第一基本形式と面積要素 | 曲線と曲面

1 第一基本形式

定義 1.1. $M\subseteq\R^3$ を正則曲面、 $p\in M$ とする。接平面 $T_pM$ （§E23.3 定義 3.1）は $\R^3$ の二次元線形部分空間である。 $\R^3$ の標準内積の $T_pM\times T_pM$ への制限

\mathrm{I}_p(X,Y)=\langle X,Y\rangle\qquad(X,Y\in T_pM)

を、 $M$ の $p$ における第一基本形式 (first fundamental form) という。

命題 1.2. $M$ を正則曲面、 $p\in M$ とする。 $\mathrm{I}_p$ は $T_pM$ 上の対称双線形形式であり、§E3.41 定義 2.1の意味で正定値である。すなわち $X\ne0$ を満たすすべての $X\in T_pM$ について $\mathrm{I}_p(X,X)>0$ が成り立つ。したがって $(T_pM,\mathrm{I}_p)$ は§E3.33 定義 1.1の意味で二次元の実内積空間である。

証明. $\R^3$ の標準内積は対称双線形形式であり、線形部分空間への制限は対称双線形性を保つ。 $X\in T_pM$ に対して $\mathrm{I}_p(X,X)=\lVert X\rVert^2$ であり、 $X\ne0$ ならば $\lVert X\rVert^2>0$ である。

最後の主張を確かめる。 $K=\R$ の場合の§E3.33 定義 1.1で要求されるのは、第一変数についての線形性、共役対称性、および正定値性である。実数体の上では共役は恒等写像であるから、共役対称性は対称性と同じである。三つの条件はいずれも上で確かめた。 $T_pM$ の次元は $2$ である（§E23.3 定義 3.1）。▨

定義 1.3. $\boldsymbol{x}\colon U\to M$ を正則パラメータ表示、 $q=(u,v)\in U$ 、 $p=\boldsymbol{x}(q)$ とする。§E23.3 定義 3.1により $\boldsymbol{x}_u(q)$ と $\boldsymbol{x}_v(q)$ は $T_pM$ の基底である。

E=\langle\boldsymbol{x}_u,\boldsymbol{x}_u\rangle,\qquad F=\langle\boldsymbol{x}_u,\boldsymbol{x}_v\rangle,\qquad G=\langle\boldsymbol{x}_v,\boldsymbol{x}_v\rangle

を、この表示に関する第一基本形式の成分 (components of the first fundamental form) という。 $E$ 、 $F$ 、 $G$ は $U$ の上の $C^\infty$ 関数である。行列

\mathrm{I}=\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}

を成分行列 (matrix of the first fundamental form) という。

命題 1.4.定義 1.3の記号のもとで、 $X=a\boldsymbol{x}_u+b\boldsymbol{x}_v$ と $Y=c\boldsymbol{x}_u+d\boldsymbol{x}_v$ （ $a,b,c,d\in\R$ ）に対して

\mathrm{I}_p(X,Y)=Eac+F(ad+bc)+Gbd =\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}\mathrm{I}\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}

が成り立つ。とくに $\mathrm{I}$ は正定値対称行列であり、 $\det\mathrm{I}=EG-F^2>0$ が成り立つ。

証明. 双線形性から

\langle a\boldsymbol{x}_u+b\boldsymbol{x}_v,\ c\boldsymbol{x}_u+d\boldsymbol{x}_v\rangle =ac\langle\boldsymbol{x}_u,\boldsymbol{x}_u\rangle+(ad+bc)\langle\boldsymbol{x}_u,\boldsymbol{x}_v\rangle+ bd\langle\boldsymbol{x}_v,\boldsymbol{x}_v\rangle

であり、これは主張の式である。 $(a,b)\ne(0,0)$ ならば $X=a\boldsymbol{x}_u+b\boldsymbol{x}_v\ne0$ であるから、命題 1.2により

\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}\mathrm{I}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=\mathrm{I}_p(X,X)>0

である。したがって $\mathrm{I}$ は正定値対称行列である。 $2$ 次の正定値対称行列については $E>0$ であり、

\begin{pmatrix}-F&E\end{pmatrix}\mathrm{I}\begin{pmatrix}-F\\E\end{pmatrix}=E(EG-F^2)>0

であるから $EG-F^2>0$ である。▨

第一基本形式の行列式は、ベクトル積のノルムとしても表される。この表示は面積要素で用いる。

補題 1.5. $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in\R^3$ に対して

\lVert\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\rVert^2=\lVert\boldsymbol{a}\rVert^2\lVert\boldsymbol{b}\rVert^2-\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle^2

が成り立つ。したがって定義 1.3の記号のもとで

\lVert\boldsymbol{x}_u\times\boldsymbol{x}_v\rVert=\sqrt{EG-F^2}

である。

証明. $\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 、 $\boldsymbol{b}=(b_1,b_2,b_3)$ と書く。左辺は

(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_3b_1-a_1b_3)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2 =\sum_{i<j}(a_ib_j-a_jb_i)^2

である。右辺は

\Bigl(\sum_i a_i^2\Bigr)\Bigl(\sum_j b_j^2\Bigr)-\Bigl(\sum_i a_ib_i\Bigr)^2 =\sum_{i\ne j}a_i^2b_j^2-2\sum_{i<j}a_ib_ia_jb_j =\sum_{i<j}\bigl(a_i^2b_j^2+a_j^2b_i^2-2a_ia_jb_ib_j\bigr)

であり、最後の和の各項は $(a_ib_j-a_jb_i)^2$ に等しい。よって両辺は一致する。 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{x}_u$ 、 $\boldsymbol{b}=\boldsymbol{x}_v$ と置くと、右辺は $EG-F^2$ であり、命題 1.4によりこれは正であるから、平方根を取って第二の等式を得る。▨

2 曲面上の写像とその微分

局所等長写像を定義するために、曲面の上で定義された写像の微分を用意する。曲面は $\R^3$ の部分集合であるから、曲面から曲面への写像も、値が $\R^k$ に属する写像として一様に扱うことができる。準備として、値が曲面に属する $C^\infty$ 写像に正則パラメータ表示の逆写像を合成しても、滑らかさが失われないことを示す。

補題 2.1. $M\subseteq\R^3$ を正則曲面、 $\boldsymbol{x}\colon U\to M$ を正則パラメータ表示とする。次が成り立つ。

$\boldsymbol{x}(U)$ は $M$ の開集合である。これは§E23.3 正則曲面・接平面・向きの§E23.3 命題 1.7 (1)として証明されている。
$m$ を正の整数、 $A\subseteq\R^m$ を開集合、 $g\colon A\to\R^3$ を $C^\infty$ 写像であって $g(A)\subseteq M$ を満たすものとする。 $A'=g^{-1}(\boldsymbol{x}(U))$ と置くと $A'$ は $A$ の開集合であり、 $\boldsymbol{x}^{-1}\circ g\colon A'\to U$ は $C^\infty$ である。

証明. $q\in U$ を取り $p=\boldsymbol{x}(q)$ と置く。 $M$ は $\R^3$ の二次元埋め込み部分多様体（§E23.3 定義 1.1）であるから、§E22.5 定義 4.1により、 $\R^3$ の開集合 $O\ni p$ と $C^\infty$ 微分同相 $\chi\colon O\to\chi(O)\subseteq\R^3$ であって

\chi(O\cap M)=\chi(O)\cap\bigl(\R^2\times\{0\}\bigr)

を満たすものが存在する。 $\boldsymbol{x}$ は連続であるから、 $q$ の開近傍 $U_1\subseteq U$ で $\boldsymbol{x}(U_1)\subseteq O$ を満たすものが存在する。 $U_1$ の上で $\chi\circ\boldsymbol{x}$ の値は $\R^2\times\{0\}$ に属するので、 $C^\infty$ 写像 $\alpha\colon U_1\to\R^2$ によって $\chi\circ\boldsymbol{x}|_{U_1}=(\alpha,0)$ と書くことができる。連鎖律（§E4.3 定理 1.1）により $D(\chi\circ\boldsymbol{x})(q)=D\chi(p)\,D\boldsymbol{x}(q)$ であり、 $D\chi(p)$ は可逆、 $D\boldsymbol{x}(q)$ の階数は $2$ であるから、この $3\times2$ 行列の階数は $2$ である。第三行は $0$ であるから $D\alpha(q)$ は可逆である。§E4.7 定理 2.1と§E22.5 補題 1.1により、 $q$ の開近傍 $U_0\subseteq U_1$ が存在して $\alpha(U_0)$ は $\R^2$ の開集合であり、 $\alpha\colon U_0\to\alpha(U_0)$ は $C^\infty$ 微分同相である。

主張 (1)は§E23.3 正則曲面・接平面・向きの§E23.3 命題 1.7 (1)で証明したので、ここでは繰り返さない。以下では、主張 (2)の証明が必要とする局所的な形、すなわち上で取った $U_0$ について $\boldsymbol{x}(U_0)$ が $\R^3$ の開集合と $M$ との共通部分として書かれることを確かめる。 $O_0=O\cap\chi^{-1}\bigl(\alpha(U_0)\times\R\bigr)$ と置くと、 $O_0$ は $\R^3$ の開集合である。 $y\in M\cap O$ について $\chi(y)\in\R^2\times\{0\}$ であるから、 $y\in O_0$ であることと $\chi(y)\in\alpha(U_0)\times\{0\}$ であることは同値であり、後者は $\chi(y)=\chi(\boldsymbol{x}(y'))$ を満たす $y'\in U_0$ が存在することと同値である。 $\chi$ は単射であるから、これは $y\in\boldsymbol{x}(U_0)$ と同値である。したがって $M\cap O_0=\boldsymbol{x}(U_0)$ であり、 $\boldsymbol{x}(U_0)$ は $M$ の開集合である。

