数列の和と一般項 | 数列と極限

1 和と一般項の関係

はじめに、和そのものを表す記号を定めます。

定義 1.1 (第 $n$ 項までの和). 数列 $\{a_n\}$ に対して、初項から第 $n$ 項までを足し合わせた値

S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \qquad (n \ge 1)

を、 $\{a_n\}$ の第 $n$ 項までの和 (partial sum) という。 $S_n$ は、 $n$ を番号とする一つの数列である。

$S_n$ が $n$ の式として与えられているとき、番号が一つだけ違う二つの和の差を取ると、共通する部分が打ち消し合って、第 $n$ 項だけが残ります。

定理 1.2. 数列 $\{a_n\}$ の第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。このとき

a_1 = S_1, \qquad a_n = S_n - S_{n-1} \quad (n \ge 2)

が成り立つ。

証明. $S_1 = a_1$ は定義 1.1で $n = 1$ とおいた式である。 $n \ge 2$ のとき、

S_n - S_{n-1} = (a_1 + \cdots + a_{n-1} + a_n) - (a_1 + \cdots + a_{n-1}) = a_n

となる。▨

注意 1.3 ( $n \ge 2$ という範囲を落とさない). $a_n = S_n - S_{n-1}$ を $n = 1$ に対して用いることはできない。 $n = 1$ のとき右辺に現れる $S_0$ は、初項から第 $0$ 項までの和にあたるが、定義 1.1では $n \ge 1$ に対してしか $S_n$ は定められていないからである。初項は、 $a_1 = S_1$ として別に求める。

$n \ge 2$ について求めた式に $n = 1$ を代入した値は、 $a_1$ と一致することもあれば、一致しないこともあります。一致する場合は、一般項をすべての $n \ge 1$ について一つの式で書くことができます。一致しない場合は、 $n = 1$ と $n \ge 2$ に分けて書きます。 $S_n$ を表す式が $n = 0$ でも値をもつときは、どちらになるかを、差を計算する前に、その値から判断することができます。

公式 1.4. 数列 $\{a_n\}$ の第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、整数 $n \ge 0$ のすべてで値をもつ $n$ の式 $F(n)$ によって、すべての $n \ge 1$ について $S_n = F(n)$ と表されるとする。このとき、すべての $n \ge 1$ について

a_n = F(n) - F(n-1)

が成り立つことは、 $F(0) = 0$ であることと同値である。ここで $F(0)$ は、式 $F(n)$ に $n = 0$ を代入した値である。

証明. $n \ge 2$ のとき、 $n \ge 1$ かつ $n - 1 \ge 1$ であるから、定理 1.2により $a_n = S_n - S_{n-1} = F(n) - F(n-1)$ が成り立つ。 $n = 1$ のときは $a_1 = S_1 = F(1)$ であるから、 $a_1 = F(1) - F(0)$ は $F(0) = 0$ と同値である。したがって、すべての $n \ge 1$ について等式が成り立つことは、 $F(0) = 0$ と同値である。▨

例 1.5. $S_n = n^2 + n$ とする。 $n^2 + n$ に $n = 0$ を代入した値は $0$ であるから、公式 1.4により、 $n \ge 2$ について求めた式は $n = 1$ でも成り立つ。実際、 $n \ge 2$ のとき定理 1.2より

a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + n) - \bigl\{(n-1)^2 + (n-1)\bigr\} = 2n

である。一方 $a_1 = S_1 = 2$ であり、 $2n$ に $n = 1$ を代入した値 $2$ と一致する。よって、すべての $n \ge 1$ について $a_n = 2n$ である。

例 1.6. $S_n = 2^{\,n} + 1$ とする。 $2^{\,n} + 1$ に $n = 0$ を代入した値は $2$ であり $0$ ではないから、公式 1.4により、 $n \ge 2$ について求めた式は $n = 1$ では成り立たない。実際、 $n \ge 2$ のとき定理 1.2より

a_n = S_n - S_{n-1} = (2^{\,n} + 1) - (2^{\,n-1} + 1) = 2^{\,n-1}

である。一方 $a_1 = S_1 = 3$ であり、 $2^{\,n-1}$ に $n = 1$ を代入した値 $1$ とは一致しない。よって一般項は

a_1 = 3, \qquad a_n = 2^{\,n-1} \quad (n \ge 2)

と、二つに分けて書く。

2 等差数列の項と等比数列の項の積の和

すでに導いた $\sum k$ 、 $\sum k^2$ 、 $\sum k^3$ の公式は多項式の和に、等比数列の和の公式は等比数列に、それぞれ用いるものです。 $k\,r^{\,k-1}$ のように、等差数列の項と等比数列の項を掛け合わせて並べた数列の和は、どちらの公式にも当てはまりません。

