§E23.8測地線・測地曲率・エネルギーの第一変分

最終更新

平面の直線は、速度ベクトルが変化しない曲線として特徴づけられる。曲面の上で「速度ベクトルが変化しない」と述べるには、速度ベクトルの微分を曲面の内側で測る必要がある。共変微分がその手段を与えるので、速度ベクトル場が曲線に沿って平行である曲線として測地線を定めることができる。速度ベクトル場が平行であるという測地線の定義が、本記事の出発点である。

測地線には、もう一つの現れ方がある。両端を固定して曲線を動かしたとき、長さまたはエネルギーの一階の変化が消える曲線という現れ方である。本記事では二つの現れ方が一致することを証明する。ただし、長さの臨界点の集合とエネルギーの臨界点の集合は異なる。長さは径数の取り替えで変わらないので、その臨界点は径数の取り替えを除いてしか決まらない。エネルギーは径数の取り替えで変わるので、その臨界点は定速の測地線そのものである。この違いを最後まで区別して扱う。

本記事で実際に示すのは次の六つである。第一に、測地線の座標表示が二階の常微分方程式になることと、その方程式から従う局所的な一意存在および定速性である。第二に、コンパクト区間の上のC1C^1関数について積分記号の下で微分することができるという補題である。第三に、二径数の族に沿う二方向の共変微分が交換することである。第四に、端点を固定した変分に対するエネルギーと長さの第一変分の公式である。第五に、エネルギーの臨界点が測地線であるのに対して、長さの臨界点は定速に取り直して初めて測地線になることである。第六に、単位速度の曲線に対する測地曲率の定義と、その符号の振る舞いである。

以下、(M,I)(M,\mathrm{I})を抽象曲面（§E23.7 定義 5.1）とし、∇\nablaを§E23.7 定理 5.3の接続、D/dtD/dtを§E23.7 命題 6.2の曲線に沿う共変微分とする。M⊆R3M\subseteq\R^3が正則曲面（§E23.3 定義 1.1）である場合も含む。接ベクトルX∈TpMX\in T_pMの長さを∥X∥=Ip(X,X)\lVert X\rVert=\sqrt{\mathrm{I}_p(X,X)}と書く。「滑らか」はC∞C^\inftyを意味する。

1 測地線

定義 1.1.IIを区間、γ:I→M\gamma:I\to Mを滑らかな曲線とする。γ\gammaが測地線 (geodesic) であるとは、IIの全体で

Dγ′dt=0\frac{D\gamma'}{dt}=0

が成り立つこと、すなわち速度ベクトル場γ′\gamma'がγ\gammaに沿って平行であること（§E23.7 定義 6.4）をいう。チャート(U,(u1,u2))(U,(u^1,u^2))を取りγ\gammaの座標表示を(u1(t),u2(t))(u^1(t),u^2(t))と書くと、§E23.7 命題 6.2の表示により、この条件はγ−1(U)\gamma^{-1}(U)の上で

u¨k+∑i,j=12Γijk(γ(t)) u˙i u˙j=0(k=1,2)\ddot u^k+\sum_{i,j=1}^{2}\Gamma^k_{ij}\bigl(\gamma(t)\bigr)\,\dot u^i\,\dot u^j=0\qquad(k=1,2)

と同値である。

命題 1.2.

  1. 定速性。γ\gammaが測地線ならば∥γ′∥\lVert\gamma'\rVertは定数である。
  2. 局所的な一意存在。p∈Mp\in MとX∈TpMX\in T_pMに対して、δ>0\delta>0と測地線γ:(−δ,δ)→M\gamma:(-\delta,\delta)\to Mであってγ(0)=p\gamma(0)=pかつγ′(0)=X\gamma'(0)=Xを満たすものが存在する。また、同じ初期条件を持つ二つの測地線は、00を含む十分小さい共通の区間の上で一致する。

証明.主張 (1)を示す。§E23.7 命題 6.3により

ddt I(γ′,γ′)=2 I(Dγ′dt,γ′)=0\frac{d}{dt}\,\mathrm{I}(\gamma',\gamma')=2\,\mathrm{I}\left(\frac{D\gamma'}{dt},\gamma'\right)=0

であるからI(γ′,γ′)\mathrm{I}(\gamma',\gamma')は定数であり、∥γ′∥\lVert\gamma'\rVertも定数である。

主張 (2)を示す。ppを含むチャート(U,(u1,u2))(U,(u^1,u^2))を取り、φ:U→φ(U)⊆R2\varphi:U\to\varphi(U)\subseteq\R^2を対応する座標写像とする。V=φ(U)×R2⊆R4V=\varphi(U)\times\R^2\subseteq\R^4は開集合である。定義 1.1の二階の方程式を、未知関数y=(u1,u2,w1,w2)y=(u^1,u^2,w^1,w^2)についての一階の系

y′=F(y),F(u,w)=(w1, w2, −∑i,j=12Γij1 wiwj, −∑i,j=12Γij2 wiwj)y'=F(y),\qquad F(u,w)=\left(w^1,\ w^2,\ -\sum_{i,j=1}^{2}\Gamma^1_{ij}\,w^iw^j,\ -\sum_{i,j=1}^{2}\Gamma^2_{ij}\,w^iw^j\right)

へ書き直す。ここでΓijk\Gamma^k_{ij}は座標を通じてuuの関数とみなしている。§E23.7 定理 3.3によりΓijk\Gamma^k_{ij}はC∞C^\inftyであるからF:V→R4F:V\to\R^4はC∞C^\inftyであり、とくにC1C^1である。§E22 多様体入門の§E22.6 補題 1.3により、y0=(φ(p),Xy_0=(\varphi(p),Xの座標成分))を中心とする閉球B‾(y0,b)⊆V\overline{B}(y_0,b)\subseteq Vの上でFFは Lipschitz 定数LLを持つ。Ω=R×V\Omega=\R\times Vと置くと、R=[−a,a]×B‾(y0,b)⊆ΩR=[-a,a]\times\overline{B}(y_0,b)\subseteq\Omegaであり、FFはttに依存しないので、RRの上で§E13 常微分方程式論の§E13.4 系 4.4の仮定が満たされる。同定理により局所解が存在し、初期値を共有する二つの局所解は00を含む十分小さい共通の区間の上で一致する。得られた解の成分は、方程式の右辺がC∞C^\inftyであることから帰納的にC∞C^\inftyである。▨

注意 1.3 (存在区間について主張しないこと).命題 1.2は局所的な主張である。初期条件を与えたときに得られる区間(−δ,δ)(-\delta,\delta)の大きさについても、測地線が実数全体へ延びるかどうかについても、本記事では何も述べない。さらに、δ\deltaと解が初期条件についてどのように変化するかも述べない。§E13 常微分方程式論では解が初期値について連続に依存することまでを供給し、初期値についての微分可能性を扱わないからである。したがって本単元では指数写像と測地正規座標を構成しない。

2 積分記号下の微分

第一変分の計算では、径数ssについて積分の中で微分する必要がある。積分の中で微分してよいことを、補題として証明しておく。この補題の証明では、コンパクト集合の上の一様連続性だけを用いる。面積の第一変分と Dirichlet エネルギーの第一変分を扱う本単元の記事でも、重積分を累次積分へ直したうえでこの補題を再利用する。そのため、補題を二変数の一般的な形で述べる。

補題 2.1.a<ba<bを実数、J⊆RJ\subseteq\Rを開区間、nnを正の整数とし、F:[a,b]×J→RnF:[a,b]\times J\to\R^nが次の二つを満たすとする。

  1. FFは連続である。
  2. 偏導関数∂F∂s\dfrac{\partial F}{\partial s}が[a,b]×J[a,b]\times Jの各点で存在し、[a,b]×J[a,b]\times Jの上で連続である。

このとき

φ(s)=∫abF(t,s) dt\varphi(s)=\int_a^bF(t,s)\,dt

はJJの上でC1C^1級であり、すべてのs∈Js\in Jに対して

φ′(s)=∫ab∂F∂s(t,s) dt\varphi'(s)=\int_a^b\frac{\partial F}{\partial s}(t,s)\,dt

が成り立つ。

証明. 各成分について示せば足りるので、n=1n=1とする。

φ\varphiが定まることを示す。各s∈Js\in Jに対してt↦F(t,s)t\mapsto F(t,s)は[a,b][a,b]上の連続関数であるから Riemann 可積分であり、φ(s)\varphi(s)が定まる。

微分可能性を示す。s0∈Js_0\in Jを取り、[s0−δ,s0+δ]⊆J[s_0-\delta,s_0+\delta]\subseteq Jとなるδ>0\delta>0を取る。K=[a,b]×[s0−δ,s0+δ]K=[a,b]\times[s_0-\delta,s_0+\delta]はコンパクトであり、∂F/∂s\partial F/\partial sはKKの上で連続であるから一様連続である。h>0h>0に対して

ω(h)=sup⁡{∣∂F∂s(t,s)−∂F∂s(t,s′)∣: t∈[a,b], s,s′∈[s0−δ,s0+δ], ∣s−s′∣≤h}\omega(h)=\sup\left\{\left|\frac{\partial F}{\partial s}(t,s)-\frac{\partial F}{\partial s}(t,s')\right|:\ t\in[a,b],\ s,s'\in[s_0-\delta,s_0+\delta],\ |s-s'|\le h\right\}

と置くと、一様連続性によりh→0+h\to0^{+}のときω(h)→0\omega(h)\to0である。

0<∣h∣≤δ0<|h|\le\deltaとする。各t∈[a,b]t\in[a,b]に対して、s↦F(t,s)s\mapsto F(t,s)はs0s_0とs0+hs_0+hを端点とする閉区間の上で微分可能であるから、平均値の定理によりθ=θ(t,h)∈(0,1)\theta=\theta(t,h)\in(0,1)が存在して

F(t,s0+h)−F(t,s0)h=∂F∂s(t,s0+θh)\frac{F(t,s_0+h)-F(t,s_0)}{h}=\frac{\partial F}{\partial s}\bigl(t,s_0+\theta h\bigr)

が成り立つ。したがって、各ttに対して

∣F(t,s0+h)−F(t,s0)h−∂F∂s(t,s0)∣≤ω(∣h∣)\left|\frac{F(t,s_0+h)-F(t,s_0)}{h}-\frac{\partial F}{\partial s}(t,s_0)\right|\le\omega(|h|)

である。左辺の中身はttについて連続であるから可積分であり、

∣φ(s0+h)−φ(s0)h−∫ab∂F∂s(t,s0) dt∣≤∫abω(∣h∣) dt=(b−a) ω(∣h∣)\left|\frac{\varphi(s_0+h)-\varphi(s_0)}{h}-\int_a^b\frac{\partial F}{\partial s}(t,s_0)\,dt\right| \le\int_a^b\omega(|h|)\,dt=(b-a)\,\omega(|h|)

を得る。右辺はh→0h\to0のとき00へ収束するから、φ\varphiはs0s_0で微分可能でありφ′(s0)=∫ab∂sF(t,s0) dt\varphi'(s_0)=\int_a^b\partial_sF(t,s_0)\,dtである。

導関数が連続であることを示す。s,s′∈[s0−δ,s0+δ]s,s'\in[s_0-\delta,s_0+\delta]に対して

∣φ′(s)−φ′(s′)∣≤∫ab∣∂F∂s(t,s)−∂F∂s(t,s′)∣dt≤(b−a) ω(∣s−s′∣)|\varphi'(s)-\varphi'(s')|\le\int_a^b\left|\frac{\partial F}{\partial s}(t,s)-\frac{\partial F}{\partial s}(t,s')\right|dt\le(b-a)\,\omega(|s-s'|)

