関数の極限 | 数列と極限

1 関数の極限とは

定義 1.1 (関数の極限). $a$ を実数とし、関数 $f$ が $a$ を除く $a$ の両側の近く、すなわちある正の数 $\delta$ について $0 < |x - a| < \delta$ を満たすすべての $x$ で定義されているとする。 $x$ が $a$ と異なる値をとりながら $a$ に限りなく近づくとき $f(x)$ が値 $L$ に限りなく近づくならば、 $x \to a$ のとき $f(x)$ は $L$ に収束する (converge) といい、 $L$ を $x \to a$ における $f$ の極限値 (limit) という。このことを $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$ と書く。

$f$ がある実数 $R$ について $x > R$ を満たすすべての $x$ で定義されているとき、 $x$ を限りなく大きくすると $f(x)$ が $L$ に限りなく近づくことを $\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ と書く。 $f$ がある実数 $R$ について $x < R$ を満たすすべての $x$ で定義されているとき、 $x$ を限りなく小さくすると $f(x)$ が $L$ に限りなく近づくことを $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ と書く。これらの場合も、 $f(x)$ は $L$ に収束するといい、 $L$ を極限値という。

上のそれぞれの近づけ方で $f(x)$ が限りなく大きくなるとき、 $f(x)$ は正の無限大に発散する (diverge to positive infinity) といい、 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ 、 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ のように書く。 $f(x)$ が限りなく小さくなるとき、 $f(x)$ は負の無限大に発散する (diverge to negative infinity) といい、 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$ のように書く。

2 右からの極限と左からの極限

定義 2.1 (片側からの極限). $f$ がある正の数 $\delta$ について $a < x < a + \delta$ を満たすすべての $x$ で定義されているとする。 $x$ が $a$ より大きい値をとりながら $a$ に限りなく近づくとき $f(x)$ が値 $L$ に限りなく近づくならば、 $L$ を $x \to a$ における $f$ の右からの極限 (right-hand limit) といい、 $\displaystyle\lim_{x \to a+0} f(x) = L$ と書く。 $f$ がある正の数 $\delta$ について $a - \delta < x < a$ を満たすすべての $x$ で定義されているとき、 $x$ が $a$ より小さい値をとりながら $a$ に限りなく近づくとき $f(x)$ が値 $L$ に限りなく近づくならば、 $L$ を左からの極限 (left-hand limit) といい、 $\displaystyle\lim_{x \to a-0} f(x) = L$ と書く。片側から近づけたときに $f(x)$ が限りなく大きくなる場合と限りなく小さくなる場合も、正の無限大に発散する、負の無限大に発散するといい、 $\displaystyle\lim_{x \to a+0} f(x) = \infty$ 、 $\displaystyle\lim_{x \to a-0} f(x) = -\infty$ のように書く。

定理 2.2. 関数 $f$ が、ある正の数 $\delta$ について $0 < |x - a| < \delta$ を満たすすべての $x$ で定義されているとし、 $L$ を実数とする。 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$ が成り立つのは、右からの極限と左からの極限がともに存在して、どちらも $L$ に等しいときであり、そのときに限る。

証明. $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$ とする。 $x$ を $a$ と異なる値をとりながら $a$ に近づけると $f(x)$ は $L$ に近づくので、 $x$ を $x > a$ に限って近づけても、 $x < a$ に限って近づけても、 $f(x)$ は $L$ に近づく。したがって右からの極限と左からの極限はともに存在して $L$ に等しい。

逆に、右からの極限と左からの極限がともに存在して $L$ に等しいとする。 $a$ と異なる $x$ は $x > a$ と $x < a$ のどちらか一方を満たし、どちらの側でも、 $x$ を $a$ に近づけると $f(x)$ は $L$ に近づく。したがって、 $x$ が $a$ と異なる値をとりながら $a$ に近づくとき $f(x)$ は $L$ に近づき、 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$ である。▨

