等差数列・等比数列 | 数列と極限

1 等差数列

まず、一定の数を加えて次の項を作る数列を定義します。

定義 1.1 (等差数列). すべての正の整数 $n$ について

a_{n+1}-a_n=d

が成り立つ数列 $\{a_n\}$ を等差数列という。 $a_1$ を初項、一定の差 $d$ を公差という。

初項から第 $n$ 項までには、公差を $n-1$ 回加えます。

公式 1.2 (等差数列の一般項). 初項が $a$ 、公差が $d$ である等差数列について、すべての正の整数 $n$ に対して第 $n$ 項は

a_n=a+(n-1)d

である。

証明. 正の整数 $n$ を固定する。漸化関係 $a_{k+1}=a_k+d$ を $k=1,\ldots,n-1$ に対して順に用いると

a_n=a_1+d+\cdots+d=a+(n-1)d

となる。▨

等差数列の和は、項を逆順に並べた和を加えると導くことができます。

公式 1.3 (等差数列の和). 初項が $a$ 、公差が $d$ である等差数列 $\{a_n\}$ と正の整数 $n$ に対して、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ は、末項 $l=a_n=a+(n-1)d$ を用いて

S_n=\frac{n(a+l)}2 =\frac{n\{2a+(n-1)d\}}2

である。

証明. 正の整数 $n$ と初項 $a$ 、公差 $d$ 、末項 $l$ を固定し、 $S_n$ を項の順方向と逆方向に書く。

\begin{aligned} S_n&=a+(a+d)+\cdots +(l-d)+l,\\ S_n&=l+(l-d)+\cdots +(a+d)+a \end{aligned}

対応する項を加えると、どの組も $a+l$ となる。組は $n$ 個あるので

2S_n=n(a+l)

となる。両辺を $2$ で割ると公式を得る。▨

例 1.4. 等差数列の初項が $3$ 、第 $8$ 項までの和が $108$ であるとする。公差を $d$ とすると、

108=\frac82\{2\cdot3+7d\}

である。したがって $27=6+7d$ となり、 $d=3$ である。一般項 $a_n=3+3(n-1)=3n$ を用いると、最初の8項の和は $3(1+2+\cdots+8)=108$ となり、条件と一致する。

例 1.5. 初項が $5$ 、公差が $4$ である等差数列の和が $320$ になる項数を求める。

320=\frac n2\{2\cdot5+(n-1)4\} =n(2n+3)

より、 $2n^2+3n-320=0$ である。解の公式から $n=(-3\pm\sqrt{2569})/4$ となる。正の整数にならないので、この条件を満たす項数は存在しない。和の方程式を解いた後にも、項数が正の整数であることを確認する必要がある。

2 等比数列

次に、一定の数を掛けて次の項を作る数列を定義します。

定義 2.1 (等比数列). すべての正の整数 $n$ について

a_{n+1}=ra_n

が成り立つ数列 $\{a_n\}$ を等比数列という。 $a_1$ を初項、一定の数 $r$ を公比という。

初項から第 $n$ 項までには、公比を $n-1$ 回掛けます。

公式 2.2 (等比数列の一般項). 初項が $a$ 、公比が $r$ である等比数列について、すべての正の整数 $n$ に対して第 $n$ 項は

a_n=ar^{n-1}

である。

証明. 正の整数 $n$ を固定する。漸化関係 $a_{k+1}=ra_k$ を $k=1,\ldots,n-1$ に対して順に用いると

a_n=a_1r^{n-1}=ar^{n-1}

となる。▨

注意 2.3. 等比数列の条件を比 $a_{n+1}/a_n=r$ でなく積 $a_{n+1}=ra_n$ で書くと、 $a_n=0$ となる項があっても条件が意味をもつ。たとえば初項が $a\ne0$ 、公比が $0$ である数列 $a,0,0,\ldots$ と、すべての項が $0$ である数列は、どちらも等比数列である。初項が $0$ でないとき公比は $a_2/a_1$ にただ一つ定まり、初項が $0$ のときはどの数も公比である。