主張 (2)を示す。 $g$ は連続であり $g(A)\subseteq M$ であるから、主張 (1)により $A'=g^{-1}(\boldsymbol{x}(U))$ は $A$ の開集合である。 $C^\infty$ 性は局所的な性質であるから、 $a\in A'$ を取り、 $q=\boldsymbol{x}^{-1}(g(a))$ に対して上の $U_0$ 、 $\alpha$ 、 $O_0$ を取る。 $A_0=g^{-1}(\boldsymbol{x}(U_0))=g^{-1}(O_0)$ は $a$ を含む $A$ の開集合である。 $\mathrm{pr}\colon\R^3\to\R^2$ を最初の二成分への射影とすると、 $a'\in A_0$ に対して $g(a')=\boldsymbol{x}(y)$ を満たす $y\in U_0$ が存在し

\mathrm{pr}\bigl(\chi(g(a'))\bigr)=\mathrm{pr}\bigl(\alpha(y),0\bigr)=\alpha(y)

であるから $\boldsymbol{x}^{-1}(g(a'))=y=\alpha^{-1}\bigl(\mathrm{pr}(\chi(g(a')))\bigr)$ である。右辺は $C^\infty$ 写像の合成であるから、 $\boldsymbol{x}^{-1}\circ g$ は $A_0$ の上で $C^\infty$ である。▨

定義 2.2. $M\subseteq\R^3$ を正則曲面、 $k$ を正の整数とする。写像 $\boldsymbol{w}\colon M\to\R^k$ が滑らか (smooth) であるとは、 $M$ のすべての正則パラメータ表示 $\boldsymbol{x}\colon U\to M$ について合成 $\boldsymbol{w}\circ\boldsymbol{x}\colon U\to\R^k$ が $C^\infty$ であることをいう。

$\boldsymbol{w}$ を滑らかな写像、 $p\in M$ 、 $X\in T_pM$ とする。 $\gamma(0)=p$ かつ $\gamma'(0)=X$ を満たす $M$ の中の $C^\infty$ 曲線 $\gamma\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\to M\subseteq\R^3$ を取り

d\boldsymbol{w}_p(X)=(\boldsymbol{w}\circ\gamma)'(0)\in\R^k

と定める。このような $\gamma$ が存在すること、右辺が $\gamma$ の取り方に依らないこと、および $d\boldsymbol{w}_p$ が線形写像であることは補題 2.3で示す。

$\bar M\subseteq\R^3$ を正則曲面とし、 $\phi\colon M\to\bar M$ が写像であるとする。 $\phi$ を $\R^3$ に値を持つ写像とみなしたものが滑らかであるとき、 $\phi$ を滑らかな写像 (smooth map) という。このとき補題 2.3により $d\phi_p(T_pM)\subseteq T_{\phi(p)}\bar M$ が成り立つので、 $d\phi_p$ を線形写像 $T_pM\to T_{\phi(p)}\bar M$ とみなす。

補題 2.3. $M\subseteq\R^3$ を正則曲面、 $\boldsymbol{x}\colon U\to M$ を正則パラメータ表示、 $q\in U$ 、 $p=\boldsymbol{x}(q)$ とする。次が成り立つ。

$M$ の中の $C^\infty$ 曲線 $\gamma$ で $\gamma(0)=p$ を満たすものについて $\gamma'(0)\in T_pM$ が成り立つ。
各 $X\in T_pM$ に対して、 $\gamma(0)=p$ かつ $\gamma'(0)=X$ を満たす $M$ の中の $C^\infty$ 曲線 $\gamma$ が存在する。
$\boldsymbol{w}\colon M\to\R^k$ を滑らかな写像とする。 $\gamma(0)=p$ かつ $\gamma'(0)=X$ を満たす二つの $C^\infty$ 曲線 $\gamma_1,\gamma_2$ について $(\boldsymbol{w}\circ\gamma_1)'(0)=(\boldsymbol{w}\circ\gamma_2)'(0)$ が成り立つ。したがって $d\boldsymbol{w}_p(X)$ は定まり、 $d\boldsymbol{w}_p\colon T_pM\to\R^k$ は線形写像である。さらに、 $\xi\in\R^2$ に対して $d\boldsymbol{w}_p\bigl(D\boldsymbol{x}(q)\xi\bigr)=D(\boldsymbol{w}\circ\boldsymbol{x})(q)\,\xi$ が成り立つ。
$\bar M\subseteq\R^3$ を正則曲面、 $\phi\colon M\to\bar M$ を滑らかな写像とすると $d\phi_p(T_pM)\subseteq T_{\phi(p)}\bar M$ が成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。補題 2.1を $g=\gamma$ に適用すると、 $\gamma^{-1}(\boldsymbol{x}(U))$ は $0$ を含む開集合であり、その上で $c=\boldsymbol{x}^{-1}\circ\gamma$ は $C^\infty$ であって $\gamma=\boldsymbol{x}\circ c$ が成り立つ。連鎖律（§E4.3 定理 1.1）により

\gamma'(0)=D\boldsymbol{x}(q)\,c'(0)\in D\boldsymbol{x}(q)(\R^2)=T_pM

である。ここで最後の等式は§E23.3 定義 3.1による。

主張 (2)を示す。 $X\in T_pM$ に対して $X=D\boldsymbol{x}(q)\xi$ を満たす $\xi\in\R^2$ を取る。 $U$ は開集合であるから、 $\varepsilon>0$ を十分小さく取れば $|t|<\varepsilon$ のとき $q+t\xi\in U$ である。 $\gamma(t)=\boldsymbol{x}(q+t\xi)$ と定めると $\gamma$ は $M$ の中の $C^\infty$ 曲線であり、 $\gamma(0)=p$ 、 $\gamma'(0)=D\boldsymbol{x}(q)\xi=X$ である。

主張 (3)を示す。 $\gamma$ を $\gamma(0)=p$ 、 $\gamma'(0)=X$ を満たす $C^\infty$ 曲線とし、 $c=\boldsymbol{x}^{-1}\circ\gamma$ と置く。主張 (1)の証明の議論により $X=D\boldsymbol{x}(q)c'(0)$ である。 $D\boldsymbol{x}(q)\colon\R^2\to\R^3$ は単射（§E23.3 定義 3.1により像は二次元）であるから、 $c'(0)$ は $X$ によって一意に定まる。一方、 $\boldsymbol{w}\circ\gamma=(\boldsymbol{w}\circ\boldsymbol{x})\circ c$ であるから、ふたたび連鎖律により

(\boldsymbol{w}\circ\gamma)'(0)=D(\boldsymbol{w}\circ\boldsymbol{x})(q)\,c'(0)

である。右辺は $X$ だけで定まるので、 $\gamma_1$ と $\gamma_2$ に対する値は一致する。さらに、 $X\mapsto c'(0)$ は線形写像 $D\boldsymbol{x}(q)$ の像への逆写像であるから線形であり、 $d\boldsymbol{w}_p$ は線形写像の合成として線形である。最後の等式は、上の等式で $c'(0)=\xi$ と取ったものである。

主張 (4)を示す。 $X\in T_pM$ に対して $\gamma$ を主張 (2)で構成した曲線とすると $\phi\circ\gamma$ は $\bar M$ の中の $C^\infty$ 曲線であり、 $(\phi\circ\gamma)(0)=\phi(p)$ である。主張 (1)を $\bar M$ と $\phi\circ\gamma$ へ適用すると $(\phi\circ\gamma)'(0)\in T_{\phi(p)}\bar M$ を得る。▨

注意 2.4 (座標曲線に沿う微分).補題 2.3 (3)で $\xi=(1,0)$ と $\xi=(0,1)$ を取ると

d\boldsymbol{w}_p(\boldsymbol{x}_u)=\partial_u(\boldsymbol{w}\circ\boldsymbol{x})(q),\qquad d\boldsymbol{w}_p(\boldsymbol{x}_v)=\partial_v(\boldsymbol{w}\circ\boldsymbol{x})(q)

を得る。以後、混同の恐れがないときは $\boldsymbol{w}\circ\boldsymbol{x}$ を単に $\boldsymbol{w}$ と書き、その偏導関数を $\boldsymbol{w}_u$ 、 $\boldsymbol{w}_v$ と書く。

3 長さと角

命題 3.1. $\boldsymbol{x}\colon U\to M$ を正則パラメータ表示、 $I$ を開区間、 $\gamma\colon I\to M$ を像が $\boldsymbol{x}(U)$ に含まれる $C^\infty$ 曲線とし、 $c=\boldsymbol{x}^{-1}\circ\gamma=(u(\cdot),v(\cdot))$ と置く。 $[t_0,t_1]\subseteq I$ を有界閉区間とする。このとき $c$ は $C^\infty$ であり、 $\gamma$ の長さ（§E23.1 定義 1.4）は

L\bigl(\gamma;[t_0,t_1]\bigr)=\int_{t_0}^{t_1}\sqrt{E\dot u^2+2F\dot u\dot v+G\dot v^2}\ dt