例 2.3. $x \ne 0$ について $f(x) = \dfrac{|x|}{x}$ と定める。 $x > 0$ では $f(x) = 1$ 、 $x < 0$ では $f(x) = -1$ であるから

$\lim_{x \to 0+0} f(x) = 1, \qquad \lim_{x \to 0-0} f(x) = -1$

である。二つが一致しないので、定理 2.2により $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$ は存在しない。

注意 2.4 (「存在しない」と「値が定まらない」を混同しない).例 2.3で存在しないのは極限であって、 $f(x)$ の値ではない。 $f$ の値は $x \ne 0$ のどこでも定まっている。逆に、 $f(a)$ が定まっていなくても $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ が存在することがある。 $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ は $x = 2$ で値をもたないが、 $x \to 2$ の極限は $4$ である。極限は $x = a$ における値と無関係に定まる。

例 2.5. $x \ne 0$ について $f(x) = \dfrac1x$ とする。 $x$ が正の値をとりながら $0$ に近づくと $\dfrac1x$ は限りなく大きくなり、 $x$ が負の値をとりながら $0$ に近づくと $\dfrac1x$ は限りなく小さくなる。したがって

$\lim_{x \to 0+0} \frac1x = \infty, \qquad \lim_{x \to 0-0} \frac1x = -\infty$

である。 $\dfrac1x$ は $x > 0$ で正の値を、 $x < 0$ で負の値をとるので、 $x \to 0$ のとき正の無限大にも負の無限大にも発散しない。また、 $x > 0$ の側で限りなく大きくなるので、 $x \to 0$ のときどの実数にも収束しない。

3 極限の四則計算と大小関係

数列の極限の§B1.7 定理 3.1と§B1.7 定理 3.3にあたる規則が、関数の極限についても成り立ちます。

定理 3.1. $a$ を実数とし、 $x$ の近づけ方を $x \to a$ 、 $x \to a+0$ 、 $x \to a-0$ 、 $x \to \infty$ 、 $x \to -\infty$ のいずれか一つに定める。正の数 $\delta$ または実数 $R$ を用いて、近づけ方に応じて $0 < |x - a| < \delta$ 、 $a < x < a + \delta$ 、 $a - \delta < x < a$ 、 $x > R$ 、 $x < R$ と表される $x$ の範囲を、その近づけ方に応じた範囲という。また、その近づけ方での極限を、近づけ方を省いて $\lim$ と書く。関数 $f$ 、 $g$ はその近づけ方に応じたある範囲のすべての $x$ で定義されており、 $\lim f(x) = L$ 、 $\lim g(x) = M$ （ $L$ 、 $M$ は実数）であるとする。このとき、同じ近づけ方について次が成り立つ。

定数 $k$ 、 $l$ について、 $\lim\{k f(x) + l g(x)\} = kL + lM$ である。
$\lim f(x) g(x) = LM$ である。
$M \ne 0$ ならば、その近づけ方に応じたある範囲のすべての $x$ で $g(x) \ne 0$ であり、 $\lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M}$ である。
その近づけ方に応じたある範囲のすべての $x$ で $f(x) \le g(x)$ が成り立つならば、 $L \le M$ である。

根号を含む式は定理 3.1の対象ではありません。根号を含む式の極限には、次の規則を用います。

定理 3.2. $x$ の近づけ方を一つ定め、関数 $g$ はその近づけ方に応じたある範囲のすべての $x$ で定義されて $g(x) \ge 0$ を満たすとする（近づけ方、それに応じた範囲、 $\lim$ の書き方は定理 3.1と同じである）。 $\lim g(x) = b$ （ $b$ は実数。定理 3.1 (4)により $b \ge 0$ である）ならば、 $\lim \sqrt{g(x)} = \sqrt{b}$ である。

本記事では、定理 3.1と定理 3.2を証明せずに認めて用います。これらの精密な証明は、ε と δ による関数の極限の定義から、 §D1.11 ε-δ による関数の極限と連続性をはじめとする §D1 ε-論法と基礎解析の記事で扱います。