である。ω(h)→0\omega(h)\to0であるからφ′\varphi'はs0s_0で連続である。s0∈Js_0\in Jは任意であったから、φ\varphiはJJ上でC1C^1級である。▨

3 変分の族

定義 3.1.IIを開区間、γ:I→M\gamma:I\to Mを滑らかな曲線、[a,b]⊆I[a,b]\subseteq Iとする。γ∣[a,b]\gamma|_{[a,b]}の変分 (variation) とは、ε>0\varepsilon>0と滑らかな写像

α:I×(−ε,ε)→M,α(t,0)=γ(t)\alpha:I\times(-\varepsilon,\varepsilon)\to M,\qquad \alpha(t,0)=\gamma(t)

の組をいう。V(t)=∂sα(t,0)V(t)=\partial_s\alpha(t,0)をα\alphaの変分場 (variation field) という。VVはγ\gammaに沿うベクトル場である。すべてのs∈(−ε,ε)s\in(-\varepsilon,\varepsilon)に対してα(a,s)=γ(a)\alpha(a,s)=\gamma(a)かつα(b,s)=γ(b)\alpha(b,s)=\gamma(b)が成り立つとき、α\alphaは端点を固定する (fixed-endpoint variation) という。端点を固定する変分の変分場はV(a)=V(b)=0V(a)=V(b)=0を満たす。

定義 3.2.A⊆R2A\subseteq\R^2を開集合、α:A→M\alpha:A\to Mを滑らかな写像とする。α\alphaに沿うベクトル場 (vector field along a map) とは、各(t,s)∈A(t,s)\in Aに対してW(t,s)∈Tα(t,s)MW(t,s)\in T_{\alpha(t,s)}Mを与える対応であって、チャート上での成分がC∞C^\inftyであるものをいう。ssを固定した曲線t↦α(t,s)t\mapsto\alpha(t,s)に沿う共変微分を取って得られるベクトル場を∇tW\nabla_tW、ttを固定した曲線s↦α(t,s)s\mapsto\alpha(t,s)に沿う共変微分を取って得られるベクトル場を∇sW\nabla_sWと書く。∂tα\partial_t\alphaと∂sα\partial_s\alphaはα\alphaに沿うベクトル場である。

§E23.7 命題 6.3を、ssを固定した曲線とttを固定した曲線のそれぞれに適用すると、α\alphaに沿うベクトル場V,WV,Wについて

∂t I(V,W)=I(∇tV,W)+I(V,∇tW),∂s I(V,W)=I(∇sV,W)+I(V,∇sW)\partial_t\,\mathrm{I}(V,W)=\mathrm{I}(\nabla_tV,W)+\mathrm{I}(V,\nabla_tW),\qquad \partial_s\,\mathrm{I}(V,W)=\mathrm{I}(\nabla_sV,W)+\mathrm{I}(V,\nabla_sW)

が成り立つ。

補題 3.3.A⊆R2A\subseteq\R^2を開集合、α:A→M\alpha:A\to Mを滑らかな写像とする。このときAAの全体で

∇s ∂tα=∇t ∂sα\nabla_s\,\partial_t\alpha=\nabla_t\,\partial_s\alpha

が成り立つ。

証明. 主張は局所的であるから、チャート(U,(u1,u2))(U,(u^1,u^2))を取り、α−1(U)\alpha^{-1}(U)の上で示せば足りる。α\alphaの座標表示をuk(t,s)u^k(t,s)と書くと

∂tα=∑j=12∂uj∂t ∂j,∂sα=∑j=12∂uj∂s ∂j\partial_t\alpha=\sum_{j=1}^{2}\frac{\partial u^j}{\partial t}\,\partial_j,\qquad \partial_s\alpha=\sum_{j=1}^{2}\frac{\partial u^j}{\partial s}\,\partial_j

である。§E23.7 命題 6.2の表示を、ttを固定した曲線s↦α(t,s)s\mapsto\alpha(t,s)に対して適用すると

∇s ∂tα=∑k=12(∂2uk∂s ∂t+∑i,j=12Γijk ∂ui∂s ∂uj∂t)∂k\nabla_s\,\partial_t\alpha =\sum_{k=1}^{2}\left(\frac{\partial^2u^k}{\partial s\,\partial t} +\sum_{i,j=1}^{2}\Gamma^k_{ij}\,\frac{\partial u^i}{\partial s}\,\frac{\partial u^j}{\partial t}\right)\partial_k

である。ttとssを入れ替えると

∇t ∂sα=∑k=12(∂2uk∂t ∂s+∑i,j=12Γijk ∂ui∂t ∂uj∂s)∂k\nabla_t\,\partial_s\alpha =\sum_{k=1}^{2}\left(\frac{\partial^2u^k}{\partial t\,\partial s} +\sum_{i,j=1}^{2}\Gamma^k_{ij}\,\frac{\partial u^i}{\partial t}\,\frac{\partial u^j}{\partial s}\right)\partial_k

である。uku^kはC∞C^\inftyであるから§E4 実解析 IIの§E4.4 定理 2.1により∂2uk/∂s∂t=∂2uk/∂t∂s\partial^2u^k/\partial s\partial t=\partial^2u^k/\partial t\partial sである。また第二項では、和の添字iiとjjを入れ替え、§E23.7 定理 3.3により得られる対称性Γijk=Γjik\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}を用いると、二つの式は一致する。▨

捩れの消滅が用いられているのは、Γijk=Γjik\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}という対称性の箇所である。捩れを持つ接続に対しては、二つの共変微分の差が捩れの値になるので、この補題は成り立たない。

第一変分の臨界点を特徴づけるためには、あらかじめ与えたベクトル場を変分場に持つ変分を作る必要がある。曲面がR3\R^3に埋め込まれていても、γ(t)+sV(t)\gamma(t)+sV(t)は一般に曲面から出るので、この構成は座標の中で行う。

補題 3.4.IIを開区間、γ:I→M\gamma:I\to Mを滑らかな曲線、[a,b]⊆I[a,b]\subseteq Iとする。VVをγ\gammaに沿う滑らかなベクトル場とし、その台

K={t∈I: V(t)≠0}‾K=\overline{\{t\in I:\ V(t)\ne0\}}

がコンパクトであって、ある一つのチャート(U,(u1,u2))(U,(u^1,u^2))についてK⊆(a,b)∩γ−1(U)K\subseteq(a,b)\cap\gamma^{-1}(U)を満たすとする。このときε>0\varepsilon>0とγ∣[a,b]\gamma|_{[a,b]}の変分α:I×(−ε,ε)→M\alpha:I\times(-\varepsilon,\varepsilon)\to Mであって、変分場がVVに等しく、t∉Kt\notin Kのときα(t,s)=γ(t)\alpha(t,s)=\gamma(t)を満たすものが存在する。とくにα\alphaは端点を固定する。

証明.φ:U→φ(U)⊆R2\varphi:U\to\varphi(U)\subseteq\R^2を座標写像とし、c(t)=φ(γ(t))c(t)=\varphi(\gamma(t))（t∈γ−1(U)t\in\gamma^{-1}(U)）と置く。V=∑kVk ∂kV=\sum_kV^k\,\partial_kと書き、VkV^kをKKの外で00としてII全体へ延ばす。VkV^kはγ−1(U)\gamma^{-1}(U)の上でC∞C^\inftyであり、KKの外で00であるから、IIの上でC∞C^\inftyである。V=(V1,V2)\boldsymbol{V}=(V^1,V^2)と書く。

c(K)c(K)は開集合φ(U)\varphi(U)に含まれるコンパクト集合であるから、d>0d>0が存在して、c(K)c(K)の各点を中心とする半径ddの閉球がφ(U)\varphi(U)に含まれる。m=max⁡t∈K∥V(t)∥m=\max_{t\in K}\lVert\boldsymbol{V}(t)\rVertと置き、ε=d/(m+1)\varepsilon=d/(m+1)とする。t∈Kt\in Kと∣s∣<ε|s|<\varepsilonに対して∥sV(t)∥<d\lVert s\boldsymbol{V}(t)\rVert<dであるからc(t)+sV(t)∈φ(U)c(t)+s\boldsymbol{V}(t)\in\varphi(U)である。

α(t,s)={φ−1(c(t)+sV(t))(t∈γ−1(U)),γ(t)(t∈I∖K)\alpha(t,s)= \begin{cases} \varphi^{-1}\bigl(c(t)+s\boldsymbol{V}(t)\bigr) & (t\in\gamma^{-1}(U)),\\[2pt] \gamma(t) & (t\in I\setminus K) \end{cases}

と定める。t∈γ−1(U)∖Kt\in\gamma^{-1}(U)\setminus KではV(t)=0\boldsymbol{V}(t)=0であるから二つの定義は一致し、α\alphaはI×(−ε,ε)I\times(-\varepsilon,\varepsilon)の上で定まる。γ−1(U)\gamma^{-1}(U)とI∖KI\setminus KはともにIIの開集合であってIIを覆い、α\alphaはそれぞれの上で滑らかであるから、α\alphaは滑らかである。α(t,0)=γ(t)\alpha(t,0)=\gamma(t)であり、t∈γ−1(U)t\in\gamma^{-1}(U)に対して

∂sα(t,0)=dφc(t)−1(V(t))=∑k=12Vk(t) ∂k=V(t)\partial_s\alpha(t,0)=d\varphi^{-1}_{c(t)}\bigl(\boldsymbol{V}(t)\bigr)=\sum_{k=1}^{2}V^k(t)\,\partial_k=V(t)

である。t∉Kt\notin Kでは両辺とも00である。K⊆(a,b)K\subseteq(a,b)であるからa,b∉Ka,b\notin Kであり、α(a,s)=γ(a)\alpha(a,s)=\gamma(a)、α(b,s)=γ(b)\alpha(b,s)=\gamma(b)が成り立つ。▨

補題 3.5 (変分法の基本補題).IIを開区間、γ:I→M\gamma:I\to Mを滑らかな曲線、[a,b]⊆I[a,b]\subseteq Iとする。wwをγ∣[a,b]\gamma|_{[a,b]}に沿う連続なベクトル場とし、次を仮定する。γ\gammaに沿う滑らかなベクトル場VVであって、台がコンパクトで(a,b)(a,b)に含まれ、かつ一つのチャートの定義域の逆像に含まれるもののすべてについて

∫abI(w(t),V(t)) dt=0\int_a^b\mathrm{I}\bigl(w(t),V(t)\bigr)\,dt=0

が成り立つ。このとき[a,b][a,b]の上でw≡0w\equiv0である。

証明.t0∈(a,b)t_0\in(a,b)でw(t0)≠0w(t_0)\ne0であると仮定して矛盾を導く。γ(t0)\gamma(t_0)を含むチャート(U,(u1,u2))(U,(u^1,u^2))を取る。γ−1(U)∩(a,b)\gamma^{-1}(U)\cap(a,b)はt0t_0を含む開集合であるから、t0t_0を含む開区間JJでその閉包がγ−1(U)∩(a,b)\gamma^{-1}(U)\cap(a,b)に含まれるものが存在する。