に等しい。ここで $E$ 、 $F$ 、 $G$ の引数は $c(t)$ である。

証明.補題 2.1により $c$ は $C^\infty$ である。連鎖律（§E4.3 定理 1.1）により

\gamma'(t)=\dot u(t)\,\boldsymbol{x}_u\bigl(c(t)\bigr)+\dot v(t)\,\boldsymbol{x}_v\bigl(c(t)\bigr)

である。命題 1.4を $X=Y=\gamma'(t)$ に適用すると

\lVert\gamma'(t)\rVert^2=E\dot u^2+2F\dot u\dot v+G\dot v^2

を得る。長さの定義（§E23.1 定義 1.4）はこの平方根の積分である。▨

定義 3.2. $p\in M$ とし、 $X,Y\in T_pM$ をいずれも零でない接ベクトルとする。Cauchy–Schwarz の不等式（§E3.33 定理 1.3）により

\frac{\mathrm{I}_p(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{I}_p(X,X)}\,\sqrt{\mathrm{I}_p(Y,Y)}}\in[-1,1]

であるから、この値を余弦とする $\theta\in[0,\pi]$ がただ一つ定まる。この $\theta$ を $X$ と $Y$ のなす角 (angle between tangent vectors) という。

例 3.3. $\boldsymbol{x}\colon U\to M$ を正則パラメータ表示とする。点 $\boldsymbol{x}(q)$ を通る二本の座標曲線 $t\mapsto\boldsymbol{x}(u_0+t,v_0)$ と $t\mapsto\boldsymbol{x}(u_0,v_0+t)$ の速度ベクトルは、それぞれ $\boldsymbol{x}_u(q)$ と $\boldsymbol{x}_v(q)$ である。したがって二本のなす角 $\theta$ は

\cos\theta=\frac{F}{\sqrt{EG}}

を満たす。とくに、 $U$ の各点で $F=0$ が成り立つことと、二本の座標曲線が至るところ直交することは同値である。この条件を満たすパラメータ表示を直交座標 (orthogonal coordinates) という。

4 座標の取り替え

命題 4.1. $\boldsymbol{x}\colon U\to M$ と $\tilde{\boldsymbol{x}}\colon\tilde U\to M$ を正則パラメータ表示とし、 $W=\boldsymbol{x}(U)\cap\tilde{\boldsymbol{x}}(\tilde U)\ne\varnothing$ とする。 $\Phi=\boldsymbol{x}^{-1}\circ\tilde{\boldsymbol{x}}\colon\tilde{\boldsymbol{x}}^{-1}(W)\to\boldsymbol{x}^{-1}(W)$ は $C^\infty$ 微分同相である（§E23.3 定理 1.8）。 $\Phi(\tilde u,\tilde v)=\bigl(u(\tilde u,\tilde v),v(\tilde u,\tilde v)\bigr)$ と書き、 $\boldsymbol{x}$ と $\tilde{\boldsymbol{x}}$ に関する成分行列を $\mathrm{I}$ 、 $\tilde{\mathrm{I}}$ とすると、 $\tilde{\boldsymbol{x}}^{-1}(W)$ の各点で

\tilde{\mathrm{I}}=(D\Phi)^{\mathsf T}\,(\mathrm{I}\circ\Phi)\,(D\Phi)

が成り立つ。成分では

\tilde E=Eu_{\tilde u}^2+2Fu_{\tilde u}v_{\tilde u}+Gv_{\tilde u}^2,

\tilde F=Eu_{\tilde u}u_{\tilde v}+F(u_{\tilde u}v_{\tilde v}+u_{\tilde v}v_{\tilde u})+Gv_{\tilde u}v_{\tilde v},

\tilde G=Eu_{\tilde v}^2+2Fu_{\tilde v}v_{\tilde v}+Gv_{\tilde v}^2

である。とくに

\tilde E\tilde G-\tilde F^2=(\det D\Phi)^2\bigl((EG-F^2)\circ\Phi\bigr)

が成り立つ。

証明. $\tilde{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}\circ\Phi$ であるから、連鎖律（§E4.3 定理 1.1）により

\tilde{\boldsymbol{x}}_{\tilde u}=u_{\tilde u}\,\boldsymbol{x}_u+v_{\tilde u}\,\boldsymbol{x}_v,\qquad \tilde{\boldsymbol{x}}_{\tilde v}=u_{\tilde v}\,\boldsymbol{x}_u+v_{\tilde v}\,\boldsymbol{x}_v

である。ここで $\boldsymbol{x}_u$ 、 $\boldsymbol{x}_v$ の引数は $\Phi(\tilde u,\tilde v)$ である。命題 1.4を $(a,b)=(u_{\tilde u},v_{\tilde u})$ と $(c,d)=(u_{\tilde v},v_{\tilde v})$ の組合せへ適用すると、 $\tilde E$ 、 $\tilde F$ 、 $\tilde G$ の三つの式が得られる。これらは行列の等式

\tilde{\mathrm{I}}=(D\Phi)^{\mathsf T}\,(\mathrm{I}\circ\Phi)\,(D\Phi)

をまとめて書いたものである。両辺の行列式を取ると、行列式の乗法性と $\det(D\Phi)^{\mathsf T}=\det D\Phi$ により最後の等式を得る。▨

5 面積

定義 5.1. $\boldsymbol{x}\colon U\to M$ を正則パラメータ表示とする。 $U$ の上の $C^\infty$ 関数 $\sqrt{EG-F^2}$ を、この表示に関する面積要素 (area element) といい

dA=\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv

と書く。補題 1.5により、これは $\lVert\boldsymbol{x}_u\times\boldsymbol{x}_v\rVert\,du\,dv$ に等しい。

$R\subseteq M$ をコンパクト集合とし、 $R\subseteq\boldsymbol{x}(U)$ かつ $Q=\boldsymbol{x}^{-1}(R)$ が Jordan 可測（§E4.11 定義 2.1）であるとする。このとき $R$ の面積 (surface area) を

A(R)=\iint_Q\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv

と定める。 $Q$ はコンパクトであり $\sqrt{EG-F^2}$ は $U$ の上で連続であるから、§E4.11 系 3.5によりこの積分は定まる。この値が $\boldsymbol{x}$ の取り方に依らないことは命題 5.2で示す。

証明の方針を述べる。出発点は、二つの表示が重なる部分での座標変換 $\Phi=\boldsymbol{x}^{-1}\circ\tilde{\boldsymbol{x}}$ が $C^\infty$ 微分同相であること（§E23.3 定理 1.8）である。中間目標は、二つの積分を同じ積分領域 $\tilde Q$ の上の積分として書き比べることであり、そのために§E4.14 定理 2.1を $\Phi$ に対して適用する。同定理では $C^1$ 級微分同相であること、積分領域が有界 Jordan 可測であってその閉包が定義域に含まれること、被積分関数がその上で連続であることが要求されるので、 $R$ のコンパクト性からこれらを一つずつ確かめる段が必要になる。本質的な一手は、変数変換により持ち込まれる因子 $\lvert\det D\Phi\rvert$ と、第一基本形式の成分の変換則命題 4.1から得られる因子 $(\det D\Phi)^2$ とが、平方根の中でちょうど打ち消し合うことである。この打ち消しによって被積分関数どうしが一致し、二つの積分が等しいという結論が出る。

命題 5.2. $R\subseteq M$ をコンパクト集合とし、二つの正則パラメータ表示 $\boldsymbol{x}\colon U\to M$ 、 $\tilde{\boldsymbol{x}}\colon\tilde U\to M$ がともに $R\subseteq\boldsymbol{x}(U)$ 、 $R\subseteq\tilde{\boldsymbol{x}}(\tilde U)$ を満たし、 $Q=\boldsymbol{x}^{-1}(R)$ と $\tilde Q=\tilde{\boldsymbol{x}}^{-1}(R)$ がともに Jordan 可測であるとする。このとき

\iint_Q\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv=\iint_{\tilde Q}\sqrt{\tilde E\tilde G-\tilde F^2}\,d\tilde u\,d\tilde v

が成り立つ。

証明. $W=\boldsymbol{x}(U)\cap\tilde{\boldsymbol{x}}(\tilde U)$ と置くと $R\subseteq W$ である。 $\Phi=\boldsymbol{x}^{-1}\circ\tilde{\boldsymbol{x}}$ は開集合 $\tilde{\boldsymbol{x}}^{-1}(W)$ から開集合 $\boldsymbol{x}^{-1}(W)$ への $C^\infty$ 微分同相である（§E23.3 定理 1.8）。とくに $\Phi$ は $C^1$ 級微分同相である。

$\boldsymbol{x}$ と $\tilde{\boldsymbol{x}}$ は像への同相写像であり $R$ はコンパクトであるから、 $Q$ と $\tilde Q$ はいずれもコンパクトであり、 $\tilde Q\subseteq\tilde{\boldsymbol{x}}^{-1}(W)$ 、 $\Phi(\tilde Q)=Q$ が成り立つ。したがって $\tilde Q$ は有界 Jordan 可測であり、 $\overline{\tilde Q}=\tilde Q\subseteq\tilde{\boldsymbol{x}}^{-1}(W)$ である。被積分関数 $\sqrt{EG-F^2}$ は $\Phi(\tilde Q)=Q$ を含む開集合 $\boldsymbol{x}^{-1}(W)$ の上で連続である。よって§E4.14 定理 2.1の仮定がすべて満たされ

\iint_{Q}\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv =\iint_{\tilde Q}\sqrt{(EG-F^2)\circ\Phi}\ \lvert\det D\Phi\rvert\,d\tilde u\,d\tilde v