この和は、等比数列の和を導いたときと同じ手順で求めます。和を $S$ とおき、 $S$ から $rS$ を引きます。 $rS$ は $S$ の各項の $r$ のべきを一つずつ繰り上げたものなので、差を取ると同じべきどうしが対応します。等差数列の隣り合う項の差は公差で一定であるため、対応した部分は、公差を係数に持つ等比数列の和になります。対応する相手を持たない両端の項だけが、そのまま残ります。

例 2.1. $n \ge 2$ とし、 $S = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{\,k-1}$ とおく。すなわち

S = 1\cdot 2^{\,0} + 2\cdot 2^{\,1} + 3\cdot 2^{\,2} + \cdots + n\cdot 2^{\,n-1}

である。両辺を $2$ 倍すると

2S = 1\cdot 2^{\,1} + 2\cdot 2^{\,2} + \cdots + (n-1)\cdot 2^{\,n-1} + n\cdot 2^{\,n}

となる。辺々を引くと、 $2^{\,1}$ から $2^{\,n-1}$ までの項の係数がいずれも $1$ になり

S - 2S = 1 + (2^{\,1} + 2^{\,2} + \cdots + 2^{\,n-1}) - n\cdot 2^{\,n}

が得られる。右辺の括弧の中は、初項 $2$ 、公比 $2$ 、項数 $n-1$ の等比数列の和であるから、§B1.1 公式 2.4により $2^{\,n} - 2$ である。よって

-S = 1 + (2^{\,n} - 2) - n\cdot 2^{\,n} = (1-n)2^{\,n} - 1

であり、 $S = (n-1)2^{\,n} + 1$ である。 $n = 2$ のとき右辺は $5$ であり、 $1 + 2\cdot 2 = 5$ と一致する。 $n = 1$ のときは $S = 1\cdot 2^{\,0} = 1$ であり、 $(n-1)2^{\,n} + 1 = 1$ と一致する。したがって、すべての $n \ge 1$ について $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{\,k-1} = (n-1)2^{\,n} + 1$ である。

注意 2.2 (公比が $1$ のときは用いない). 公比が $1$ のとき、 $S$ から $rS$ を引く方法を用いることはできない。 $r = 1$ では $S - rS = 0$ となり、 $S$ についての情報が残らないからである。公比が $1$ のとき、和 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k\cdot 1^{\,k-1}$ は等差数列 $\{a_k\}$ の和そのものなので、等差数列の和の公式で求める。

3 群数列の和

一つの数列の項を、先頭から順にいくつかずつまとめて扱う和を考えます。

定義 3.1 (群数列). 数列 $\{a_n\}$ の項を、先頭から順に $c_1$ 個、 $c_2$ 個、 $\dots$ ずつ区切り、第 $1$ 群、第 $2$ 群、 $\dots$ とする。ここで $c_1, c_2, \dots$ はいずれも正の整数であり、 $c_m$ は第 $m$ 群に属する項の個数である。このように区切った数列を群数列 (grouped sequence) という。

群数列では、二つの番号を区別します。一つは、もとの数列における番号、すなわち第何項かです。もう一つは、群に分けたあとの番号、すなわち第何群の何番目かです。この二つの対応が付けば、あとは各群の中で通常の数列として計算します。対応は、各群の項の個数 $c_1, c_2, \dots$ から決まります。

公式 3.2. 群数列で、第 $m$ 群に属する項の個数を $c_m$ とする。 $m$ を正の整数、 $k$ を $1 \le k \le c_m$ を満たす整数とするとき、第 $m$ 群の $k$ 番目の項は、もとの数列の第 $(c_1 + \cdots + c_{m-1} + k)$ 項である。ただし $m = 1$ のとき $c_1 + \cdots + c_{m-1} = 0$ とする。とくに、第 $m$ 群の最初の項はもとの数列の第 $(c_1 + \cdots + c_{m-1} + 1)$ 項、末尾の項は第 $(c_1 + \cdots + c_m)$ 項である。

証明. 第 $1$ 群から第 $m-1$ 群までの項は、もとの数列の先頭から並ぶ $c_1 + \cdots + c_{m-1}$ 個の項であり、第 $m$ 群の項は、その直後に続く $c_m$ 個の項である。よって第 $m$ 群の $k$ 番目の項は、もとの数列の第 $(c_1 + \cdots + c_{m-1} + k)$ 項である。 $k = 1$ と $k = c_m$ の場合が、それぞれ最初の項と末尾の項である。▨