§E23.7 定理 6.5により、γ\gammaに沿って平行なベクトル場PPであってP(t0)=w(t0)P(t_0)=w(t_0)を満たすものが存在する。PPは滑らかである。関数t↦I(w(t),P(t))t\mapsto\mathrm{I}(w(t),P(t))は連続であり、t0t_0における値はI(w(t0),w(t0))=∥w(t0)∥2>0\mathrm{I}(w(t_0),w(t_0))=\lVert w(t_0)\rVert^2>0である。したがってt0t_0を含む開区間J′⊆JJ'\subseteq Jが存在して、J′J'の上でI(w,P)>0\mathrm{I}(w,P)>0が成り立つ。

一次元のC∞C^\infty多様体R\Rに対して§E22 多様体入門の§E22.2 命題 1.6を適用し、χ:R→[0,1]\chi:\R\to[0,1]を、χ(t0)=1\chi(t_0)=1であり台がコンパクトでJ′J'に含まれるように取る。V=χPV=\chi Pと置くと、VVはγ\gammaに沿う滑らかなベクトル場であり、台はコンパクトでJ′⊆(a,b)∩γ−1(U)J'\subseteq(a,b)\cap\gamma^{-1}(U)に含まれる。仮定により

0=∫abI(w,V) dt=∫abχ(t) I(w(t),P(t)) dt0=\int_a^b\mathrm{I}(w,V)\,dt=\int_a^b\chi(t)\,\mathrm{I}\bigl(w(t),P(t)\bigr)\,dt

である。しかし被積分関数は連続で非負であり、t=t0t=t_0で正の値を取るから、積分は正である。これは矛盾である。

よって(a,b)(a,b)の上でw≡0w\equiv0である。wwは[a,b][a,b]の上で連続であるから、端点でもw=0w=0である。▨

4 エネルギーと長さの第一変分

定義 4.1.γ:[a,b]→M\gamma:[a,b]\to Mを滑らかな曲線とする。

L(γ)=∫ab∥γ′(t)∥ dt,E(γ)=12∫ab∥γ′(t)∥2 dtL(\gamma)=\int_a^b\lVert\gamma'(t)\rVert\,dt,\qquad E(\gamma)=\frac12\int_a^b\lVert\gamma'(t)\rVert^2\,dt

をそれぞれγ\gammaの長さ (length)、エネルギー (energy) という。

定理 4.2.IIを開区間、γ:I→M\gamma:I\to Mを滑らかな曲線、[a,b]⊆I[a,b]\subseteq Iとする。α:I×(−ε,ε)→M\alpha:I\times(-\varepsilon,\varepsilon)\to Mをγ∣[a,b]\gamma|_{[a,b]}の変分、VVをその変分場とし、

E(s)=12∫ab∥∂tα(t,s)∥2 dt\mathcal{E}(s)=\frac12\int_a^b\bigl\lVert\partial_t\alpha(t,s)\bigr\rVert^2\,dt

と置く。このときE\mathcal{E}は(−ε,ε)(-\varepsilon,\varepsilon)の上でC1C^1級であり

dEds∣s=0=[I(V(t),γ′(t))]t=at=b−∫abI(V(t),Dγ′dt(t))dt\left.\frac{d\mathcal{E}}{ds}\right|_{s=0} =\Bigl[\mathrm{I}\bigl(V(t),\gamma'(t)\bigr)\Bigr]_{t=a}^{t=b} -\int_a^b\mathrm{I}\left(V(t),\frac{D\gamma'}{dt}(t)\right)dt

が成り立つ。とくにα\alphaが端点を固定するならば

dEds∣s=0=−∫abI(V,Dγ′dt)dt\left.\frac{d\mathcal{E}}{ds}\right|_{s=0} =-\int_a^b\mathrm{I}\left(V,\frac{D\gamma'}{dt}\right)dt

である。

証明の方針を述べる。出発点はF(t,s)=12∥∂tα(t,s)∥2F(t,s)=\tfrac12\lVert\partial_t\alpha(t,s)\rVert^2である。∂sF\partial_sFを求めるには、内積についての積の公式をss方向に用いてI(∇s∂tα,∂tα)\mathrm{I}(\nabla_s\partial_t\alpha,\partial_t\alpha)を得る。中間目標は、この式の∇s∂tα\nabla_s\partial_t\alphaを補題 3.3によって∇t∂sα\nabla_t\partial_s\alphaへ入れ替えることである。入れ替えると、被積分関数がttについての全微分と、∇t∂tα\nabla_t\partial_t\alphaを含む項との差になる。本質的な一手はこの入れ替えであり、この入れ替えを行ってはじめて、微積分学の基本定理によって端点の項を取り出すことができる。積分と微分の交換は補題 2.1による。

証明.F(t,s)=12 I(∂tα(t,s),∂tα(t,s))F(t,s)=\tfrac12\,\mathrm{I}\bigl(\partial_t\alpha(t,s),\partial_t\alpha(t,s)\bigr)と置く。チャートを取るとFFは座標表示のC∞C^\infty関数の合成と積で書かれるから、FFはI×(−ε,ε)I\times(-\varepsilon,\varepsilon)の上でC∞C^\inftyである。とくにFFと∂sF\partial_sFは[a,b]×(−ε,ε)[a,b]\times(-\varepsilon,\varepsilon)の上で連続であるから、補題 2.1によりE\mathcal{E}はC1C^1級であり

dEds(s)=∫ab∂F∂s(t,s) dt\frac{d\mathcal{E}}{ds}(s)=\int_a^b\frac{\partial F}{\partial s}(t,s)\,dt

である。

内積についての積の公式をss方向に適用すると

∂F∂s=I(∇s ∂tα, ∂tα)\frac{\partial F}{\partial s}=\mathrm{I}\bigl(\nabla_s\,\partial_t\alpha,\ \partial_t\alpha\bigr)

である。補題 3.3により∇s∂tα=∇t∂sα\nabla_s\partial_t\alpha=\nabla_t\partial_s\alphaであるから

∂F∂s=I(∇t ∂sα, ∂tα)=∂t I(∂sα, ∂tα)−I(∂sα, ∇t ∂tα)\frac{\partial F}{\partial s}=\mathrm{I}\bigl(\nabla_t\,\partial_s\alpha,\ \partial_t\alpha\bigr) =\partial_t\,\mathrm{I}\bigl(\partial_s\alpha,\ \partial_t\alpha\bigr)-\mathrm{I}\bigl(\partial_s\alpha,\ \nabla_t\,\partial_t\alpha\bigr)

である。ここで二つ目の等号は、内積についての積の公式をtt方向に適用したものである。ttについてaaからbbまで積分し、第一項に微積分学の基本定理を用いると

dEds(s)=[I(∂sα,∂tα)]t=at=b−∫abI(∂sα, ∇t ∂tα) dt\frac{d\mathcal{E}}{ds}(s)=\Bigl[\mathrm{I}\bigl(\partial_s\alpha,\partial_t\alpha\bigr)\Bigr]_{t=a}^{t=b} -\int_a^b\mathrm{I}\bigl(\partial_s\alpha,\ \nabla_t\,\partial_t\alpha\bigr)\,dt

を得る。s=0s=0と置くと∂sα(t,0)=V(t)\partial_s\alpha(t,0)=V(t)、∂tα(t,0)=γ′(t)\partial_t\alpha(t,0)=\gamma'(t)、∇t∂tα(t,0)=Dγ′dt(t)\nabla_t\partial_t\alpha(t,0)=\dfrac{D\gamma'}{dt}(t)であるから、主張の式が従う。端点を固定する変分では∂sα(a,s)=0\partial_s\alpha(a,s)=0かつ∂sα(b,s)=0\partial_s\alpha(b,s)=0であり、とくにV(a)=V(b)=0V(a)=V(b)=0であるから第一項が消える。▨

系 4.3.IIを開区間、γ:I→M\gamma:I\to Mを滑らかな曲線、[a,b]⊆I[a,b]\subseteq Iとする。次の二つは同値である。

  1. γ∣[a,b]\gamma|_{[a,b]}の端点を固定するすべての変分に対してdEds∣s=0=0\left.\dfrac{d\mathcal{E}}{ds}\right|_{s=0}=0である。
  2. γ∣[a,b]\gamma|_{[a,b]}は測地線である。

証明.(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。Dγ′/dt≡0D\gamma'/dt\equiv0ならば定理 4.2の積分が消える。

(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。w=Dγ′/dtw=D\gamma'/dtと置く。wwはγ∣[a,b]\gamma|_{[a,b]}に沿う連続（実際には滑らかな）ベクトル場である。VVを、台がコンパクトで(a,b)(a,b)に含まれ、かつ一つのチャートの定義域の逆像に含まれる、γ\gammaに沿う滑らかなベクトル場とする。補題 3.4により、VVを変分場に持つ端点を固定する変分が存在する。仮定と定理 4.2により∫abI(V,w) dt=0\int_a^b\mathrm{I}(V,w)\,dt=0である。I\mathrm{I}は対称であるから∫abI(w,V) dt=0\int_a^b\mathrm{I}(w,V)\,dt=0であり、補題 3.5によりw≡0w\equiv0である。▨

長さの被積分関数は∥∂tα∥\lVert\partial_t\alpha\rVertであり、平方根は原点で微分可能でない。そのため、長さについては、速度が消えないという仮定が必要になる。

定理 4.4.IIを開区間、γ:I→M\gamma:I\to Mを単位速度の曲線、すなわち∥γ′∥≡1\lVert\gamma'\rVert\equiv1を満たす滑らかな曲線とし、[a,b]⊆I[a,b]\subseteq Iとする。α:I×(−ε0,ε0)→M\alpha:I\times(-\varepsilon_0,\varepsilon_0)\to Mをγ∣[a,b]\gamma|_{[a,b]}の変分、VVをその変分場とする。このとき0<ε≤ε00<\varepsilon\le\varepsilon_0を十分小さく取ると、

L(s)=∫ab∥∂tα(t,s)∥ dt\mathcal{L}(s)=\int_a^b\bigl\lVert\partial_t\alpha(t,s)\bigr\rVert\,dt

は(−ε,ε)(-\varepsilon,\varepsilon)の上でC1C^1級であり

dLds∣s=0=[I(V,γ′)]t=at=b−∫abI(V,Dγ′dt)dt\left.\frac{d\mathcal{L}}{ds}\right|_{s=0} =\Bigl[\mathrm{I}\bigl(V,\gamma'\bigr)\Bigr]_{t=a}^{t=b} -\int_a^b\mathrm{I}\left(V,\frac{D\gamma'}{dt}\right)dt

が成り立つ。とくにα\alphaが端点を固定するならば

dLds∣s=0=−∫abI(V,Dγ′dt)dt\left.\frac{d\mathcal{L}}{ds}\right|_{s=0}=-\int_a^b\mathrm{I}\left(V,\frac{D\gamma'}{dt}\right)dt

である。

証明.ρ(t,s)=∥∂tα(t,s)∥\rho(t,s)=\lVert\partial_t\alpha(t,s)\rVertと置く。ρ2=I(∂tα,∂tα)\rho^2=\mathrm{I}(\partial_t\alpha,\partial_t\alpha)はI×(−ε0,ε0)I\times(-\varepsilon_0,\varepsilon_0)の上でC∞C^\inftyであり、ρ(t,0)=1\rho(t,0)=1である。ρ2\rho^2の連続性により、各t∈[a,b]t\in[a,b]に対してttの近傍と00の近傍の直積であって、その上でρ2>1/4\rho^2>1/4となるものが存在する。[a,b][a,b]はコンパクトであるから有限個で覆うことができ、0<ε≤ε00<\varepsilon\le\varepsilon_0を、[a,b]×(−ε,ε)[a,b]\times(-\varepsilon,\varepsilon)の上でρ2>1/4\rho^2>1/4となるように取ることができる。この範囲でρ=ρ2\rho=\sqrt{\rho^2}はC∞C^\inftyであり、正である。