が成り立つ。命題 4.1により、右辺の被積分関数は

\sqrt{(EG-F^2)\circ\Phi}\ \lvert\det D\Phi\rvert=\sqrt{(\det D\Phi)^2\bigl((EG-F^2)\circ\Phi\bigr)}=\sqrt{\tilde E\tilde G-\tilde F^2}

に等しい。以上を合わせて主張を得る。▨

注意 5.3 (この定義が扱う範囲).定義 5.1では、一つの正則パラメータ表示の像に含まれるコンパクトな部分集合の面積だけを定めている。球面や円環面のようなコンパクトな曲面は、一つの正則パラメータ表示の像に含まれないので、その全体の面積は本記事の定義の範囲に入らない。

6 標準的な曲面の第一基本形式

以下の例はすべて回転面であるから、先に一般の回転面を扱い、各例の第一基本形式をその特別な場合として得る。

命題 6.1. $I\subseteq\R$ を開区間、 $\varphi,\psi\colon I\to\R$ を $C^\infty$ 関数とし、すべての $u\in I$ について $\varphi(u)>0$ かつ $\varphi'(u)^2+\psi'(u)^2>0$ が成り立つとする。 $J\subseteq\R$ を長さ $2\pi$ の開区間とし

\boldsymbol{x}(u,v)=\bigl(\varphi(u)\cos v,\ \varphi(u)\sin v,\ \psi(u)\bigr),\qquad(u,v)\in I\times J

と定める。このとき $\boldsymbol{x}$ ははめ込みであり、第一基本形式の成分は

E=\varphi'^2+\psi'^2,\qquad F=0,\qquad G=\varphi^2

であり、面積要素は $\varphi\sqrt{\varphi'^2+\psi'^2}$ である。さらに、母線 $\sigma(u)=(\varphi(u),\psi(u))$ が $I$ から像 $\sigma(I)\subseteq\R^2$ （部分空間位相を与える）への同相写像であるならば、 $\boldsymbol{x}$ は像 $\boldsymbol{x}(I\times J)$ の正則パラメータ表示である。

証明. 偏導関数は

\boldsymbol{x}_u=(\varphi'\cos v,\ \varphi'\sin v,\ \psi'),\qquad \boldsymbol{x}_v=\varphi\,(-\sin v,\ \cos v,\ 0)

である。内積を取ると $E=\varphi'^2+\psi'^2$ 、 $G=\varphi^2$ であり

F=-\varphi\varphi'\cos v\sin v+\varphi\varphi'\sin v\cos v=0

である。よって $EG-F^2=\varphi^2(\varphi'^2+\psi'^2)>0$ であり、補題 1.5により $\boldsymbol{x}_u\times\boldsymbol{x}_v\ne0$ であるから $\boldsymbol{x}$ ははめ込みである。面積要素は $\sqrt{EG-F^2}=\varphi\sqrt{\varphi'^2+\psi'^2}$ である。

最後の主張を示す。 $\boldsymbol{x}(u,v)=(X,Y,Z)$ とすると $\sqrt{X^2+Y^2}=\varphi(u)$ かつ $Z=\psi(u)$ であるから、 $\sigma(u)$ は $(X,Y,Z)$ から定まる。仮定により $\sigma$ は像への同相写像であるから $u$ が定まり、その対応は連続である。次に $\varphi(u)>0$ であるから $(\cos v,\sin v)=(X,Y)/\sqrt{X^2+Y^2}$ が定まる。 $J$ は長さ $2\pi$ の開区間であるから、写像 $v\mapsto(\cos v,\sin v)$ は $J$ から単位円周のある開部分集合への全単射であり、その逆写像は偏角の連続な分枝として連続である。したがって $v$ も定まり、その対応は連続である。ゆえに $\boldsymbol{x}$ は単射であり、逆写像 $(X,Y,Z)\mapsto(u,v)$ は $\boldsymbol{x}(I\times J)$ の上で連続である。はめ込みであることと合わせて、 $\boldsymbol{x}$ は像への同相となる単射なはめ込み、すなわち正則パラメータ表示である。▨

例 6.2. $r>0$ とし、半径 $r$ の球面 $S_r=\{\boldsymbol{p}\in\R^3:\lVert\boldsymbol{p}\rVert=r\}$ を考える。命題 6.1を $I=(0,\pi)$ 、 $\varphi(u)=r\sin u$ 、 $\psi(u)=r\cos u$ 、 $J=(0,2\pi)$ に適用する。 $u\in(0,\pi)$ で $\varphi(u)>0$ であり、 $\varphi'^2+\psi'^2=r^2\cos^2u+r^2\sin^2u=r^2>0$ である。母線 $\sigma(u)=(r\sin u,\ r\cos u)$ は、 $(0,\pi)$ から半円 $\{(x,z):x^2+z^2=r^2,\ x>0\}$ への連続な全単射であり、逆写像は $z\mapsto\arccos(z/r)$ であるから連続である。したがって

\boldsymbol{x}(u,v)=(r\sin u\cos v,\ r\sin u\sin v,\ r\cos u),\qquad (u,v)\in(0,\pi)\times(0,2\pi)

は正則パラメータ表示であり

E=r^2,\qquad F=0,\qquad G=r^2\sin^2u

である。面積要素は $\sqrt{EG-F^2}=r^2\sin u$ である。像は、 $z$ 軸を含む半平面 $\{(x,0,z):x\ge0\}$ と球面の交わりを除いた部分である。

$0<u_1<u_2<\pi$ 、 $0<v_1<v_2<2\pi$ とし、 $Q=[u_1,u_2]\times[v_1,v_2]$ 、 $R=\boldsymbol{x}(Q)$ と置くと、 $R$ はコンパクトであり $Q$ は Jordan 可測であるから

A(R)=\int_{v_1}^{v_2}\!\!\int_{u_1}^{u_2}r^2\sin u\,du\,dv=(v_2-v_1)\,r^2(\cos u_1-\cos u_2)

である。ここで累次積分への書き換えは§E4.12 定理 1.1による。 $0<\varepsilon<\pi/2$ に対して $u_1=v_1=\varepsilon$ 、 $u_2=\pi-\varepsilon$ 、 $v_2=2\pi-\varepsilon$ と取ると $A(R)=(2\pi-2\varepsilon)\cdot2r^2\cos\varepsilon$ であり、 $\varepsilon\to0$ のときこの値は $4\pi r^2$ へ収束する。ただし注意 5.3のとおり、この極限は本記事の定義による球面全体の面積ではない。

例 6.3 (円柱). $r>0$ とし、円柱 $C_r=\{(x,y,z)\in\R^3:x^2+y^2=r^2\}$ を考える。命題 6.1を $I=\R$ 、 $\varphi(u)=r$ 、 $\psi(u)=u$ 、 $J=(v_0,v_0+2\pi)$ に適用する。 $\varphi>0$ であり $\varphi'^2+\psi'^2=1>0$ である。母線 $\sigma(u)=(r,u)$ は $\R$ から直線 $\{r\}\times\R$ への同相写像である。したがって

\boldsymbol{x}(u,v)=(r\cos v,\ r\sin v,\ u),\qquad(u,v)\in\R\times(v_0,v_0+2\pi)

は正則パラメータ表示であり

E=1,\qquad F=0,\qquad G=r^2

である。面積要素は $r$ である。像は、 $C_r$ から一本の母線を除いた部分である。

例 6.4 (円環面). $0<b<a$ とし、円環面を

T_{a,b}=\Bigl\{(x,y,z)\in\R^3:\bigl(\sqrt{x^2+y^2}-a\bigr)^2+z^2=b^2\Bigr\}

と定める。 $u_0,v_0\in\R$ に対して

\boldsymbol{x}(u,v)=\bigl((a+b\cos u)\cos v,\ (a+b\cos u)\sin v,\ b\sin u\bigr),\qquad (u,v)\in(u_0,u_0+2\pi)\times(v_0,v_0+2\pi)

と定める。命題 6.1を $\varphi(u)=a+b\cos u$ 、 $\psi(u)=b\sin u$ に適用する。 $a>b$ より $\varphi>0$ であり、 $\varphi'^2+\psi'^2=b^2\sin^2u+b^2\cos^2u=b^2>0$ である。母線 $u\mapsto(a+b\cos u,\ b\sin u)$ は、長さ $2\pi$ の開区間の上では中心 $(a,0)$ 、半径 $b$ の円周から一点を除いたものへの同相写像である。したがって $\boldsymbol{x}$ は正則パラメータ表示であり

E=b^2,\qquad F=0,\qquad G=(a+b\cos u)^2

である。面積要素は $b(a+b\cos u)$ である。像は、 $T_{a,b}$ から二本の閉曲線を除いた部分である。

$0<\varepsilon<\pi$ に対して $Q_\varepsilon=[u_0+\varepsilon,\ u_0+2\pi-\varepsilon]\times[v_0+\varepsilon,\ v_0+2\pi-\varepsilon]$ 、 $R_\varepsilon=\boldsymbol{x}(Q_\varepsilon)$ と置くと

A(R_\varepsilon)=\int_{v_0+\varepsilon}^{v_0+2\pi-\varepsilon}\!\!\int_{u_0+\varepsilon}^{u_0+2\pi-\varepsilon}b(a+b\cos u)\,du\,dv

であり、 $\varepsilon\to0$ のときこの値は

\int_{v_0}^{v_0+2\pi}\!\!\int_{u_0}^{u_0+2\pi}b(a+b\cos u)\,du\,dv=2\pi\cdot 2\pi ab=4\pi^2ab