例 3.3. 正の奇数を小さい順に並べた数列 $1, 3, 5, 7, \dots$ を

1 \mid 3,\ 5 \mid 7,\ 9,\ 11 \mid 13,\ 15,\ 17,\ 19 \mid \cdots

と、第 $m$ 群が $m$ 個の項を持つように区切る。もとの数列の第 $n$ 項は $2n - 1$ である。

第 $1$ 群から第 $m$ 群までの項の個数の合計は $1 + 2 + \cdots + m = \dfrac{m(m+1)}{2}$ であり、第 $m-1$ 群までの合計は $\dfrac{(m-1)m}{2}$ である。よって公式 3.2により、第 $m$ 群の最初の項は、もとの数列の第 $\left(\dfrac{(m-1)m}{2} + 1\right)$ 項であり、その値は

2\left(\frac{(m-1)m}{2} + 1\right) - 1 = m^2 - m + 1

である。第 $m$ 群は、初項 $m^2 - m + 1$ 、公差 $2$ 、項数 $m$ の等差数列であるから、§B1.1 公式 1.3により、その和は

\frac{m\bigl\{2(m^2 - m + 1) + (m-1)\cdot 2\bigr\}}{2} = m^3

である。 $m = 1$ のとき $1$ 、 $m = 2$ のとき $3 + 5 = 8$ 、 $m = 3$ のとき $7 + 9 + 11 = 27$ であり、いずれも $m^3$ と一致する。

例 3.4.例 3.3の群数列について、もとの数列の第 $100$ 項が第何群の何番目にあたるかを求める。公式 3.2により、第 $m$ 群に属する項は、もとの数列の第 $\left(\dfrac{(m-1)m}{2} + 1\right)$ 項から第 $\dfrac{m(m+1)}{2}$ 項までであるから、

\frac{(m-1)m}{2} < 100 \le \frac{m(m+1)}{2}

を満たす $m$ を探せばよい。 $\dfrac{13\cdot 14}{2} = 91$ 、 $\dfrac{14\cdot 15}{2} = 105$ であるから $m = 14$ である。 $100 = 91 + 9$ であるから、第 $100$ 項は第 $14$ 群の $9$ 番目である。

注意 3.5 (二つの番号を取り違えない).公式 3.2により、第 $m$ 群までに含まれる項の個数 $c_1 + \cdots + c_m$ は、第 $m$ 群の末尾の項の番号である。第 $m$ 群の最初の項の番号は、第 $m-1$ 群までに含まれる項の個数に $1$ を加えた $c_1 + \cdots + c_{m-1} + 1$ である。両者の差は $c_m - 1$ であり、 $c_m = 1$ のときに限って等しい。例 3.3では、前者は $\dfrac{m(m+1)}{2}$ 、後者は $\dfrac{(m-1)m}{2} + 1$ である。どちらを求めているのかを、そのつど書き分ける。

4 演習

問題 4.1. 第 $n$ 項までの和 $S_n$ が次の式で与えられる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

$S_n = n^2 + 2n + 3$
$S_n = 3^{\,n} - 1$
$S_n = 2n^2 - n + c$ （ $c$ は定数）。さらに、一般項がすべての $n \ge 1$ について一つの式で表されるような $c$ の値を求めよ。

解答.

$n \ge 2$ のとき、 $S_{n-1} = (n-1)^2 + 2(n-1) + 3 = n^2 + 2$ であるから、 $a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 2n + 3) - (n^2 + 2) = 2n + 1$ である。 $a_1 = S_1 = 6$ であり、 $2n + 1$ に $n = 1$ を代入した値 $3$ とは一致しない。よって $a_1 = 6$ 、 $a_n = 2n + 1$ $(n \ge 2)$ である。 $S_2 = 6 + 5 = 11 = 2^2 + 2\cdot 2 + 3$ と一致する。
$n \ge 2$ のとき、 $a_n = S_n - S_{n-1} = (3^{\,n} - 1) - (3^{\,n-1} - 1) = 2\cdot 3^{\,n-1}$ である。 $a_1 = S_1 = 2$ であり、 $2\cdot 3^{\,0} = 2$ と一致する。よって、すべての $n \ge 1$ について $a_n = 2\cdot 3^{\,n-1}$ である。
$n \ge 2$ のとき、 $S_{n-1} = 2(n-1)^2 - (n-1) + c = 2n^2 - 5n + 3 + c$ であるから、 $a_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2 - n + c) - (2n^2 - 5n + 3 + c) = 4n - 3$ である。 $a_1 = S_1 = 1 + c$ であり、 $4n - 3$ に $n = 1$ を代入した値は $1$ である。両者が一致するのは $c = 0$ のときに限る。したがって、すべての $n \ge 1$ について一つの式 $a_n = 4n - 3$ で表されるのは $c = 0$ のときであり、 $c \ne 0$ のときの一般項は $a_1 = 1 + c$ 、 $a_n = 4n - 3$ $(n \ge 2)$ である。

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問題 4.2. 次の和を求めよ。

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\,(-2)^{\,k-1}$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{k}{2^{\,k}}$

解答.