F(t,s)=ρ(t,s)F(t,s)=\rho(t,s)に補題 2.1を適用すると、L\mathcal{L}はC1C^1級でありdLds=∫ab∂sρ dt\dfrac{d\mathcal{L}}{ds}=\int_a^b\partial_s\rho\,dtである。内積についての積の公式をss方向に適用すると

∂sρ=I(∇s ∂tα, ∂tα)ρ\partial_s\rho=\frac{\mathrm{I}\bigl(\nabla_s\,\partial_t\alpha,\ \partial_t\alpha\bigr)}{\rho}

である。補題 3.3により分子の∇s∂tα\nabla_s\partial_t\alphaを∇t∂sα\nabla_t\partial_s\alphaへ入れ替える。s=0s=0ではρ=1\rho=1、∂tα=γ′\partial_t\alpha=\gamma'、∇t∂sα=DVdt\nabla_t\partial_s\alpha=\dfrac{DV}{dt}であるから

∂sρ(t,0)=I(DVdt,γ′)=ddt I(V,γ′)−I(V,Dγ′dt)\partial_s\rho(t,0)=\mathrm{I}\left(\frac{DV}{dt},\gamma'\right) =\frac{d}{dt}\,\mathrm{I}(V,\gamma')-\mathrm{I}\left(V,\frac{D\gamma'}{dt}\right)

である。ttについて積分し、第一項に微積分学の基本定理を用いれば主張の式を得る。端点を固定する変分ではV(a)=V(b)=0V(a)=V(b)=0であるから第一項が消える。▨

系 4.5.IIを開区間、γ:I→M\gamma:I\to Mを正則曲線、すなわちγ′(t)≠0\gamma'(t)\ne0をすべてのttで満たす滑らかな曲線とし、[a,b]⊆I[a,b]\subseteq Iとする。ρ=∥γ′∥\rho=\lVert\gamma'\rVert、T=γ′/ρT=\gamma'/\rhoと置く。

  1. γ∣[a,b]\gamma|_{[a,b]}の端点を固定するすべての変分に対してdLds∣s=0=0\left.\dfrac{d\mathcal{L}}{ds}\right|_{s=0}=0であることと、[a,b][a,b]の上でDTdt=0\dfrac{DT}{dt}=0が成り立つこととは同値である。
  2. DTdt=0\dfrac{DT}{dt}=0が成り立つとき、γ∣[a,b]\gamma|_{[a,b]}を弧長で径数づけ直して得られる曲線は測地線である。
  3. DTdt=0\dfrac{DT}{dt}=0が成り立つとき、γ∣[a,b]\gamma|_{[a,b]}自身が測地線であることと、ρ\rhoが[a,b][a,b]の上で定数であることとは同値である。

証明.主張 (1)を示す。定理 4.4の証明を、単位速度でない場合について繰り返す。ρ\rhoは[a,b][a,b]の上で連続かつ正であるから、コンパクト性によりμ=min⁡[a,b]ρ>0\mu=\min_{[a,b]}\rho>0である。したがって同じ有限被覆の議論により、[a,b]×(−ε,ε)[a,b]\times(-\varepsilon,\varepsilon)の上で∥∂tα∥2>μ2/4\lVert\partial_t\alpha\rVert^2>\mu^2/4となるε>0\varepsilon>0を取ることができ、その範囲で∥∂tα∥\lVert\partial_t\alpha\rVertはC∞C^\inftyかつ正である。s=0s=0で∥∂tα(t,0)∥=ρ(t)\lVert\partial_t\alpha(t,0)\rVert=\rho(t)であるから

∂sρ(t,0)=1ρ I(DVdt,γ′)=I(DVdt,T)=ddt I(V,T)−I(V,DTdt)\partial_s\rho(t,0)=\frac{1}{\rho}\,\mathrm{I}\left(\frac{DV}{dt},\gamma'\right)=\mathrm{I}\left(\frac{DV}{dt},T\right) =\frac{d}{dt}\,\mathrm{I}(V,T)-\mathrm{I}\left(V,\frac{DT}{dt}\right)

である。端点を固定する変分に対してはV(a)=V(b)=0V(a)=V(b)=0であるから

dLds∣s=0=−∫abI(V,DTdt)dt\left.\frac{d\mathcal{L}}{ds}\right|_{s=0}=-\int_a^b\mathrm{I}\left(V,\frac{DT}{dt}\right)dt

である。あとは系 4.3と同じ議論、すなわち補題 3.4と補題 3.5をw=DT/dtw=DT/dtに適用する議論による。

主張 (2)を示す。σ(t)=∫atρ(τ) dτ\sigma(t)=\int_a^t\rho(\tau)\,d\tauと置くと、ρ>0\rho>0であるからσ\sigmaは[a,b][a,b]から[0,L(γ∣[a,b])][0,L(\gamma|_{[a,b]})]への狭義単調増加なC∞C^\infty微分同相であり、その逆写像をhhと書くとγ~=γ∘h\widetilde{\gamma}=\gamma\circ hは単位速度である（§E23.1 定義 2.1）。h′(ς)=1/ρ(h(ς))h'(\varsigma)=1/\rho(h(\varsigma))であるからγ~′(ς)=h′(ς) γ′(h(ς))=T(h(ς))\widetilde{\gamma}'(\varsigma)=h'(\varsigma)\,\gamma'(h(\varsigma))=T(h(\varsigma))であり、§E23.7 命題 6.2の座標表示に連鎖律を適用すると

Dγ~′dς(ς)=h′(ς) DTdt(h(ς))=0\frac{D\widetilde{\gamma}'}{d\varsigma}(\varsigma)=h'(\varsigma)\,\frac{DT}{dt}\bigl(h(\varsigma)\bigr)=0

である。よってγ~\widetilde{\gamma}は測地線である。

主張 (3)を示す。γ′=ρ T\gamma'=\rho\,Tであるから、§E23.7 命題 6.2 (1)により

Dγ′dt=ρ˙ T+ρ DTdt=ρ˙ T\frac{D\gamma'}{dt}=\dot\rho\,T+\rho\,\frac{DT}{dt}=\dot\rho\,T

である。T≠0T\ne0であるから、これが恒等的に零であることとρ˙≡0\dot\rho\equiv0であることは同値である。▨

注意 4.6 (エネルギーと長さの違い).L\mathcal{L}は径数の取り替えで値が変わらないので、その臨界点は径数の取り替えを除いてしか定まらない。系 4.5 (3)で述べているのは、臨界点の中で測地線であるのは定速のものだけだということである。一方E\mathcal{E}は径数の取り替えで値が変わるので、系 4.3のとおり臨界点そのものが測地線になる。

二つの汎関数は次の不等式で結ばれる。γ:[a,b]→M\gamma:[a,b]\to Mを滑らかな曲線としc=L(γ)/(b−a)c=L(\gamma)/(b-a)と置くと

0≤∫ab(∥γ′∥−c)2dt=2E(γ)−2c L(γ)+c2(b−a)=2E(γ)−L(γ)2b−a0\le\int_a^b\bigl(\lVert\gamma'\rVert-c\bigr)^2dt =2E(\gamma)-2c\,L(\gamma)+c^2(b-a) =2E(\gamma)-\frac{L(\gamma)^2}{b-a}

であるから

E(γ)≥L(γ)22(b−a)E(\gamma)\ge\frac{L(\gamma)^2}{2(b-a)}

が成り立ち、等号が成り立つことと∥γ′∥\lVert\gamma'\rVertが定数であることとは同値である。長さを保ったまま径数を取り替えると、定速のときにエネルギーが最小になる。

5 測地曲率

以下、MMは向きづけられているとする。M⊆R3M\subseteq\R^3が正則曲面のときは、向きは単位法線ベクトル場NNの選択である（§E23.3 定義 4.2）。TpMT_pMの順序づけられた基底(X,Y)(X,Y)が正であるとは、M⊆R3M\subseteq\R^3のときはX×YX\times YがN(p)N(p)の正の実数倍であることをいい、抽象曲面のときはMMの向きに関して正であることをいう。

定義 5.1.MMを向きづけられた曲面、γ:I→M\gamma:I\to Mを単位速度の曲線とする。T=γ′T=\gamma'と置き、各ttに対してn(t)∈Tγ(t)Mn(t)\in T_{\gamma(t)}Mを、∥n∥=1\lVert n\rVert=1、I(T,n)=0\mathrm{I}(T,n)=0、かつ(T,n)(T,n)が正の基底であるという三条件で定まる唯一のベクトルとする。M⊆R3M\subseteq\R^3のときはn=N×Tn=N\times Tである。

κg(t)=I(DTdt(t), n(t))\kappa_g(t)=\mathrm{I}\left(\frac{DT}{dt}(t),\ n(t)\right)

をγ\gammaの測地曲率 (geodesic curvature) という。測地曲率は単位速度の曲線に対してのみ定義する。単位速度でない正則曲線に対して同じ式を書くと、速さの三乗の因子が入り、径数の取り替えで値が変わってしまうためである。

M⊆R3M\subseteq\R^3のときにn=N×Tn=N\times Tが三条件を満たすことは、次のように確かめられる。∥N×T∥=∥N∥∥T∥=1\lVert N\times T\rVert=\lVert N\rVert\lVert T\rVert=1（N⊥TN\perp Tによる）であり、⟨N×T,T⟩=0\langle N\times T,T\rangle=0である。またN×T⊥NN\times T\perp NであるからN×T∈TpMN\times T\in T_pMである。さらに

T×(N×T)=N ⟨T,T⟩−T ⟨T,N⟩=NT\times(N\times T)=N\,\langle T,T\rangle-T\,\langle T,N\rangle=N

であるから(T,N×T)(T,N\times T)は正の基底である。

命題 5.2.γ:I→M\gamma:I\to Mを単位速度の曲線とする。

  1. DTdt=κg n\dfrac{DT}{dt}=\kappa_g\,nが成り立つ。とくにγ\gammaが測地線であることとκg≡0\kappa_g\equiv0であることとは同値である。
  2. 曲面の向きを反転させると（M⊆R3M\subseteq\R^3のときはNNを−N-Nに取り替えると）κg\kappa_gは符号を変える。曲線の向きを反転させても、すなわちγ~(t)=γ(−t)\widetilde{\gamma}(t)=\gamma(-t)と置いても、κg\kappa_gは符号を変える。
  3. M⊆R3M\subseteq\R^3のとき、γ\gammaをR3\R^3の曲線とみた二階導関数は γ′′=κg n+II(T,T) N\gamma''=\kappa_g\,n+\mathrm{II}(T,T)\,N と分解する。したがって、γ\gammaの空間曲線としての曲率κ=∥γ′′∥\kappa=\lVert\gamma''\rVert（§E23.2 定義 3.1）について κ2=κg 2+II(T,T)2\kappa^2=\kappa_g^{\,2}+\mathrm{II}(T,T)^2 が成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。I(T,T)≡1\mathrm{I}(T,T)\equiv1を§E23.7 命題 6.3によって微分すると2 I(DT/dt,T)=02\,\mathrm{I}(DT/dt,T)=0である。(T,n)(T,n)はTγ(t)MT_{\gamma(t)}Mの正規直交基底であるから

