形空間はKK上の線形空間とする。三つ以上の線形空間のテンソル積は、多重線形写像を表す普遍対象として定めることができる。二項テンソル積を繰り返して作った線形空間も同じ普遍性をもつため、括弧の付け方が異なるテンソル積の間には標準的な同型がある。同じ線形空間を複数回テンソル積したテンソル冪では、因子の順序を置換する線形同型が定まる。

1 多重テンソル積

定義 1.1.r≥2r\geq2とし、V1,…,VrV_1,\ldots,V_rをKK上の線形空間とする。V1,…,VrV_1,\ldots,V_rの多重テンソル積 (multiple tensor product) とは、KK-線形空間V1⊗⋯⊗VrV_1\otimes\cdots\otimes V_rとrr重線形写像

τ:V1×⋯×Vr→V1⊗⋯⊗Vr\tau:V_1\times\cdots\times V_r\to V_1\otimes\cdots\otimes V_r

の組であって、任意のrr重線形写像B:V1×⋯×Vr→XB:V_1\times\cdots\times V_r\to Xに対しB=B~∘τB=\widetilde B\circ\tauを満たす線形写像B~:V1⊗⋯⊗Vr→X\widetilde B:V_1\otimes\cdots\otimes V_r\to Xがただ一つ存在するものをいう。τ(v1,…,vr)\tau(v_1,\ldots,v_r)をv1⊗⋯⊗vrv_1\otimes\cdots\otimes v_rと書く。

命題 1.2.r≥2r\geq2とし、V1,…,VrV_1,\ldots,V_rをKK上の線形空間とする。多重テンソル積は存在し、標準的な同型を除いて一意である。各VjV_jが有限次元で基底(eij(j))(e^{(j)}_{i_j})をもつなら、

ei1(1)⊗⋯⊗eir(r)e^{(1)}_{i_1}\otimes\cdots\otimes e^{(r)}_{i_r}

の全体が基底である。

証明.r=2r=2は§E3.11 定義 1.1と§E3.11 定理 1.2で構成済みである。r−1r-1個の場合が存在すると仮定し、

T=(V1⊗⋯⊗Vr−1)⊗VrT=(V_1\otimes\cdots\otimes V_{r-1})\otimes V_r

とおく。写像(v1,…,vr)↦(v1⊗⋯⊗vr−1)⊗vr(v_1,\ldots,v_r)\mapsto(v_1\otimes\cdots\otimes v_{r-1})\otimes v_rは各変数について線形である。

rr重線形写像B:V1×⋯×Vr→XB:V_1\times\cdots\times V_r\to Xを取る。固定したvrv_rに対し、最初のr−1r-1変数の普遍性から線形写像Lvr:V1⊗⋯⊗Vr−1→XL_{v_r}:V_1\otimes\cdots\otimes V_{r-1}\to Xが得られる。BBの最終変数についての線形性と一意性から、(z,vr)↦Lvr(z)(z,v_r)\mapsto L_{v_r}(z)は双線形である。二項テンソル積の普遍性により、これはT→XT\to Xのただ一つの線形写像へ移る。したがってTTはrr重線形写像の普遍性を満たす。一意性は§E3.11 命題 1.3と同じ相互逆写像の議論から従う。

有限次元の基底の主張は§E3.11 定理 2.1をrrについて帰納的に適用して得る。▨

2 結合順序の比較

定理 2.1.KK上の線形空間U,V,WU,V,Wに対して

αU,V,W:(U⊗V)⊗W⟶U⊗(V⊗W),\alpha_{U,V,W}:(U\otimes V)\otimes W\longrightarrow U\otimes(V\otimes W),αU,V,W((u⊗v)⊗w)=u⊗(v⊗w)\alpha_{U,V,W}\bigl((u\otimes v)\otimes w\bigr)=u\otimes(v\otimes w)

を満たす線形同型がただ一つ存在する。この同型は基底の選択に依存しない。

証明. 写像(u,v,w)↦u⊗(v⊗w)(u,v,w)\mapsto u\otimes(v\otimes w)は三重線形である。命題 1.2の証明により(U⊗V)⊗W(U\otimes V)\otimes Wは三重テンソル積の普遍性を満たすので、表示式を満たす線形写像αU,V,W\alpha_{U,V,W}がただ一つ存在する。同様に(u,v,w)↦(u⊗v)⊗w(u,v,w)\mapsto(u\otimes v)\otimes wから逆向きの線形写像β\betaが得られる。合成β∘α\beta\circ\alphaは全ての生成元(u⊗v)⊗w(u\otimes v)\otimes wを自身へ送るので恒等写像である。逆向きの合成も同様であり、α\alphaは同型である。定義式に基底が現れないので基底の選択に依存しない。▨