$S = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\,(-2)^{\,k-1}$ とおく。 $n \ge 2$ のとき、 $-2S = 1\cdot(-2)^{\,1} + 2\cdot(-2)^{\,2} + \cdots + (n-1)(-2)^{\,n-1} + n(-2)^{\,n}$ であるから、 $S - (-2)S$ を取ると、 $(-2)^{\,1}$ から $(-2)^{\,n-1}$ までの項の係数がいずれも $1$ になり
$3S = 1 + \bigl\{(-2)^{\,1} + (-2)^{\,2} + \cdots + (-2)^{\,n-1}\bigr\} - n(-2)^{\,n}$
が得られる。括弧の中は、初項 $-2$ 、公比 $-2$ 、項数 $n-1$ の等比数列の和であるから、§B1.1 公式 2.4により $\dfrac{(-2)\{1 - (-2)^{\,n-1}\}}{1 - (-2)} = \dfrac{-2 - (-2)^{\,n}}{3}$ である。よって
$3S = 1 + \frac{-2 - (-2)^{\,n}}{3} - n(-2)^{\,n} = \frac{1 - (3n+1)(-2)^{\,n}}{3}$
であり、 $S = \dfrac{1 - (3n+1)(-2)^{\,n}}{9}$ である。 $n = 1$ のときは $S = 1$ であり、この式の値 $\dfrac{1 + 8}{9} = 1$ と一致する。 $n = 3$ のときは $S = 1 - 4 + 12 = 9$ であり、この式の値 $\dfrac{1 + 80}{9} = 9$ と一致する。
$T = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{k}{2^{\,k}}$ とおく。 $n \ge 2$ のとき、 $\dfrac12 T = \dfrac{1}{2^{\,2}} + \dfrac{2}{2^{\,3}} + \cdots + \dfrac{n-1}{2^{\,n}} + \dfrac{n}{2^{\,n+1}}$ であるから、 $T - \dfrac12 T$ を取ると、 $\dfrac{1}{2^{\,2}}$ から $\dfrac{1}{2^{\,n}}$ までの項の係数がいずれも $1$ になり
$\frac12 T = \frac12 + \left(\frac{1}{2^{\,2}} + \cdots + \frac{1}{2^{\,n}}\right) - \frac{n}{2^{\,n+1}}$
が得られる。括弧の中は、初項 $\dfrac14$ 、公比 $\dfrac12$ 、項数 $n-1$ の等比数列の和であるから、§B1.1 公式 2.4により $\dfrac{\frac14\{1 - (\frac12)^{n-1}\}}{1 - \frac12} = \dfrac12 - \dfrac{1}{2^{\,n}}$ である。よって $\dfrac12 T = 1 - \dfrac{1}{2^{\,n}} - \dfrac{n}{2^{\,n+1}} = 1 - \dfrac{n+2}{2^{\,n+1}}$ であり、 $T = 2 - \dfrac{n+2}{2^{\,n}}$ である。 $n = 1$ のときは $T = \dfrac12$ であり、この式の値 $2 - \dfrac32 = \dfrac12$ と一致する。 $n = 2$ のときは $T = \dfrac12 + \dfrac24 = 1$ であり、この式の値 $2 - \dfrac44 = 1$ と一致する。

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問題 4.3. 次のように、第 $m$ 群が $1, 2, \dots, m$ の $m$ 個の項からなる群数列を考える。

1 \mid 1,\ 2 \mid 1,\ 2,\ 3 \mid 1,\ 2,\ 3,\ 4 \mid \cdots

この数列の第 $60$ 項と、初項から第 $60$ 項までの和を求めよ。

解答.

第 $m$ 群の項の個数は $c_m = m$ であり、第 $m$ 群の $k$ 番目の項は $k$ である。第 $10$ 群までの項の個数の合計は $\dfrac{10\cdot 11}{2} = 55$ 、第 $11$ 群までの合計は $\dfrac{11\cdot 12}{2} = 66$ であり、 $55 < 60 \le 66$ である。よって公式 3.2により、第 $60$ 項は第 $11$ 群の $60 - 55 = 5$ 番目であり、その値は $5$ である。

第 $m$ 群の項の和は $1 + 2 + \cdots + m = \dfrac{m(m+1)}{2}$ であるから、第 $1$ 群から第 $10$ 群までの項の和は

\sum_{m=1}^{10} \frac{m(m+1)}{2} = \frac12\left(\frac{10\cdot 11\cdot 21}{6} + \frac{10\cdot 11}{2}\right) = \frac12(385 + 55) = 220

である。初項から第 $60$ 項までの和は、これに第 $11$ 群の最初の $5$ 項の和 $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ を加えた $235$ である。▨

§B1.3数列の和と一般項

1 和と一般項の関係

2 等差数列の項と等比数列の項の積の和

3 群数列の和

4 演習

前提記事