DTdt=I(DTdt,T)T+I(DTdt,n)n=κg n\frac{DT}{dt}=\mathrm{I}\left(\frac{DT}{dt},T\right)T+\mathrm{I}\left(\frac{DT}{dt},n\right)n=\kappa_g\,n

である。n≠0n\ne0であるからDT/dt=0DT/dt=0とκg=0\kappa_g=0は同値である。

主張 (2)を示す。DT/dtDT/dtは第一基本形式だけから定まり、向きに依存しない。向きを反転させると、正の基底の定義が入れ替わるのでnnは−n-nに置き換わり、κg\kappa_gは符号を変える。曲線の向きの反転については、T~(t)=γ~′(t)=−T(−t)\widetilde{T}(t)=\widetilde{\gamma}'(t)=-T(-t)であり、§E23.7 命題 6.2の座標表示から、YYをγ\gammaに沿うベクトル場とするときt↦Y(−t)t\mapsto Y(-t)のγ~\widetilde{\gamma}に沿う共変微分は−DYdt(−t)-\dfrac{DY}{dt}(-t)である。これをY=−TY=-Tに適用すると

DT~dt(t)=DTdt(−t)\frac{D\widetilde{T}}{dt}(t)=\frac{DT}{dt}(-t)

である。一方n~(t)=−n(−t)\widetilde{n}(t)=-n(-t)であるからκ~g(t)=−κg(−t)\widetilde{\kappa}_g(t)=-\kappa_g(-t)である。

主張 (3)を示す。γ′′(t)\gamma''(t)を接成分と法成分に分けると、接成分は§E23.7 命題 6.2によりDT/dt=κgnDT/dt=\kappa_g nであり、法成分は⟨γ′′,N⟩N\langle\gamma'',N\rangle Nである。⟨γ′(t),N(γ(t))⟩≡0\langle\gamma'(t),N(\gamma(t))\rangle\equiv0をttについて微分すると

⟨γ′′,N⟩+⟨T,ddt(N∘γ)⟩=0\langle\gamma'',N\rangle+\left\langle T,\frac{d}{dt}\bigl(N\circ\gamma\bigr)\right\rangle=0

である。ddt(N∘γ)=dN(T)=−S(T)\dfrac{d}{dt}(N\circ\gamma)=dN(T)=-S(T)（§E23.5 定義 1.4）であるから

⟨γ′′,N⟩=⟨T,S(T)⟩=II(T,T)\langle\gamma'',N\rangle=\langle T,S(T)\rangle=\mathrm{II}(T,T)

である（§E23.5 定義 3.1）。nnとNNは互いに直交する単位ベクトルであるからκ2=κg2+II(T,T)2\kappa^2=\kappa_g^2+\mathrm{II}(T,T)^2である。▨

II(T,T)\mathrm{II}(T,T)はTT方向の法曲率である（§E23.5 定理 4.4）。したがって主張 (3)では、曲面上の曲線の曲率が、曲面の内側で測る成分と、曲面が空間の中で曲がっていることに由来する成分とに分かれることを述べている。測地線は前者が消える曲線である。後者は、曲面が空間の中にどのように埋め込まれているかに依存する。

6 例

例 6.1. 半径r>0r>0の球面M={p∈R3:∥p∥=r}M=\{p\in\R^3:\lVert p\rVert=r\}を取る。p∈Mp\in MとX∈TpMX\in T_pM、∥X∥=1\lVert X\rVert=1を固定し

γ(s)=cos⁡(sr)p+rsin⁡(sr)X(s∈R)\gamma(s)=\cos\left(\frac{s}{r}\right)p+r\sin\left(\frac{s}{r}\right)X\qquad(s\in\R)

と置く。⟨p,X⟩=0\langle p,X\rangle=0かつ∥p∥=r\lVert p\rVert=r、∥X∥=1\lVert X\rVert=1であるから

∥γ(s)∥2=r2cos⁡2(sr)+r2sin⁡2(sr)=r2\lVert\gamma(s)\rVert^2=r^2\cos^2\left(\frac{s}{r}\right)+r^2\sin^2\left(\frac{s}{r}\right)=r^2

であり、γ\gammaはMMの中の曲線である。像は、原点とppとXXが張る平面とMMとの交わり、すなわち大円である。γ(0)=p\gamma(0)=p、γ′(0)=X\gamma'(0)=Xであり

γ′(s)=−1rsin⁡(sr)p+cos⁡(sr)X,γ′′(s)=−1r2γ(s)\gamma'(s)=-\frac{1}{r}\sin\left(\frac{s}{r}\right)p+\cos\left(\frac{s}{r}\right)X,\qquad \gamma''(s)=-\frac{1}{r^2}\gamma(s)

である。∥γ′(s)∥2=sin⁡2(s/r)+cos⁡2(s/r)=1\lVert\gamma'(s)\rVert^2=\sin^2(s/r)+\cos^2(s/r)=1であるからγ\gammaは単位速度である。γ′′(s)\gamma''(s)は位置ベクトルγ(s)\gamma(s)の実数倍であり、球面の接平面は位置ベクトルに直交するから、γ′′(s)\gamma''(s)は法方向である。したがって

Dγ′ds=(γ′′)⊤=0\frac{D\gamma'}{ds}=\bigl(\gamma''\bigr)^{\top}=0

であり、γ\gammaは測地線である。

逆に、MMの任意の測地線は大円の一部である。実際、測地線は命題 1.2 (1)により定速であるから、定数曲線でなければ弧長で径数づけ直すことができ、初期点と初期速度が一致する上の大円と命題 1.2 (2)の一意性により局所的に一致する。一致する時刻の集合は、閉じており、同じ一意性から開いており、区間は連結であるから区間全体である。

例 6.2.§E23.7 例 7.3と同じ設定を取る。すなわち

x(u,v)=r(sin⁡ucos⁡v, sin⁡usin⁡v, cos⁡u)(0<u<π)\boldsymbol{x}(u,v)=r(\sin u\cos v,\ \sin u\sin v,\ \cos u)\qquad(0<u<\pi)

とし、向きは、囲む領域から見て内向きのN(p)=−p/rN(p)=-p/rに取る。Christoffel 記号は

Γ221=−sin⁡ucos⁡u,Γ122=Γ212=cos⁡usin⁡u\Gamma^1_{22}=-\sin u\cos u,\qquad \Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=\frac{\cos u}{\sin u}

であり、残りは零である。

0<u0<π0<u_0<\piを固定し、緯線をvvの減る向きに単位速度で

γ(s)=x(u0, −srsin⁡u0)\gamma(s)=\boldsymbol{x}\left(u_0,\ -\frac{s}{r\sin u_0}\right)

と径数づける。座標表示はu1(s)=u0u^1(s)=u_0、u2(s)=−s/(rsin⁡u0)u^2(s)=-s/(r\sin u_0)であり

∥γ′∥2=G (u˙2)2=r2sin⁡2u0⋅1r2sin⁡2u0=1\lVert\gamma'\rVert^2=G\,(\dot u^2)^2=r^2\sin^2u_0\cdot\frac{1}{r^2\sin^2u_0}=1

であるから単位速度である。T=γ′T=\gamma'をT=ξ1∂1+ξ2∂2T=\xi^1\partial_1+\xi^2\partial_2と書くとξ1=0\xi^1=0、ξ2=−1/(rsin⁡u0)\xi^2=-1/(r\sin u_0)であり、いずれも定数である。§E23.7 命題 6.2の表示により

(DTds)1=Γ221 u˙2 ξ2=(−sin⁡u0cos⁡u0)⋅1r2sin⁡2u0=−cos⁡u0r2sin⁡u0,\left(\frac{DT}{ds}\right)^1=\Gamma^1_{22}\,\dot u^2\,\xi^2 =(-\sin u_0\cos u_0)\cdot\frac{1}{r^2\sin^2u_0}=-\frac{\cos u_0}{r^2\sin u_0},(DTds)2=Γ212 u˙2 ξ1+Γ122 u˙1 ξ2=0\left(\frac{DT}{ds}\right)^2=\Gamma^2_{21}\,\dot u^2\,\xi^1+\Gamma^2_{12}\,\dot u^1\,\xi^2=0

である。∂1=xu\partial_1=\boldsymbol{x}_uであり∥xu∥=r\lVert\boldsymbol{x}_u\rVert=rであるから、e=xu/re=\boldsymbol{x}_u/rと置くと

DTds=−cos⁡u0rsin⁡u0 e.\frac{DT}{ds}=-\frac{\cos u_0}{r\sin u_0}\,e.

一方n=N×Tn=N\times Tを計算する。v=0v=0の点でN=(−sin⁡u0,0,−cos⁡u0)N=(-\sin u_0,0,-\cos u_0)、T=−xv/(rsin⁡u0)=(0,−1,0)T=-\boldsymbol{x}_v/(r\sin u_0)=(0,-1,0)であるから

n=N×T=(−cos⁡u0, 0, sin⁡u0)=−xur=−e.n=N\times T=(-\cos u_0,\ 0,\ \sin u_0)=-\frac{\boldsymbol{x}_u}{r}=-e.

したがって

κg=I(DTds,n)=(−cos⁡u0rsin⁡u0)(−1)=cos⁡u0rsin⁡u0\kappa_g=\mathrm{I}\left(\frac{DT}{ds},n\right)=\left(-\frac{\cos u_0}{r\sin u_0}\right)(-1)=\frac{\cos u_0}{r\sin u_0}

である。u0=π/2u_0=\pi/2（赤道）のときκg=0\kappa_g=0であり、赤道が測地線であるという例 6.1の結論と整合する。

この値は、§E23.14 局所 Gauss–Bonnet とホロノミーで証明する局所 Gauss–Bonnet の公式と整合する。球冠R={u<u0}R=\{u<u_0\}について∫RK dA=2π(1−cos⁡u0)\int_RK\,dA=2\pi(1-\cos u_0)であり（§E23.7 例 7.3）、緯線の長さは2πrsin⁡u02\pi r\sin u_0であるから

∫RK dA+∫∂Rκg ds=2π(1−cos⁡u0)+cos⁡u0rsin⁡u0⋅2πrsin⁡u0=2π\int_RK\,dA+\int_{\partial R}\kappa_g\,ds=2\pi(1-\cos u_0)+\frac{\cos u_0}{r\sin u_0}\cdot2\pi r\sin u_0=2\pi

となる。境界をvvの減る向きに取ったのは、n=N×Tn=N\times TがRRの内側を向くようにするためである。

ただし、この球冠は本例が用いた球面座標x(u,v)\boldsymbol{x}(u,v)（0<u<π0<u<\pi）のチャートに含まれない。RRの内点である北極がu=0u=0に対応し、その定義域の外にあるからである。したがって、ここで確かめたのは等式の数値であって、局所 Gauss–Bonnet の定理の仮定が満たされていることではない。仮定の検証は§E23.14 局所 Gauss–Bonnet とホロノミーの§E23.14 例 8.2が行っており、そこでは南極からの立体射影によるチャートを取り、球冠がそのチャートの中で単純な座標領域になることを確かめている。