へ収束する。例 6.2と同じく、この極限は本記事の定義による円環面全体の面積ではない。

7 局所等長写像

定義 7.1. $M$ 、 $\bar M$ を正則曲面とする。滑らかな写像 $\phi\colon M\to\bar M$ （定義 2.2）が局所等長写像 (local isometry) であるとは、すべての $p\in M$ とすべての $X,Y\in T_pM$ について

\bar{\mathrm{I}}_{\phi(p)}\bigl(d\phi_p(X),\,d\phi_p(Y)\bigr)=\mathrm{I}_p(X,Y)

が成り立つことをいう。ここで $\mathrm{I}$ と $\bar{\mathrm{I}}$ は、それぞれ $M$ と $\bar M$ の第一基本形式である。局所等長写像 $\phi$ が全単射であって $\phi^{-1}$ も局所等長写像であるとき、 $\phi$ を等長写像 (isometry) という。 $M$ から $\bar M$ への局所等長写像が存在するとき、 $M$ は $\bar M$ へ局所等長に写る (locally isometric) という。

定義では単射性も全射性も要求されない。平面と円柱が局所等長に写り合うことは例 7.4で示す。

命題 7.2. $\phi\colon M\to\bar M$ を局所等長写像とする。次が成り立つ。

各 $p\in M$ について $d\phi_p\colon T_pM\to T_{\phi(p)}\bar M$ は線形同型である。
各 $p\in M$ について、 $p$ の開近傍 $V\subseteq M$ と $\phi(p)$ の開近傍 $\bar V\subseteq\bar M$ が存在して、 $\phi$ の $V$ への制限は $V$ から $\bar V$ への全単射であり、その逆写像も滑らかである。
$I$ を開区間、 $\gamma\colon I\to M$ を $C^\infty$ 曲線、 $[t_0,t_1]\subseteq I$ を有界閉区間とすると $L(\phi\circ\gamma;[t_0,t_1])=L(\gamma;[t_0,t_1])$ が成り立つ。
$R\subseteq M$ が定義 5.1の意味で面積を持ち、 $R$ を含む $M$ の開集合の上で $\phi$ が単射であるならば、 $\phi(R)$ も面積を持ち $A(\phi(R))=A(R)$ が成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。 $X\in T_pM$ が $d\phi_p(X)=0$ を満たすとすると、局所等長性から $\mathrm{I}_p(X,X)=\bar{\mathrm{I}}_{\phi(p)}(0,0)=0$ であり、命題 1.2により $X=0$ である。したがって $d\phi_p$ は単射であり、 $\dim T_pM=\dim T_{\phi(p)}\bar M=2$ であるから線形同型である。

主張 (2)を示す。 $\boldsymbol{x}\colon U\to M$ を $p$ の周りの正則パラメータ表示、 $\bar{\boldsymbol{x}}\colon\bar U\to\bar M$ を $\phi(p)$ の周りの正則パラメータ表示とし、 $q=\boldsymbol{x}^{-1}(p)$ と置く。 $\phi$ は連続であるから、 $U$ を小さく取り直して $\phi(\boldsymbol{x}(U))\subseteq\bar{\boldsymbol{x}}(\bar U)$ としてよい。 $f=\bar{\boldsymbol{x}}^{-1}\circ\phi\circ\boldsymbol{x}\colon U\to\bar U$ と置く。 $\phi\circ\boldsymbol{x}$ は $\R^3$ に値を持つ $C^\infty$ 写像であり、値は $\bar{\boldsymbol{x}}(\bar U)$ に属するから、補題 2.1により $f$ は $C^\infty$ である。補題 2.3 (3)により $D\bar{\boldsymbol{x}}(f(q))\,Df(q)=d\phi_p\circ D\boldsymbol{x}(q)$ が成り立ち、右辺は単射、 $D\bar{\boldsymbol{x}}(f(q))$ も単射であるから $Df(q)$ は可逆である。§E4.7 定理 2.1と§E22.5 補題 1.1により、 $q$ の開近傍 $U_0$ と $f(q)$ の開近傍 $\bar U_0$ が存在して $f\colon U_0\to\bar U_0$ は $C^\infty$ 微分同相である。 $V=\boldsymbol{x}(U_0)$ 、 $\bar V=\bar{\boldsymbol{x}}(\bar U_0)$ と置けば主張を得る。

主張 (3)を示す。補題 2.3 (3)により $(\phi\circ\gamma)'(t)=d\phi_{\gamma(t)}(\gamma'(t))$ であるから、局所等長性により

\lVert(\phi\circ\gamma)'(t)\rVert^2=\bar{\mathrm{I}}\bigl(d\phi(\gamma'),d\phi(\gamma')\bigr)=\mathrm{I}(\gamma',\gamma')=\lVert\gamma'(t)\rVert^2

である。長さの定義（§E23.1 定義 1.4）により二つの長さは等しい。

主張 (4)を示す。 $R\subseteq\boldsymbol{x}(U)$ かつ $Q=\boldsymbol{x}^{-1}(R)$ が Jordan 可測であるとし、 $\phi$ が $\boldsymbol{x}(U)$ の上で単射であるとしてよい。主張 (2)により $\phi$ は局所微分同相であり、仮定により単射であるから、 $\bar{\boldsymbol{x}}=\phi\circ\boldsymbol{x}\colon U\to\bar M$ は単射なはめ込みである。さらに $\phi$ は $\boldsymbol{x}(U)$ から $\phi(\boldsymbol{x}(U))$ への連続な全単射であり、局所微分同相であることからその逆写像も連続である。したがって $\bar{\boldsymbol{x}}$ は像への同相であり、 $\bar M$ の正則パラメータ表示である。補題 2.3 (3)により $\bar{\boldsymbol{x}}_u=d\phi(\boldsymbol{x}_u)$ 、 $\bar{\boldsymbol{x}}_v=d\phi(\boldsymbol{x}_v)$ であるから、局所等長性により $\bar E=E$ 、 $\bar F=F$ 、 $\bar G=G$ が $U$ の各点で成り立つ。 $\phi(R)$ はコンパクトであり $\bar{\boldsymbol{x}}^{-1}(\phi(R))=Q$ は Jordan 可測であるから、 $\phi(R)$ は面積を持ち

A(\phi(R))=\iint_Q\sqrt{\bar E\bar G-\bar F^2}\,du\,dv=\iint_Q\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv=A(R)

である。▨

命題 7.3. $\phi\colon M\to\bar M$ を滑らかな写像、 $\boldsymbol{x}\colon U\to M$ を正則パラメータ表示とし、 $\bar{\boldsymbol{x}}=\phi\circ\boldsymbol{x}$ がはめ込みであるとする。 $\boldsymbol{x}$ に関する第一基本形式の成分 $E,F,G$ と $\bar{\boldsymbol{x}}$ から定まる $\bar E=\langle\bar{\boldsymbol{x}}_u,\bar{\boldsymbol{x}}_u\rangle$ 、 $\bar F=\langle\bar{\boldsymbol{x}}_u,\bar{\boldsymbol{x}}_v\rangle$ 、 $\bar G=\langle\bar{\boldsymbol{x}}_v,\bar{\boldsymbol{x}}_v\rangle$ が $U$ の各点で一致するならば、すべての $p\in\boldsymbol{x}(U)$ とすべての $X,Y\in T_pM$ について

\bar{\mathrm{I}}_{\phi(p)}\bigl(d\phi_p(X),d\phi_p(Y)\bigr)=\mathrm{I}_p(X,Y)

が成り立つ。

証明. $p=\boldsymbol{x}(q)$ とする。注意 2.4により $d\phi_p(\boldsymbol{x}_u)=\bar{\boldsymbol{x}}_u$ 、 $d\phi_p(\boldsymbol{x}_v)=\bar{\boldsymbol{x}}_v$ である。 $X=a\boldsymbol{x}_u+b\boldsymbol{x}_v$ 、 $Y=c\boldsymbol{x}_u+d\boldsymbol{x}_v$ と書くと、 $d\phi_p$ の線形性により $d\phi_p(X)=a\bar{\boldsymbol{x}}_u+b\bar{\boldsymbol{x}}_v$ 、 $d\phi_p(Y)=c\bar{\boldsymbol{x}}_u+d\bar{\boldsymbol{x}}_v$ である。命題 1.4を両辺へ適用すると

\bar{\mathrm{I}}\bigl(d\phi_p(X),d\phi_p(Y)\bigr)=\bar Eac+\bar F(ad+bc)+\bar Gbd =Eac+F(ad+bc)+Gbd=\mathrm{I}_p(X,Y)

を得る。▨

例 7.4. $P=\{(x,y,0):x,y\in\R\}$ を平面、 $r>0$ とし $C_r=\{(x,y,z):x^2+y^2=r^2\}$ を円柱とする。写像

\phi\colon P\to C_r,\qquad \phi(x,y,0)=\Bigl(r\cos\frac{x}{r},\ r\sin\frac{x}{r},\ y\Bigr)

を考える。 $\boldsymbol{x}(u,v)=(u,v,0)$ は $P$ の正則パラメータ表示であり

\boldsymbol{x}_u=(1,0,0),\qquad\boldsymbol{x}_v=(0,1,0),\qquad E=1,\quad F=0,\quad G=1

である。 $\phi\circ\boldsymbol{x}$ は $\R^2$ の上の $C^\infty$ 写像であるから $\phi$ は滑らかである。一方

\bar{\boldsymbol{x}}(u,v)=(\phi\circ\boldsymbol{x})(u,v)=\Bigl(r\cos\frac{u}{r},\ r\sin\frac{u}{r},\ v\Bigr)