4 変数を限りなく大きく、または小さくしたときの極限

$x \to \infty$ の極限と $x \to -\infty$ の極限は、一致するとはかぎりません。

例 4.1. $f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ とする。 $x > 0$ では $\sqrt{x^2} = x$ であるから、分母を $x\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}$ と書くことができ、 $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}}$ となる。 $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^2} = 0$ であるから、定理 3.2により $\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}$ は $1$ に収束し、定理 3.1 (3)により

$\lim_{x \to \infty} f(x) = 1$

である。 $x < 0$ では $\sqrt{x^2} = -x$ であるから分母は $-x\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}$ となり、 $f(x) = -\dfrac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}}$ である。 $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{1}{x^2} = 0$ であるから、定理 3.2と定理 3.1により

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1$

である。 $\sqrt{x^2} = x$ と書いてしまうと、負の側で符号を取り違える。

5 不定形の整理

分子と分母がともに $0$ に収束する商は、定理 3.1 (3)の条件 $M \ne 0$ を満たしません。分子と分母がともに正の無限大または負の無限大に発散する商や、ともに正の無限大に発散する二つの式の差は、定理 3.1が前提とする収束を満たしません。数列の場合と同じく、これらの $\dfrac00$ 型、 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型、 $\infty - \infty$ 型は不定形であり、式を変形して定理 3.1を用いることができる形に直してから極限を取ります。

約分（ $\dfrac00$ 型）: 分子と分母を因数分解し、 $x \ne a$ で共通因数を消します。 $\lim_{x \to 2}\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to2}(x+2) = 4$
最高次の項で割る（ $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型）: 分子と分母を分母の最高次の項で割ります。 $x \to \infty$ のとき、 $\dfrac{2x^2 + 1}{3x^2 - x}$ は分子と分母を $x^2$ で割ると $\dfrac{2 + \dfrac{1}{x^2}}{3 - \dfrac1x}$ となり、 $\dfrac23$ に近づきます。
有理化（ $\infty - \infty$ 型や根号を含む式）: 共役な式を掛けて根号の差を消します。

注意 5.1 (変形の前に定義域を書き出す). 根号を含む式では根号の中が $0$ 以上である範囲を、分母を含む式では分母が $0$ にならない範囲を、変形の前に書き出す。 $\sqrt{x^2}$ を $x$ と書き換える操作は $x \ge 0$ でしか正しくなく、分子と分母を $x$ で割る操作は $x \ne 0$ でしか正しくない。変形が正しい範囲と、極限を考えている範囲が重なっていることを確かめる。

例 5.2. $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)$ を求める。 $\sqrt{x^2 + x}$ は $x^2 + x \ge 0$ 、すなわち $x \le -1$ または $x \ge 0$ で定義される。 $x \to \infty$ の極限を考えるので、 $x > 0$ の範囲で式を変形する。 $x$ を限りなく大きくすると $\sqrt{x^2 + x}$ も $x$ も限りなく大きくなるので、この極限は $\infty - \infty$ 型の不定形である。

$x > 0$ では $\sqrt{x^2 + x} + x > 0$ であるから、 $\sqrt{x^2 + x} + x$ を掛けて割ることができ、

$\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{(x^2 + x) - x^2}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x}$

となる。さらに $x > 0$ では $x = \sqrt{x^2}$ であるから $\dfrac{\sqrt{x^2 + x}}{x} = \sqrt{1 + \dfrac1x}$ であり、分子と分母を $x$ で割ると

$\frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{1}{\sqrt{1 + \dfrac1x} + 1}$

となる。 $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac1x = 0$ であるから、定理 3.2により $\sqrt{1 + \dfrac1x}$ は $1$ に収束し、定理 3.1により

$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^2 + x} - x\right) = \frac{1}{1 + 1} = \frac12$

である。

6 連続性

定義 6.1 (点における連続性と、区間での連続性). $f$ が $a$ を含むある範囲で定義されており、 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ が成り立つとき、 $f$ は $a$ で連続 (continuous) であるという。区間に属するどの点でも連続であるとき、 $f$ はその区間で連続であるという。区間の端点では、区間の内側からの片側の極限で考える。

この定義では三つが同時に要求されています。 $f(a)$ が定まること、極限が存在すること、そして両者が等しいことです。どれか一つでも欠ければ、その点で連続ではありません。

例 6.2.