例 6.3.M={(x,y,z):x2+y2=1}M=\{(x,y,z):x^2+y^2=1\}、x(u,v)=(cos⁡u,sin⁡u,v)\boldsymbol{x}(u,v)=(\cos u,\sin u,v)とすると、§E23.7 例 7.2のとおりΓijk≡0\Gamma^k_{ij}\equiv0である。したがって定義 1.1の方程式はu¨1=u¨2=0\ddot u^1=\ddot u^2=0となり、測地線は

u1(t)=at+b,u2(t)=ct+d(a,b,c,d∈R)u^1(t)=at+b,\qquad u^2(t)=ct+d\qquad(a,b,c,d\in\R)

で与えられる。a=0a=0かつc≠0c\ne0のときは母線（直線）、c=0c=0かつa≠0a\ne0のときは円柱と平面z=dz=dとの交わりである円、a≠0a\ne0かつc≠0c\ne0のときは常螺旋である。a=c=0a=c=0のときは定数曲線である。

例 6.4.例 6.1の大円γ\gammaを取り、h(t)=eth(t)=e^tと置いてγ~(t)=γ(h(t))\widetilde{\gamma}(t)=\gamma(h(t))（t∈(0,1)t\in(0,1)）と定める。hhは狭義単調増加なC∞C^\infty微分同相であるからγ~\widetilde{\gamma}は正則曲線であり、γ~′(t)=etγ′(et)\widetilde{\gamma}'(t)=e^t\gamma'(e^t)であるからρ(t)=∥γ~′(t)∥=et\rho(t)=\lVert\widetilde{\gamma}'(t)\rVert=e^tである。単位接ベクトルはT~(t)=γ′(et)\widetilde{T}(t)=\gamma'(e^t)であり、γ\gammaが測地線であることから

DT~dt(t)=et Dγ′ds(et)=0\frac{D\widetilde{T}}{dt}(t)=e^t\,\frac{D\gamma'}{ds}(e^t)=0

である。したがって系 4.5 (1)によりγ~\widetilde{\gamma}は長さの臨界点である。しかし

Dγ~′dt=ρ˙ T~=et T~≠0\frac{D\widetilde{\gamma}'}{dt}=\dot\rho\,\widetilde{T}=e^t\,\widetilde{T}\ne0

であるから、γ~\widetilde{\gamma}は測地線ではなく、系 4.3によりエネルギーの臨界点でもない。定速に取り直せば、すなわちγ\gammaそのものに戻せば測地線になる。

7 境界

測地線が長さを最小にすることを主張しないこと。本記事で示したのは、測地線が長さとエネルギーの臨界点であることだけである。臨界点であることは最小であることを意味しない。球面の大円上の二点を結ぶ二つの弧はどちらも測地線であるが、一方は長いほうである。測地線が十分近い二点の間で長さを最小にするという主張は、測地極座標と Gauss の補題を用いて証明されるものである。本単元でその証明を扱わない理由は注意 1.3に述べたとおりである。

第二変分を扱わないこと。臨界点が極小であるかどうかは第二変分によって判定される。

解の存在を扱わないこと。本記事では、与えられた曲線が臨界点であるかどうかを判定するための第一変分の公式と、臨界点の特徴づけを導いた。与えられた二点を結ぶ最短の曲線が存在するかどうかは別の問題であり、直接法、下半連続性および弱コンパクト性を要する。

距離空間としての扱いを行わないこと。本記事の測地線は、常微分方程式の解として、また長さとエネルギーの臨界点として定めたものであり、二点を結ぶ最短の曲線として定めたものではない。

測地曲率を単位速度の曲線にだけ定義したこと。定義 5.1のとおり、本単元では測地曲率を単位速度の曲線に対してのみ定める。一般の正則曲線γ\gammaに対してI(Dγ′/dt, N×γ′)\mathrm{I}(D\gamma'/dt,\ N\times\gamma')を測地曲率と呼ぶ流儀もあるが、その量は速さの三乗に比例して変わるので、径数の取り替えで値が変わる。局所 Gauss–Bonnet の定理の境界項は弧長についての積分であるので、単位速度の定義でなければ主張の形が定まらない。

8 演習

問題 8.1.

  1. F ⁣:[0,1]×R→RF\colon[0,1]\times\R\to\Rを、s≠0s\ne0のときF(t,s)=sgn⁡(s) t e−t/∣s∣F(t,s)=\operatorname{sgn}(s)\,t\,e^{-t/\sqrt{\lvert s\rvert}}、s=0s=0のときF(t,0)=0F(t,0)=0で定める。FFが連続であり、偏導関数∂F/∂s\partial F/\partial sが[0,1]×R[0,1]\times\Rの各点で存在することを示せ。φ(s)=∫01F(t,s) dt\varphi(s)=\int_0^1F(t,s)\,dtについてφ′(0)=1\varphi'(0)=1であるが∫01∂F∂s(t,0) dt=0\int_0^1\frac{\partial F}{\partial s}(t,0)\,dt=0であることを示し、補題 2.1の仮定のうち∂F/∂s\partial F/\partial sの連続性を外すと結論が成り立たないことを確かめよ。
  2. チャート(U,(u1,u2))(U,(u^1,u^2))の上のC∞C^\infty関数Γijk\Gamma^k_{ij}（i,ji,jについて対称とは限らない）を用いて、曲線に沿う微分を§E23.7 命題 6.2と同じ座標表示で定める。滑らかな写像α(t,s)=(u1(t,s),u2(t,s))\alpha(t,s)=(u^1(t,s),u^2(t,s))について ∇s ∂tα−∇t ∂sα=∑k=12(∑i,j=12(Γijk−Γjik)∂ui∂s∂uj∂t)∂k\nabla_s\,\partial_t\alpha-\nabla_t\,\partial_s\alpha=\sum_{k=1}^{2}\Bigl(\sum_{i,j=1}^{2}\bigl(\Gamma^k_{ij}-\Gamma^k_{ji}\bigr)\frac{\partial u^i}{\partial s}\frac{\partial u^j}{\partial t}\Bigr)\partial_k を示せ。平面でΓ112=1\Gamma^2_{11}=1、Γ121=−1\Gamma^1_{12}=-1とし残りを00とした係数（§E23.7 問題 9.1 (2)）とα(t,s)=(t,s)\alpha(t,s)=(t,s)について左辺を直接計算し、右辺と一致することを確かめよ。
  3. MMを半径rrの球面、γ ⁣:I→M\gamma\colon I\to Mを滑らかな曲線、V ⁣:I→R3V\colon I\to\R^3をC∞C^\infty写像であってすべてのttでV(t)∈Tγ(t)MV(t)\in T_{\gamma(t)}Mを満たすものとする。 α(t,s)=r γ(t)+sV(t)∥γ(t)+sV(t)∥((t,s)∈I×R)\alpha(t,s)=r\,\frac{\gamma(t)+sV(t)}{\lVert\gamma(t)+sV(t)\rVert}\qquad\bigl((t,s)\in I\times\R\bigr) がMMに値を持つ滑らかな写像であってα(t,0)=γ(t)\alpha(t,0)=\gamma(t)、∂sα(t,0)=V(t)\partial_s\alpha(t,0)=V(t)を満たすこと、したがって任意の[a,b]⊆I[a,b]\subseteq Iについてγ∣[a,b]\gamma|_{[a,b]}の変分であって変分場がVVであることを示せ。V(a)=V(b)=0V(a)=V(b)=0ならばこの変分は端点を固定することを示せ。一方、V(t)≠0V(t)\ne0かつs≠0s\ne0のときγ(t)+sV(t)∉M\gamma(t)+sV(t)\notin Mであることを示せ。
  4. γ ⁣:I→M\gamma\colon I\to Mを正則な滑らかな曲線、[a,b]⊆I[a,b]\subseteq Iとする。γ\gammaに沿う滑らかなベクトル場VVであって、台がコンパクトで(a,b)(a,b)に含まれ一つのチャートの定義域の逆像に含まれ、かつ各点でI(V,γ′)=0\mathrm{I}(V,\gamma')=0を満たすもののすべてについて∫abI(V,Dγ′dt) dt=0\int_a^b\mathrm{I}\bigl(V,\frac{D\gamma'}{dt}\bigr)\,dt=0が成り立つとする（補題 3.4と定理 4.2により、これはγ′\gamma'と直交する変分場を持つ端点を固定した変分についてエネルギーの一次の変化が零であることにあたる）。このとき[a,b][a,b]の上の連続関数λ\lambdaが存在してDγ′dt=λγ′\frac{D\gamma'}{dt}=\lambda\gamma'が成り立つことを示せ。例 6.4のγ~\widetilde\gammaがこの仮定を満たすが測地線でないことを示せ。
  5. 例 6.4のγ~(t)=γ(et)\widetilde\gamma(t)=\gamma(e^t)（γ\gammaは単位速度の大円）と[a,b]⊆(0,1)[a,b]\subseteq(0,1)を取る。ϕ ⁣:R→R\phi\colon\R\to\RをC∞C^\infty関数であって台がコンパクトで(a,b)(a,b)に含まれるものとし、α(t,s)=γ(et+sϕ(t))\alpha(t,s)=\gamma\bigl(e^t+s\phi(t)\bigr)と置く。α\alphaが端点を固定する変分であって変分場がV=ϕ γ′(et)V=\phi\,\gamma'(e^t)であることを確かめ、E(s)=12∫ab∥∂tα∥2 dt\mathcal{E}(s)=\frac12\int_a^b\lVert\partial_t\alpha\rVert^2\,dtを直接計算してE′(0)=−∫abetϕ(t) dt\mathcal{E}'(0)=-\int_a^be^t\phi(t)\,dtを示せ。この値が定理 4.2の右辺と一致することを確かめ、ϕ≥0\phi\ge0かつϕ≢0\phi\not\equiv0のときE′(0)<0\mathcal{E}'(0)<0であることを示せ。
  6. 0<u0<π0<u_0<\piとし、例 6.2の球面座標で、緯線を単位速度でγ(t)=x(u0, t/(rsin⁡u0))\gamma(t)=\boldsymbol{x}\bigl(u_0,\ t/(r\sin u_0)\bigr)（t∈Rt\in\R）と径数づける。[a,b]=[0,2πrsin⁡u0][a,b]=[0,2\pi r\sin u_0]と変分α(t,s)=x(u0+s, t/(rsin⁡u0))\alpha(t,s)=\boldsymbol{x}\bigl(u_0+s,\ t/(r\sin u_0)\bigr)（∣s∣<min⁡{u0,π−u0}\lvert s\rvert<\min\{u_0,\pi-u_0\}）について、L(s)\mathcal{L}(s)を直接求め、L′(0)\mathcal{L}'(0)が定理 4.4の右辺と一致することを確かめよ。また、単位速度の仮定を外してγ′\gamma'が零になることを許すと結論が成り立たないことを、平面の定数曲線γ0(t)=(0,0,0)\gamma_0(t)=(0,0,0)とα0(t,s)=(st,0,0)\alpha_0(t,s)=(st,0,0)（[a,b]=[0,1][a,b]=[0,1]）について示せ。
  7. 系 4.5 (3)を用いて、次を示せ。長さの臨界点であって測地線でない曲線は、どの測地線とも像が異なるとはかぎらない。像が同じでも径数が異なることがある、という主張を、例 6.4を用いて厳密に述べ直せ。
  8. 命題 5.2 (2)を用いて、曲面の向きと曲線の向きを同時に反転させると、対応する点におけるκg\kappa_gの値が変わらないことを示せ。さらに、例 6.2の緯線を、パラメータ表示x\boldsymbol{x}が定める外向きの単位法線と、vvの増える向きの単位速度の径数γ(s)=x(u0, s/(rsin⁡u0))\gamma(s)=\boldsymbol{x}\bigl(u_0,\ s/(r\sin u_0)\bigr)で取り直し、κg\kappa_gを直接計算して同例と同じ値cos⁡u0/(rsin⁡u0)\cos u_0/(r\sin u_0)になることを確かめよ。
解答.