について

\bar{\boldsymbol{x}}_u=\Bigl(-\sin\frac{u}{r},\ \cos\frac{u}{r},\ 0\Bigr),\qquad \bar{\boldsymbol{x}}_v=(0,0,1)

であるから $\bar E=1$ 、 $\bar F=0$ 、 $\bar G=1$ である。 $\bar{\boldsymbol{x}}_u\times\bar{\boldsymbol{x}}_v\ne0$ であるから $\bar{\boldsymbol{x}}$ ははめ込みであり、命題 7.3により $\phi$ は局所等長写像である。

$\phi$ は単射でない。実際、すべての $(x,y)$ について $\phi(x+2\pi r,y,0)=\phi(x,y,0)$ が成り立つ。定義域を帯 $\{(x,y,0):x_0<x<x_0+2\pi r\}$ へ制限すると、 $\phi$ はその帯から円柱の中の一本の直線 $\{(r\cos(x_0/r),\ r\sin(x_0/r),\ z):z\in\R\}$ を除いた部分への等長写像になる。

注意 7.5 (局所等長性が保つものと保たないもの).命題 7.2により、局所等長写像は曲面上の曲線の長さ、接ベクトルのなす角および面積を保つ。したがって、これら三つの量からは平面と円柱を区別することができない。一方、平面は一つの平面に含まれるが、円柱は $\R^3$ のどの平面にも含まれない。実際、円柱の上の三点 $(r,0,0)$ 、 $(-r,0,0)$ 、 $(0,r,0)$ を通る平面は $z=0$ に限られるが、 $(r,0,1)$ は円柱に属して $z=0$ に属さない。この違いを測る量は第一基本形式には含まれておらず、次の記事が導入する第二基本形式が担う。

第一基本形式だけから決まる量と、空間への入り方に依存する量の境目がどこにあるかは、この段階では定まっていない。Gauss 曲率が前者に属するという事実が§E23.11 Gauss 方程式と Gauss の驚異の定理の主定理である。

8 境界

本記事の面積の定義は、一つの正則パラメータ表示の像に含まれるコンパクトな部分集合に限られている。この制限を外すには、曲面を有限個の断片へ分け、各断片の面積を足し合わせる仕組みが要る。

定義 7.1では単射性も全射性も要求されない。したがって、二つの曲面が局所等長に写り合うことから、両者が同相であることも、大域的な等長写像が存在することも従わない。例 7.4の $\phi$ は全射であるが単射でない。

第一基本形式により、本記事で扱った長さ、角および面積は決まるが、曲面が空間の中でどのように曲がっているかは決まらない。第二基本形式は向きの取り方に依存し、向きを反転すると符号が変わる。第一基本形式にはそのような依存が無い。

9 演習

問題 9.1.

平面 $P=\{(x,y,0)\}$ の二つの正則パラメータ表示 $\boldsymbol{x}(u,v)=(u,\ v,\ 0)$ と $\tilde{\boldsymbol{x}}(\tilde u,\tilde v)=(\sqrt{\tilde u},\ \tilde v,\ 0)$ （いずれも定義域は $(0,1)\times(0,1)$ ）を考え、 $R=(0,1)\times(0,1)\times\{0\}$ と置く。 $\tilde{\boldsymbol{x}}$ が正則パラメータ表示であること、 $Q=\boldsymbol{x}^{-1}(R)$ と $\tilde Q=\tilde{\boldsymbol{x}}^{-1}(R)$ がともに Jordan 可測であることを確かめる。 $\iint_Q\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv=1$ であるが、 $\sqrt{\tilde E\tilde G-\tilde F^2}$ は $\tilde Q$ の上で有界でなく、 $\tilde Q$ の上の Riemann 積分が定まらないことを示す。さらに $0<\delta<1/2$ に対してコンパクト集合 $R_\delta=[\delta,1-\delta]\times[\delta,1-\delta]\times\{0\}$ の面積を二つの表示で計算し、一致することを確かめる。
$\boldsymbol{x}\colon U\to M$ を正則パラメータ表示であって、 $U$ の各点で $E=G=\lambda$ 、 $F=0$ を満たすものとする（ $\lambda>0$ は $U$ の上の関数）。 $\tilde{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}\circ\Phi$ を、命題 4.1の座標変換 $\Phi(\tilde u,\tilde v)=\bigl(u(\tilde u,\tilde v),v(\tilde u,\tilde v)\bigr)$ による別の正則パラメータ表示とする。 $\Phi$ が各点で $u_{\tilde u}=v_{\tilde v}$ 、 $u_{\tilde v}=-v_{\tilde u}$ （Cauchy–Riemann の方程式）を満たすか、各点で $u_{\tilde u}=-v_{\tilde v}$ 、 $u_{\tilde v}=v_{\tilde u}$ を満たすならば、 $\tilde E=\tilde G=(u_{\tilde u}^2+v_{\tilde u}^2)\,(\lambda\circ\Phi)$ 、 $\tilde F=0$ が成り立つことを示す。逆に、ある点で $\tilde E=\tilde G$ かつ $\tilde F=0$ が成り立つならば、その点で二組の方程式のどちらか一方が成り立つことを示す。二つの場合の $\det D\Phi$ の符号を求める。
平面 $P=\{(x,y,0)\}$ への写像 $\boldsymbol{x}(u,v)=(u^3,\ v,\ 0)$ （ $(u,v)\in\R^2$ ）が $C^\infty$ の全単射であって逆写像が連続であるが、はめ込みでないことを確かめる。 $P$ の中の $C^\infty$ 曲線 $g(t)=(t,0,0)$ について $\boldsymbol{x}^{-1}\circ g$ が $C^\infty$ でないことを示し、補題 2.1 (2)の結論がこの $\boldsymbol{x}$ に対して成り立たないことを確かめる。さらに、 $w(x,y,0)=x^{1/3}$ （実数の三乗根）で定まる $w\colon P\to\R$ について、 $w\circ\boldsymbol{x}$ は $C^\infty$ であるが $w$ は定義 2.2の意味で滑らかでないことを示す。
$0<\alpha<\pi/2$ とし、円錐 $C_\alpha=\{(x,y,z)\mid z=\cot\alpha\,\sqrt{x^2+y^2},\ (x,y)\ne(0,0)\}$ と、平面の扇形 $S_\alpha=\{(\rho\cos\theta,\ \rho\sin\theta,\ 0)\mid\rho>0,\ 0<\theta<2\pi\sin\alpha\}$ を考える。 $\phi(\rho\cos\theta,\ \rho\sin\theta,\ 0)=\Bigl(\rho\sin\alpha\cos\frac{\theta}{\sin\alpha},\ \rho\sin\alpha\sin\frac{\theta}{\sin\alpha},\ \rho\cos\alpha\Bigr)$ で定まる $\phi\colon S_\alpha\to C_\alpha$ が単射な局所等長写像であることを示し、像を求める。 $\rho_0>0$ を固定し、曲線 $\gamma(\theta)=(\rho_0\cos\theta,\ \rho_0\sin\theta,\ 0)$ について、 $[\theta_0,\theta_1]\subseteq(0,2\pi\sin\alpha)$ に対応する $\phi\circ\gamma$ の長さを直接計算し、 $\gamma$ の長さと一致することを確かめる。
$I=(-\pi,\pi)$ 、 $\varphi(u)=2+\sin2u$ 、 $\psi(u)=\sin u$ 、 $J=(0,2\pi)$ とする。 $\varphi>0$ と $\varphi'^2+\psi'^2>0$ を確かめ、命題 6.1の $\boldsymbol{x}$ の第一基本形式の成分を求める。 $\boldsymbol{x}$ が単射なはめ込みであるが像への同相写像でなく、したがって正則パラメータ表示でないことを示す。
例 7.4の写像 $\phi$ で線分を写した曲線 $\gamma(t)=\phi(t,0,0)$ （ $0\le t\le\ell$ ）の長さを命題 3.1によって計算し、 $\ell$ に等しいことを確かめる。 $\ell>2\pi r$ のとき、 $\gamma$ は単射でなく、像の円周の点を二度以上通ることを述べる。
$r>0$ とし、例 6.2の正則パラメータ表示 $\boldsymbol{x}\colon U\to S_r$ （ $U=(0,\pi)\times(0,2\pi)$ ）を用いて、 $\Theta\colon\boldsymbol{x}(U)\to P$ を $\Theta(\boldsymbol{x}(u,v))=(rv,\ r\cos u,\ 0)$ で定める（ $P$ は平面 $\{(x,y,0)\}$ ）。 $R\subseteq\boldsymbol{x}(U)$ がコンパクトであって $\boldsymbol{x}^{-1}(R)$ が Jordan 可測であるならば、 $\Theta(R)$ も面積を持ち $A(\Theta(R))=A(R)$ が成り立つことを示す。一方、 $\Theta$ が局所等長写像でないことを示す。

解答.