結合同型を用いると、有限個の因子の括弧を省略してV1⊗⋯⊗VrV_1\otimes\cdots\otimes V_rと書くことができる。ただし、括弧の付け方だけが異なる二つのテンソル積は、集合として等しいのではなく、上の標準同型によって比較される。

定義 2.2.KK上の線形空間VVと非負整数rrに対し、

V⊗r=V⊗⋯⊗V⏟r 個V^{\otimes r}=\underbrace{V\otimes\cdots\otimes V}_{r\text{ 個}}

をVVのrr次テンソル冪 (r-th tensor power) という。V⊗0=KV^{\otimes0}=Kと定める。

3 因子の置換

定理 3.1.VVをKK上の線形空間、r≥2r\geq2を整数とし、SrS_rをrr次対称群とする。σ∈Sr\sigma\in S_rに対し、

Pσ:V⊗r→V⊗r,Pσ(v1⊗⋯⊗vr)=vσ−1(1)⊗⋯⊗vσ−1(r)P_\sigma:V^{\otimes r}\to V^{\otimes r},\qquad P_\sigma(v_1\otimes\cdots\otimes v_r) =v_{\sigma^{-1}(1)}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma^{-1}(r)}

を満たす線形同型がただ一つ存在する。さらに

Pid⁡=id⁡V⊗r,PσPτ=PστP_{\operatorname{id}}=\operatorname{id}_{V^{\otimes r}},\qquad P_\sigma P_\tau=P_{\sigma\tau}

が成り立つ。

証明. 右辺は(v1,…,vr)(v_1,\ldots,v_r)の各変数について線形なので、多重テンソル積の普遍性からPσP_\sigmaが存在して一意に定まる。純テンソル上で

PσPτ(v1⊗⋯⊗vr)=Pσ(vτ−1(1)⊗⋯⊗vτ−1(r))=vτ−1σ−1(1)⊗⋯⊗vτ−1σ−1(r)=v(στ)−1(1)⊗⋯⊗v(στ)−1(r)=Pστ(v1⊗⋯⊗vr).\begin{aligned} P_\sigma P_\tau(v_1\otimes\cdots\otimes v_r) &=P_\sigma(v_{\tau^{-1}(1)}\otimes\cdots\otimes v_{\tau^{-1}(r)})\\ &=v_{\tau^{-1}\sigma^{-1}(1)}\otimes\cdots\otimes v_{\tau^{-1}\sigma^{-1}(r)}\\ &=v_{(\sigma\tau)^{-1}(1)}\otimes\cdots\otimes v_{(\sigma\tau)^{-1}(r)}\\ &=P_{\sigma\tau}(v_1\otimes\cdots\otimes v_r). \end{aligned}

純テンソルが全体を生成するので合成の式が全体で成り立つ。恒等置換の式も定義から従う。合成の式でτ=σ−1\tau=\sigma^{-1}とすればPσPσ−1=id⁡P_\sigma P_{\sigma^{-1}}=\operatorname{id}となるため、PσP_\sigmaは同型である。▨

例 3.2.r=2r=2の非自明な置換に対する写像を

P(v⊗w)=w⊗vP(v\otimes w)=w\otimes v

と書く。P2=id⁡P^2=\operatorname{id}である。V=K2V=K^2の基底をe1,e2e_1,e_2とすると、

P(e1⊗e2+2e2⊗e1)=e2⊗e1+2e1⊗e2.P(e_1\otimes e_2+2e_2\otimes e_1) =e_2\otimes e_1+2e_1\otimes e_2.