公比が $0$ のとき、一般項 $a_n=ar^{n-1}$ の $n=1$ の項は $a\cdot0^0$ の形になる。 $r\ne0$ では $r^0=1$ であり、 $r=0$ のときも $0^0=1$ と約束する。この約束のもとで $a_1=a$ であり、 $n\ge2$ では $a_n=0$ となって、定義の $a_{n+1}=0\cdot a_n$ と一致する。

等比数列の和では、 $S_n$ と $rS_n$ の差を取ると中間の項が消えます。

公式 2.4 (等比数列の和). 初項が $a$ 、公比が $r$ である等比数列 $\{a_n\}$ と正の整数 $n$ に対して、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ は

S_n= \begin{cases} \dfrac{a(1-r^n)}{1-r} & (r\ne1),\\[6pt] na & (r=1) \end{cases}

である。

証明. $r\ne1$ とし、 $S_n$ と $rS_n$ を書く。

\begin{aligned} S_n&=a+ar+\cdots+ar^{n-1},\\ rS_n&=ar+ar^2+\cdots+ar^n \end{aligned}

二式の差を取ると

(1-r)S_n=a-ar^n=a(1-r^n)

となる。 $1-r\ne0$ なので両辺を $1-r$ で割る。 $r=1$ の場合には全項が $a$ であり、和は $na$ となる。▨

例 2.5. 初項が $2$ 、第 $3$ 項が $18$ であり、すべての項が正である等比数列を考える。公比を $r$ とすると

2r^2=18

であり、 $r^2=9$ より $r=3$ または $r=-3$ である。 $r=-3$ の数列 $2,-6,18,\ldots$ は第 $3$ 項が $18$ であるが、第 $2$ 項が負である。すべての項が正であるという条件から $r>0$ なので、 $r=3$ である。第 $4$ 項までの和は

S_4=\frac{2(1-3^4)}{1-3}=80

である。実際に $2+6+18+54=80$ となる。

3 演習

問題 3.1. 次の問いに答えよ。

初項が $7$ 、公差が $-3$ である等差数列について、第 $12$ 項と、初項から第 $12$ 項までの和を求めよ。
初項が $3$ 、公比が $2$ である等比数列について、第 $8$ 項と、初項から第 $8$ 項までの和を求めよ。
等差数列の第 $3$ 項が $11$ 、第 $9$ 項が $35$ であるとき、初項、公差、初項から第 $20$ 項までの和を求めよ。
初項が $81$ 、公比が $\dfrac13$ である等比数列について、初項から第 $n$ 項までの和が $121$ になる正の整数 $n$ が存在するかどうかを調べ、存在するならその $n$ を求めよ。
初項が $3$ 、公比が実数 $r$ である等比数列について、初項から第 $4$ 項までの和が $12$ となる $r$ をすべて求めよ。

解答.

第 $12$ 項は $7+11\cdot(-3)=-26$ であり、和は $\dfrac{12\{7+(-26)\}}2=-114$ である。
第 $8$ 項は $3\cdot2^7=384$ であり、和は $\dfrac{3(2^8-1)}{2-1}=765$ である。
第 $9$ 項と第 $3$ 項の差から $6d=24$ なので、公差は $4$ であり、初項は $11-2\cdot4=3$ である。第 $20$ 項までの和は $\dfrac{20\{2\cdot3+19\cdot4\}}2=820$ である。
公比 $\dfrac13$ は $1$ でないので、和は $\dfrac{81\{1-(1/3)^n\}}{1-1/3}=\dfrac{243}2(1-3^{-n})$ である。これが $121$ に等しいとき $3^{-n}=1-\dfrac{242}{243}=3^{-5}$ となるので、項数 $n=5$ が存在する。実際に $81+27+9+3+1=121$ である。
$r\ne1$ のとき、 $S_4=\dfrac{3(1-r^4)}{1-r}=3(1+r+r^2+r^3)$ である。 $S_4=12$ とすると $r^3+r^2+r-3=0$ 、すなわち $(r-1)(r^2+2r+3)=0$ となる。 $r^2+2r+3=(r+1)^2+2>0$ なので $r=1$ だけが残り、 $r\ne1$ に反する。 $r=1$ のとき、全項が $3$ なので $S_4=4\cdot3=12$ となり、条件を満たす。したがって $r=1$ だけである。

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§B1.1等差数列・等比数列

1 等差数列

2 等比数列

3 演習

例題

演習

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