(1)を示す。 $\Phi(\tilde u,\tilde v)=(\sqrt{\tilde u},\ \tilde v)$ は $(0,1)\times(0,1)$ からそれ自身への $C^\infty$ 微分同相であり、逆写像は $(u,v)\mapsto(u^2,v)$ である。 $\tilde{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}\circ\Phi$ であり、 $\tilde{\boldsymbol{x}}_{\tilde u}=\bigl(1/(2\sqrt{\tilde u}),\ 0,\ 0\bigr)$ 、 $\tilde{\boldsymbol{x}}_{\tilde v}=(0,1,0)$ であるから、ベクトル積は $\bigl(0,\ 0,\ 1/(2\sqrt{\tilde u})\bigr)\ne\boldsymbol{0}$ であり、 $\tilde{\boldsymbol{x}}$ ははめ込みである。 $\tilde{\boldsymbol{x}}$ は単射であり、逆写像 $(x,y,0)\mapsto(x^2,y)$ は連続であるから、 $\tilde{\boldsymbol{x}}$ は正則パラメータ表示である。 $Q=\tilde Q=(0,1)\times(0,1)$ は有界であり、その境界は正方形の四辺であって Jordan 零集合であるから、Jordan 可測である（§E4.11 定義 2.1）。

$E=G=1$ 、 $F=0$ であるから $\iint_Q\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv=\iint_Q1\,du\,dv=1$ である。一方 $\tilde E=1/(4\tilde u)$ 、 $\tilde F=0$ 、 $\tilde G=1$ であるから

\sqrt{\tilde E\tilde G-\tilde F^2}=\frac{1}{2\sqrt{\tilde u}}

であり、 $\tilde u\to0^{+}$ のとき有界でない。§E4.11 定義 3.1の Riemann 積分は有界な関数に対してだけ定まるので、 $\tilde Q$ の上のこの関数の Riemann 積分は定まらない。 $R$ はコンパクトでなく、定義 5.1の面積の定義の範囲に入らない。

$R_\delta$ はコンパクトであり、 $\boldsymbol{x}^{-1}(R_\delta)=[\delta,1-\delta]^2$ 、 $\tilde{\boldsymbol{x}}^{-1}(R_\delta)=[\delta^2,(1-\delta)^2]\times[\delta,1-\delta]$ はともに閉長方形であって Jordan 可測である。§E4.12 定理 1.1により

\iint_{\tilde{\boldsymbol{x}}^{-1}(R_\delta)}\frac{d\tilde u\,d\tilde v}{2\sqrt{\tilde u}}=(1-2\delta)\int_{\delta^2}^{(1-\delta)^2}\frac{d\tilde u}{2\sqrt{\tilde u}}=(1-2\delta)\bigl((1-\delta)-\delta\bigr)=(1-2\delta)^2

であり、これは $\iint_{[\delta,1-\delta]^2}1\,du\,dv=(1-2\delta)^2$ に一致する。

(2)を示す。 $a=u_{\tilde u}$ 、 $b=v_{\tilde u}$ 、 $c=u_{\tilde v}$ 、 $d=v_{\tilde v}$ と置くと $D\Phi=\begin{pmatrix}a&c\\ b&d\end{pmatrix}$ であり、仮定により $\mathrm{I}\circ\Phi=(\lambda\circ\Phi)\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}$ である。命題 4.1により

\tilde{\mathrm{I}}=(\lambda\circ\Phi)\,(D\Phi)^{\mathsf T}D\Phi=(\lambda\circ\Phi)\begin{pmatrix}a^2+b^2&ac+bd\\ ac+bd&c^2+d^2\end{pmatrix}

である。第一の組の方程式は $(c,d)=(-b,a)$ 、第二の組は $(c,d)=(b,-a)$ を意味する。いずれの場合も $ac+bd=0$ 、 $c^2+d^2=a^2+b^2$ であるから、 $\tilde E=\tilde G=(a^2+b^2)(\lambda\circ\Phi)$ 、 $\tilde F=0$ である。

逆に、ある点で $\tilde E=\tilde G$ 、 $\tilde F=0$ とする。 $\lambda\circ\Phi>0$ であるから $ac+bd=0$ 、 $c^2+d^2=a^2+b^2$ である。 $\Phi$ は微分同相であるから $D\Phi$ は可逆であり、 $(a,b)\ne(0,0)$ である。 $\R^2$ の中で $(a,b)$ と直交するベクトルの全体は $(-b,a)$ が張る $1$ 次元空間であるから、 $(c,d)=t(-b,a)$ と書くことができ、長さの条件から $t^2=1$ である。 $t=1$ ならば第一の組が、 $t=-1$ ならば第二の組が成り立つ。

$\det D\Phi=ad-bc$ は、第一の組では $a^2+b^2>0$ 、第二の組では $-(a^2+b^2)<0$ である。いずれの場合も $\sqrt{\tilde E\tilde G-\tilde F^2}=(a^2+b^2)(\lambda\circ\Phi)=\lvert\det D\Phi\rvert\sqrt{(EG-F^2)\circ\Phi}$ であり、命題 4.1の最後の等式と一致する。

(3)を示す。 $\boldsymbol{x}$ の成分は多項式であるから $C^\infty$ である。 $u\mapsto u^3$ は $\R$ から $\R$ への全単射であり、その逆写像 $x\mapsto x^{1/3}$ は連続であるから、 $\boldsymbol{x}$ は全単射であって逆写像 $(x,y,0)\mapsto(x^{1/3},y)$ は連続である。 $\boldsymbol{x}_u=(3u^2,0,0)$ は $u=0$ で零であるから、 $D\boldsymbol{x}(0,v)$ は単射でなく、 $\boldsymbol{x}$ ははめ込みでない。

$(\boldsymbol{x}^{-1}\circ g)(t)=(t^{1/3},0)$ であり、 $t\ne0$ に対して $t^{1/3}/t=\lvert t\rvert^{-2/3}$ は $t\to0$ で有界でないから、第一成分は $t=0$ で微分可能でない。よって $\boldsymbol{x}^{-1}\circ g$ は $C^\infty$ でない。補題 2.1 (2)の結論は $\boldsymbol{x}$ が正則パラメータ表示であるときの主張であり、はめ込みであることを外すと成り立たない。

$(w\circ\boldsymbol{x})(u,v)=(u^3)^{1/3}=u$ は $C^\infty$ である。一方、 $\boldsymbol{y}(u,v)=(u,\ v,\ 0)$ は $P$ の正則パラメータ表示であり、 $(w\circ\boldsymbol{y})(u,v)=u^{1/3}$ は上と同じ理由で $u=0$ で偏微分可能でない。定義 2.2はすべての正則パラメータ表示との合成が $C^\infty$ であることを要求するので、 $w$ は滑らかでない。はめ込みでない $\boldsymbol{x}$ を滑らかさの判定に用いると、滑らかでない関数を滑らかと判定することになる。

(4)を示す。命題 6.1を $I=(0,\infty)$ 、 $\varphi(\rho)=\rho$ 、 $\psi\equiv0$ 、 $J=(0,2\pi)$ に適用すると、 $\boldsymbol{x}(\rho,\theta)=(\rho\cos\theta,\ \rho\sin\theta,\ 0)$ は平面の正則パラメータ表示であり、 $E=1$ 、 $F=0$ 、 $G=\rho^2$ である。母線 $\rho\mapsto(\rho,0)$ は半直線への同相写像である。定義域を $(0,\infty)\times(0,2\pi\sin\alpha)$ へ制限したものも正則パラメータ表示であり、その像が $S_\alpha$ である。

$C_\alpha$ は、 $\R^2\setminus\{(0,0)\}$ の上の $C^\infty$ 関数 $(x,y)\mapsto\cot\alpha\,\sqrt{x^2+y^2}$ のグラフであるから、§E23.3 命題 2.1により正則曲面である。同じ命題を $\varphi(\rho)=\rho\sin\alpha$ 、 $\psi(\rho)=\rho\cos\alpha$ 、 $J=(0,2\pi)$ に適用すると、 $\varphi>0$ 、 $\varphi'^2+\psi'^2=1$ であり、母線 $\rho\mapsto(\rho\sin\alpha,\ \rho\cos\alpha)$ は半直線への同相写像であるから、

\boldsymbol{y}(\rho,\psi)=(\rho\sin\alpha\cos\psi,\ \rho\sin\alpha\sin\psi,\ \rho\cos\alpha),\qquad(\rho,\psi)\in(0,\infty)\times(0,2\pi)

は正則パラメータ表示である。 $\boldsymbol{y}(\rho,\psi)$ の第三成分は第一・第二成分の長さの $\cot\alpha$ 倍であるから像は $C_\alpha$ に含まれ、像は $C_\alpha$ から母線 $\{(t\sin\alpha,\ 0,\ t\cos\alpha)\mid t>0\}$ を除いた集合である。

$\Lambda(\rho,\theta)=(\rho,\ \theta/\sin\alpha)$ は $(0,\infty)\times(0,2\pi\sin\alpha)$ から $(0,\infty)\times(0,2\pi)$ への $C^\infty$ 微分同相であり、 $\phi\circ\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\circ\Lambda$ である。 $\boldsymbol{x}$ 、 $\Lambda$ 、 $\boldsymbol{y}$ はいずれも単射であるから $\phi$ は単射であり、 $\phi$ の像は $\boldsymbol{y}$ の像である。 $\phi\circ\boldsymbol{x}$ は $C^\infty$ であり、 $S_\alpha$ の任意の正則パラメータ表示 $\boldsymbol{z}$ について $\phi\circ\boldsymbol{z}=(\phi\circ\boldsymbol{x})\circ(\boldsymbol{x}^{-1}\circ\boldsymbol{z})$ は§E23.3 定理 1.8により $C^\infty$ であるから、 $\phi$ は滑らかである。 $\bar{\boldsymbol{x}}=\phi\circ\boldsymbol{x}$ について