一方、e1⊗e1+e2⊗e2e_1\otimes e_1+e_2\otimes e_2はPPによって固定される。交換によって固定される部分と符号が変わる部分は、後の対称冪と外冪でそれぞれ商を通じて取り出す。

注意 3.3 (扱う置換作用の境界). 本記事で用いるのは、テンソル因子の並べ替えから必然的に定まる写像PσP_\sigmaだけである。一般の群の線形作用、表現の既約分解、指標、Maschke の定理は表現論が扱う。

4 演習

問題 4.1 (逆元を用いない添字による置換作用).r≥2r\geq2とし、σ∈Sr\sigma\in S_rに対してQσ(v1⊗⋯⊗vr)=vσ(1)⊗⋯⊗vσ(r)Q_\sigma(v_1\otimes\cdots\otimes v_r)=v_{\sigma(1)}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma(r)}を満たす線形写像Qσ:V⊗r→V⊗rQ_\sigma:V^{\otimes r}\to V^{\otimes r}を考える。置換の積στ\sigma\tauはτ\tauを先に施す合成とする。Qσ=Pσ−1Q_\sigma=P_{\sigma^{-1}}とQσQτ=QτσQ_\sigma Q_\tau=Q_{\tau\sigma}を示せ。さらにr=3r=3、dim⁡V≥3\dim V\geq3、σ=(1 2)\sigma=(1\,2)、τ=(2 3)\tau=(2\,3)についてQσQτ(e1⊗e2⊗e3)Q_\sigma Q_\tau(e_1\otimes e_2\otimes e_3)とQστ(e1⊗e2⊗e3)Q_{\sigma\tau}(e_1\otimes e_2\otimes e_3)を計算し、QσQτ≠QστQ_\sigma Q_\tau\neq Q_{\sigma\tau}であることを確かめよ。

解答.

定理 3.1のPσ−1P_{\sigma^{-1}}は純テンソルをv(σ−1)−1(1)⊗⋯⊗v(σ−1)−1(r)=vσ(1)⊗⋯⊗vσ(r)v_{(\sigma^{-1})^{-1}(1)}\otimes\cdots\otimes v_{(\sigma^{-1})^{-1}(r)}=v_{\sigma(1)}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma(r)}へ写すから、純テンソル上でQσQ_\sigmaと一致し、純テンソルがV⊗rV^{\otimes r}を生成するのでQσ=Pσ−1Q_\sigma=P_{\sigma^{-1}}である。したがって

QσQτ=Pσ−1Pτ−1=Pσ−1τ−1=P(τσ)−1=QτσQ_\sigma Q_\tau=P_{\sigma^{-1}}P_{\tau^{-1}}=P_{\sigma^{-1}\tau^{-1}}=P_{(\tau\sigma)^{-1}}=Q_{\tau\sigma}

である。

σ=(1 2)\sigma=(1\,2)、τ=(2 3)\tau=(2\,3)とすると、τσ\tau\sigmaは1↦31\mapsto3、2↦12\mapsto1、3↦23\mapsto2を満たし、στ\sigma\tauは1↦21\mapsto2、2↦32\mapsto3、3↦13\mapsto1を満たす。したがって

QσQτ(e1⊗e2⊗e3)=Qτσ(e1⊗e2⊗e3)=e3⊗e1⊗e2,Qστ(e1⊗e2⊗e3)=e2⊗e3⊗e1Q_\sigma Q_\tau(e_1\otimes e_2\otimes e_3)=Q_{\tau\sigma}(e_1\otimes e_2\otimes e_3)=e_3\otimes e_1\otimes e_2,\qquad Q_{\sigma\tau}(e_1\otimes e_2\otimes e_3)=e_2\otimes e_3\otimes e_1

である。直接の計算でも、Qτ(e1⊗e2⊗e3)=e1⊗e3⊗e2Q_\tau(e_1\otimes e_2\otimes e_3)=e_1\otimes e_3\otimes e_2であり、このテンソルの第一因子と第二因子を入れ替えるとe3⊗e1⊗e2e_3\otimes e_1\otimes e_2になる。定理 2.1によりV⊗3V^{\otimes3}を(V⊗V)⊗V(V\otimes V)\otimes Vと同一視して§E3.11 定理 2.1を二回用いると、ei⊗ej⊗eke_i\otimes e_j\otimes e_kの形の相異なるテンソルは一次独立であるから、二つの値は異なり、QσQτ≠QστQ_\sigma Q_\tau\neq Q_{\sigma\tau}である。▨

参考文献

  1. Werner H. Greub, Multilinear Algebra, 2nd ed., Universitext, Springer, New York, 1978.多重テンソル積、結合写像、置換作用を参考にした。
  2. Serge Lang, Algebra, revised 3 ed., Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 2002.テンソル積の結合性とテンソル冪を参考にした。

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