$f(x) = \dfrac{|x|}{x}$ （ $x \ne 0$ ）は $x = 0$ で値が定まらず、極限も存在しない。
$g(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ （ $x \ne 2$ ）は $x \to 2$ の極限が $4$ であるが、 $g(2)$ が定まっていない。 $g(2) = 4$ と定めれば連続になる。
$h(x)$ を、 $x \ne 0$ のとき $0$ 、 $x = 0$ のとき $1$ と定める。極限も値も存在するが、極限 $0$ と値 $1$ が食い違う。

定理 6.3.

多項式 $P(x)$ で表される関数は、すべての実数で連続であり、どの区間でも連続である。
多項式 $P(x)$ 、 $Q(x)$ について、分数関数 $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ は $Q(a) \ne 0$ を満たすすべての実数 $a$ で連続である。
$I$ を区間とし、分数関数 $R(x)$ が $I$ のすべての $x$ で定義されて $R(x) \ge 0$ を満たすとする。このとき関数 $\sqrt{R(x)}$ は $I$ で連続である。

証明.(1)を示す。 $a$ を実数とする。定数関数の $x \to a$ における極限値はその定数であり、 $x$ に $x$ 自身を対応させる関数の $x \to a$ における極限値は $a$ である。定理 3.1 (2)を繰り返し用いると、正の整数 $m$ について $\displaystyle\lim_{x \to a} x^m = a^m$ である。多項式 $P(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_d x^d$ に定理 3.1 (1)を繰り返し用いると $\displaystyle\lim_{x \to a} P(x) = P(a)$ である。 $P$ はすべての実数で定義されているので、 $P$ は $a$ で連続である。区間の端点 $c$ では、 $P$ が $c$ で連続であることと定理 2.2により、区間の内側からの片側の極限も $P(c)$ に等しい。したがって $P$ はどの区間でも連続である。

(2)を示す。 $Q(a) \ne 0$ とする。(1)により $\displaystyle\lim_{x \to a} P(x) = P(a)$ 、 $\displaystyle\lim_{x \to a} Q(x) = Q(a)$ である。定理 3.1 (3)により、ある正の数 $\delta$ について $0 < |x - a| < \delta$ を満たすすべての $x$ で $Q(x) \ne 0$ であり、 $\displaystyle\lim_{x \to a}\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(a)}{Q(a)}$ である。 $Q(a) \ne 0$ でもあるから、 $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ は $|x - a| < \delta$ を満たすすべての $x$ で定義されており、 $a$ で連続である。

(3)を示す。 $c$ を $I$ の点とする。 $R(c)$ が定義されているので、(2)により $\displaystyle\lim_{x \to c} R(x) = R(c)$ である。 $c$ が $I$ の端点でないとき、ある正の数 $\delta$ について $|x - c| < \delta$ を満たす $x$ はすべて $I$ に属し、そこで $R(x) \ge 0$ であるから、定理 3.2により $\displaystyle\lim_{x \to c}\sqrt{R(x)} = \sqrt{R(c)}$ である。 $c$ が $I$ の左端（右端）であるとき、定理 2.2により $\displaystyle\lim_{x \to c+0} R(x) = R(c)$ （ $\displaystyle\lim_{x \to c-0} R(x) = R(c)$ ）であり、ある正の数 $\delta$ について $c < x < c + \delta$ （ $c - \delta < x < c$ ）を満たす $x$ はすべて $I$ に属するから、定理 3.2により $\displaystyle\lim_{x \to c+0}\sqrt{R(x)} = \sqrt{R(c)}$ （ $\displaystyle\lim_{x \to c-0}\sqrt{R(x)} = \sqrt{R(c)}$ ）である。したがって $\sqrt{R(x)}$ は $I$ で連続である。▨