\bar{\boldsymbol{x}}_\rho=\Bigl(\sin\alpha\cos\frac{\theta}{\sin\alpha},\ \sin\alpha\sin\frac{\theta}{\sin\alpha},\ \cos\alpha\Bigr),\qquad \bar{\boldsymbol{x}}_\theta=\rho\Bigl(-\sin\frac{\theta}{\sin\alpha},\ \cos\frac{\theta}{\sin\alpha},\ 0\Bigr)

であるから $\bar E=1$ 、 $\bar F=0$ 、 $\bar G=\rho^2$ であり、 $\bar E\bar G-\bar F^2>0$ から補題 1.5により $\bar{\boldsymbol{x}}$ ははめ込みである。成分が一致するので、命題 7.3により $\phi$ は局所等長写像である。

$(\phi\circ\gamma)(\theta)=\bigl(\rho_0\sin\alpha\cos(\theta/\sin\alpha),\ \rho_0\sin\alpha\sin(\theta/\sin\alpha),\ \rho_0\cos\alpha\bigr)$ であり、 $\lVert(\phi\circ\gamma)'(\theta)\rVert=\rho_0\sin\alpha\cdot(1/\sin\alpha)=\rho_0$ である。よって $L(\phi\circ\gamma;[\theta_0,\theta_1])=\rho_0(\theta_1-\theta_0)$ である。一方 $\lVert\gamma'(\theta)\rVert=\rho_0$ であるから $L(\gamma;[\theta_0,\theta_1])=\rho_0(\theta_1-\theta_0)$ であり、両者は一致する。 $\phi\circ\gamma$ の像は半径 $\rho_0\sin\alpha$ の水平な円から一点を除いた弧であり、 $\theta$ が $(0,2\pi\sin\alpha)$ 全体を動くとき、長さ $2\pi\rho_0\sin\alpha$ はその円周の長さに等しい。

(5)を示す。 $\lvert\sin2u\rvert\le1$ から $\varphi\ge1>0$ である。 $\varphi'=2\cos2u$ 、 $\psi'=\cos u$ であり、 $\cos u=0$ となる $u=\pm\pi/2$ では $\cos2u=-1$ であるから、 $\varphi'^2+\psi'^2=4\cos^22u+\cos^2u>0$ である。命題 6.1により $\boldsymbol{x}$ ははめ込みであり

E=4\cos^22u+\cos^2u,\qquad F=0,\qquad G=(2+\sin2u)^2

である。

母線 $\sigma(u)=(2+\sin2u,\ \sin u)$ は、§E22.5 例 2.2の曲線 $\gamma(u)=(\sin2u,\ \sin u)$ を $(2,0)$ だけ平行移動したものであるから、単射である。 $\boldsymbol{x}(u,v)=\boldsymbol{x}(u',v')$ とすると、 $\sqrt{X^2+Y^2}$ と $Z$ を比べて $\sigma(u)=\sigma(u')$ を得るので $u=u'$ であり、 $\varphi(u)>0$ から $(\cos v,\sin v)=(\cos v',\sin v')$ である。 $J$ は長さ $2\pi$ の開区間であるから $v=v'$ である。よって $\boldsymbol{x}$ は単射である。

$u_k=\pi-1/k$ （ $k\in\NN$ ）と置くと $u_k\in I$ であり、 $\sigma(u_k)\to(2+\sin2\pi,\ \sin\pi)=(2,0)=\sigma(0)$ であるから、 $\boldsymbol{x}(u_k,\pi)\to\boldsymbol{x}(0,\pi)$ である。しかし $(u_k,\pi)$ は $(0,\pi)$ に収束しない。よって $\boldsymbol{x}^{-1}$ は $\boldsymbol{x}(0,\pi)$ で連続でなく、 $\boldsymbol{x}$ は像への同相写像でない。§E23.3 定義 1.3 条件 (c)を満たさないので、 $\boldsymbol{x}$ は正則パラメータ表示でない。この例は、命題 6.1の最後の主張で母線が像への同相写像であるという仮定を外すと、結論が成り立たないことを示している。

(6)を示す。 $\gamma(t)=\phi(t,0,0)=\bigl(r\cos(t/r),\ r\sin(t/r),\ 0\bigr)$ （ $t\in\R$ ）と置く。例 6.3の正則パラメータ表示 $\boldsymbol{y}(u,v)=(r\cos v,\ r\sin v,\ u)$ （ $(u,v)\in\R\times(v_0,v_0+2\pi)$ ）について $E=1$ 、 $F=0$ 、 $G=r^2$ である。 $t_0<t_1$ かつ $t_1-t_0<2\pi r$ を満たす閉区間 $[t_0,t_1]$ を取り、 $v_0$ を $v_0<t_0/r$ かつ $t_1/r<v_0+2\pi$ となるように選ぶ。 $\gamma$ を開区間 $(rv_0,\ rv_0+2\pi r)$ へ制限すると、その像は $\boldsymbol{y}$ の像に含まれ、 $c=\boldsymbol{y}^{-1}\circ\gamma$ は $c(t)=(0,\ t/r)$ である。 $\dot u=0$ 、 $\dot v=1/r$ であるから、命題 3.1により

L\bigl(\gamma;[t_0,t_1]\bigr)=\int_{t_0}^{t_1}\sqrt{G\,\dot v^2}\,dt=\int_{t_0}^{t_1}\sqrt{r^2\cdot\frac{1}{r^2}}\,dt=t_1-t_0

である。 $[0,\ell]$ を、長さが $2\pi r$ より小さい有限個の閉区間 $[s_{k-1},s_k]$ （ $0=s_0<s_1<\dots<s_m=\ell$ ）に分けると、長さの定義（§E23.1 定義 1.4）は速さの積分であるから区間について加法的であり、 $L(\gamma;[0,\ell])=\sum_{k=1}^m(s_k-s_{k-1})=\ell$ を得る。 $\ell>2\pi r$ のとき、 $\gamma([0,\ell])$ は $\gamma([0,2\pi r])$ を含むので円周 $\{(x,y,0):x^2+y^2=r^2\}$ 全体である。 $0\le t\le\ell-2\pi r$ を満たす各 $t$ について、 $t$ と $t+2\pi r$ はともに $[0,\ell]$ に属して異なり、 $\gamma(t+2\pi r)=\gamma(t)$ である。したがって $\gamma$ は単射でなく、像の円周の点 $\gamma(t)$ （ $0\le t\le\ell-2\pi r$ ）を二度以上通る。たとえば $\gamma(2\pi r)=\gamma(0)=(r,0,0)$ である。

(7)を示す。 $U$ の上で $\Psi(u,v)=(rv,\ r\cos u)$ と定める。 $\Psi$ は $U$ から $(0,2\pi r)\times(-r,r)$ への $C^\infty$ 微分同相であり、逆写像は $(s,t)\mapsto(\arccos(t/r),\ s/r)$ であって、 $\det D\Psi=\det\begin{pmatrix}0&r\\ -r\sin u&0\end{pmatrix}=r^2\sin u>0$ である。 $R\subseteq\boldsymbol{x}(U)$ をコンパクト集合とし、 $Q=\boldsymbol{x}^{-1}(R)$ が Jordan 可測であるとする。 $\boldsymbol{x}$ は像への同相写像であるから $Q$ はコンパクトであり、 $\overline Q=Q\subseteq U$ である。§E4.14 定理 2.1を関数 $1$ に適用すると、 $\Psi(Q)$ は Jordan 可測であって

\iint_{\Psi(Q)}ds\,dt=\iint_Qr^2\sin u\,du\,dv=A(R)

が成り立つ。平面の正則パラメータ表示 $(s,t)\mapsto(s,t,0)$ では $E=G=1$ 、 $F=0$ であり、 $\Theta(R)=\Psi(Q)\times\{0\}$ はコンパクトであるから、左辺は $A(\Theta(R))$ である。したがって $A(\Theta(R))=A(R)$ である。

$\bar{\boldsymbol{x}}=\Theta\circ\boldsymbol{x}$ は $\bar{\boldsymbol{x}}(u,v)=(rv,\ r\cos u,\ 0)$ であり、 $C^\infty$ である。 $\boldsymbol{x}$ は $\boldsymbol{x}(U)$ 全体を像とする正則パラメータ表示であるから、§E23.3 定理 1.8により $\Theta$ は滑らかである。 $\bar{\boldsymbol{x}}_u=(0,\ -r\sin u,\ 0)$ 、 $\bar{\boldsymbol{x}}_v=(r,0,0)$ であるから $\lVert d\Theta(\boldsymbol{x}_u)\rVert^2=\lVert\bar{\boldsymbol{x}}_u\rVert^2=r^2\sin^2u$ である（注意 2.4）。一方 $\lVert\boldsymbol{x}_u\rVert^2=E=r^2$ であるから、 $\sin u\ne1$ である点で $\bar{\mathrm{I}}(d\Theta(\boldsymbol{x}_u),d\Theta(\boldsymbol{x}_u))\ne\mathrm{I}(\boldsymbol{x}_u,\boldsymbol{x}_u)$ である。よって $\Theta$ は局所等長写像でない。面積を保つことは局所等長写像であることを導かないので、命題 7.2 (4)の面積の等式だけからは、球面の一部と平面の一部が局所等長であることを否定することはできない。▨

§E23.4第一基本形式と面積要素

1 第一基本形式

2 曲面上の写像とその微分

3 長さと角

4 座標の取り替え

5 面積

6 標準的な曲面の第一基本形式

7 局所等長写像

8 境界

9 演習

参考文献

前提記事