(1)を示す。s≠0s\ne0の点の近くではFFはC∞C^\inftyである。w≥0w\ge0に対してwe−w≤e−1we^{-w}\le e^{-1}であるから、s≠0s\ne0のとき∣F(t,s)∣=∣s∣⋅t∣s∣e−t/∣s∣≤∣s∣/e\lvert F(t,s)\rvert=\sqrt{\lvert s\rvert}\cdot\frac{t}{\sqrt{\lvert s\rvert}}e^{-t/\sqrt{\lvert s\rvert}}\le\sqrt{\lvert s\rvert}/eである。よって(t,s)→(t0,0)(t,s)\to(t_0,0)のときF(t,s)→0=F(t0,0)F(t,s)\to0=F(t_0,0)であり、FFは連続である。

s=0s=0におけるssについての偏導関数を調べる。t>0t>0では、w=t/∣s∣w=t/\sqrt{\lvert s\rvert}と置くとF(t,s)/s=t∣s∣e−t/∣s∣=w2te−wF(t,s)/s=\frac{t}{\lvert s\rvert}e^{-t/\sqrt{\lvert s\rvert}}=\frac{w^2}{t}e^{-w}であり、s→0s\to0のときw→∞w\to\inftyであるから00に収束する。t=0t=0ではF(0,s)=0F(0,s)=0である。よって∂F∂s(t,0)=0\frac{\partial F}{\partial s}(t,0)=0がすべてのt∈[0,1]t\in[0,1]で成り立ち、∫01∂F∂s(t,0) dt=0\int_0^1\frac{\partial F}{\partial s}(t,0)\,dt=0である。

s>0s>0のとき、t=s wt=\sqrt s\,wと置換すると

φ(s)=∫01te−t/s dt=s∫01/swe−w dw=s(1−(1+1s)e−1/s)\varphi(s)=\int_0^1te^{-t/\sqrt s}\,dt=s\int_0^{1/\sqrt s}we^{-w}\,dw=s\Bigl(1-\Bigl(1+\frac{1}{\sqrt s}\Bigr)e^{-1/\sqrt s}\Bigr)

であり、F(t,−s)=−F(t,s)F(t,-s)=-F(t,s)からφ(−s)=−φ(s)\varphi(-s)=-\varphi(s)である。s→0s\to0のとき(1+1/∣s∣)e−1/∣s∣→0(1+1/\sqrt{\lvert s\rvert})e^{-1/\sqrt{\lvert s\rvert}}\to0であるからφ(s)/s→1\varphi(s)/s\to1であり、φ′(0)=1\varphi'(0)=1である。したがってφ′(0)≠∫01∂sF(t,0) dt\varphi'(0)\ne\int_0^1\partial_sF(t,0)\,dtである。

s>0s>0では∂sF(t,s)=t22s3/2e−t/s\partial_sF(t,s)=\frac{t^2}{2s^{3/2}}e^{-t/\sqrt s}であり、t=st=\sqrt sでは12es\frac{1}{2e\sqrt s}となってs→0+s\to0^{+}で有界でない。よって∂F/∂s\partial F/\partial sは(0,0)(0,0)で連続でなく、補題 2.1 (2)の連続性だけが成り立たない。この例は、その連続性を外すと積分と微分の交換が成り立たないことを示している。

(2)を示す。座標表示により

(∇s ∂tα)k=∂2uk∂s ∂t+∑i,jΓijk∂ui∂s∂uj∂t,(∇t ∂sα)k=∂2uk∂t ∂s+∑i,jΓijk∂ui∂t∂uj∂s\bigl(\nabla_s\,\partial_t\alpha\bigr)^k=\frac{\partial^2u^k}{\partial s\,\partial t}+\sum_{i,j}\Gamma^k_{ij}\frac{\partial u^i}{\partial s}\frac{\partial u^j}{\partial t},\qquad \bigl(\nabla_t\,\partial_s\alpha\bigr)^k=\frac{\partial^2u^k}{\partial t\,\partial s}+\sum_{i,j}\Gamma^k_{ij}\frac{\partial u^i}{\partial t}\frac{\partial u^j}{\partial s}

である。§E4.4 定理 2.1により第一項は等しい。第二の式の和で添字iiとjjの名前を入れ替えると∑i,jΓjik∂ui∂s∂uj∂t\sum_{i,j}\Gamma^k_{ji}\frac{\partial u^i}{\partial s}\frac{\partial u^j}{\partial t}となるので、差は主張の式に等しい。

例では∂tα\partial_t\alphaの成分は(1,0)(1,0)、∂sα\partial_s\alphaの成分は(0,1)(0,1)であり、いずれも定数である。したがって

(∇s ∂tα)k=Γ21k,(∇t ∂sα)k=Γ12k\bigl(\nabla_s\,\partial_t\alpha\bigr)^k=\Gamma^k_{21},\qquad\bigl(\nabla_t\,\partial_s\alpha\bigr)^k=\Gamma^k_{12}

であり、(Γ211,Γ212)=(0,0)(\Gamma^1_{21},\Gamma^2_{21})=(0,0)、(Γ121,Γ122)=(−1,0)(\Gamma^1_{12},\Gamma^2_{12})=(-1,0)から∇s∂tα−∇t∂sα=∂1\nabla_s\partial_t\alpha-\nabla_t\partial_s\alpha=\partial_1である。右辺で零でない項は(i,j)=(2,1)(i,j)=(2,1)の項であり、Γ211−Γ121=1\Gamma^1_{21}-\Gamma^1_{12}=1、Γ212−Γ122=0\Gamma^2_{21}-\Gamma^2_{12}=0であるから右辺も∂1\partial_1である。この係数に対しては補題 3.3の結論が成り立たない。

(3)を示す。§E23.3 系 3.4によりTγ(t)M=γ(t)⊥T_{\gamma(t)}M=\gamma(t)^{\perp}であるから⟨γ(t),V(t)⟩=0\langle\gamma(t),V(t)\rangle=0であり

∥γ(t)+sV(t)∥2=r2+2s⟨γ(t),V(t)⟩+s2∥V(t)∥2=r2+s2∥V(t)∥2≥r2>0\lVert\gamma(t)+sV(t)\rVert^2=r^2+2s\langle\gamma(t),V(t)\rangle+s^2\lVert V(t)\rVert^2=r^2+s^2\lVert V(t)\rVert^2\ge r^2>0

である。分母は零にならず、平方根は(0,∞)(0,\infty)の上でC∞C^\inftyであるから、α\alphaはI×RI\times\Rの上でC∞C^\inftyであり、∥α(t,s)∥=r\lVert\alpha(t,s)\rVert=rからα\alphaの値はMMに属する。α(t,0)=rγ(t)/r=γ(t)\alpha(t,0)=r\gamma(t)/r=\gamma(t)である。n(t,s)=r2+s2∥V(t)∥2n(t,s)=\sqrt{r^2+s^2\lVert V(t)\rVert^2}と置くと∂sn=s∥V∥2/n\partial_sn=s\lVert V\rVert^2/nであるから

∂sα=rVn−r(γ+sV) s∥V∥2n3\partial_s\alpha=\frac{rV}{n}-\frac{r(\gamma+sV)\,s\lVert V\rVert^2}{n^3}

であり、s=0s=0で∂sα(t,0)=V(t)\partial_s\alpha(t,0)=V(t)である。よって任意のε>0\varepsilon>0について、α\alphaをI×(−ε,ε)I\times(-\varepsilon,\varepsilon)へ制限したものは定義 3.1の変分であり、変分場はVVである。V(a)=0V(a)=0ならばすべてのssでα(a,s)=rγ(a)/∥γ(a)∥=γ(a)\alpha(a,s)=r\gamma(a)/\lVert\gamma(a)\rVert=\gamma(a)であり、bbについても同様であるから、変分は端点を固定する。

最後に、上の計算から∥γ(t)+sV(t)∥2=r2+s2∥V(t)∥2>r2\lVert\gamma(t)+sV(t)\rVert^2=r^2+s^2\lVert V(t)\rVert^2>r^2（V(t)≠0V(t)\ne0、s≠0s\ne0）であるから、γ(t)+sV(t)\gamma(t)+sV(t)はMMに属さない。

(4)を示す。ρ2=I(γ′,γ′)>0\rho^2=\mathrm{I}(\gamma',\gamma')>0であり、λ=I(Dγ′/dt,γ′)/ρ2\lambda=\mathrm{I}(D\gamma'/dt,\gamma')/\rho^2と

w=Dγ′dt−λ γ′w=\frac{D\gamma'}{dt}-\lambda\,\gamma'

と置く。λ\lambdaは連続であり、wwはγ\gammaに沿う連続なベクトル場であってI(w,γ′)=0\mathrm{I}(w,\gamma')=0を満たす。VVを補題 3.5の仮定に現れるベクトル場とし、V⊥=V−(I(V,γ′)/ρ2)γ′V^{\perp}=V-\bigl(\mathrm{I}(V,\gamma')/\rho^2\bigr)\gamma'と置く。V⊥V^{\perp}は滑らかであり、台はVVの台に含まれ、I(V⊥,γ′)=0\mathrm{I}(V^{\perp},\gamma')=0を満たす。I(V⊥,γ′)=0\mathrm{I}(V^{\perp},\gamma')=0からI(V⊥,Dγ′/dt)=I(V⊥,w)\mathrm{I}(V^{\perp},D\gamma'/dt)=\mathrm{I}(V^{\perp},w)であり、I(w,γ′)=0\mathrm{I}(w,\gamma')=0からI(V,w)=I(V⊥,w)\mathrm{I}(V,w)=\mathrm{I}(V^{\perp},w)である。仮定により

∫abI(V,w) dt=∫abI(V⊥,Dγ′dt)dt=0\int_a^b\mathrm{I}(V,w)\,dt=\int_a^b\mathrm{I}\Bigl(V^{\perp},\frac{D\gamma'}{dt}\Bigr)dt=0

であるから、補題 3.5により[a,b][a,b]の上でw≡0w\equiv0であり、Dγ′/dt=λγ′D\gamma'/dt=\lambda\gamma'である。

γ~(t)=γ(et)\widetilde\gamma(t)=\gamma(e^t)については、例 6.4によりDγ~′/dt=etT~=γ~′D\widetilde\gamma'/dt=e^t\widetilde T=\widetilde\gamma'である。したがってγ~′\widetilde\gamma'と直交するVVについてI(V,Dγ~′/dt)=I(V,γ~′)=0\mathrm{I}(V,D\widetilde\gamma'/dt)=\mathrm{I}(V,\widetilde\gamma')=0であり、仮定が満たされる（λ≡1\lambda\equiv1）。しかしDγ~′/dt=γ~′≠0D\widetilde\gamma'/dt=\widetilde\gamma'\ne0であるから、γ~\widetilde\gammaは測地線でない。γ′\gamma'と直交する変分だけでは、径数の速さが変化することを検出することができない。