したがって、多項式の極限と、分母が $0$ にならない点での分数関数の極限は、 $x = a$ を代入して求めることができます。

連続な関数に、その点に収束する数列の各項を代入すると、次が成り立ちます。この規則は中間値の定理の証明に用います。

定理 6.4. 関数 $f$ が実数 $c$ で連続であるとする。数列 $\{x_n\}$ が $c$ に収束し、各 $x_n$ が $f$ の定義域に属するならば、 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(c)$ である。 $f$ が区間 $I$ で連続であり、 $c$ が $I$ の端点であって $I$ に属する場合も、各 $x_n$ が $I$ に属するならば同じ結論が成り立つ。

本記事では定理 6.4を証明せずに認めて用います。数列を用いた関数の極限と連続性の特徴づけの精密な証明は、§D1.11 ε-δ による関数の極限と連続性が扱います。

7 中間値の定理

閉区間で連続な関数のグラフは、途切れずにつながって見えます。この見え方を主張として述べたものが中間値の定理です。この定理は、§B1.8 極限の存在についてで実数の連続性として認めた区間縮小法から導かれます。

定理 7.1 (中間値の定理). $f$ が閉区間 $[a, b]$ で連続であり、 $f(a) \ne f(b)$ であるとする。 $k$ を $f(a)$ と $f(b)$ のあいだにある実数とすると、 $f(c) = k$ を満たす $c$ が開区間 $(a, b)$ に存在する。

証明. $f(a) < k < f(b)$ の場合を示す。 $f(b) < k < f(a)$ の場合は、 $-f$ も $[a, b]$ で連続であるから、 $f$ と $k$ を $-f$ と $-k$ に置き換えるとこの場合に帰着する。

閉区間の列を次のように定める。 $I_1 = [a, b]$ とする。 $I_j = [l_j, r_j]$ が定まったとき、その中点を $m$ として

$f(m) \le k$ ならば $I_{j+1} = [m, r_j]$ 、
$f(m) > k$ ならば $I_{j+1} = [l_j, m]$

と定める。 $j = 1$ では $f(l_1) = f(a) < k < f(b) = f(r_1)$ である。 $f(l_j) \le k \le f(r_j)$ が成り立つとき、 $f(m) \le k$ ならば $f(l_{j+1}) = f(m) \le k \le f(r_j) = f(r_{j+1})$ であり、 $f(m) > k$ ならば $f(l_{j+1}) = f(l_j) \le k < f(m) = f(r_{j+1})$ である。したがって、すべての $j$ について

$f(l_j) \le k \le f(r_j)$

が成り立つ。

$I_{j+1} \subseteq I_j$ であり、長さは半分ずつになるので $r_j - l_j = \dfrac{b-a}{2^{\,j-1}}$ となり、 $0$ に近づく。したがって§B1.8 定理 2.1により、すべての $I_j$ に属する実数 $c$ がただ一つ存在する。 $c$ は $I_1 = [a, b]$ に属する。

$l_j \le c \le r_j$ であるから、 $l_j$ も $r_j$ も $c$ との差が $r_j - l_j$ 以下であり、数列 $\{l_j\}$ 、 $\{r_j\}$ はどちらも $c$ に収束する。各 $l_j$ 、 $r_j$ は $[a, b]$ に属し、 $f$ は $[a, b]$ で連続であるから、定理 6.4により $f(l_j) \to f(c)$ 、 $f(r_j) \to f(c)$ である。すべての $j$ について $f(l_j) \le k \le f(r_j)$ が成り立つので、§B1.7 定理 3.3を各項が $k$ である数列との比較に用いて

$f(c) \le k \le f(c)$

を得る。したがって $f(c) = k$ である。 $f(a) \ne k$ かつ $f(b) \ne k$ であるから $c$ は $a$ とも $b$ とも異なり、開区間 $(a, b)$ に属する。▨

