§B1.8極限の存在について

例 1.1.$b_1 = 1$、$b_{n+1} = 2b_n + 1$で定まる数列について、$\lim b_n = \beta$と置いて両辺の極限をとると$\beta = 2\beta + 1$、すなわち$\beta = -1$となる。しかし$b_n$はすべて正であり、$b_n = 2^{\,n} - 1$であるから正の無限大に発散する。この$\beta = -1$は、収束するという誤った前提から出た値である。

例 4.1.$a_1 = 1$、$a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$で定まる数列が収束することを示し、極限値を求める。

$0 \le a_1 = 1 \le 2$である。$0 \le a_n \le 2$を仮定すると、$2 \le 2 + a_n \le 4$であるから$a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$が定まり、$0 \le a_{n+1} \le 2$である。よって数学的帰納法により、すべての$n$について$a_n$が定まり、$0 \le a_n \le 2$である。特に$\{a_n\}$は上に有界である。

また

であり、$a_n \ge 0$、$a_{n+1} \ge 0$であるから$a_{n+1} \ge a_n$である。よって$\{a_n\}$は広義単調増加である。

定理 3.1により$\{a_n\}$は収束し、その極限値$\alpha$は$\alpha \ge a_1 = 1$を満たす。番号を一つずらした数列$\{a_{n+1}\}$も$\alpha$に収束するので、$a_{n+1}^{\,2} = 2 + a_n$の両辺に§B1.7 定理 3.1を用いると$\alpha^2 = 2 + \alpha$、すなわち$(\alpha - 2)(\alpha + 1) = 0$を得る。$\alpha \ge 1$であるから$\alpha = 2$である。

例 4.2.$a_1 = 2$、$a_{n+1} = \dfrac12\left(a_n + \dfrac{2}{a_n}\right)$で定まる数列$\{a_n\}$が収束することを示し、極限値を求める。

$a_1 = 2 > 0$であり、$a_n > 0$ならば$\dfrac{2}{a_n}$が定まって$a_{n+1} > 0$であるから、数学的帰納法により、すべての$n$について$a_n$が定まり、$a_n > 0$である。正の数$a$に対して

であるから、$a = a_n$とすると、すべての$n$について$a_{n+1} \ge \sqrt2$である。$a_1 = 2 \ge \sqrt2$でもあるから、すべての$n$について$a_n \ge \sqrt2$であり、$\{a_n\}$は下に有界である。

また

であり、$a_n \ge \sqrt2$より$2 - a_n^{\,2} \le 0$、$a_n > 0$であるから$a_{n+1} \le a_n$である。よって$\{a_n\}$は広義単調減少である。

定理 3.1により$\{a_n\}$は収束する。極限値を$\alpha$とする。すべての項が$\sqrt2$である定数列と$\{a_n\}$に§B1.7 定理 3.3を用いると$\sqrt2 \le \alpha$であり、特に$\alpha > 0$である。したがって§B1.7 例 7.2により$\alpha = \sqrt2$である。

例 4.4.$s_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{2}}$が収束することを示す。

$s_{n+1} - s_n = \dfrac{1}{(n+1)^{2}} > 0$であるから、$\{s_n\}$は広義単調増加である。

$s_1 = 1 < 2$である。$n \ge 2$とする。$s_n = 1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(k+1)^{2}}$であり、$k \ge 1$のとき$(k+1)^{2} > k(k+1) > 0$であるから

$\frac{1}{(k+1)^{2}} < \frac{1}{k(k+1)} = \frac1k - \frac{1}{k+1}$

である。$f(k) = -\dfrac1k$と置くと右辺は$f(k+1) - f(k)$に等しいので、この不等式を$k = 1, \dots, n-1$について足し、§B1.2 公式 2.1を上端$n-1$で用いると

$s_n < 1 + f(n) - f(1) = 1 + \left(1 - \frac1n\right) < 2$

である。よってすべての$n$について$s_n < 2$であり、定理 3.1により$\{s_n\}$は収束する。

この議論は極限値を与えない。極限値は$\dfrac{\pi^{2}}{6}$であるが、それを求めるには本単元の範囲を超える道具が要る。

例 5.1.$f(x) = x^{2} - 2$とする。$I_1 = [1, 2]$とし、$I_k = [l_k, r_k]$が定まったとき、中点$c = \dfrac{l_k + r_k}{2}$での値$f(c)$を計算して、$f(c) > 0$ならば$I_{k+1} = [l_k, c]$、$f(c) < 0$ならば$I_{k+1} = [c, r_k]$と定める。$c$は有理数であり$\sqrt2$は無理数であるから、$f(c) = 0$となることはない。たとえば$I_1$の中点$1.5$では$f(1.5) = 0.25 > 0$であるから$I_2 = [1, 1.5]$である。

$f(1) = -1 < 0$、$f(2) = 2 > 0$であり、この規則は$f(l_k) < 0 < f(r_k)$を保つ。よってすべての$k$について$l_k^{\,2} < 2 < r_k^{\,2}$であり、$l_k$と$r_k$は正であるから$l_k < \sqrt2 < r_k$である。区間の幅は1回ごとに半分になるので、$I_k$の幅は$\dfrac{1}{2^{\,k-1}}$である。したがって、$I_k$のどの点$x$を$\sqrt2$の近似値として選んでも

$|x - \sqrt2| < \frac{1}{2^{\,k-1}}$

である。正の整数$m$に対して$2^{\,k-1} \ge 10^{m}$を満たす$k$を取れば、絶対誤差が$10^{-m}$未満の近似値が得られる。たとえば$2^{10} = 1024 \ge 10^{3}$であるから、$I_{11}$のどの点も絶対誤差$10^{-3}$未満の近似値である。

幅が小さいことだけでは、小数第$3$位が確定したとは限らない。実際に計算すると$I_{11} = [1.4140625,\ 1.4150390625]$であり、幅は$10^{-3}$未満であるが、両端を小数第$3$位までで切り捨てた値は$1.414$と$1.415$で異なる。次の$I_{12} = [1.4140625,\ 1.41455078125]$では両端を切り捨てた値がともに$1.414$であり、$\sqrt2$も$I_{12}$に属するので、$\sqrt2 = 1.414\cdots$と小数第$3$位まで確定する。桁を確定するには、幅の評価に加えて、区間の両端を同じ規則で切り捨てた値または丸めた値が一致することを確認する。