(5)を示す。γ\gammaはR\Rの上で定義されたC∞C^\infty曲線であるから、α\alphaはI×RI\times\Rの上でC∞C^\inftyでありMMに値を持つ。α(t,0)=γ~(t)\alpha(t,0)=\widetilde\gamma(t)、∂sα(t,0)=ϕ(t)γ′(et)\partial_s\alpha(t,0)=\phi(t)\gamma'(e^t)である。ϕ(a)=ϕ(b)=0\phi(a)=\phi(b)=0であるからα(a,s)=γ~(a)\alpha(a,s)=\widetilde\gamma(a)、α(b,s)=γ~(b)\alpha(b,s)=\widetilde\gamma(b)であり、α\alphaは端点を固定する。

∂tα(t,s)=(et+sϕ′(t))γ′(et+sϕ(t))\partial_t\alpha(t,s)=\bigl(e^t+s\phi'(t)\bigr)\gamma'\bigl(e^t+s\phi(t)\bigr)であり、∥γ′∥≡1\lVert\gamma'\rVert\equiv1であるから

E(s)=12∫ab(et+sϕ′(t))2 dt,E′(0)=∫abetϕ′(t) dt=[etϕ(t)]ab−∫abetϕ(t) dt=−∫abetϕ(t) dt\mathcal{E}(s)=\frac12\int_a^b\bigl(e^t+s\phi'(t)\bigr)^2\,dt,\qquad \mathcal{E}'(0)=\int_a^be^t\phi'(t)\,dt=\bigl[e^t\phi(t)\bigr]_a^b-\int_a^be^t\phi(t)\,dt=-\int_a^be^t\phi(t)\,dt

である。

一方、例 6.4によりDγ~′/dt=etT~D\widetilde\gamma'/dt=e^t\widetilde T、T~(t)=γ′(et)\widetilde T(t)=\gamma'(e^t)であるから、定理 4.2の右辺は

−∫abI(ϕ T~, etT~) dt=−∫abetϕ(t) dt-\int_a^b\mathrm{I}\bigl(\phi\,\widetilde T,\ e^t\widetilde T\bigr)\,dt=-\int_a^be^t\phi(t)\,dt

であり、直接の計算と一致する。ϕ≥0\phi\ge0かつϕ≢0\phi\not\equiv0ならば、etϕe^t\phiは非負の連続関数であって零でない点を持つから、積分は正でありE′(0)<0\mathcal{E}'(0)<0である。よってγ~∣[a,b]\widetilde\gamma|_{[a,b]}はエネルギーの臨界点でない。この変分は像を変えずに径数だけを変える。

(6)を示す。∂tα=xv/(rsin⁡u0)\partial_t\alpha=\boldsymbol{x}_v/(r\sin u_0)であり、∥xv∥2=G=r2sin⁡2(u0+s)\lVert\boldsymbol{x}_v\rVert^2=G=r^2\sin^2(u_0+s)であるから∥∂tα∥=sin⁡(u0+s)/sin⁡u0\lVert\partial_t\alpha\rVert=\sin(u_0+s)/\sin u_0である。よって

L(s)=2πrsin⁡u0⋅sin⁡(u0+s)sin⁡u0=2πrsin⁡(u0+s),L′(0)=2πrcos⁡u0\mathcal{L}(s)=2\pi r\sin u_0\cdot\frac{\sin(u_0+s)}{\sin u_0}=2\pi r\sin(u_0+s),\qquad\mathcal{L}'(0)=2\pi r\cos u_0

である。γ\gammaは単位速度である。変分場はV=∂sα(t,0)=xu=∂1V=\partial_s\alpha(t,0)=\boldsymbol{x}_u=\partial_1であり、F=0F=0からI(V,γ′)=0\mathrm{I}(V,\gamma')=0であるので境界の項は零である。γ′=ξ2∂2\gamma'=\xi^2\partial_2、ξ2=u˙2=1/(rsin⁡u0)\xi^2=\dot u^2=1/(r\sin u_0)であるから、§E23.7 命題 6.2の表示と§E23.7 例 7.3の Christoffel 記号により

(Dγ′dt)1=Γ221 u˙2ξ2=−sin⁡u0cos⁡u0r2sin⁡2u0=−cos⁡u0r2sin⁡u0,(Dγ′dt)2=0\Bigl(\frac{D\gamma'}{dt}\Bigr)^1=\Gamma^1_{22}\,\dot u^2\xi^2=-\frac{\sin u_0\cos u_0}{r^2\sin^2u_0}=-\frac{\cos u_0}{r^2\sin u_0},\qquad\Bigl(\frac{D\gamma'}{dt}\Bigr)^2=0

である。E=r2E=r^2からI(V,Dγ′/dt)=−cos⁡u0/sin⁡u0\mathrm{I}(V,D\gamma'/dt)=-\cos u_0/\sin u_0であり、定理 4.4の右辺は

−∫02πrsin⁡u0(−cos⁡u0sin⁡u0)dt=2πrcos⁡u0-\int_0^{2\pi r\sin u_0}\Bigl(-\frac{\cos u_0}{\sin u_0}\Bigr)dt=2\pi r\cos u_0

であって、直接の計算と一致する。u0=π/2u_0=\pi/2のときに限ってL′(0)=0\mathcal{L}'(0)=0である。

定数曲線γ0\gamma_0はγ0′≡0\gamma_0'\equiv0であるから正則でない。α0(t,0)=γ0(t)\alpha_0(t,0)=\gamma_0(t)であり、∂tα0=(s,0,0)\partial_t\alpha_0=(s,0,0)であるから

L0(s)=∫01∣s∣ dt=∣s∣\mathcal{L}_0(s)=\int_0^1\lvert s\rvert\,dt=\lvert s\rvert

である。L0\mathcal{L}_0はs=0s=0で微分可能でないので、定理 4.4の結論は、単位速度の仮定を外して速度が零になる曲線を許すと成り立たない。

(7)を示す。例 6.4の大円γ:R→M\gamma:\R\to Mとh(t)=eth(t)=e^tについて、γ~=γ∘h:(0,1)→M\widetilde{\gamma}=\gamma\circ h:(0,1)\to Mを考え、[a,b]⊆(0,1)[a,b]\subseteq(0,1)、a<ba<bを取る。同例によりγ~\widetilde{\gamma}は正則であり、DT~/dt=0D\widetilde{T}/dt=0であるから、系 4.5 (1)によりγ~∣[a,b]\widetilde{\gamma}|_{[a,b]}は長さの臨界点である。一方、ρ(t)=et\rho(t)=e^tは[a,b][a,b]の上で定数でないから、系 4.5 (3)によりγ~∣[a,b]\widetilde{\gamma}|_{[a,b]}は測地線でない。ところがhhは[a,b][a,b]から[ea,eb][e^a,e^b]への全単射であるから

γ~([a,b])=γ([ea,eb])\widetilde{\gamma}\bigl([a,b]\bigr)=\gamma\bigl([e^a,e^b]\bigr)

であり、γ~∣[a,b]\widetilde{\gamma}|_{[a,b]}の像は測地線γ∣[ea,eb]\gamma|_{[e^a,e^b]}の像に等しい。したがって、長さの臨界点であって測地線でない曲線の像が、ある測地線の像と一致することがある。厳密に述べ直すと次のとおりである。「測地線γ∣[ea,eb]\gamma|_{[e^a,e^b]}と、C∞C^\infty微分同相h:[a,b]→[ea,eb]h:[a,b]\to[e^a,e^b]であってh′h'が定数でないものが存在し、γ∘h\gamma\circ hは長さの臨界点であるが測地線でない。γ∘h\gamma\circ hとγ∣[ea,eb]\gamma|_{[e^a,e^b]}の像は等しく、二つの曲線は径数だけが異なる。」さらに系 4.5 (2)により、長さの臨界点である正則曲線はどれも、弧長で径数づけ直すと測地線になるので、その像はある測地線の像に等しい。

(8)を示す。γ\gammaを単位速度の曲線とし、κg\kappa_gを向きNNに関する測地曲率とする。命題 5.2 (2)により、向きを−N-Nに取り替えると、その向きに関するγ\gammaの測地曲率は−κg(t)-\kappa_g(t)である。この向きのもとで曲線の向きを反転させてγ~(t)=γ(−t)\widetilde{\gamma}(t)=\gamma(-t)と置くと、同じ主張によりγ~\widetilde{\gamma}の測地曲率は−(−κg(−t))=κg(−t)-\bigl(-\kappa_g(-t)\bigr)=\kappa_g(-t)である。すなわち、二つの反転を同時に行うと、対応する点γ~(t)=γ(−t)\widetilde{\gamma}(t)=\gamma(-t)における測地曲率の値は変わらない。この事実は、二つの反転のもとでDT/dtDT/dtとnnがそれぞれ変わらないことによる。DT/dtDT/dtは向きに依らず、曲線の向きの反転ではDT~dt(t)=DTdt(−t)\frac{D\widetilde{T}}{dt}(t)=\frac{DT}{dt}(-t)である。n=N×Tn=N\times TはNNとTTの両方の符号が変わるので変わらない。例 6.2では、内向きのN=−p/rN=-p/rとvvの減る向きの径数づけを用いてκg=cos⁡u0/(rsin⁡u0)\kappa_g=\cos u_0/(r\sin u_0)を得た。パラメータ表示x\boldsymbol{x}が定める外向きの向きx/r\boldsymbol{x}/rとvvの増える向きγ(s)=x(u0, s/(rsin⁡u0))\gamma(s)=\boldsymbol{x}(u_0,\ s/(r\sin u_0))を用いても、v=0v=0の点でN=(sin⁡u0,0,cos⁡u0)N=(\sin u_0,0,\cos u_0)、T=(0,1,0)T=(0,1,0)であるからn=N×T=(−cos⁡u0,0,sin⁡u0)=−xu/rn=N\times T=(-\cos u_0,0,\sin u_0)=-\boldsymbol{x}_u/rとなり、同例と同じnnを得る。TTの成分はξ2=1/(rsin⁡u0)\xi^2=1/(r\sin u_0)、u˙2=1/(rsin⁡u0)\dot u^2=1/(r\sin u_0)であり、(DT/ds)1=Γ221u˙2ξ2=−cos⁡u0/(r2sin⁡u0)(DT/ds)^1=\Gamma^1_{22}\dot u^2\xi^2=-\cos u_0/(r^2\sin u_0)も同例と同じであるから、κg=cos⁡u0/(rsin⁡u0)\kappa_g=\cos u_0/(r\sin u_0)である。同例が内向きの法線を取りながらvvの減る向きを選んだのは、この二つの選択を合わせてnnが球冠{u<u0}\{u<u_0\}の内側を向くようにするためであり、二つを同時に反転させてもnnとκg\kappa_gは変わらないので、局所 Gauss–Bonnet の公式との照合の値2π2\piも変わらない。▨

参考文献

  1. Manfredo P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, revised and updated second ed., Dover Publications, Mineola, N.Y., 2016.測地線の定義、測地曲率の符号の規約、および回転面と球面における測地線の扱いを参考にした。
  2. Manfredo P. do Carmo, Riemannian Geometry, translated by Francis Flaherty, Mathematics: Theory & Applications, Birkhäuser, Boston, 1992.測地線の常微分方程式としての扱いと、エネルギーの第一変分の計算および対称補題の使い方を参考にした。
  3. Barrett O'Neill, Elementary Differential Geometry, 2 (revised) ed., Academic Press, 2006.第一基本形式だけを与えられた二次元の対象における測地線と測地曲率の扱いを参考にした。

前提記事