注意 7.2 (閉区間で連続であるという仮定). 連続であるという仮定を外すことはできない。 $x \ne 0$ で $\dfrac{|x|}{x}$ 、 $x = 0$ で $0$ と定めた関数は、 $x = 0$ で連続でなく、 $[-1, 1]$ で $-1$ と $1$ を値にとるが、 $\dfrac12$ を値にとる点は存在しない。

閉区間 $[a, b]$ で連続であることは、開区間 $(a, b)$ の各点で連続であることに加えて、 $\displaystyle\lim_{x \to a+0} f(x) = f(a)$ と $\displaystyle\lim_{x \to b-0} f(x) = f(b)$ を含む。この端点での連続性も外すことはできない。 $f(0) = 0$ 、 $f(1) = 1$ とし、 $0 < x < 1$ で $f(x) = 2$ と定めた $[0, 1]$ 上の関数 $f$ は、 $(0, 1)$ の各点で連続であるが、 $\displaystyle\lim_{x \to 0+0} f(x) = 2 \ne f(0)$ 、 $\displaystyle\lim_{x \to 1-0} f(x) = 2 \ne f(1)$ である。 $f(0) < \dfrac12 < f(1)$ であるが、 $\dfrac12$ を値にとる点は $[0, 1]$ に存在しない。この $f$ と $k = \dfrac12$ について定理 7.1の証明の区間 $I_j$ を作ると、どの中点 $m$ でも $f(m) = 2 > k$ であるから $I_j = \left[0, \dfrac{1}{2^{\,j-1}}\right]$ となり、 $c = 0$ である。 $j \ge 2$ では $f(r_j) = 2$ であるから、 $f(r_j)$ は $f(c) = f(0) = 0$ に近づかない。証明のうち定理 6.4を用いた段が、端点での連続性を使っている。

$f$ が区間 $I$ で連続であり、 $p < q$ が $I$ に属するならば、 $f$ は $[p, q]$ で連続であり、定理 7.1を $[p, q]$ に用いることができる（ $I$ の内側の点で連続であれば、定理 2.2により片側からの極限もその点での値に等しい）。開区間 $(0, 1)$ で定義された $f(x) = x$ のように、両端で値をもたない関数にも、この形で定理を用いることができる。

例 7.3. $x^3 - 3x + 1 = 0$ が $0 < x < 1$ に解をもつことを示す。 $f(x) = x^3 - 3x + 1$ は多項式で表される関数であるから、定理 6.3 (1)により $[0, 1]$ で連続であり、

$f(0) = 1 > 0, \qquad f(1) = -1 < 0$

である。 $0$ は $f(1)$ と $f(0)$ のあいだにあるから、定理 7.1により $f(c) = 0$ を満たす $c$ が $(0, 1)$ に存在する。

注意 7.4 (存在を示すことと、値を求めることは別である).定理 7.1により得られるのは $c$ の存在であって、 $c$ の値ではない。証明では区間を半分ずつ狭めているので、その手順をそのまま計算に使えば $c$ を好きな精度まで求めることができる。存在の証明と、値を求める手続きが同じものになっている例である。

閑話休題：ラマヌジャンの無限に深い根号 1911 年、インドの数学雑誌にラマヌジャンが次の問題を投稿しました。

\sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + \cdots}}}} = \ ?

根号が無限に深く入れ子になった式です。のちにラマヌジャン自身が答えを示しました。値は $3$ です。

もとになるのは恒等式 $x + 1 = \sqrt{1 + x(x + 2)}$ です。 $x + 2$ の部分に同じ恒等式を（ $x$ を $x+1$ に取り替えて）代入する操作を繰り返すと、上の入れ子が現れます。 $x = 2$ とすれば値は $3$ になります。

ただし、この操作だけでは等号は正当化されません。無限に続く式は、それ自体では意味を持たず、有限で切った列の極限として初めて意味を持ちます。有限で切った式の値が $3$ に近づくことを、上下から評価して確かめる必要があります。この見方は、無限級数、無限積、連分数のいずれにも共通します。

§B1.10関数の極限